Інтервальні помилки вимірювань

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Тернопільський національний економічний університет

Факультет комп'ютерних інформаційних технологій

Кафедра КН

Реферат

з дисципліни:

“Математичні моделі синтезу”

на тему:

“Інтервальні помилки вимірювань”

Виконав: ст.гр. ПЗАСм-51

Грицеляк С.Я.

Перевірив:

Манжула В.І.

Тернопіль - 2008

План

1. Вступ

2. Інтервальні методи вирішення диференціальних рівнянь

3. Використання інтервальних методів

4. Реалізація інтервальних обчислень на ЕОМ

5. Проблеми використання інтервального аналізу

1. Вступ

Останніми роками широкого поширення в обчислювальній математиці набули методи інтервального аналізу. Інтервал - це замкнутий числовий проміжок. Наприклад, інтервал між 2 і 3 містить всі дійсні числа між 2 і 3, включаючи їх самих, і позначається як [2, 3]. Відповідно, інтервальна невизначеність - це стан неповного (часткового) знання про величину, що цікавить нас, коли ми можемо лише вказати її приналежність даному інтервалу. Іншими словами, ми можемо пред'явити тільки межі можливих значень цієї величини (або межі її зміни), і ширина інтервалу, що виходить, є природною мірою нашої невизначеності (неоднозначності). Математична дисципліна, яка вивчає задачі з інтервальними невизначеностями і неоднозначностями в даних і методи їх рішення називається інтервальним аналізом.

Виконання арифметичних операцій над величинами, що мають інтервальну невизначеність, приводить до інтервальної невизначеності відповідно, і інтервал результату повинен містити всі можливі результати виконання операції над представниками початкових інтервалів. Наприклад [1,2] + [2,3] = [3,5], якщо в межах інтервалів [1,2] і [2,3] відповідні величини можуть приймати значення “незалежно” один від одного. Аналогічним чином йде справа і з більшістю інших інтервальних операцій, так що в результаті інтервальних обчислень інтервал, що виходить, гарантований містить безліч всіляких відповідей “точкових” задач, дані до яких містилися в початкових інтервалах. В цілому, ідея інтервальних обчислень - це використовування інтервалів, що представляють числові проміжки, як основного об'єкту даних.

Інтенсивний розвиток і проникнення в різні області математики інтервальних методів привело до скликання в 1975 р. Першого Міжнародного симпозіуму по інтервальній математиці. Другий симпозіум проведений в 1980 р. Література по інтервальному аналізу в даний час налічує близько восьмисот найменувань і досить повно відбита а бібліографічних збірках і роботі. Російською мовою зараз опублікувало близько двох десятків журнальних статей. Книга Інтервальний аналіз (Шокин Ю.І., 1981) надасть можливість познайомитися з методами інтервальної математики і, можливо, стимулює використання цих методів при вирішенні ряду прикладних завдань, що вимагають високої точності алгоритмів. Спочатку інтервальні методи виникли як спорідненість автоматичного контролю помилок округлення на ЕОМ і згодом перетворилися на один з розділів сучасної прикладної математики. При цьому в основі лежала ідеї двосторонньої апроксимації, як помилки обліку погрішностей приводить до необхідності узагальнення поняття дійсного числа, а точнішепоняття інтервального числа. У монографії Мура, по суті, вперше були викладені послідовно основи нового напряму у вичислювальній математиці. Подальші дослідження показали, що методи інтервального аналізу можуть служити не лише для обліку помилок округлення па ЕОМ, але і є новими аналітичними методами для теоретичних досліджень. Безпосереднє вживання інтервальних методів в обчислювальних процесу дозволяє укласти а інтервали вирішення завдань, про вхідні дані яких відомо лише те, що син лежать в певних інтервалах. При цьому в отримувані інтервали включаються і оптики округлень, що зустрічаються в процесі обчислень. При точно певних вхідних даних завдання отримувані Інтервали містять точне рішення вихідної задачі, і інтервальний метод служить длі обліку помилок апроксимації і округлення. Проблеми інтервального аналізу можна розділити на три групи: дослідження самої безлічі інтервальних чисел як деякій, математичної структури, застосування інтервальних методів до різних завдань прикладної математики (зокрема останнім часом намітилися дороги використання інтервальних методів в завданнях управління і економіки) і програмування інтервальних методів.

