Многообразие геометрий

Размещено на http://www.allbest.ru/

25

Муниципальное учреждение

Гимназия № 57

РЕФЕРАТ

ПО МАТЕМАТИКЕ:

МНОГООБРАЗИЕ ГЕОМЕТРИЙ

Выполнила: Баскакова С.А.

Проверила: Петрова Е.В.

Содержание

1. Для чего нужны различные геометрии

2. Как определяется тип геометрии

2.1 Аксиоматический подход в геометрии

2.2 Метод координат

2.3 Определение геометрии по группе преобразований

3. Проективная плоскость и ее основная (проективная) геометрия

3.1 Точки и прямые проективной плоскости

3.2 Группа коллинеаций и порожденная ею проективная геометрия

4. Построение некоторых типов геометрий на основе проективной

4.1 Аффинная геометрия

4.2 Евклидова геометрия

4.3 Геометрия Минковского

Заключение

Список литературы

Приложение

1. Для чего нужны различные геометрии

Геометрия - это греческое слово, происходящее от слов гео - Земля и метрон - измерение. Таким образом, само слово показывает, что возникновение геометрии связано с землемерием. Элементы геометрической науки зародились в глубокой древности, более 4000 лет назад. Однако лишь со времен Пифагора (V в. до н. э.), после доказательства его знаменитой теоремы, геометрия в интеллектуальном смысле отделилась от искусства измерения, а спустя два столетия усилиями Евклида она превратилась в цельную научную систему. В то время были созданы основы евклидовой геометрии.

Ближе к нашему времени параллельно с развитием других наук развивалась и геометрия. В сути своей оставаясь неизменной, она расширила свои методы и предмет исследования. Так, в эпоху Возрождения на основе теории перспективы, созданной в живописи, появилась проективная геометрия. Ее главное отличие от евклидовой геометрии состоит в том, что в ней нет параллельных прямых. Развитие проективной геометрии было обусловлено потребностями начертательной геометрии в архитектуре и инженерии того времени. В начале XIX века, как бы возвращаясь к проблеме землемерия на новом уровне, создается дифференциальная геометрия, призванная проводить измерения (вычисления) на искривленных фигурах - поверхностях. Эти исследования привели к появлению неевклидовых геометрий, связанных с такими именами, как К.Ф. Гаусс, Н.И. Лобачевский, Г.Б, Риман. Неевклидовы геометрии сыграли определяющую роль при построении А. Эйнштейном теории относительности, в которой необходимо было принять факт искривленности окружающего нас пространства.

Большое влияние на развитие геометрической науки в XX веке оказали исследования в физике, химии и биологии на уровне микроявлений, происходящих в пределах малых расстояний. При этом геометрия стала терять наглядность, поскольку наш глаз не может созерцать явления на уровне микромира - мира атомов и молекул, для описания которого были привлечены многомерные и даже бесконечномерные пространства.

Упомянутые геометрии составляют далеко не полный перечень всего многообразия существующих геометрий. Вопросы, связанные с основаниями геометрии, очень тесно переплетаются с интересами психологии и теории познания в целом, которые сами исследуют вопрос о том. как возникают пространственное воображение и интуиция, и о том, имеем ли мы право пользоваться математическими методами для изучения окружающего нас пространства. Принятие того ил» иного типа геометрия всегда зависит от характера исследуемой проблемы. Сама же необходимость построения многих различных геометрий связана исключительно со сложной природой окружающего нас мира.

2. Как определяется тип геометрии

2.1 Аксиоматический подход в геометрии

Как уже говорилось, элементы геометрической науки зародились в глубокой древности. По мере накапливания сведений о метрических соотношениях в треугольниках и других фигурах стали появляться сравнительно строгие логические доказательства геометрических утверждений. Систематизация этих сведений и утверждений позволила Евклиду в III в. до н.э. сформулировать основные положения (аксиомы), из которых логическими умозаключениями выводились различные свойства простейших фигур на плоскости и в пространстве. Так сформировалась исторически первая геометрическая система - евклидова геометрия.

