Доказательство теоремы Ферма

Размещено на http://www.allbest.ru/

26

Уважаемый Григорий Яковлевич!

Обращается к Вам Черепанов Николай Михайлович, математик из Барнаула.

В 2004 году, я восстановил утраченное доказательство “Последней теоремы Ферма”.

За прошедшее время, я показал свое доказательство теоремы профессорам, докторам математических наук в Барнауле, Москве и Стокгольме. Никто из них ошибки в моем доказательстве не нашел. Ответ был однозначный “Ошибки нет, но Я не верю”.

Я их понимаю, проблема большая и люди боятся, как бы чего вышло не так.

Математики ссылаются на то что, теорема уже доказана англичанином Эндрю Уайлзом.

Но дело в том, что доказательство очень объемно и многим математикам не понятно.

Вряд ли сам Ферма его бы понял, а тем более, так бы доказывал свою теорему.

Сейчас многие математики договорились до того, что Ферма не доказал свою теорему, выставляя его лжецом. Но Ферма доказал эту теорему доступным ему методом, то есть ЭЛЕМЕНТАРНЫМ, так как в его время такого раздела математики, как “Алгебраическая теория чисел”, попросту не существовало. Мне удалось восстановить это ЭЛЕМЕНТАРНОЕ доказательство “Последней теоремы Ферма”. Доказательство, как и писал Ферма очень простое. Хочу обратить ваше внимание на формулировку, написанную на полях "Арифметики" самим Пьером Ферма. В ней, на мой взгляд, содержится подсказка к доказательству данной теоремы " Ни куб на два куба, ни квадрата-квадрат и вообще никакая, кроме квадрата, степень не может быть разложена на сумму двух таких же. Я нашел удивительное доказательство этому, однако ширина полей не позволяет здесь его осуществить" Обратите внимание на его трактовку обозначения числа в четвертой степени, где он прибегает к выражению "квадрата-квадрат", если бы он далее написал, "куба-квадрат", "четверо - квадрат" и так далее, то стало бы ясно, что доказательство теоремы следует искать в уравнении а²+с² = d². Я думаю, что мне удалось доказать, что все решения уравнения аⁿ+сⁿ = dⁿ являются частью решений уравнения а²+с² = d^2.

Ниже я привожу данное доказательство, и большая просьба к Вам Уважаемый Григорий Яковлевич, дать оценку моей работе. Заранее благодарен Вам за любой ответ. С уважением, автор.

Данная работа представляет собой полное, элементарное доказательство “Последней теоремы Ферма”.

В процессе доказательства, я исхожу из того, что параметры “a” и “d” в уравнении a?+c? =d? всегда!!! есть натуральные, целые, положительные числа.

a€N d€N

Параметр “c”, в процессе доказательства, при данных параметрах “a” и “d”, может принимать только лишь два вида:

a) натуральное, целое, положительное число

b) иррациональное число.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1. Известно, что уравнение a?+c?=d? имеет решения в натуральных, целых, положительных числах.

a, c, d - натуральные, целые, положительные числа. (a ,c,d) €N

Пример:

3?+4?=5?

8?+15?=17?

2. Найдем все решения уравнения a?+c?=d? в натуральных, целых, положительных числах.

Пусть: a=2kt (a ,c,d,k,t) €N

c=k?- t?

d=k?+t? где a ,c,d,k,t - натуральные, целые, положительные числа.

(2kt) ?=(k?+t?) ?-(k?-t?) ?

Заметим, что разница между d и c будет равна 2t?.

Все Пифагоровы тройки приводятся к виду:

a-четное число

c-нечетное число

d-нечетное число

Разница между d и c всегда будет равна 2t?

Пример:

36?=85?-77? d-c=85-77=8

216?=745?-713? d-c=745-713=32

Далее, пусть t=1, мы получим последовательность Пифагоровых троек чисел (1):

a=2k

c=k?-1

d=k?+1 последовательность (1) где (d-c)=2

В данной последовательности (1), a=2k всегда четное, натуральное, целое, положительное число.

a, c, d, k - натуральные, целые, положительные числа. (a, c, d, k) €N

Заметим, что разница между d и c будет равна 2

k=1 2 3 4 5 6 7 …………………… + ?

a=2 4 6 8 10 12 14 ………………….. +?

c=0 3 8 15 24 35 48 . ………………… +?

d=2 5 10 17 26 37 50 ………………….. +?

Разделив тройки чисел a, c, d, стоящих на нечетных местах, то есть k=(2k”-1), на 2, мы получим последовательность (2).

a* =(2k-1)

c*=2k(k-1)

d*=2k(k-1)+1…………………… . последовательность (2)

k=1 2 3 4 5 6 7 ……………………..+?

a*=1 3 5 7 9 11 13 …………………….+?

c*=0 4 12 24 40 60 84 …………………….+?

d*=1 5 13 25 41 61 85 …………………….+?