2. Інтервальні методи вирішення диференціальних рівнянь

Інтерес до використання інтервальних методів при вирішенні диференціальних рівнянь пояснюється тим, що в рамках інтервального аналізу вихідні дані диференціального завдання можуть бути задані у формі інтервалів, і отримані рішення враховують не лише помилки у вихідних даних, але і помилки апроксимації і округлень. Нижче приведений ряд інтервальних методів рішення задачі Коши для звичайного диференціального рівняння. Теорія інтервальних методів вирішення диференціальних рівнянь в даний час ще далека від завершення.

Є такі основні інтервальні методи:

1) інтервальний метод другого порядку для вирішення звичайних диференціальних рівнянь;

2) інтервальні методи 2-го порядку типу Рунге - Кутта;

3) інтервальні методи типу Адамса;

4) інтервальний метод, що використовує квадратну формулу Сімпсона;

5) Метод Мура;

6) Метод Крукеберга.

3. Використання інтервальних методів

Є три основні сфери успішного використання інтервального аналізу і інтервальних методів:

* рішення практичних задач, що мають інтервальну або, більш у загальних рисах, обмежену невизначеність в даних;

* строгий облік помилок округлення при обчисленнях з числами з плаваючою крапкою на цифрових ЕОМ;

* нові підходи до рішення традиційних математичних задач (таких наприклад, як задача глобальної оптимізації, глобальне доказове рішення систем нелінійних рівнянь і т.д.)

Задачі з інтервальними невизначеностями і неоднозначностями є найважливішою сферою додатків інтервального аналізу, а сам інтервальний опис невизначеності - одним з найпопулярніших, разом з нечітким (розмитим) і вірогідністю (стохастичним) описами. При цьому може показатися, що інтервальний опис невизначеності являється якнайменше інформативним серед інших, “найскупішим” на деталі, оскільки враховує лише межі можливих значень невідомої величини. Але ця ж “скупість” обертається “економністю” інтервальних моделей і більшою розвиненістю математичного апрату для їх дослідження. Наприклад, ні в теорії нечітких множин, ні в теорії вірогідності не досягнуто тієї розвиненості методів рішення систем рівнянь з невизначеностями, як це має місце для інтервальних систем рівнянь.

Велику різноманітність постановок задач з інтервалами на вході доставляє ідентифікація в умовах невизначеності, коли дані про об'єкт, одержувані в результаті вимірювань, або яким-небудь іншим способом, не відомі точно, але нам все одно вимагається знайти або якось оцінити параметри об'єкту.

Аж до кінця минулого століття моделі невизначеності, що використовуються при оцінці параметрів і ідентифікації, мали, головним чином, стохастичний або вірогідність характер, грунтуючись на відомих розподілах даних величин і т.п. Але в багатьох практичних ситуаціях недостатньо інформації для того, щоб вважати невизначені чинники такими, що підкоряються якій-небудь моделі (наприклад, відсутня статистична однорідність результатів випробувань) вірогідності, або ці чинники можуть не задовольняти тим або іншим (часто вельми обтяжливим) умовам, які на них накладає модель вірогідності невизначеності. Такими є вимоги незалежності початкових величин або спеціальний вид їх розподілів і т.п.

В даний час інтервальне представлення чинників невизначеності привертає всю більшу увагу інженерів, як якнайменше обмежувальне і найадекватніше багатьом практичним постановкам задач.

4. Реалізація інтервальних обчислень на ЕОМ

інтервальний метод обчислення диференціальне рівняння

Інтервальний тип даних і інтервальна арифметика реалізуються на сучасних ЕОМ, наприклад, представленням інтервалу як пари чисел - одного для лівого кінця інтервалу, а іншого для правого. При цьому існуюче апаратне забезпечення, зокрема, арифметика чисел з плаваючою крапкою, використовуються без яких-небудь змін, оскільки коректність інтервальної арифметики, що виходить, може бути забезпечена так званими направленими округленнями. Наприклад, там, де в задачах зовнішнього інтервального оцінювання в процесі обчислень потрібне округлення результату, нижня межа інтервалу повинна округлятися вниз, а верхня межа інтервалу - вгору. Таким чином навіть неминучі помилки округлення при обчисленнях з плаваючою крапкою будуть строгі і систематично враховуються в процесі виконання інтервальної програми.