Под геометрической системой в данной ситуации понимается аксиоматика евклидовой геометрии, в которой основными (неопределяемыми) объектами служат точки, прямые и плоскости, а отношения между этими объектами выражены словами "принадлежит", "между", "конгруэнтен". Природа основных объектов и отношений между ними может быть какой угодно, лишь бы эти объекты и отношения удовлетворяли заданной системе аксиом (например, в системе аксиом евклидовой геометрии, предложенной в 1898 году Давидом Гильбертом, число таких аксиом 20). Упомянутые объекты, отношения и аксиомы должны быть такими, чтобы из них можно было логически вывести все содержание геометрии, не обращаясь далее к интуиции.

2.2 Метод координат

Геометрическую систему (или, более кратко, геометрию) можно строить не только на основе аксиоматического подхода. В этом направлении весьма плодотворным оказался метод координат, введенный Рене Декартом в XVII столетии. Введение координат для описания точек в пространстве или на плоскости сыграло большую роль в развитии таких отраслей точного естествознания, как небесная механика, гидродинамика, теория упругости и т.д. Фактически Декарт придумал координаты для построения модели евклидовой геометрии, ибо он реализовал неопределяемый в аксиоматической теории объект - точку в виде тройки чисел (х, у, z) в пространстве или в виде пары чисел (х, у) на плоскости, а прямую и плоскость задал как совокупность решений некоторых уравнений. Плодотворность метода координат была обусловлена возможностью применения математического анализа (ибо здесь мы имеем дело с числами), поэтому геометрическую систему, основанную на методе координат, называют аналитической геометрией.

2.3 Определение геометрии по группе преобразований

Различные геометрии можно строить как в рамках аксиоматического, так и координатного подходов. Схема такого построения была предложена Феликсом Клейном в его знаменитой Эрлангенской программе 1872 года (см.[1] или [2]). Сущность этой программы состоит в следующем. Как известно, в евклидовой геометрии фигуры сравнивают между собой посредством наложения одной на другую. При этом наложение осуществляется с помощью движения (перемещения), которое в случае геометрии плоскости сводится к последовательному применению таких преобразований (процедур), как параллельный перенос, вращение или зеркальное отражение. Эти преобразования характеризуются тем, что сохраняют расстояния между точками. Вместо движений можно выбрать какую-нибудь иную совокупность геометрических преобразований и объявить равными фигуры, получающиеся одна из другой с помощью преобразований этой совокупности; это приведет к иной геометрии, изучающей свойства фигур, не меняющиеся при рассматриваемых преобразованиях. Естественно потребовать, чтобы введенное равенство удовлетворяло следующим условиям:

1) каждая фигура F равна сама себе;

2) если фигура F равна фигуре F', то и F' равна F;

3) если фигура F равна F', а F' равна F'', то и F равна F".

Свойство 3) подчеркивает, что если одно преобразование нашей совокупности переводит F в F', a другое переводит F в F", то преобразование, состоящее в последовательном применении этих двух, должно также включаться в данную совокупность преобразований. Очевидно, второе свойство требует, чтобы наряду с любым преобразованием (переводящим F b F') в данную совокупность входило и преобразование, возвращающее точки на место; такое преобразование называется обратным к первоначальному. Наконец, свойство 1) позволяет заключить, что в совокупность преобразований входит такое, которое любую фигуру переводит в себя, то есть оставляет все точки неподвижными; такое преобразование называется тождественным или единичным. Если совокупность преобразований плоскости или пространства обладает отмеченными свойствами:

1) содержит тождественное преобразование,

2) наряду с каждым преобразованием содержит обратное к нему,

3) вместе с любыми двумя преобразованиями содержит такое, которое равносильно их последовательному применению, то такая совокупность называется группой преобразований.