В данной последовательности (2), a*=(2k-1) всегда нечетное, натуральное, целое, положительное число.

a* ,c*,d*,k - натуральные, целые, положительные числа. (a*, c*, d*, k) €N

Заметим, что разница между d* и c* будет равна 1.

Полученные последовательности (1) и (2), Пифагоровых троек чисел, являются отправной точкой доказательства данной теоремы.

3. Возьмем произвольно из последовательности (1) или (2) тройку чисел и запишем её как:

d?-a?=c? > ?vd?-a?=c c =k?-1 ……целое , положительное число d-c=1

d?-a?=c? > ?vd?-a? =c(3) …..иррациональное число d-c(3)<1

d?-a?=c? > ?vd?-a?=c(n) …… иррациональное число d-c(n)<1

Корень любой степени из натурального, целого, положительного числа, есть число:

a) натуральное, целое, положительное число

b) иррациональное число.

Пример:

Пусть а*=9 ?v41?-9?= 40 целое число

c*=40 > ?v41?-9? =40,899999… иррациональное число

d*=41 ?v41?-9?=40,999999…. иррациональное число

Последовательность №(2).

Вывод: При увеличении показателя степени разница между d* и c* уменьшается, то есть c*> d*, но между d* и c* нет целых чисел, следовательно разница между ними будет число иррациональное.

Если возьмем произвольно тройку чисел из последовательности (1), результат будет тот же.

Если (d-c)=1, то получим противоречие:

Пусть “d” будет четное число, следовательно “c” будет нечетным числом, но разница четного и нечетного чисел будет нечетное число, но a =2k число четное.

Пусть “d” будет нечетное число , следовательно “c” будет четным числом, но разница между нечетным и четным числом, будет число нечетное, но a=2k число четное. Приходим к противоречию.

4. Пусть “а” и “d” в уравнении a?+c?=d?, будут всегда натуральные, целые, положительные числа. Посмотрим, как будет изменяться параметр ” с”, если а>const.(число постоянное, натуральное, целое, положительное), а число “d” будем последовательно увеличивать от d = a, до +?,т.е. d > +?.

d(1)=(a+1); d(2)=(a+2); …….d(n)=(a+n)…….. +?

Мы увидим, что параметр ” с” начнет возрастать и стремиться к “d “.

a?+0=d? a?+0=d?

a?+c(1)?=d(1)? a?+c(1)?= (a+1) ?

a?+c(2)?=d(2)? > a?+c(2)?= (a+2) ?

a?+c(n)?=d(n)? a?+c(n)?= (a+n) ?

Обратим внимание, что разность между “d “ и ” с” будет уменьшаться и стремиться к нулю.

[d(1)-c(1)] > [d(2)-c(2)] > [d(3)-c(3)] >…………………..[d(n)-c(n)] > 0.

Где “a“ ; “d(1) “ ; “d(2) “ ; “d(n) “ ; “n “ ;“d “ - натуральные, целые, положительные числа. (“a“ ; “d(1) “ ; “d(2) “ ; “d(n) “ ; “n “ ;“d “) €N

5. Возьмем последовательность (1) и запишем ее как :

Посмотрим, как будет изменяться параметр “c” при возрастании “d” .

d?=k?+1

d? =(k?+2),(k?+3),……….d"(k?+p)

?vd??-a??= ?v(k?+1)?-(2k)?=c?=(k?-1) (d?-c?)=2

?v[d? (2)]?-a??=?v(k?+2)?-(2k)?=c? (2) [d? (2)-c? (2)]<2

_?v[d? (p)]?-a??=?v(k?+p)?-(2k)?=c? (p) [d? (p)-c? (p)] <2 d? (p) >+?

Мы видим, что при возрастании d? , c? (p) начнет стремиться к d? и разница между d? и c? будет меньше 2. Это говорит о том, что c? (p) всегда будет иррациональным числом.

При [d? (p)-c? (p)]=1 наступит противоречие (см. выше).

Далее, если последовательно возводить в степень n>2, взятые произвольно [d? (p)-a?] , то получим:

?v[d? (p)]?-(2k)?=c? (p2) [d? (p)-c? (p2)]<2

?v[d? (p)]?-(2k)?=c? (p3) [d? (p)-c? (p3) ]<2

?v[d? (p)?-(2k)?=c? (pn) [d? (p)- c? (pn) ]<2

Мы видим, что c? (pn) > d? (p) и разница между ними стремится к 0.

[d? (p)- c? (pn) ] <2

Следовательно, c? (pn) всегда будет иррациональным числом.