В даний час існує немало програмного забезпечення для низькорівневої підтримки інтервальних типів даних, а також відносин і операцій з ними. Воно реалізовано для найрізноманітніших платформ, причому значна його частина розповсюджується вільно. Першим комерційною мовою високого рівня, що підтримує інтервальний тип даних і інтервальну арифметику, став FORTE Fortran 95 американської Sun Microsystems Inc., випущений в травні 2000 року. Цікаво, що велика частина робіт із створення компілятора для FORTE Fortran 95 була виконана в Новосибірську в компанії «УніПро» (в 1997-2002 роках, під керівництвом А.В. Кулібаби). Цей інтервальний Фортран має багату бібліотеку вбудованих функцій і велику кількість опцій підготовки програм (http://docs.sun.com/source/817-5076/index.html.) В даний час є версія для операційної системи Solaris, яка розповсюджується вільно.

Загальна методологія інтервального компілятора FORTE Fortran 95, його стиль і проектні особливості вплинули майже на все інтервальні бібліотеки і пакети інтервальної арифметики, створені в світі після 2000 року. Та все ж Sun Microsystems не зробила наступний логічний крок: на додаток до низькорівневої мовної підтримки інтервальних обчислень повинен бути реалізований пакет специфічних інтервальних алгоритмів для вирішення задач, які часто зустрічаються в практиці математичного моделювання. В 2005-2006 роках такий пакет інтервальних алгоритмів був створений корпорацією Intel, як частина відомої математичної бібліотеки Intel MKL версій 8.X і 9.X (і ці роботи також були виконані в Новосибірську).

5. Проблеми використання інтервального аналізу

Створення пакетів програм для вирішення широкого кола задач науки і техніки є в даний час однією з актуальних проблем обчислювальної математики. В основі таких пакетів лежить модульна структура.

Як вже було відзначено, інтервальні методи виникли як засіб автоматичного обліку помилок округлення в обчислювальних процесах. Вживання інтервальних методів дозволяє укласти в інтервали рішення задач, про вхідні дані яких відоме лише те, що вони задані не точно, з деякою погрішністю. При цьому в одержані інтервали включаються і помилки округлень, що зустрічаються в процесі обчислень. Основним елементом в інтервальному численні є інтервал [а, b] визначеий, як безліч дійсних чисел х:{х|хR, а ? х ? b}. При завданні числа х в ЕОМ у вигляді машинного числа xм = fЬе допускається, взагалі кажучи, погрішність щодо початкового числа х. Величина відносної погрішності |х - xм|/|x| звичайно не перевершує одиниці останнього розряду мантиси Xм, що приводить до абсолютної погрішності (1/2) bе-р, або be-р, залежно від того, округлення або усікання останнього розряду дробової частини проводиться для даного типу ЕОМ. В термінах інтервального аналізу це означає, що число х, введене в машину у формі xм=f·Ье, насправді належить інтервалу [f·Ье - be-р, f·Ье + be-р], а відносна погрішність при записі машинного числа - інтервалу [b-р, b1-р].

Використовуючи для вирішення деякої поставленої задачі інтервальний алгоритм, можна одержати інтервальну функцію, що містить її точне рішення. При цьому досягається автоматичний облік точності одержаного рішення і можливий апріорний аналіз впливу помилок округлення.

Головною перешкодою на дорозі використання інтервального аналізу є непристосованість математичного забезпечення сучасних ЕОМ, відсутність як в алгоритмічних мовах високого рівня, так і в трансляторах для них засобів, що враховують специфічні вимоги інтервального числення. Враховуючи це, хорошим варіантом реалізації інтервальних методів на ЕОМ може служити пакет інтервальних операцій. Відомий ряд робіт із створення машинної реалізації інтервальних операцій, наприклад розвинена система Триплекс-Алгол, програми інтервальних арифметичних операцій на БЕСМ-6, пакет інтервальної арифметики. Виникає завдання створення інтервального пакету для ЕОМ.

Размещено на Allbest.ru