Теория, которая изучает свойства фигур, сохраняющихся при всех преобразованиях данной группы, называется геометрией этой группы. Выбор различных групп преобразований приводит к разным геометриям. Так, рассмотрение группы движений приводит к обычной евклидовой геометрии. Проективная геометрия возникает при рассмотрении группы проективных преобразований, переводящих прямые в прямые. Клейн показал [1], что многие геометрии можно получить рассмотрением подгрупп группы проективных преобразований. Некоторые из этих геометрий мы опишем ниже, а сейчас точно определим понятие проективной плоскости и ее геометрии.

3. Проективная плоскость и ее основная (проективная) геометрия

3.1 Точки и прямые проективной плоскости

Понятие проективной плоскости можно определить аксиоматически, подобно тому как это делается в планиметрии Евклида. Для этого в системе аксиом евклидовой плоскости аксиому о существовании параллельных прямых надо заменить на следующую: любые две прямые пересекаются. Идея такою видоизменения евклидовой плоскости принадлежит Жирару Дезаргу (1639 год), который был архитектором по профессии. Эту идею Дезарг заимствовал из теории перспективы, созданной художниками.

Суть понятия перспективы состоит в том, что лучи света, исходящие из каждой видимой точки предмета в направлении глаза зрителя, оставляют изображение на сетчатке глаза. Теперь представим себе, что между глазом S и предметом установлена прозрачная плоская пластинка в (рис. 1). Каждый луч, направленный от видимой точки Р к глазу, пересечет пластинку в одной точке P'. Совокупность таких точек и даст изображение (перспективу) предмета на холсте или бумаге художника, расположенной в плоскости пластинки в. В частности, если в качестве видимых предметов взять две параллельные прямые в плоскости а (например, рельсы железной дороги), то по мере удаления точек Р, Q вдоль этих прямых их изображения P', Q' будут сливаться в одну точку Т '. Тем самым можно считать, что прямые l₁ и l₂ пересеклись на линии горизонта в некоторой точке Т. Эта точка не принадлежит созерцаемой глазом S плоскости б, в то время как на в для нее существует изображение Т'. Таким образом, на холсте художника изображения любых прямых пересекаются.

Размещено на http://www.allbest.ru/

25

С использованием метода координат реализацию проективной плоскости можно осуществить следующим образом. Рассмотрим в пространстве R-

переменных х₁ , х₂, х₃ совокупность всех плоскостей, проходящих через начало координат О = (0, 0, 0). Очевидно, любые две такие плоскости либо совпадают, либо пересекаются по прямой. Поэтому, объявив в качестве точек проективной плоскости прямые в R³ , проходящие через О, а в качестве прямых -плоскости в R³ проходящие через О, мы обеспечим выполнение указанной выше аксиомы о пересечении любых двух прямых. Нетрудно убедиться, что при такой реализации точек и прямых выполнятся все аксиомы проективной плоскости.

Итак, запас точек проективной плоскости реализован в виде множества всех прямых в R³, проходящих через О. Заметим, что каждая такая прямая определяется любой своей точкой (х₁, х₂, х₃ ) ? О, ибо через О и эту точку в R³ можно провести единственную прямую. При этом для любой точки (х₁, х₂, х₃ ) ? О фиксированной прямой l R³ отношения х₁, х₂, х₃ одни и те же. Тем самым точки проективной плоскости можно характеризовать тройками чисел х₁, х₂, х₃, определенными с точностью до общего множителя, причем хотя бы одно из чисел х₁, х₂, х₃ отлично от нуля. Такие тройки чисел называются проективными (или однородными) координатами для точки проективной плоскости, которую они определяют. Сопоставим приведенную реализацию проективной плоскости с рис. 1, поясняющим понятие перспективы в живописи. Для этого предположим, что глаз наблюдателя находится в точке О -- начале координат пространства R³ и что роль пластинки в играет плоскость {х = (х₁, х₂, х₃) R³ :x₃= 1}, которая параллельна плоскости, содержащей оси Ох₁ и Ох₂,и пересекает ось Ox₃ при х₃= 1 (рис. 2). Плоскость, содержащая оси Ох₁ и Ох_{2 ,}задается уравнением х₃ = 0. Глаз наблюдателя созерцает все точки любой прямой, проходящей через О, как одну точку. И это обстоятельство нас вполне устраивает, ибо каждая такая прямая и была объявлена точкой проективной плоскости.