Пример: см. рис. 1 k=18 последовательность(3)

?v325?-36?= 323 > d-c =2 > 325-323=2

?v326?-36?= 324,00617 > d-c =1,99383 > 326-324,00617=1,99383…..

?v325?-36? = 324,853…. > d-c =0,147.. > 325-324,853=0,146…

?v326?-36? = 325,855…. > d-c =0,145.. > 326-325,855=0,145…

6. Далее выясним, как будет изменяться “ c? ” при d? < k?+1.

При уменьшении d?, разница между d? и c? будет возрастать, и может быть равна 2m.

Запишем как :

?vd??-a??=?v(k?+1)?-(2k)?=c?=(k?-1) (d?-c?)=2

?v[d? (k)]?-a??=?v(k?)?-(2k)?=c? (k) [d? (1)-c? (k)]?2m

_?v[d? (p)]?-a??=?v(k?-p)?-(2k)?=c? (p) [d? (p)-c? (p)] ?2m d? (p)>2k

где m - натуральное, целое, положительное число. m €N

Пример: см. рис. 1 k=18

?v325?-36?= 323 > d-c =2 > 325-323=2

?v324?-36?= 321,99378… > d-c =2,00622… > 324-321,99378=2,00622…

?v325?-36? = 324,853…. > d-c =0,147.. > 325-324,853=0,147…

?v324?-36? = 323,852…. > d-c =0,148.. > 325-324,853=0,148…

При [d? (p)-c? (p)]=2m, на отрезке [ 2k ? d? ? (k?+1)], могут находиться тройки чисел, удовлетворяющие решению уравнения a?+c?=d? в натуральных, целых, положительных числах. (a?,c?,d?) €N

Пример:

36?+77?=85?

c? = ?v85?-36?= 77 > (d?-c ?)=8 >( 85-77=8) m=4

36?+15?=39?

c? = ?v39?-36?= 15 > (d?-c? )=24 > (39-15=24) m=12

Вывод: При d? ? (k+1), d?> +? в последовательности (3), при увеличении показателя степени, как было показано выше, параметр “c” начинает возрастать и стремиться к “d”,а разница между ними будет стремиться к нулю: c? > d? , (d?-c?) > 0. c?-всегда иррациональное число.

Рассмотрим отрезок числовой оси, когда [2k ? d? ? (k?+1)], в последовательности (3). На первый взгляд, на данном отрезке могут находиться решения уравнения a?+c?=d? в натуральных, целых, положительных числах, при “ n” >2. “ n” - натуральное, целое, положительное число. ферм теорема доказательство

Покажем, что таких решений на данном отрезке быть не может, при “a”- const. и ”d”- являющимися натуральными, целыми, положительными числами. Параметр “c” всегда будет число иррациональное.

Возьмем последовательность троек чисел (3) и запишем её как:

a*=2k

c*=v4kf+f?

d*=2k+f

где f?1, f- натуральное, целое, положительное число. f > + ?.

Получим последовательность троек чисел (4), которая совпадает с последовательностью (3).

Пример: см. рис. 1

Пусть k=18, получим:

a*=2k: 36 36 36 36 36 … . . . 36 36 36 36 | 36| 36

c*=v4kf+f?: 0 c* (1) 15 27 48 …... 77 105 160 c*(f) | 323| c*(1)?…+ ?

d*=2k+f: 36 37… 39… 45…..60…………85….111…164… 324 | 325|….326…+ ?

Далее, разделим члены данной последовательности (4) на (d*-c*).

Получим последовательность (5).

A=2k : (2k+f)- v4kf+f?]

C= [ v4kf+f?] : [(2k+f)- v4kf+f?]

D= [(2k+f) ] : [(2k+f)- v4kf+f?] ……. (D-C)=1

Члены полученной последовательности (5) будут содержать в себе числа только трех видов, таких как:

a) натуральное, целое, положительное число

b) иррациональное число

c) обыкновенная дробь, вида (q:r).

Все тройки чисел выстроятся в последовательность (5) с разницей между ( D-C ) =1.

Пример: k=18. последовательность (5) см. рис.2

A= 1 1,26511 1,5 2,0 3,0 3,6 4,5 9 17,9441 18 18,055701..

C= 0 0,30025 0,625 1,5 4,0 5,98 9,625 40 160,4977 161,5 162,50441..

D= 1. . 1,30025.. 1,625…. 2,5…5,0…6,98...10,625.. 41..161,4977.. 162,5…163,50441..

Если мы будем изменять k последовательно от 1 до + ?, то все тройки чисел займут свои места в последовательности (2). Как было показано выше, все тройки чисел, расположенные справа от точки отсчета, не будут иметь решений в натуральных, целых, положительных числах, при “ n” ?2, то есть при увеличении показателя степени n>2, разница [D-C(n) ] <1 есть число иррациональное, но разница между иррациональным и числом D, где D есть число:

a) натуральное, целое, положительное число

b) иррациональное число

c) обыкновенная дробь , вида (q:r), есть число иррациональное, то есть C(n) - всегда число иррациональное.

