Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

• ВВЕДЕНИЕ
• 1. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА
• 2. ПОНЯТИЕ ЭЛЕМЕНТОВ МНОЖЕСТВА
• 3. ПОНЯТИЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ, ОБЪЕДИНЕНИЯ МНОЖЕСТВ И ИХ ЗАКОНЫ
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• ЛИТЕРАТУРА
• ВВЕДЕНИЕ
• В 70-х годах XIX века немецкий математик Георг Кантор, исследуя тригонометрические ряды и числовые последовательности, встал перед необходимостью сравнить между собой бесконечные совокупности чисел. Для решения возникших проблем Кантор и выдвинул понятие множества. Согласно канторовскому определению, множество есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое. В современной математике понятие множества является одним из основных. Универсальность этого понятия в том, что под него можно подвести любую совокупность явлений, предметов и объектов реального мира. Сами множества так же могут объединяться во множества. Это большое открытие в математике, поэтому тема данной работы актуальна и значима.
• Объект исследования - математические множества.
• Предмет исследования - элементы теории множеств.
• Цель проведенного исследования - определение понятий множеств, их элементов и способов оперирования множествами.
• На пути к поставленной цели решались следующие задачи: дать понятие множеству; выявить понятие элементов множеств; проанализировать понятия пересечения и объединения множеств; рассмотреть их законы.
• При выполнении работы использовались методы: определение, осмысление, обобщение, контент - анализ.
• Работа базировалась на трудах: Ф.Л. Варпаховского, А.С. Солодовникова, Л.А. Куликова, К. Куратовского, А. Мостовского, И.А. Лаврова, Л.Л. Максимовой, Е.С. Ляпина, А.Е. Евсеева и других.
• 1. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА
• До второй половины XIX века понятие «множества» не рассматривалось в качестве математического («множество книг на полке», «множество человеческих добродетелей» и т.д. - всё это чисто бытовые обороты речи). Положение изменилось, когда немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством» [3:23].
• Георг Кантор, исследуя тригонометрические ряды и числовые последовательности, встал перед необходимостью сравнить между собой бесконечные совокупности чисел. Для решения возникших проблем Кантор и выдвинул понятие множества. Согласно канторовскому определению, множество есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое. Это определение не накладывает никаких ограничений на природу элементов множества, что предоставляет нам значительную свободу. В частности, допустимо рассматривать множества, элементы которых по той или иной причине нельзя точно указать (например, множество простых чисел).
• Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее - дело рук человеческих»). Тем не менее, некоторые другие математики - в частности, Готлоб Фреге и Давид Гильберт - поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык [2:73].
• В начале XX века Бертран Рассел, изучая наивную теорию множеств, пришел к парадоксу (с тех пор известному как парадокс Рассела). Таким образом, была продемонстрирована несостоятельность наивной теории множеств и, связанной с ней, канторовской программы стандартизации математики.
• После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л.Э.Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования теоретико-множественных представлений. Другая же часть математиков, возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наименее ответственной за возникновение антиномий, на основе заведомо надёжной финитной математики [8:123].
• С этой целью были разработаны различные аксиоматизации теории множеств. Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики.
• В современной математике понятие множества является одним из основных. Универсальность этого понятия в том, что под него можно подвести любую совокупность явлений, предметов и объектов реального мира. Сами множества так же могут объединяться во множества. Например, математики говорят о множестве фигур на плоскости, о множестве тел в пространстве, но каждую фигуру, каждое тело они мыслят как множество точек.
• Таким образом, понятие совокупности, или множества, принадлежит к числу фундаментальных понятий, данных нам природой, и предшествует понятию числа. В своем первичном виде оно не дифференцируется на понятие конечного и бесконечного множеств.

2. ПОНЯТИЕ ЭЛЕМЕНТОВ МНОЖЕСТВА

Суть понятия «множество» вполне передается словами: «совокупность», «собрание», «набор» и т.д. Однако, как абстрактное математическое понятие «множество» неопределимо. Несмотря на это, определить какое-либо конкретное множество - задача не из трудных. Определить любое конкретное множество - значит определить, какие предметы (явления, объекты) принадлежат данному множеству, а какие не принадлежат. Иначе говоря, всякое множество однозначно определяется своими элементами [5:83].