Каждая прямая l, не лежащая в плоскости {х₃ = 0}, пересекает плоскость в = {х₃ = 1}в единственной точке. Следовательно, отождествив такое множество прямых с плоскостью в, можно считать, что проективная плоскость слагается из евклидовой плоскости в и множества прямых в плоскости { х₃ = 0}, проходящих через О. Последнее множество прямых определяет проективную прямую. Таким образом проективную плоскость можно представлять как евклидову плоскость R² с добавленной бесконечно удаленной прямой. Если R² имеет координаты Х_1, Х₂, то ее вложение в проективную плоскость осуществляется взаимно однозначным соответствием

(Х_1, Х₂ ) - (Х₁ :Х₂ : 1).

Если точка х₁ : х₂ : х₃ не принадлежит бесконечно удаленной прямой, то есть х₃ = 0, то при указанном соответствии она сопоставляется точке (Х_1, Х₂ ) = (х₁ \х₃ , х₂ \х₃ ). Часть проективной плоскости, характеризуемая условием х₃ = 0, называется ее аффинной частью (плоскостью), а координаты (пригодные для этой части по причине того, что х₃ = 0), определенные по проективным координат х₁ : х₂ : х₃ , называются аффинными координатами.

3.2 Группа коллинеаций и порожденная ею проективная геометрия

После приведенного описания проективной плоскости мы можем поставить вопрос об определении группы преобразований проективной плоскости. Эта группа определяется тем свойством, что каждое входящее в нее преобразование переводит любую прямую проективной плоскости опять же в прямую. Всякое такое преобразование называется коллинеацией, или проективным преобразованием. Описание таких преобразований дает следующая

Теорема Мёбиуса. Всякое проективное преобразование проективной плоскости задается формулами вида

где коэффициенты а таковы, что при рассмотрении системы (2) в качестве системы уравнений относительно х_{1 ,} х₂ ,х₃ она должна быть разрешимой при любых (х₁ *, х₂ *,х₃*) ? О.

Доказательство теоремы Мёбиуса несложное (хотя и не совсем простое); его можно прочитать в книге Клейна [1, с. 139-1421].

Указанное в теореме условие разрешимости х от х* равносильно тому, что наряду с самим преобразованием х > х* в группу проективных преобразований входит и обратное к нему преобразование. Единичное преобразование х*= х имеет вид (2) при a₁₁ = a₂₂ = a₃₃ = 1 и a₁₂ = a₁₃ = a₂₃ = a₂₁ = a₃₁ = a₃₃ = 0 Нетрудно также проверить, что если наряду с преобразованием (2), переводящим х в х*, рассмотреть преобразование х* > х**, имеющее вид (2) с некоторыми коэффициентами b_ij, то преобразование х > х** также будет иметь вид (2).

Следует заметить, что группа преобразований вида (2) весьма обширная, поскольку она выделена всего одним условием о переводе прямых в прямые. Ввиду обширности этой группы определяемая ею проективная геометрия является бедной в том смысле, что в такой геометрии мало различных фигур (напомним, что в геометрии заданной группы две фигуры неразличимы (равны или конгруэнтны), если они переводятся друг в друга некоторым преобразованием группы, и чем больше преобразований в группе, тем больше фигур, не различимых с данной фигурой). В частности, в проективной геометрии любые треугольники равны между собой, а также равными между собой являются все эллипсы, гиперболы и параболы. Для иллюстрации сказанного рассмотрим кривую х₁² + х₂ ² -х₃² = 0, которая (после деления уравнения на х₃²) в аффинных координатах (1) представляет собой окружность х₁² + х₂ ² = 1. В результате действия проективным преобразованием х₁* = х₁, x₂* = х_3, х₃* = х₂ эта окружность перейдет в кривую (х₁*) ² + (х₃*) ² - (х₂*)² = 0, представляющую в аффинных координатах гиперболу (X₂* )² - (X₁*) ² = 1. Если же на эту окружность действовать преобразованием х₁* = x₁, х₂* = -x₂ +х_э, х₃* = x₂ + x₃ , то она перейдет в параболу X₂* = (X₁*)².

