Графическое дифференцирование

Размещено на http://www.allbest.ru/

ГРАФИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

1. Геометрический смысл производной

Воспользуемся определением производной функции и ее связью с дифференциалом :

.

Изобразим на Рис. 1 рассматриваемые величины. Как видно из рисунка, производная функции в точке равна тангенсу угла между вектором касательной к графику функции в точке и направлением оси абсцисс:

.

Изобразим на Рис 2. тригонометрический круг единичного радиуса с осью тангенсов.

Найдем значения производной для функции, изображенной на графике Рис. 3. Найденные значения производной будем откладывать на оси y'

2. Графическое дифференцирование

Рассмотрим более сложный пример графика функции, когда на отдельных участках функция совпадает с квадратным трехчленом. Эти участки будем условно обозначать ~ . График производной на таких участках, очевидно, представляет собой прямую линию: .

Опишем поведение производной на всех участках графика функции исходя из поведения тангенса угла , затем указанное поведение производной изобразим на графике:

AB: Производная отрицательна, постоянная, меньше единицы.

BC: Производная в верхней точке параболы обращается в ноль, в точке В производная положительная, примерно равна 2. Ввиду того, что графиком производной должна быть прямая, проводим через указанные две точки отрезок прямой.

CD: Производная отрицательна, не меняется, значение производной по модулю меньше единицы.

DE: Производная в точке D равна нулю, затем возрастает и достигает в точке Е некоторого положительного значения большего единицы. С учетом, что участок соответствует квадратичной параболе, имеем в качестве графика производной отрезок прямой.

EF: Производная в точке Е равна нулю, затем уменьшается и достигает в точке F значения, примерно равного -2.

FG: Производная положительна, не меняется, больше единицы.

Пр. 2 Теперь рассмотрим случай, когда отдельные участки графика функции являются произвольными кривыми, не являющимися квадратичными параболами.

Для построения графика производной Пр. 2 сначала опишем поведение

тангенса угла наклона касательной, мысленно представляя единичный круг и ось тангенсов на нем:

A: На производная стремится к нулю. Таким образом начиная с нуля на производная уменьшается и, приближаясь к точке перегиба A, cтремится к . Точка А является недифференцируемой точкой перегиба, отделяющей выпуклую и вогнутую части кривой. В самой же точке А.производная не существует (стремится к -).

AB: Справа в точке А производная по-прежнему равна -и, при движении к точке В стремится к нулю.

BC: Справа в точке В производная стремится к (вертикальная асимптота ). При движении к точке С производная уменьшается до нуля..

CD: Производная отрицательная постоянная, равна примерно -1.

DE: Из нуля в точке D производная увеличивается и принимает достаточно большое значение в точке Е.

EF: Справа в точке Е производная равна +, затем уменьшается и, оставаясь отрицательной, принимает малые отрицательные значения в точке F.

FG: Производная отрицательна, возрастает до нуля. С учетом параболичности участка, график производной - прямая линия.

GQ: Производная положительна, не меняется, принимает значение, меньшее1.

QR: Производная отрицательна. Принимает большое отрицательное значение в точка Q, затем увеличивается, стремится к нулю, но нуля в точке R не достигает .

Пр.3 Посвящен дифференцированию функции в окрестности точек перегиба, как дифференцируемых, так и недифференцируемых (определения дифференцируемых и недифференцируемых точек см. в § 3)

Дифференцируемыми точками перегиба будем называть такие точки на графике, которые отделяют выпуклую часть кривой от вогнутой, причем в самой точке перегиба производная функции существует и не обращается в бесконечность.

Недифференцируемыми точками перегиба будем называть такие точки на графике функции, которые отделяют выпуклую часть кривой от вогнутой, причем в самой точке перегиба производная или не существует, или обращается в бесконечность.

Слева от оси ординат в точках графика при х = С и х = Q имеются дифференцируемые точки перегиба. Справа от оси в точках графика при х =T, N, M, F - недифференцируемые точки пергиба.

Опишем поведение производной функции в Пр. 4 на каждом участке:

AD: В точке А производная положительна, уменьшается до нуля при х=В, далее продолжает уменьшаться, становясь отрицательной, затем в точке перегиба при х = С начинает возрастать и достигает нуля в точке D.

PR: В точке Р производная положительна, затем уменьшается до нуля при х = Q, затем начинает увеличиваться и принимает наибольшее положительное значение в точке при х = R.

SN: При х = S производная равна нулю, затем уменьшается, становясь отрицательной, и при х = Т обращается в . Справа от точки Т производная из увеличивается до нуля при х = N.

NL: При х = N производная обращается в затем уменьшается до нуля при x = M. Справа в точке х = М производная обращается в минус бесконечность,Затем увеличивается почти до нуля, оставаясь отрицательной в точке при х = L.

LF: При х = L производная отрицательна, возрастает до нуля при х = Е, затем продолжает возрастать до точки F.

FG: При х = F производная равна нулю, затем уменьшается.

В следующем примере разберем поведение графика производной, если функция имеет наклонные и горизонтальные асимптоты.

-С: На производная отрицательна и стремится к нулю. На участке AC производная, оставаясь отрицательной, продолжает уменьшаться до точки пергиба В, затем начинает возрастать и достигает нуля в точке С.

C: Из нуля в точке С производная возрастает до точки перегиба D, затем уменьшается, оставаясь положительной стремиться на к положительному значению.

EF: На минус бесконечности производная стремится к постоянному отрицательному значению. Возрастая от этого значения, оставаясь отрицательной, производная в точке становится равной нулю, затем продолжает возрастать до точки перегиба F, затем, оставаясь положительной стремится на к постоянному положительному значению.

3. Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация

графический экстремум дифференцирование функция

Определение 1. Дифференцируемой точкой функции назовем такую точку на графике функции, в которой существует конечная производная функции (существует касательная, не направленная вертикально).

Определение 2. Недифференцируемой точкой функции назовем такую точку на графике функции, в которой или не существует производная функции (не существует касательная, касательная справа и касательная слева не совпадают), или производная обращается в бесконечность (касательная вертикальная).

В соответствии с введенными определениями можно ввести понятие локального дифференцируемого и недифференцируемого экстремумов, графическое изображение которых дано на Рис. 1

Точки на графике A, B - точки дифференцируемого экстремума (максимума и минимума, соответственно). Точки С, D, E, F, G, R - точки недифференцируемого экстремума ( C, E, R - точки максимума; D, F, G - точки минимума).

Проиллюстрируем с помощью графического дифференцирования справедливость необходимого и достаточных признаков существования локального экстремума функции.

Рис. 2 Рис. 3

Из Рис. 2, можно увидеть, что в точке локального дифференцируемого экстремума производная равна нулю. Причем в точке минимума первая производная меняет знак с минуса на плюс, а в точке максимума с плюса на минус. Вторая производная в точке минимума положительна, а в точке максимума отрицательна.

Из Рис. 3, видно, что для недифференцируемых экстремумов первая производная меняет знак также, как и в случае дифференцируемого экстремума, т. е. для минимума меняет знак с минуса на плюс, а для максимума с плюса на минус, однако, конечно, в самой точке экстремума производной не существует.

Заметим, также, что из рисунков следует: если график функции имеет выпуклость вниз, то соответствующая вторая производная положительна, и наоборот, если график имеет выпуклость вверх, то вторая производная отрицательна.

Для читателя оставляем возможность с помощью графического дифференцирования самостоятельно изучить поведение второй производной в дифференцируемой и недифференцируемой точках перегиба.

Размещено на Allbest.ru