Зависимость динамики линейной автоматической системы третьего порядка от её параметров

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗАВИСИМОСТЬ ДИНАМИКИ ЛИНЕЙНОЙ АВТОМАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА ОТ ЕЁ ПАРАМЕТРОВ

Обобщены, систематизированы и дополнены результаты предыдущих исследований зависимости динамики линейной автоматической системы третьего порядка от её параметров. Показаны более простые пути вывода соответствующих аналитических зависимостей, а также вновь обнаруженные связи между характеристиками подобных систем. Рис. 2, библ. 6 .

Впервые главный вопрос динамики автоматических систем - устойчивость - аналитически в виде критерия для системы третьего порядка был решён выдающимся русским учёным Вышнеградским И.А и графически представлен на диаграмме (рисунок 1), названной впоследствии его именем.

Основу исследований Вышнеградского И.А. составляет характеристический полином автоматической системы третьего порядка

, (1)

который путём замены переменной

(2)

преобразуется к виду

, (3)

Где

,

. (4)

Критерий устойчивости Вышнеградского И.А. для системы третьего порядка имеет вид

или AB>1. (5)

Диаграмма Вышнеградского - первая успешная попытка показать область устойчивости автоматической системы третьего порядка в плоскости её параметров. В дальнейшем оказалось, что она же однозначно характеризует и качество автоматической системы, не имеющей нулей в передаточной функции.

Рисунок 1 - Классическая диаграмма И.А.Вышнеградского

Тем не менее, для удобства пользования назрела необходимость построить подобную диаграмму в координатах, которые были бы равны или эквивалентны параметрам, характеризующим современные структурно-динамические, то есть звеньевые, представления характеристик автоматических систем.

В работе [1] предложена диаграмма (рисунок 2), альтернативная традиционной классической (рисунок 1).

Рисунок 2 - Альтернативная диаграмма состояний

За опорную модель автоматической системы третьего порядка была принята модель, представляющая последовательное соединение динамических звеньев с передаточной функцией

, (6)

охваченное единичной отрицательной обратной связью. Передаточная функция данной модели в замкнутом состоянии равна

 , (7)

где - коэффициент усиления,- постоянная времени, - коэффициент относительного затухания - параметры автоматической системы.

Знаменатель любой передаточной функции замкнутой автоматической системы третьего порядка (1) можно согласно [1] привести к виду

(8)

путём почленного деления на коэффициент :

, (9)

где - обобщённые (или эквивалентные) параметры, имеющие тот же физический (динамический) смысл и размерность, что и в зависимостях (6)-(7). Данное обстоятельство позволяет утверждать, что динамика (переходные и другие временные характеристики) астатических и статических систем с аналогичными эквивалентными параметрами идентична.

Передаточная функция замкнутой автоматической системы (7) путём замены переменной преобразуется к следующему виду

, (10)

где параметры являются линейными функциями фактических или приведённых параметров автоматической системы.

Кроме того, согласно теореме Виета коэффициенты N и М связаны с полюсами , и передаточной функции Ф(р) соотношениями

. (11)

Основные соотношения между упомянутыми выше переменными и коэффициентами передаточных функций, установленные в работе [2], приведены ниже:

; ; ; ; (12)

; (13)

; ; (14)

; ; (15)

; ; ; (16)

;

;

. (17)

Переменная р по отношению к переменной s нормирована в масштабе , вследствие чего переходная функция, соответствующая передаточной функции , аналогично нормирована во времени относительно переходной функции, соответствующей .