4. Построение некоторых типов геометрий на основе проективной

геометрия проективный координата

Заслуга Клейна состоит не только в том, что он связал тип выбираемой геометрии на данном множестве с группой преобразований множества. Клейн показал, что многие типы геометрий могут быть получены на основе проективной геометрии, исторически первой, отличной от евклидовой геометрической системы. С этой целью он предложил рассматривать группы преобразований, которые являются подгруппами группы проективных преобразований (2). Сама же подгруппа выделяется заданием некоторой геометрической фигуры (как правило, расположенной в проективной плоскости), которая переходит в себя при всех преобразованиях заданной полгруппы. Эту фигуру Клейн называл данным образом. Мы, следуя книге [2], назовем ее абсолютом, так как она выделяется абсолютным свойством - неизменностью относительно преобразований подгруппы. Будучи подмножеством проективной плоскости (или ее некоторого расширения), абсолют является потусторонней фигурой для новой геометрии, то есть элементы абсолюта не являются точками или прямыми геометрии, построенной по этому абсолюту. Теперь приведем несколько примеров абсолютов и порождаемых ими геометрий.

4.1 Аффинная геометрия

Построим так называемую аффинную геометрию, выбрав в качестве абсолюта любую прямую в проективной плоскости. Для удобства в качестве такой прямой выберем такую, которая в проективных координатах х₁: х₂: х₃ определяется уравнением х₃ = = 0. Ясно, что среди преобразований (2) прямую х₃ = 0 переводят в х₃*= 0 те и только те преобразования, которые имеют вид

где a₃₃ ? 0. Условие взаимной однозначности, как нетрудно проверить, состоит в том. что а₁₁а₂₂-а₂₁а₁₂ ? 0. Преобразования вида (3) называются аффинными. Они обладают тем свойством, что переводят аффинную часть х₃ ? 0 в себя, поэтому их можно рассматривать как преобразования этой аффинной части, забыв об абсолюте {х₃ = 0}. Разделив в (3) первое и второе уравнения на третье, получим, что в аффинных координатах преобразование (3) запишется в виде

с ненулевым определителем Д = а₁ b₂ - a₂b₁. Таким образом, мы получаем геометрию с набором точек, состоящим из плоскости R² переменных Х_{1 ,} Х₂ , и группой преобразований вида (4). Такая геометрия называется аффинной. В ней, как и в проективной геометрии, неразличимы любые треугольники. Однако с кривыми второго порядка ситуация уже другая: типы кривых сохраняются (эллипсы переходят В эллипсы, гиперболы - в гиперболы и параболы -в параболы).

4.2 Евклидова геометрия

Как уже говорилось, элементы абсолюта, по которому строится новая геометрия, не входят в эту геометрию. Наряду с выражением "потусторонняя фигура" к абсолюту можно применить термин "воображаемая" или "мнимая" фигура. Последний термин особенно уместен, когда абсолют рассматривается как множество корней некоторых уравнений, поскольку уравнения могут иметь мнимые (комплексные) корни. Такая ситуация возникает, например, если в качестве абсолюта рассмотреть множество корней системы двух уравнений х₁² + х₂² = 0, х₃ = 0. Эта система не имеет вещественных корней, поскольку среди вещественных чисел ей удовлетворяет лишь тройка (0, 0, 0), которая не определяет точки проективной плоскости. Однако на множестве комплексных чисел совокупность решений непустая и состоит из двух точек А₁ = (1 : i : 0), А₂ = (1: - i : 0). Итак, рассматриваемый здесь абсолют состоит из двух мнимых точек А₁ , и А₂ .

