Исследование функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Понятие о функции двух переменных

Пусть - некоторое множество точек плоскости. Правило , ставящее в соответствие точке (упорядоченной паре действительных чисел) единственное число z из множества действительных чисел называется функцией двух переменных и обозначается . Множество при этом называется областью определения функции.
Функцию двух переменных можно изобразить графически. Для этого в каждой точке вычисляется значение функции . Тогда тройка чисел определяет в системе декартовых координат в пространстве некоторую точку Р с координатами . Совокупность точек образует график функции , который является некоторой поверхностью в трехмерном пространстве (рис. 1).

2. Линии уровня

В некоторых случаях наглядное представление о функции двух или трёх переменных может дать картина её линий уровня.

Линией уровня функции называется множество точек М плоскости Оху, удовлетворяющих равенству, где с - константа.

Другими словами, линия уровня есть кривая, во всех точках которой функция принимает одно и то же постоянное значение с. Геометрически линии уровня получаются как проекции на плоскость Oxy линии пересечения графика функции и горизонтальной плоскости z=c.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2

Пример. Линиями уровня функции являются окружности , то есть линии пересечения поверхности с плоскостями (рис. 2).

Линии уровня используются в картографии. Так, например, на топографических картах рисуют линии равной высоты над уровнем моря, на метеорологических картах изображают линии одинакового давления - изобары.

По линиям уровня, построенным для некоторой рассматриваемой функции с одинаковыми промежутками между значениями , можно получить представление о графике функции (то есть о форме поверхности). В тех местах, где линии располагаются «гуще», функция при переходе от одного значения с к другому меняется быстрее, чем там, где линии распределены реже.

3. Предел функции в точке

Окрестностью точки на плоскости называется любой открытый круг, содержащий эту точку. окрестностью точки на плоскости называется внутренность круга с центром в точке и радиусом , то есть множество

(см. рис. 3)

Рис. 3

Последовательность точек плоскости M_n называется сходящейся к точке M₀, если для любого >0 существует номер N₀ такой, что для всех номеров, больших N₀, расстояние от M_n до M₀ меньше , или

.

Число А называется пределом функции в точке (по Гейне), если для любой последовательности , сходящейся к (), соответствующая последовательность значений функции сходятся к A то есть

Замечание. Если для некоторых двух последовательностей и , сходящихся к , пределы последовательностей и имеют разные значения или хоть один из них не существует, то это означает, что в точке функция предела не имеет.

Пример. Существует ли пределы a) , b) ?

Решение: a) пусть сначала точка стремится к началу координат по положительной части оси Ох, то есть . Тогда соответствующая последовательность значений функции , поэтому . Возьмём теперь другую последовательность точек, стремящуюся к началу координат по направлению биссектрисы первого координатного угла, то есть , тогда соответствующая последовательность значений функции имеет вид значит, при . Таким образом, двум разным последовательностям точек, стремящимся к началу координат по разным путям, соответствуют две последовательности значений функции, имеющие разные пределы. Следовательно, функция не имеет предела в начале координат.

Проколотой окрестностью точки называется её окрестность, из которой сама точка исключена и обозначается . Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки . Число А называется пределом функции в точке (по Коши), если для любого можно указать такое, что для всех точек из проколотой окрестности точки выполняется неравенство

или ,

или .

Геометрически определение предела функции в точке по Коши означает, что функция отображает точки М, принадлежащие окрестности точки в точки , принадлежащие -окрестности точки А. (рис. 4).

Замечание. Все положения теории пределов функции одной переменной легко и без существенных изменений переносятся на функцию нескольких переменных.

Свойства предела.

1. Если функция имеет в точке предел, то существует окрестность этой точки, в которой функция ограничена.

2. Если , то

4. Непрерывность функции двух переменных

Пусть функция определена в точке и в некоторой её окрестности; если , то функция называется непрерывной в точке.

Понятие непрерывности можно переформулировать на языке «».

Функция называется непрерывной в точке , если для любого сколь угодно малого существует число , такое, что для тех пар чисел , которые удовлетворяют неравенствам , выполняется неравенство .

Другими словами, достаточно малые изменения независимых переменных х и у обеспечивают сколь угодно малые изменения значений функции. Геометрически это означает, что достаточно малые сдвиги точек на плоскости ОХУ ведут к сколь угодно малым изменениям аппликаты точек поверхности, являющейся графиком функции .