Для того чтобы некоторую совокупность элементов можно было назвать множеством, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия: должно существовать правило, позволяющее определить, принадлежит ли указанный элемент данной совокупности; должно существовать правило, позволяющее отличать элементы друг от друга (Это, в частности, означает, что множество не может содержать двух одинаковых элементов).

Множества обозначаются прописными буквами латинского или готического алфавита: A, B, M, K. Если множество A состоит из элементов a, b, c, ... , это обозначается с помощью фигурных скобок: A = {a, b, c, ...}. Если «a» есть элемент A. Если же «a» не элемент множества A, то это записывают следующим образом: a A. Существует также является элементом множества A, то пишут «a» специальное, так называемое пустое множество, которое не содержит ни одного. Пустое множество элемента. Пустое множество обозначается символом и является частью любого множества.

Для того, чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат (или могут принадлежать). Это можно сделать различными способами: перечислением элементов: M = {m1, m2, ..., mn}; характеристическим условием (свойством):

M = {x | P(x)}; порождающим правилом:

M = {x | x = f(t)}.

Первый способ полностью описывает множество. Однако он применим только для конечных (а, вообще говоря, для конечно обозримых множеств). При задании множеств перечислением обозначения элементов обычно заключают в фигурные скобки и разделяют запятыми. В этом случае считается несущественным порядок перечисляемых элементов. Пример: Задание множества первых пяти нечетных натуральных чисел перечислением элементов: M = {1, 3, 5, 7, 9}.

Второй способ позволяет определить принадлежность элемента x множеству M и, поэтому, пригоден для описания не только конечных, но и бесконечных множеств. Характеристическое условие обычно задается в форме логического утверждения, которое может выражаться словами, математическими уравнениями, неравенствами. Если для данного элемента условие выполнено, то он принадлежит определяемому множеству, в противном случае не принадлежит. Характеристическое условие может состоять из нескольких условий: в таком случае в записи могут использоваться следующие знаки: равносильно «и» ; V - равносильно «или»; квантор всеобщности; квантор существования.

Задание множеств их характеристическим свойством иногда приводит к осложнениям. Может случиться, что два различных характеристических свойства задают одно и то же множество, т. е. всякий элемент, обладающий одним свойством, обладает и другим, и обратно. Пример: элемент x множества М есть целое число, квадрат которого меньше нуля.

M x2Z = {x | x < 0}

Третий способ задания множества сводится к построению конкретных представителей как конечных, так и бесконечных множеств. Порождающее правило описывает способ построения объектов, которые являются элементами определяемого множества. Пример: Зададим два множества перечислением:

M₁ := {1,2}; M2 := {1}

Зададим множество M₃ правилом построения его элементов:

M₃ M₂}.M₁, x2:= {x | x = (x₁,x₂), x₁

Правило читается следующим образом: Для того, чтобы построить элемент множества M₃, надо взять один объект из множества M₁, второй объект из множества M₂ и составить из них упорядоченную пару (часто говорят кортеж длины 2). Руководствуясь этим правилом, можно построить каждый элемент множества M₃: (1,1), (2,1).

Определение равенства множеств. Множества А и B равны, если они состоят из одних и тех же BB и обратно, из xA следует xэлементов, то есть, если из x Aследует x.

Формально равенство двух множеств записывается следующим образом:

А=В у B.A у xx | x

Равенство множеств А и В записывают в виде А=В.

Чтобы доказать равенство двух множеств, необходимо доказать, что:

x A Ю| x B;x

x B Ю| x A.x

Пример: равенство Ю, B= всех пустых множеств (A= A=B).

А - множество корней уравнения (x-1)(x-2)=0. B - множество, состоящее из элементов 1 и 2: B={1,2}. A=B.

Определение подмножества. Множество А является подмножеством множества В, если любой элемент, принадлежащий множеству А, принадлежит множеству В.

Формальная запись: A B. xA x | xB у

Если A является подмножеством B, то B называется надмножеством A.

Если среди данных множеств одно из них является подмножеством другого, это обозначает, что они связаны отношением включения.

Отношение «нестрогого включения» обозначается .

Отношение «строгого включения» обозначается .

BA обозначает, что множество A содержится в B, при чем А может быть равным множеству B. Строгое включение исключает такое равенство.