Так как абсолют должен обладать свойством инвариантности относительно отыскиваемой группы преобразований, то каждое преобразование этой группы должно переводить либо А₁ в А₂ , А₂в А₂ (оставлять на месте точки А₁ и А₂), либо А₁ в А₂ , А₂ в А₁ (менять местами эти точки). И поскольку третья координата х₃, обеих точек A₁, А₂ равна нулю, из третьего равенства в (2) получаем 0 = а₃₁ М1 ± а₃₂Мi + а₃₃ М 0. Но это возможно только при а₃₁ = а₃₂= 0. Таким образом, преобразования, оставляющие инвариантной пару точек А₁ , А₂, имеют вид (3), однако обладают и дополнительным свойством: при х₃ = 0 они сохраняют уравнение х₁² + х₂² = 0.Последнее означает, что (x₁*)² + (x₂*)² = л(x₁² + x₂²), или где л - некоторое ненулевое число. Поскольку нас интересуют решения с точностью до отношения х₁ : х₂ : х_{3 ,} можно считать л = 1. Несложный анализ показывает, что условию (5) удовлетворяют лишь коэффициенты a_ij вида

где ц -- некоторый свободный параметр. Подставляя эти выражения в (3), после деления первого и второго уравнений на третье, получим, что в аффинных координатах искомые преобразования (оставляющие инвариантной пару точек А₁, А₂) имеют вид

В случае, когда а₃₃ = 1, преобразование (6) осуществляет вращение плоскости на угол ц (против часовой стрелки) с последующим параллельным переносом на вектор (с₁, с₂), а преобразование (7) -- зеркальное отражение относительно прямой Х₂ = tgцМХ₂ с последующим аналогичным переносом. Легко видеть, что при а₃₃ = 1 преобразования вида (6) и (7) образуют группу преобразований, которые и составляют группу движений евклидовой геометрии. Среди всех других преобразований евклидовой плоскости они выделяются тем, что сохраняют евклидово расстояние между точками, которое определяется по формуле

4.3 Геометрия Минковского

Построим геометрию, которая используется в физике, а именно в специальной теории относительности. Для этого в качестве абсолюта возьмем пару точек В₁ = (1 : -1 : 0), В₂ = (1 : 1 : 0). Также, как и точки А₁, А₂, участвующие при построении евклидовой геометрии, эти точки расположены на прямой х₃ = 0. Поэтому всякая коллинеация (2), оставляющая инвариантной пару {В₁, В₂}, переводит в себя и всю прямую, проходящую через точки В₁ и В₂ , а это и есть прямая х₃ = 0. Отсюда заключаем, что связанная с абсолютом {В₁, В₂} группа преобразований есть подгруппа группы аффинных преобразований (3). Поскольку пара точек{В₁, В₂} определяется как множество решений системы уравнений

х₁² + х₂² = 0, х₃ = 0, эта группа выделяется требованием

(аналогичным (5))

Указанное требование дает

Отсюда видно, что а₁₁ ? 0. Положим v = а₂₁/а₁₁. Тогда система уравнений (9) легко решается, и, подобно выводу (6) и (7), находим формулы искомых преобразований в аффинных (неоднородных) координатах:

где знаки совпадаю при Х₁ и независимо от этого при Х₂, так что существуют всего четыре возможности выбора знаков.

Для двух точек Х= (Х₁ , Х₂), Y= (Y₁, Y₂) в (Y₁ - X₁ )² - (Y₂ - X₂)² является инвариантом относительно преобразований (10), поэтому по аналогии с евклидовой метрикой (8) выражение

можно принять за метрику, с помощью которой вычисляется расстояние между точками Х и Y. Эта метрика называется псевдоевклидовой. Геометрия с такой метрикой называется геометрией Минковского.

Геометрия Минковского оказалась весьма полезным языком специальной теории относительности, поскольку в формуле (10) заложен факт постоянства скорости света в любой системе отсчета - один из основных постулатов этой теории.