Уравнение границы устойчивости (критическое значение параметра М)

, или , (18)

на альтернативной диаграмме (рисунок 2) представлено прямой линией 0H, проходящей через начало координат. При этом в качестве абсциссы взят параметр . На классической, или традиционной, диаграмме (рисунок 1) граница устойчивости (критическое значение параметра В) согласно (5) - гипербола GH с уравнением

. (19)

Любой критерий устойчивости автоматических систем содержит совокупность необходимых и достаточных условий. Основным необходимым условием, согласно Стодоле, является однозначность всех коэффициентов характеристического полинома, которому удовлетворяет первый квадрант АОВ плоскости параметров А и В (рисунок 1), а также квадрант OM плоскости параметров и (рисунок 2). Необходимо подчеркнуть, что пространство трёх параметров автоматической системы третьего порядка, не имеющей нулей в передаточной функции (7), отображается в каждом рассматриваемом случае на плоскость соответствующих двух параметров. Во-первых, это удобно и, во-вторых, объясняется тем, что динамика таких систем в одинаковой степени зависит как от постоянной времени Т, так и от коэффициента усиления , на что указывает параметр и все остальные зависимости (12)-(17). Однако, что так же важно, параметры М и N линейно зависят от трёх основных параметров , в то время как параметры А и В - нелинейно.

Все три основных параметра определяют поведение автоматической системы в неустановившихся режимах работы, то есть в динамике.

Граница устойчивости (18) или (19) разделяет соответствующую область (квадрант) необходимых условий устойчивости на две части: область достаточных условий, или область устойчивости, и область недостаточных условий, или область неустойчивости.

На рисунке 1 область устойчивости расположена справа и выше от гиперболы GH (19), а на рисунке 2 - справа и ниже прямой OH (18).

Устойчивое и неустойчивое состояние системы - своего рода различные, прямо противоположные состояния, которые в рассматриваемом случае отличаются видом корней характеристического полинома. Поэтому плоскость параметров автоматической системы третьего порядка называют плоскостью состояний. Линию на плоскости параметров, разделяющую разные состояния, правомерно называть сепаратриссой. При этом сепаратрисса вида (18)-(19) является колебательной границей устойчивости. При переходе через неё в область неустойчивости вещественные части двух комплексно-сопряжённых корней полинома, определяющих наличие колебаний в системе, становятся положительными, а сами колебания - расходящимися.

Однако, в любой системе, помимо колебательной границы устойчивости, обязательно существует и апериодическая граница устойчивости, которая имеет место, когда свободный член характеристического полинома и, соответственно, один из его корней равен нулю, то есть

. (20)

На альтернативной диаграмме состояний (рисунок 2) данному условию отвечает ось 0, поэтому область устойчивости чётко ограничена с двух сторон: сверху и снизу. На классической диаграмме состояний (рисунок 1) согласно (4) при выполнении условия (20) имеем

, (21)

то есть апериодическая граница устойчивости находится в бесконечности.

Область устойчивости на диаграммах состояний делится на ряд подобластей, или секторов: I, II, III. Каждому сектору согласно [3] соответствует определённый индивидуальный тип расположения корней характеристического полинома на комплексной плоскости корней, который меняется при переходе в соседний сектор. Кроме того, если речь идёт об автоматической системе с передаточной функцией вида (7) или (10), то области III соответствуют колебательные процессы, потому что комплексно-сопряженные корни характеристического полинома в этом случае расположены ближе к границе устойчивости (мнимой оси комплексной плоскости корней), чем вещественный корень. Областям I и II соответствуют монотонные процессы, несколько отличающиеся по типу, так как комплексно-сопряжённые корни, соответствующие области I, дальше от границы устойчивости, чем вещественный корень, а все три корня, соответствующие области II, - вещественные.

В работе [4] показано, что при изменении основного лабильного параметра, - коэффициента усиления разомкнутой системы k, - параметром, определяющим вид корневого годографа, является коэффициент относительного затухания . Иными словами: каждому значению соответствует свой индивидуальный корневой годограф по параметру М.

Сепаратриссы, разделяющие область устойчивости на перечисленные выше сектора, удовлетворяют строго определённым условиям.

Поскольку область устойчивости в плоскости параметров уже однозначно определена, то в ней необходимо обозначить сочетание параметров, обеспечивающее наилучшее качество автоматической системы. Качество, как известно, слагается из быстродействия, определяемого временем регулирования, и колебательности. Данные показатели качества находятся в непосредственной зависимости от корней характеристического полинома. Наилучшим качеством в динамике обладает система, у которой корни максимально удалены от мнимой оси. Идеальным и в то же время оптимальным является расположение всех трёх корней на одинаковом удалении от мнимой оси. Про такую систему говорят, что она имеет максимальный запас устойчивости. В этом случае один корень должен быть вещественным и равным среднеарифметическому, а остальные два - комплексно-сопряжёнными с аналогичной вещественной частью или, в частном случае, все три корня могут быть кратными.