Арифметические действия над непрерывными функциями и построение сложных функций из непрерывных функций приводят к непрерывным же функциям (при условии, что деление производится на функцию, не обращающуюся в нуль). Это утверждение доказывается аналогично случаю функции одной переменной.

Функция, непрерывная в каждой точке области, называется непрерывной в этой области. Точка, в которой функция не определена или определена, но не является непрерывной в ней, называется точкой разрыва функции.

Пример. Для функции точки разрыва образуют множество точек плоскости ОХУ, определяемое равенством , то есть это две прямые

Приведённые выше определения описывают непрерывность функции по совокупности переменных. Зафиксировав одну из переменных , получим функцию одной переменной х. Если функция непрерывна в точке , то говорят, что функция непрерывна в точке по переменной х. Аналогично вводится понятие непрерывности функции по переменной у в точке .

Будем придавать переменным х и у приращения и соответственно так, чтобы точка принадлежала области определения функции .

Частным приращением функции по переменной х в точке называется величина , а по переменной у - величина .

Полным приращением этой функции в точке называется выражение

.

Тогда определение непрерывности функции в точке по совокупности переменных на языке приращение означает, что

.

Непрерывность функции по переменной х в точке означает, что , а по переменной у - что .

Замечание. Из непрерывности функции в точке следует её непрерывность по каждой из переменных х и у в этой точке. Обратное утверждение неверно.

5. Частные производные

Рассмотрим функцию двух переменных в области и внутреннюю точку этой области. Придадим переменной х приращение . Значение у зафиксируем, приняв . В результате получим функцию одной переменной х. Если эта функция при дифференцируема, то есть существует конечный предел

,

то этот предел называется частной производной функции по переменной х в точке и обозначается символом: или .Аналогично

.

Это частная производная переменной у и обозначается символом:

или .

Из определения следует, что частная производная функции двух переменных равна обычной производной функции одной переменной, полученной при условии, что вторая переменная сохраняет постоянное значение.
С физической точки зрения частные производные определяют скорость изменения функции по одной переменной при фиксированной другой.

Геометрический смысл частных производных. Рассмотрим поверхность, являющуюся графиком функции , и возьмём на этой поверхности точку . Проведём через эту точку сечение поверхности плоскостью, параллельной координатной плоскости . Уравнение этой плоскости (рис. 5).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5

Уравнение кривой, по которой плоскость пересечет поверхность получится, если в уравнении поверхности положить То есть получится функция Производная этой функции, вычисленная при совпадает с частной производной по x от функции двух переменных в точке и, как производная всякой функции одной переменной, совпадает с угловым коэффициентом касательной к кривой в точке . Таким образом

Производя сечение поверхности плоскостью, параллельной координатной плоскости , и проводя аналогичные рассуждения, получим, что частная производная по y функции , вычисленная в точке , равна угловому коэффициенту касательной в точке к плоской кривой, получающейся в пересечении поверхности с плоскостью .

Можно ввести понятие частной производной порядка выше первого. Так как и сами являются, вообще говоря, функциями двух переменных, то от них можно опять брать производные по х и у. Результат дифференцирования называется частной производной второго порядка:

Частные производные высших порядков от функции по различным переменным называются смешанными.

Теорема. Если функция имеет в точке непрерывные смешанные производные второго порядка, то они равны.

6. Дифференцируемость функции

Функция называется дифференцируемой в точке , если в некоторой окрестности этой точки полное приращение этой функции можно представить в виде

, (1)

где А и В-некоторые константы, а и - бесконечно малые функции при и .

Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости).

Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Переходя в соотношении (1) к пределу при получим , следовательно, функция непрерывна (согласно определению непрерывности функции двух переменных на языке приращений).

Теорема 2 (необходимое условие дифференцируемости).

Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существуют частные производные, причём

Доказательство. По условию теоремы функция дифференцируема, значит, имеет место соотношение (1). Полагая , имеем, что где - бесконечно малая функция при .

Разделив на и переходя к пределу при , получаем

.

Упражнение. Самостоятельно получить, что .

Замечание. Оба необходимых условия не являются достаточными. Например, функция непрерывна в точке M₀(0; 0). Однако не существует в этой точке. Следовательно, функция не дифференцируема в точке M₀(0; 0).

Теорема (достаточное условие дифференцируемости)

Если функция в окрестности точки имеет непрерывные частные производные и , то она дифференцируема в точке.