Заключение

Мы рассмотрели лишь некоторые типы геометрий, основанные на проективной. О ряде других геометрий можно прочитать в книге [2]. Среди них весьма важными являются (гиперболическая) геометрии Лобачевского и (эллиптическая) геометрия Римана, которые строятся по абсолютам, являющимися кривыми второго порядка. Мы также не смогли здесь коснуться такой могущественной геометрической дисциплины, как топология, которая изучает геометрические объекты с точностью до непрерывных преобразований (деформаций) и которая в какой-то мере была законодательницей геометрической моды в XX столетии. Наконец, укажем еще одну новейшую геометрию, которую физики пытаются сейчас применить в проблеме соединения теории гравитации и квантовой теории поля. Она обобщает проективную геометрию и называется торической геометрией.

Список литературы

1. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. М.: Наука, 1987. Т. 2: Геометрия. 416 с.

2. Щербаков Р.Н., Пичурин Л.Ф. От проективной геометрии -- к неевклидовой. М. Просвещение, 1979. 158 с.

3. Винберг Э.Б. О неевклидовой геометрии // Соросовский Образовательный Журнал. 1996.№3. С. 104-109.

4. Цих А.К. Многообразие геометрий // Соросовский Образовательный Журнал. 1999.№2. С. 122-127.

Приложение

ЛОБАЧЕВСКИЙ Николай Иванович (1792-1856), русский математик, создатель неевклидовой геометрии (геометрии Лобачевского). Ректор Казанского университета (1827-46). Открытие Лобачевского (1826, опубликованное 1829-30), не получившее признания современников, совершило переворот в представлении о природе пространства, в основе которого более 2 тыс. лет лежало учение Евклида, и оказало огромное влияние на развитие математического мышления. Труды по алгебре, математическому анализу, теории вероятностей, механике, физике и астрономии.

ЛОБАЧЕВСКИЙ Николай Иванович [2 ноября (11 декабря) 1792 Нижний Новгород -- 12 (24) февраля 1856 Казань], русский математик, создатель неевклидовой геометрии.

Педагогическая деятельность

Родился в небогатой семье мелкого служащего. Почти вся жизнь Лобачевского связана с Казанским университетом, в который он поступил по окончании гимназии в 1807. По окончании университета в 1811 стал математиком, в 1814 -- адъюнктом, в 1816 -- экстраординарным и в 1822 -- ординарным профессором. Дважды (1820-22 и 1823-25 гг.) был деканом физико-математического факультета, а с 1827 по 1846 -- ректором университета.

При Лобачевском Казанский университет достиг расцвета. Обладавший высоким чувством долга, Лобачевский брался за выполнение трудных задач и всякий раз с честью выполнял возложенную на него миссию. Под его руководством в 1819 была приведена в порядок университетская библиотека. В 1825 Лобачевский был избран библиотекарем университета и оставался на этом посту до 1835, совмещая (с 1827) обязанности библиотекаря с обязанностями ректора. Когда в университете началось строительство зданий, Лобачевский вошел в состав строительного комитета (1822), а с 1825 возглавил комитет и проработал в нем до 1848 (с перерывом в 1827-33 гг.).

По инициативе Лобачевского начали издаваться «Ученые записки Казанского университета» (1834), были организованы астрономическая обсерватория и большой физический кабинет.

Активная университетская деятельность Лобачевского была пресечена в 1846, когда Министерство просвещения отклонило ходатайство ученого совета университета в оставлении Лобачевского не только на кафедре, но и на посту ректора. Незаслуженный удар был тем более ощутим, что Министерство удовлетворило испрашиваемую в том же ходатайстве просьбу ученого совета об оставлении на кафедре астронома И. М. Симонова, участника экспедиции Ф. Ф. Беллинсгаузена и М. П. Лазарева (1819-21 гг.) к берегам Антарктиды.