В.B, AA

Свойства отношения включения.

A A (рефлексивность).выполняется A

A, A Ю BB B выполняется A A=B (антисимметричность).

A, C Ю BB B, C выполняется A C (транзитивность).A

Пример: Пустое множество является подмножеством любого множества. Множество {2, 4, 6, 2n,} является собственным подмножеством множества натуральных чисел {1, 2, 3, 4} [6:56].

Таким образом, особенностью множеств является то, что они состоят из элементов, которые имеют свои обозначения и записываются с помощью знаков.

стандартизация множество аксиоматизация

3. ПОНЯТИЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ, ОБЪЕДИНЕНИЯ МНОЖЕСТВ И ИХ ЗАКОНЫ

Основными операциями над множествами являются объединение, пересечение и разность.

Определение объединения множеств. Суммой, или объединением произвольного конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и только B={xтех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В. A B}.A V x| x

Пример: A={1, B={1, 2, 3, 4, 5, 6}.3, 5}, B={2, 4, 6} A

Определение пересечения множеств. Произведением, или пересечением любого конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно. B =A B}. xA {x | x

Если множества заданы характеристическими свойствами своих элементов, то из В определения пересечения следует, что характеристическое свойство множества А составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».

Пример: A={1, B={1, 3}.3, 5}, B={1, 3, 7, 9}. A

Определение разности множеств. Разностью между множеством A и множеством B называется множество всех элементов из A, не являющихся элементами множества

B. A\B = {x | B}. xA x

Если множества А и В заданы характеристическими свойствами их элементов, то из определения объединения следует, что характеристическое свойство элементов множества А U В составляется из характеристических свойств элементов множеств А и В с помощью союза «или».

Пример: A={1, 3, 5, 18}, B={1, 3, 7, 9}. A\B={5, 18}.

Определение симметрической разности множеств. Симметрической разностью множеств A и B называется множество всех элементов из A, не являющихся элементами множества B в объединении с множеством всех элементов из B, не являющихся элементами (B\A).множества A.

A?B=(A\B)

Пример: A={1, 3, 5, 18}, B={1, 3, 7, 12}. A?B={5, 7, 12, 18}.

Определение абсолютного дополнения. Пусть A - подмножество U. Абсолютным дополнением множества A до множества U называется множество, содержащее все элементы множества U, которые не принадлежат множеству

A. A'=U\A, где U - универсальное множество. U=U\A={x | x A}. x

Обычно все рассматриваемые в ходе какого-либо рассуждения множества являются подмножествами некоторого множества U, которое называют универсальным. Например, для числовых множеств универсальным является R, для точечных множеств на плоскости - множество точек всей плоскости и т.д.

Приоритеты операций. Под приоритетом операции понимается порядок ее выполнения. Первой выполняется та операция, приоритет которой выше. Приоритет операции пересечения множеств выше приоритета операции объединения. Приоритет операции пересечения множеств выше приоритета операции вычитания. Объединение и вычитание множеств считают равноправными операциями.

Пример: А\В надо сначала выполнить вычитание (из А вычесть В), аВ выражении C затем полученное множество объединить с множеством С.

Свойства операций над множествами.

1. A=A (идемпотентность).A=A. AA, A

2. Пересечение и объединение множеств коммутативно (перестановочно): A A.B = BA ,B AA; B = B,B A

Доказательство: Эти B,Aсвойства вытекают из определения. Действительно, пусть x A).(BB)A. Отсюда (ABB, следовательно, xA и xтогда x B).(AA) Аналогично доказывается обратное утверждение (B A.B = BОтсюда A. Пусть ABB, но тогда xA, либо xB, тогда либо xAx B). (AA) A). Аналогично (B (BB) и (A A.B = B Следовательно, A

3. Пересечение и объединение множеств ассоциативно: для любых множеств A, B и C C).(BC=AB)C); (A(BC=AB)имеем A.

Доказательство: Пусть C, илиB) и x(AC, отсюда xB)(Ax A,C) и x(BC. Отсюда xB, xA, xx C).(BACB)C) и верно (A(BAследовательно, x C,A, xC), следует, что x(BAНаоборот, если x C.B)(AC)(BC и верно AB)(AB, откуда xx C. Аналогично доказываетсяB)C) = (A(BОтсюда A C.B)C) = (A(Bравенство множеств A.