7. Дифференциал функции

Если функция дифференцируема в точке , то полное приращение этой функции можно представить в виде

, (1)

где А и В-некоторые константы, а и - бесконечно малые функции при и . Согласно необходимому условию дифференцируемости,

Выражение , являющееся линейной функцией приращений и , называется полным дифференциалом, или первым дифференциалом функции в точке и обозначается . Другими словами, дифференциал функции в точке, если он отличен от нуля, является главной линейной частью полного приращения функции в этой точке.

Так как при , а при Дифференциалами независимых переменных х и у назовём приращения этих переменных: и .

Тогда дифференциал функции можно записать в виде

. (2)

Разность между полным приращением и дифференциалом функции в точке есть величина бесконечно малая при и более высокого порядка.

При достаточно малых и для дифференцируемой функции имеет место приближенное равенство или

.

Это равенство называется линерализацией функции в окрестности точки и применяется при приближенных вычислениях: дифференцируемую функцию можно заменить линейной функцией в окрестности рассматриваемой точки.

Пример. Вычислить . Число есть значение функции при и . Пусть , тогда , а . Имеем: . Применим формулу линерализации: .

Теорема (о производной сложной функции). Если функция дифференцируема в точке , а функции - дифференцируемые функции независимой переменной , то производная сложной функции вычисляется по формуле

Доказательство. Придадим независимой переменной t приращение . Тогда функции получат соответственно приращения и . Они, в свою очередь вызовут приращение функции z.

По условию теоремы функция дифференцируема в точке , то ее полное приращение можно представить в виде

, (1)

где А и В-некоторые константы, а и - бесконечно малые функции при и . Разделим выражение (1) на и перейдем к пределу при . Тогда и в силу непрерывности функций (так как по условию теоремы они дифференцируемы). Получаем:

, то есть

или

Теорема (Инвариантность формы полного дифференциала). Полный дифференциал функции сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми переменными или функцией переменной t.

Доказательство. Пусть , где x и y - независимые переменные. Тогда полный дифференциал имеет вид .

Рассмотрим сложную функцию , где , t - независимая переменная. По формуле нахождения дифференциала для функции одной переменной получим .Однако по теореме о производной сложной функции двух переменных имеем: Поэтому . Учитывая, что , получаем, что и в случае, когда дифференциал сохраняет один и тот же вид .

8. Производная по направлению

Рассмотрим на плоскости точку и исходящий из неё луч . Пусть M - переменная точка на луче . Рассмотрим также функцию . Если существует конечный предел при условии, что точка М стремиться к по лучу , то он называется производной функции по направлению в точке и обозначается . Так как производная показывает скорость изменения функции, то можно сказать, что характеризует быстроту изменения функции по направлению в точке . Если направление совпадает с положительным направлением оси Ох, то есть частная производная функции по х в точке . Если совпадает с положительным направлением оси Оу, то есть частная производная функции по у в точке .

Теорема. Если функция имеет в точке непрерывные частные производные, то в точке существует производная по любому направлению , исходящему из и имеет место формула

(3)

где - направляющие косинусы направления .

Доказательство. Возьмём на луче точку . Так как функция имеет непрерывные частные производные в точке , то её полное приращение, соответствующее приращениям и , можно записать в виде

Положим . Из рисунка 6 видно, что , а . Тогда

переменная градиент функция дифференциал

Устремим теперь точку М к точке по лучу . При этом и, следовательно, , и .

9. Градиент функции

Градиентом функции в точке называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным и , обозначается .

Если рассмотреть единичный вектор e=(), то согласно формуле (3) производная по направлению есть скалярное произведение градиента и единичного вектора, задающего направление . Известно, что скалярное произведение двух векторов максимально, если они одинаково направлены. Следовательно, градиент функции в данной точке характеризует направление и величину максимального роста функции в этой точке.

Теорема. Если функция дифференцируема и в точке М₀ величина градиента отлична от нуля, то градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку и направлен в сторону возрастания функции при этом

.

ВЫВОД: 1) Производная функции в точке по направлению, определяемому градиентом этой функции в указанной точке, имеет максимальное значение по сравнению с производной в этой точке по любому другому направлению.

2) Значение производной функции по направлению, которое определяет градиент этой функции в данной точке, равно .

3) Зная градиент функции в каждой точке, можно с некоторой погрешностью строить линии уровня. Начнем с точки М₀. Построим градиент в этой точке. Зададим направление, перпендикулярное градиенту. Построим малую часть линии уровня. Рассмотрим близкую точку М₁, построим градиент в ней и так далее.

Размещено на Allbest.ru