Умножая затем D,C и A на [(2k+f)- v4kf+f?], мы получим

c* = [(2k+f)- v4kf+f?] · C….

c* > всегда иррациональное число.

Пример:

?vD?-A?=C последовательность (5)

A=4,5 C= ?v10,625?-4,5? = 10,3504…… > D-C =0,2746…..

C=9,625 c*=(d*-c*)·C > c*=(85-77) · 10,3504…. = 82,8032…..

D=10,625

c*= ?vd*?-a*? последовательность(4)

a*=36 c*= ?v85?-36?= 82,8032

c*=77

d*=85

Пояснения.

Как Вы видите доказательство теоремы распадается на две части. Первая часть находится справа от точки отсчета, и не вызывает сомнений, так как очевидно, что при возрастании показателя степени, при любых!!! Целых “a” и “d”, параметр “c” всегда будет числом иррациональным, так как разница между d и c всегда меньше единицы(d-c)1.Во второй части доказательства, находящейся слева от точки отсчета, при (d-c)1, где якобы возможны решения уравнения a?+c?=d? при n2. Между первой частью доказательства и второй, существует граница то есть, находятся тройки чисел у которых разница между d и с равна 1, (d-c)=1.Эта граница подвижна и отдаляется вправо при возрастании k. По сути дела все!!! Тройки чисел это прямоугольные треугольники с разницей между гипотенузой d и катетом c равном любому числу.

Делая преобразование, то есть разделив каждый параметр (сторону треугольника) на одно и тоже число, а именно на разницу между гипотенузой d и катетом c, я убираю границу между первой и второй частью доказательства.

Все прямоугольные треугольники выстраиваются в ряд с одинаковой разницей между гипотенузой d и катетом c равной 1.Теперь становится очевидно, что параметр “c” при возрастании показателя степени будет стремиться к d, и будет всегда числом иррациональным. Вся трудность доказательства теоремы сводилась к преодолению границы между двумя частями доказательства, что мне и удалось сделать. Этот очевидный факт опровергнуть невозможно. Доказательство теоремы, как Вы видите очень простое, о чем и написал сам Пьер Ферма.

Проведя аналогичные действия с тройками чисел последовательности (2), мы придем к тому же результату.

Теорема Ферма доказана полностью для всех натуральных, целых, положительных чисел.

Вариант№2

Запишем уравнение a?+c?=d? .

Пусть n=2, тогда получим уравнение a?+c?=d? .

Данное уравнение имеет решение в целых, положительных числах, и, как было показано ранее (смотри предыдущее доказательство), записав уравнение в виде последовательности

a·=2k

c·=v4kf+f?

d·=2k+f где f?0

мы получим последовательность, в которой на отрезке [ 2k ? d· ? (k?+1)] будут находиться тройки чисел, как удовлетворяющие решению уравнения a?+c?=d? в натуральных, целых, положительных числах, так и неудовлетворяющие решению уравнения в натуральных, целых, положительных числах, то есть при a·=2k-const и d·=(2k+f)- целое число; c·- будет целое число или иррациональное число. При d· > k?+1; c· - всегда будет иррациональным числом.

Далее запишем уравнение a?+c?=d? как

aІяІ+cІяІ=dІяІ ? (aІ)І+(cІ)І=(dІ)І

aіяІ+cіяІ=dіяІ ? (aі)І+(cі)І=(dі)І

a??+c??=d?? > (a?)?+(c?)?=(d?)?

Запишем данные уравнения как:

(a?)?=(d?)?- (c?)?

(a?)?=(d?)?- (c?)?

(a?)?=(d?)?- (c?)?

Пусть “a “ и “d” будут всегда натуральными, целыми, положительными числами, тогда:

(a?) =(d?)- (c?)=2t?

(a?) =(d?)- (c?)=2t?

(a?) = (d?)- (c?)=2t?

См.п.2 предыдущего доказательства.

Но отсюда также следует, что все решения уравнения a?=d?-c? будут совпадать с решениями уравнения a?=d?-c?, то есть все тройки чисел последовательности (6)

будут принадлежать последовательности (4):

a=(2k) ?

c=v(2k+f) ?? -(2k) ?? > “c” всегда иррациональное число. d d=(2k+f) ? где f?0 n?2 ………………последовательность (6)

a·=2k

c·=v4kf+f?

d·=2k+f где f?0 последовательность (4)

Пример: a=(2k) ?

k=2, f=1,2,3……… + ?

n=2 > a=(4) ?=16 > d= 25, 36, 49,……… целое число…….+?

n=3 > a=(4) ?=64 > d= 125, 216, 343,……………………….+?

n=4 > a=(4) =256> d= 625, 1296, 2401,…………………….+?

n=n > a=(4) ? > d=(4+f) ?