4. BB = A; AB, то AДля любых множеств A, B справедливо: если A = B.

Доказательство: Пусть A. ПустьB, отсюда xA и xB, то есть xAx B.AB, отсюда xB следует, что xA. Из условия Aтеперь x B = A. Следовательно, A. Пусть B, и,B. Но AA или xB, тогда xA x B, то поB. Если xBB, Aследовательно, x BB. Отсюда AAB и верно включение BAопределению x = B.

5. Для любых множеств A, B и C справедливы равенства (свойство дистрибутивности):

a) C); (AB)C) = (A(BA

б) C). (AB)C) = (A(BA

Доказательство: а) C) >(BA и xC). Тогда x(BAПусть x CAB или xAC > xB или xA, xx C)(BC) > A(AB) (A> x C).(AB) (AC). Пусть x(AB)(A B)A, xС)>(x(AB) или x(AТогда x C)(BAC>xB или xA и xC) > xA, xили (x C).(B AC)(AB)и отсюда (A C).(AB)C) = (A(B Окончательно имеем A. б) C) (BA или xC). Тогда x (BAПусть x B)A или xC) > (xB и xA или (x> x C) (AB) (AC) > xA или xи (x C). (AB) (AC) (B> A C). Тогда x (AB) (AОбратно, пусть x AB) и (xA или xC) > (x (AB) и x(A AC) > xB и xA или (xC) > или xили x AC) (AB)C), то есть (A(B B)C) = (A (BC). Следовательно, A(B C).(A

6. Законы де Моргана.

7. A справедливо. Свойства универсального и пустого множества: U=U;A=A;A U=A;A; =A; A;A\.

8. A справедливоСвойства абсолютного дополнения: A=U;; .A=.

9. Частные свойства разности множеств: Если , то А\В=А;B=A

Если ;B, то А\В=A А\В В);= А\(А; A\A ;= A\ =A [1:223].

Таким образом, пересечение и объединение множеств происходит по математическим законам.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Георг Кантор, исследуя тригонометрические ряды и числовые последовательности, встал перед необходимостью сравнить между собой бесконечные совокупности чисел. Для решения возникших проблем Кантор и выдвинул понятие множества, согласно которому, множество есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое.

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. В начале XX века Бертран Рассел, пришел к парадоксу, продемонстрировав несостоятельность наивной теории множеств и, связанной с ней, канторовской программы стандартизации математики. Были разработаны различные аксиоматизации теории множеств, в рамках которых множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики.

В современной математике понятие множества является одним из основных. Универсальность этого понятия в том, что под него можно подвести любую совокупность явлений, предметов и объектов реального мира. Основными операциями над множествами являются объединение, пересечение и разность.

Под приоритетом операции понимается порядок ее выполнения. Первой выполняется та операция, приоритет которой выше. Приоритет операции пересечения множеств выше приоритета операции объединения. Приоритет операции пересечения множеств выше приоритета операции вычитания. Объединение и вычитание множеств считают равноправными операциями.

Таким образом, элементы теории множеств дают неограниченные возможности операции с математическими числами и понятиями.

ЛИТЕРАТУРА

1. Варпаховский Ф.Л. Алгебра. Элементы теории множеств. Линейные уравнения и неравенства. Матрицы и определители / Ф.Л. Варпаховский, А.С. Солодовников. - М.: Гардарики, 2004. - 160 с.

2. Куликов Л.А. Алгебра и теория чисел / Л.А. Куликов. - М.: Вече, 2009. - 560 с.

3. Куратовский К. Теория множеств / К. Куратовский, А. Мостовский. - М.: Мир, 2000. - 321 с.

4. Лавров И.А. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов / И.А. Лавров, Л.Л. Максимова. - М.: Наука, 2005. - 240 с.

5. Ляпин Е.С. Алгебра и теория чисел / Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев. - М.: Просвещение, 2004. - 383 с.

6. Прахар К. Распределение простых чисел / К. Прахар. - М.: Мир, 2007. - 511 с.

7. Солодовников А.С. Системы линейных неравенств / А.С. Солодовников. - М: Наука, 2008. - 289 с.

8. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре / Д.К. Фадеев. - М.: Наука, 2004. - 416 с.

Размещено на Allbest.ru