Величина таких корней зависит от формы записи характеристического полинома (1), (3), (10):

(22)

(23)

(24)

Оптимальные параметры В_опт и М_опт, при которых имеют место равенства (22)-(24), определяются, согласно [1, 5], известными уравнениями:

. (25)

Этим уравнениям удовлетворяет сепаратрисса DC, которая имеет протяжённость по координате А: , по координате N: , а по координате : . При этом в точке каждого правого из указанных пределов, когда соответствующий дискриминант равен нулю

; ; ; , (26)

характеристический полином имеет три кратных корня, равных среднеарифметическому:

(27)

В общем случае уравнения (25) определяют соотношения между параметрами системы, при которых один корень характеристического полинома - вещественный, равный среднеарифметическому корню, а два другие относительно него симметричны. Симметричные корни на сепаратриссе DC - комплексно-сопряжённые согласно (22)-(24), а на её продолжении CQ, обозначенном на рисунках пунктиром, - вещественные, так как знак дискриминанта (26) меняется на противоположный:

(28)

(29)

(30)

Сепаратрисса CQ заходит в область вещественных корней, особого динамического смысла не имеет и интересна лишь с теоретической точки зрения. Она пересекает ось абсцисс (границу апериодической устойчивости на рисунке 2) в точке или , при этом полюсы передаточной функции (10) равны:

 (31)

Область вещественных корней II, расположенная правее координаты А=3, или , ограничена сепаратриссами (граница вещественных корней В_вещ или М_вещ) и (кривая оптимальных параметров В_опт или М_опт). Эти сепаратриссы определяют совокупности параметров автоматической системы, соответствующие наличию у характеристического полинома двух кратных корней.

Из теории кубического уравнения

(32)

известно, что оно имеет кратные вещественные корни, когда равен нулю его дискриминант

. (33)

Дискриминант полинома Вышнеградского (3)

(34)

так же, как и дискриминант (33) уравнения (32), является кубическим со всеми вытекающими последствиями в определении уравнений сепаратрисс СЕ и CF на плоскости параметров А и В.

В работе [1] удалось получить эти уравнения в параметрической форме, где параметром является коэффициент относительного затухания :

; , (35)

(верхний знак «плюс» соответствует сепаратриссе CF, а знак «минус» - сепаратриссе СЕ).

Дискриминант знаменателя передаточной функции (10) имеет вид

(36)

поэтому уравнения сепаратрисс СЕ и CF на плоскости параметров М и N являются решением соответствующего квадратного уравнения:

. (37)

Здесь также верхний знак «плюс» принадлежит сепаратриссе CF, а знак «минус» - сепаратриссе СЕ. Впервые это решение было получено в работе [1] довольно сложным путём.

Корни самого характеристического полинома, соответствующие сепаратриссам CF и CE, с аналогичными оговорками о знаках следующие:

(38)

(39)

.(40)

Если передаточная функция (6) при записана в виде

, (41)

то аналогичные корни характеристического полинома (по сепаратриссе CF) равны:

(42)

Сепаратрисса СЕ на альтернативной диаграмме (рисунок 2) имеет конечные размеры в пределах параметров и , а на классической диаграмме (рисунок 1) уходит в бесконечность: . Таким образом, согласно (38)-(40) сочетанию параметров системы (37), относящемуся к сепаратриссе СЕ, соответствуют корни полинома, из которых кратные дальше от мнимой оси, чем одинарный (некратный). При этом последний - самый ближний к мнимой оси. Расположение корней на вещественной оси согласно [1, 4] следующее в направлении от мнимой оси:

; (43)

.

Следовательно, сепаратрисса СF определяет совместно с DC сочетание параметров, гарантирующее наибольшую устойчивость и оптимальное качество автоматической системы.