1. a=16..16..16..16..16……………………………………………+?

c=0 c c c 63……….c..c.. c всегда иррациональное число. …..+?

d=16..25..36..49..65……………………………………………………………+?

2. a=64..64….64…64….64…………………………………………+?

c=0 c c c 1023………c….c всегда иррациональное число……+?

d=64..125..216..343..1025…………………………………..+?

3. a=256..256…256…256…256………………………………………+?

c=0 c c c 16383……c всегда иррациональное число……….+?

d=256..625..1296..2401. .16385………………………………….+?

a=4?……4?……….4?……………..4?………………………+?

c=0…….c……. (2?‹??? ?› -1)………c………… c всегда иррациональное число.

d=4?….(4+f) ?…(2?‹??? ?› +1)…….(4+f) ?…………………..+?

Следовательно, если взять тройки чисел, удовлетворяющих решению уравнения

(a?)?+(c?)?=(d?)? в целых, положительных числах и записать их как:

a?=x где x, y и z - натуральные, целые положительные числа , то должно

c?=y выполняться равенство x?+y?=z?

d?=z

a=?vx; c=?vу; d=?vz

где a,c и d- натуральные, целые, положительные числа, то должно и выполняться равенство a?+c?=d?, что невозможно при n>1

Пример:

a=3 x= a?=3? 3?+4?=5?

c=4 n=2 y= c?=4?¦> (3?)?+(4?)??(5?)?

d=5 z= d?=5?

Если мы запишем уравнение a??=d??-c??, как (a?)?=(d?)?- (c?)? , где аⁿ, сⁿ , dⁿ натуральные, целые, положительные числа, то тогда должен будет существовать и Пифагоров треугольник со сторонами аⁿ , сⁿ , dⁿ , но одновременно должен существовать и Пифагоров треугольник со сторонами a, c и d, то есть a?=d?-c? что невозможно, один из треугольников всегда будет косоугольным.

Вывод: Мы показали, что все решения в натуральных, целых, положительных числах в уравнении a?+c?=d? возможны лишь при показателе степени n=2.

Теорема Ферма доказанна полностью для всех натуральных, целых, положительных чисел.

This work is a complete elementary solution of Fermat's theorem.

In the process of solution we assume that the parameters “a” and “d” in the equation

a?+c? =d?

Are always !!! natural, integer,positive numbers.

a€N d€N

The parameter “c”, in the process of solution, with the given parameters “a” and “d” can only be of two kinds:

1) a natural, integer, positive number.

2) an irrational number.

SOLUTION

1. It is known, that the equation a?+c? =d? has solutions in natural, integer, positive numbers.

a, c, d are natural, integer, positive numbers. (a, c, d) €N

e.g.: 3?+4?=5?

8?+15?=17?

2. Let us find all the solutions of the equation in natural, integer, positive numbers.

Let us assume that

a=2kt (a, c, d, k, t) €N

c=k?- t?

d=k?+t? where (a, c, d, k, t) are natural, integer, positive numbers.

(2kt) ?=(k?+t?) ?-(k?-t?) ?

Let us point it out that the difference between “d” and “c” will equal 2t?.

All Pythagorean three-numbers sets can be reduced to the following:

“a” is an even number

“c” is an odd number

“d” is an odd number

The difference between “d” and “c” will equal 2t?.

e.g.: 36?=85?-77? d-c=85-77=8

216?=745?-713? d-c=745-713=32

Then, let “t” equal 1. t=1

Thus, we get a sequence of Pythagorean three-numbers sets (1):

a=2k

c=k?-1

d=k?+1…………………………….. sequence (1) where (d-c)=2

In this sequence (1) a=2k is always an even natural, integer, positive number.

a, c ,d, k are natural, integer, positive numbers. (a, c, d, k) €N

The difference between “d” and “c” equals 2.

k=1 2 3 4 5 6 7 …………………… + ?

a=2 4 6 8 10 12 14 ………………….. +?

c=0 3 8 15 24 35 48 . ………………… +?

d=2 5 10 17 26 37 50 ………………….. +?

Let us devide three-number sets “a”, “c”, “d”, occupying odd possitions, i.e. k=(2k'-1),by 2.

Thus we get the sequence (2)

a* =(2k-1)

c*=2k(k-1)

d*=2k(k-1)+1…………………… . sequence (2)

k=1 2 3 4 5 6 7 ……………………..+?

a*=1 3 5 7 9 11 13 …………………….+?

c*=0 4 12 24 40 60 84 …………………….+?

d*=1 5 13 25 41 61 85 …………………….+?