Неевклидова геометрия

Величайшим научным подвигом считается создание им первой неевклидовой геометрии, историю которой принято отсчитывать от заседания Отделения физико-математических наук в Казанском университете 11 февраля 1826, на котором Лобачевский выступил с докладом «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». В протоколе заседания об этом великом событии следующая запись: «Слушано было представление Г. Орд. Профессора Лобачевского от 6 февраля сего года с приложением своего сочинения на французском, о котором он желает знать мнение членов Отделения и, ежели оно будет выгодно, то просит сочинение принять в составление ученых записок Физико-математического факультета».

В 1835 Лобачевский кратко сформулировал побудительные мотивы, которые привели его к открытию неевклидовой геометрии: «Напрасное старание со времен Евклида в продолжении двух тысяч лет заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, Астрономические наблюдения. В справедливости моей догадки будучи наконец убежден и почитая затруднительный вопрос решенным вполне, писал об этом я рассуждение в 1826 году».

Лобачевский исходил из допущения, согласно которому через точку, лежащую вне данной прямой, проходит несколько прямых, не пересекающихся с данной прямой. Развивая следствия, проистекающие из этого допущения, которое противоречит знаменитому V постулату (в других вариантах 11-ой аксиоме) «Начал» Евклида, Лобачевский не убоялся сделать дерзкий шаг, перед которым из опасения противоречий останавливались его предшественники: построить геометрию, противоречащую повседневному опыту и «здравому смыслу» -- квинтэссенции повседневного опыта.

Ни комиссия в составе профессоров И. М. Симонова, А. Я. Купфера и адъюнкта Н. Д. Брашмана, назначенная для рассмотрения «Сжатого изложения», ни другие современники Лобачевского,в том числе выдающийся математик М. В. Остроградский, не смогли по достоинству оценить открытие Лобачевского. Признание пришло лишь через 12 лет после его кончины, когда в 1868 г. Э. Бельтрами показал, что геометрия Лобаческого может быть реализована на псевдосферических поверхностях в евклидовом пространстве, если за прямые принять геодезические.

К неевклидовой геометрии пришел также Янош Бойяи, но в менее полной форме и на 3 года позже (1832).

Дальнейшее развитие идей Лобачевского

Открытие Лобачевского поставило перед наукой по крайней мере два принципиально важных вопроса, не поднимавшихся со времен «Начал» Евклида: «Что такое геометрия вообще? Какая геометрия описывает геометрию реального мира?». До появления геометрии Лобаческого существовала только одна геометрия -- евклидова, и, соответственно, только она могла рассматриваться как описание геометрии реального мира. Ответы на оба вопроса дало последующее развитие науки: в 1872 Феликс Клейн определил геометрию как науку об инвариантах той или иной группы преобразований (различным геометриям соответствуют различные группы движений, т.е. преобразований, при которых сохраняются расстояния между любыми двумя точками; геометрия Лобачевского изучает инварианты группы Лоренца, а прецизионные геодезические измерения показали, что на участках поверхности Земли, которые с достаточной точностью можно считать плоскими, выполняется геометрия Евклида). Что же касается геометрии Лобачевского. то она действует в пространстве релятивистских (т.е. близких к скорости света) скоростей. Лобачевский вошел в историю математики не только как гениальный геометр, но и как автор фундаментальных работ в области алгебры, теории бесконечных рядов и приближенного решения уравнений.

ЛОБАЧЕВСКОГО ГЕОМЕТРИЯ

Лобачевского геометрия, построенная в 1826 Н. И. Лобачевским геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы (постулата) о параллельных. Евклидова аксиома гласит: в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну, и только одну, прямую, параллельную данной, т. е. ее не пересекающую. В геометрии Лобачевского эта аксиома заменена следующей: в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести более одной прямой, не пересекающей данной. В геометрии Лобачевского многие теоремы отличны от аналогичных теорем евклидовой геометрии; напр., сумма углов треугольника меньше двух прямых, два подобных треугольника всегда равны между собой. Несмотря на внешнюю парадоксальность этих выводов, геометрия Лобачевского оказалась логически совершенно равноправной с евклидовой. Открытие неевклидовой геометрии Лобачевского внесло коренные изменения в представления о природе пространства.

Размещено на Allbest.ru