Для оценки качества автоматической системы в теории автоматического управления разработаны различные методы, из которых известный интерес представляют интегральные оценки качества, поскольку позволяют одновременно учитывать быстродействие (время регулирования) и колебательность.

Если колебательность отсутствует, что имеет место в секторах I и II, а также особенно на их границе - сепаратриссе DCF, то для оценки качества уместна простая линейная интегральная оценка:

, (44)

где h(t) - переходная функция, - ошибка.

В работе [6] показано, что сепаратрисса DCF определяет оптимальное сочетание параметров М_опт автоматической системы во всём диапазоне изменения , как по корневой оценке (22)-(24), (43), так и по интегральной оценке (44). Кроме того, данная интегральная оценка для системы (10) оказалась обратной по величине параметру М_опт согласно (25) и (37):

. (45)

Минимум линейной интегральной оценки (45) имеет место при минимуме В_опт или при максимуме М_опт, то есть в точке перегиба сепаратриссы DCF на участке DC.

Координаты точки перегиба - экстремума - определяются из уравнений

(46)

, (47)а сама величина глобального минимума по линейной интегральной оценке равна

(48)

Зависимость простой квадратичной интегральной оценки качества

(49)

от параметров автоматической системы третьего порядка подробно исследована в работе [2] и имеет вид в зависимости от типа переменной (s, q, p):

устойчивость автоматическая система квадратичная

Функции (50) на рисунках не показаны во избежание лишних нагромождений.

Проверка на минимум выражения (50) даёт следующие оптимальные результаты по квадратичной интегральной оценке (линии ОР на рисунках 1 и 2):

. (51)

Точка глобального минимума интегральной оценки (50) имеет координаты

. (52)

ВЫВОДЫ

Содержание настоящей статьи убедительно показывает все преимущества альтернативной диаграммы пространства состояний в сравнении с классической диаграммой И.А.Вышнеградского. Основным достоинством является линейная зависимость параметров M и N, и самого пространства, от динамических параметров автоматической системы.

Кроме того, прямая линия с альтернативной диаграммы состояний M=cN (рисунок 2), где , отображается в гиперболу на классической диаграмме (рисунок 1), а линия, параллельная оси М: , отображается в параболу . Это означает, что масштаб классической диаграммы Вышнеградского относительно параметров автоматической системы является гиперболически-параболическим.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Данилович Л.Н. Связь диаграммы Вышнеградского И.А. с параметрами автоматической системы. / Л.Н. Данилович // СВМІ ім. П.С Нахімова. Збірник наукових праць. - Севастополь, 2005. - Вип. 1(7). - с.69-75.

2. Данилович Л.Н., Матузаев К.Б. Зависимость переходной функции и квадратичной интегральной оценки автоматической системы третьего порядка от формы записи её передаточной функции / Л.Н. Данилович, К.Б. Матузаев // СВМІ ім. П.С. Нахімова. Збірник наукових праць - Севастополь, 2008. - Вип. 1(14) -с.22-26.

3. .Дам Оань. Выбор оптимальных параметров автоматической системы третьего порядка по расположению корней характеристического полинома на комплексной плоскости. / Дам Оань, Л.Н Данилович, Нгуен Хоанг Тхао // Материалы научно-технической конференции молодых учёных 22-23 апреля 2003г. Издательство Севастопольского НТУ. - Севастополь, 2003.

4. Вицкий Ю.П. Связь оптимальных по быстродействию и колебательности параметров астатической автоматической системы третьего порядка с её структурой / Ю.П. Вицкий, Л.Н. Данилович, Ю.С. Мазурик // Материалы научно-технической конференции молодых учёных 22-23 апреля 2003г. Издательство Севастопольского НТУ. - Севастополь, 2003.

5. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. - М.: «Наука», 1966. - 648с.

6. Данилович Л.Н. О формах записи полинома третьей степени в теории автоматического управления / Л.Н. Данилович // СВМІ ім.. П.С. Нахімова. Збірник наукових праць. - Севастополь, 2006. - Вип..1(9). - с.54-60.

Размещено на Allbest.ru