In this sequence (2), a*=(2k-1) is always an odd, natural, integer, positive number.

a* ,c*,d*, k are natural, integer, positive numbers. (a*, c*, d*, k) €N

The difference between d* and c* equals 1.

The obtained sequences (1) and (2) of Pythagorean three-numbers sets are a starting point in the solution of the theorem.

3. Let us take at random a three-number set from sequence (1) or (2) and write it as follows:

d?-a?=c? > ?vd?-a?=c c =k?-1 ……a natural, integer, positive number d-c=2

d?-a?=c? > ?vd?-a? =c(3) …..an irrational number. d-c(3)< 2

d?-a?=c? > ?vd?-a?=c(n) ……an irrational number. d-c(n)< 2

The root of any degree of a natural, integer, positive number is:

a) a natural, integer, positive number

b) an irrational number.

e.g.:

Let us assume that:

а*=9 ?v41?-9?= 40 a natural, integer, positive number

c*=40 > ?v41?-9? =40,899999…an irrational number

d*=41 ?v41?-9?=40,999999….an irrational number

in sequence (2).

Conclusion: With the increase of the exponent the difference between d* and c* is decreasing, i.e. c*> d*, but there are no integer numbers d*and c*, so the difference between them will be an irrational number.

If we take at random any tree-number set from sequence (1), the result will be the same.

If (d - c) = 1, we obtain a contradiction:

If d is an even number, then c will be an odd number, but the difference between an even and an odd number will be an odd number.

But a = 2k is an even number.

Let d be an odd number, then c will consequently be an even number, but the difference between an odd and an even number will be an odd number. But a = 2k is an even number. Thus we come to a contradiction.

4. Let us assume that “a” and “d” in the equation a?+c?=d?, are always natural, integer, positive numbers. Let us see how the parameter “c” changes if “a” > const. (a is a const.,natural, integer, positive number). We will increase “d” gradually from

d=a to d +?, i.e. d > +?.

d(1)=(a+1); d(2)=(a+2); …….d(n)=(a+n)…….. +?

a?+0=d? a?+0=d?

a?+c(1)?=d(1)? a?+c(1)?= (a+1) ?

a?+c(2)?=d(2)? > a?+c(2)?= (a+2) ?

a?+c(n)?=d(n)? a?+c(n)?= (a+n) ?

We should point it out that the difference of “d” and “c' is decreasing and approaching zero.

[d(1)-c(1)] > [d(2)-c(2)] > [d(3)-c(3)] >…………………..[d(n)-c(n)] > 0.

Where { “a“ ; “d(1) “ ; “d(2) “ ; “d(n) “ ; “n “ ;“d “ } are natural, integer, positive numbers. (“a“; “d(1) “; “d(2) “ ; “d(n) “; “n “ ;“d “) €N

Let us analyse the way parameter “c” changes with the increase of “d'.

d?=k?+1

d? =(k?+2),(k?+3),……….d"(k?+p)

?vd??-a??= ?v(k?+1)?-(2k)?=c?=(k?-1) (d?-c?)=2

?v[d? (2)]?-a??=?v(k?+2)?-(2k)?=c? (2) [d? (2)-c? (2)]<2

_?v[d? (p)]?-a??=?v(k?+p)?-(2k)?=c? (p) [d? (p)-c? (p)] <2 d? (p) >+?

We see, that with increasing d?, c? (p) is approaching d? and the difference between d? and c? will be less than 2. This proves that c? (p) will always be an irrational number.

With [d? (p)-c? (p)]=1, we have a contradiction (see above).

Then if we gradually raise [d? (p)-a?], taken at random, to the power with the exponent n > 2 we will obtain the following:

?v[d? (p)]?-(2k)?=c? (p2) [d? (p)-c? (p2)]<2

?v[d? (p)]?-(2k)?=c? (p3) [d? (p)-c? (p3) ]<2

?v[d? (p)?-(2k)?=c? (pn) [d? (p)- c? (pn) ]<2

We see, that c? (pn) > d? (p) and the difference between them approaches zero.[d? (p)- c? (pn) ] <2

Thus, c? (pn) will always be an irrational number.

e.g.: ( see graph. 1) k=18 the sequence (3)

?v325?-36?= 323 > d-c =2 > 325-323=2

?v326?-36?= 324,00617 > d-c =1,99383 > 326-324,00617=1,99383…..

?v325?-36? = 324,853…. > d-c =0,147.. > 325-324,853=0,146…

?v326?-36? = 325,855…. > d-c =0,145.. > 326-325,855=0,145

6. Then we will find it out how parameter “c” changes with d? < k?+1.

With the decrease of d?, the difference between d? and c? will increase and can equal 2m.

Let us write it down as follows:

?vd??-a??=?v(k?+1)?-(2k)?=c?=(k?-1) (d?-c?)=2

?v[d? (k)]?-a??=?v(k?)?-(2k)?=c? (k) [d? (1)-c? (k)]?2m

_?v[d? (p)]?-a??=?v(k?-p)?-(2k)?=c? (p) [d? (p)-c? (p)] ?2m d? (p)>2k

where m is a natural, integer, positive number. m €N

e.g.: ( see graph. 1) k=18 the sequence (3)

?v325?-36?= 323 > d-c =2 > 325-323=2

?v324?-36?= 321,99378… > d-c =2,00622… > 324-321,99378=2,00622…

?v325?-36? = 324,853…. > d-c =0,147.. > 325-324,853=0,147…

?v324?-36? = 323,852…. > d-c =0,148.. > 325-324,853=0,148…

With [d? (p)-c? (p)]=2m, on the segment [ 2k ? d? ? (k?+1)], there can be found three-number sets, satisfying the solution of the equation a?+c?=d? in natural, integer, positive numbers.(a?,c?,d?) €N

e.g.: 36?+77?=85?

c? = ?v85?-36?= 77 > (d?-c ?)=8 >( 85-77=8) m=4

36?+15?=39?

c? = ?v39?-36?= 15 > (d?-c? )=24 > (39-15=24) m=12

Conclusion: With d? < k?+1, d?> +?, in the sequence (3), with the increase of the exponent, as it has been shown above, the parameter c? will begin to increase and approach d?, and the difference between them will approach zero, i.e. c? > d?, (d?-c?) > 0. c? is always a natural, integer, positive number.

7. Let us analyse the segment on the number axis, when [2k ? d? ? (k?+1)], in the sequence (3). At first sight, on the given segment there can be solutions of the equation a?+c?=d? in natural, integer, positive numbers, with the exponent “ n” >2.

“ n” is a natural, integer, positive number.

Let us show that there cannot be such solutions on the given segment, with “a”- const. and ”d”, which are natural, integer, positive numbers.

The parameter “c” will always be an irrational number.

Let us take the sequence of three-number sets (3) and write it down as follows:

a*=2k

c*=v4kf+f?

d*=2k+f …………………………………………the sequence (4)

where f?1, f is a natural, integer, positive number. f > + ?.

Thus we have obtained the sequence of three-number sets (4), which coincides with the sequence (3).

e.g.: ( see graph. 1)

Let us assume that k=18, then we obtain the following:

a*=2k: 36 36 36 36 36 … . . . 36 36 36 36 | 36| 36

c*=v4kf+f?: 0 c* (1) 15 27 48 …... 77 105 160 c*(f) | 323| c*(1)?…+ ?

d*=2k+f: 36 37… 39… 45…..60…………85….111…164… 324 | 325|…. +

Then, let us divide the terms of the given sequence (4) by (d*-c*). Thus we have obtained the sequence (5).

A=2k : (2k+f)- v4kf+f?]

C= [ v4kf+f?] : [(2k+f)- v4kf+f?]

D= [(2k+f) ] : [(2k+f)- v4kf+f?] ……. (D-C)=1 …………..(5)

The terms in the obtained sequence (5), will contain numbers of three types, such as:

a) natural, integer, positive numbers

b) irrational numbers

c) a vulgar fraction of (q:r) type

All the three- number sets will form the sequence (5) with the difference between D and C equal 1.

e.g.: ( see graph. 1) k=18 sequence (5)

A= 1 1,26511 1,5 2,0 3,0 3,6 4,5 9 17,9441 18 18,055701..

C= 0 0,30025 0,625 1,5 4,0 5,98 9,625 40 160,4977 161,5 162,50441..

D= 1. . 1,30025.. 1,625…. 2,5…5,0…6,98...10,625.. 41..161,4977.. 162,5…163,50441..

If we change “k” gradually from 1 to + ?, then all the three-number sets will ocuppy their positions in the sequence (2). As it has been shown above, all the three-number sets, situated to the right of the starting point (see item 4), will not have solutions in natural, integer, positive numbers with “ n” ?2, i.e. with the increase of the exponent n>2, the difference [D-C(n) ] <1 is an irrational number. But the difference between an irrational number and D, where D is:

a) a natural, integer,positive number

b) an irrational number

c) a vulgar fraction of (q:r) type,

is an irrational number, i.e. C(n) is always an irrational number.

Then if we multiply D, C and A by [(2k+f)- v4kf+f?], we will obtain

c* = [(2k+f)- v4kf+f?] · C….

c* > is always an irrational number.

e.g.: ?vD?-A?=C the sequence (5)

A=4,5 C= ?v10,625?-4,5? = 10,3504…… > D-C =0,2746…..

C=9,625 c*=(d*-c*)·C > c*=(85-77) · 10,3504…. = 82,8032…..

D=10,625

c*= ?vd*?-a*? sequence (4)

a*=36 c*= ?v85?-36?= 82,8032…….

c*=77

d*=85

After carrying out analogous operations with the three-number sets in the sequence (2), we will obtain the same result.

Fermat's theorem has been proved completely for all natural, integer, positive numbers.

Variant №2.

Let us write down the equation a?+c?=d?.

Let “n” equal 2, n=2, then we obtain the equation a?+c?=d?.

This equation has solutions in natural, integer, positive numbers (see variant 1).

If we write down this equation as the sequence (4),

a·=2k

c·=v4kf+f?

d·=2k+f where f?0 …………………….the sequence (4),

we will obtain a sequence, in which on the segment [ 2k ? d· ? (k?+1)] there will be three- number sets both satisfying the solution of the equation a?+c?=d? in natural, integer, positive numbers and not satisfying the solution of the equation in natural, integer, positive numbers, i.e. with a·=2k-const and d·=(2k+f), natural, integer, positive numbers; ( c·)will be a natural, integer, positive number or an irrational number.With d· > k?+1; ( c·) will always be an irrational number.

Then let us write down the equation a?+c?=d? as follows:

aІяІ+cІяІ=dІяІ ? (aІ)І+(cІ)І=(dІ)І

aіяІ+cіяІ=dіяІ ? (aі)І+(cі)І=(dі)І

a??+c??=d?? > (a?)?+(c?)?=(d?)?

Let us write these equations as:

(a?)?=(d?)?- (c?)?

(a?)?=(d?)?- (c?)?

(a?)?=(d?)?- (c?)?

Let “a” and “d” always be natural, integer, positive numbers, then:

(a?) = (d?)- (c?)=2t?

(a?) = (d?)- (c?)=2t?

(a?) = (d?)- (c?)=2t?

(See item 2 in variant 1).

But it also means, that all the solutions of the equation a??+c??=d?? will coinside with the solutions of the equation a?+c?=d?; i.e. all the three- number sets of the sequence (6) will belong to sequence (4).

a=(2k) ?

c=v(2k+f) ?? -(2k) ?? > “c” will always be an irrational number. d d=(2k+f) ? where f?0 n?2 …………the sequense (6)

a·=2k

c·=v4kf+f?

d·=2k+f where f?0 ……………………the sequence (4)

e.g.: a=(2k) ?

k=2, f=1,2,3……… + ?

n=2 > a=(4) ?=16 > d= 25, 36, 49, natural, integer,positive numbers+?

n=3 > a=(4) ?=64 > d= 125, 216, 343,………………………. +?

n=4 > a=(4) =256> d= 625, 1296, 2401,……………………. +?

n=n > a=(4) ? > d=(4+f) ?

3. a=16..16..16..16..16…………………………………………………+?

c=0 c c c 63……….c..c.. c will always be an irrational number ….+?

d=16..25..36..49..65…………………………………………………+?

4. a=64..64….64…64….64……………………………………… +?

c=0 c c c 1023………c….c will always be an irrational number …+?

d=64..125..216..343..1025…………………………………………….. +?

c=0 c c c 16383……c will always be an irrational number .+?

d=256..625..1296..2401. .16385

4.a=4?……4?……….4?……………..4?………………………………+?

c=0…….c……. (2?‹??? ?› -1)………c… will always be an irrational number…… .+?

d=4?….(4+f) ?…(2?‹??? ?› +1)…….(4+f) ?……………………………………….. +?

Consequently, if we take three- number sets, satisfying the solution of the equation

(a?)?+(c?)?=(d?)? in natural, integer, positive numbers and write them down as follows:

a?=x; c?=y; d?=z ;

where x,y,z are natural, integer, positive numbers, then the following equation should be true. x?+y?=z?

But, as a= ?vx; c = ?vy; d= ?vz; where a, c, d are natural, integer, positive numbers, then the equation a?+c? = d? should also be true, which is impossible with n > 1.

e.g.: a=3 x= a?=3? 3?+4?=5?

c=4 n=2 y= c?=4?¦> (3?)?+(4?)??(5?)?

d=5 z= d?=5?

If we write down the equation a??+c??=d??, as (a?)?=(d?)?- (c?)?, where аⁿ , сⁿ , dⁿ - are natural, integer, positive numbers, then there should exist a Pythagorean triangle with the sides аⁿ , сⁿ , dⁿ . But at the same time there should also exist another Pythagorean triangle with the sides “a”,”c”, and “d”, i.e. a?=d?-c?, which is impossible, one of the triangles should always be oblique-angled.

Conclusion: Thus we have proven that all the solutions of the equation a?+c?=d? in natural, integer, positive numbers are only possible with the exponent n=2.

Fermat's theorem has been proved completely for all natural, integer, positive numbers.

Размещено на Allbest.ru