Питання про вибір тої або іншої схеми рішення конструктивної задачі є чисто методичним питанням. Рішення геометричної задачі є цілком доброякісним, якщо воно проведено по наступній схемі:

Встановлюється кінцеве число випадків, що вичерпують всі можливості у виборі даних.

Для кожного випадку дається відповідь на питання, чи має задача рішення й скільки.

Для кожного випадку, коли задача має рішення, дається спосіб знаходження (за допомогою даних геометричних інструментів) кожного з можливих рішень або встановлюється, що воно не може бути отримано даними засобами.

При рішенні конструктивних задач користуються відомою схемою рішення, що складає з наступних чотирьох етапів:

1) аналіз;

2) побудова;

3) Доведення;

4) дослідження.

1. Аналіз. Це підготовчий і в той же час найбільш важливий етап рішення задачі на побудову, тому що саме він дає ключ до рішення задачі. Ціль аналізу складається у встановленні таких залежностей між елементами шуканої фігури й елементами даних фігур, які дозволили б побудувати шукану фігуру. Це досягається за допомогою побудови креслення, що зображує дані й шукані приблизно в тім розташуванні, як це задано умовою задачі. Іноді побудова креслення супроводжують словами: «припустимо, що задача вже вирішена».

На допоміжному кресленні варто виділити дані елементи й найважливіші шукані елементи. Якщо допоміжне креслення не підказує безпосереднього способу побудови шуканої фігури, то намагаються виявити яку-небудь частину шуканої фігури або взагалі деяку фігуру, що може бути побудована, й котрою потім можна скористатися для побудови шуканої фігури.

Наприклад, потрібно побудувати трикутник по основі та по медіані й висоті, проведеним до цієї основи. Розглядаючи допоміжне креслення (рис. 1.10), зауважуємо, що трикутник АВС можна легко побудувати, якщо буде побудований трикутник ВDE: тоді залишиться тільки відкласти по обох сторонах від точки Е на прямій DE відрізки, рівні половині даної основи. Але трикутник ВDE прямокутний і будується по гіпотенузі m і катету h.

Рис. 1.10 [4]

Корисно врахувати наступні зауваження, що допомагають при проведенні аналізу.

а) Якщо на допоміжному кресленні не вдається безпосередньо помітити необхідні для рішення зв'язки між даними й шуканими елементами, то доцільно ввести в креслення допоміжні фігури: з'єднати вже наявні точки прямими, відзначити точки перетинання наявних ліній, продовжити деякі відрізки й т.д. Іноді буває корисно проводити паралелі або перпендикуляри до вже наявних прямих.

Наприклад, потрібно побудувати пряму, що проходить через дану точку А і рівновіддалену від двох даних точок В и С. Побудову креслення зручно почати із шуканої фігури: будуємо спочатку пряму а (рис. 1.11), на ній вибираємо точку А і на рівних відстанях від прямої а вибираємо (по різні сторони від прямої) точки В и С.

Рис. 1.11 [4]

Після цього ще не виникають на кресленні такі зв'язки, які дозволили б вирішити задачу. Проведемо до прямої а перпендикуляри ВВ і СС, побудуємо відрізок ВС і відзначимо точку М перетинання відрізка ВР із прямою а. Легко помітити, що М - середина відрізка ВС, а звідси вже ясний спосіб побудови.

б) Якщо за умовою задачі дані сума або різниця відрізків або кутів, те ці величини варто зобразити на допоміжному кресленні, якщо їх ще немає на ньому.

в) У процесі проведення аналізу буває корисно згадати теореми й раніше вирішені задачі, у яких зустрічаються залежності між елементами, подібні з тими, про які говоритися в умові розглянутої задачі.

г) Проводячи аналіз на підставі вивчення деякого креслення, ми мимоволі зв'язуємо свої міркування у відомій мірі із цим кресленням. Так, у прикладі, що ілюструє пункт а), ми обрали точки В и С по різні сторони від прямої а, а в той час як можна було обрати їх і по одну сторону від цієї прямої. Той спосіб рішення, до якого ми приходимо на підставі аналізу, може тому виявитися придатним лише для деяких окремих випадків. Щоб одержуваний нами спосіб рішення був придатний для можливо більше широкого вибору даних, бажано зображувати шукану фігуру в можливо більше загальному виді.

Розглянемо ще один приклад аналізу. Потрібно вписати окружність у даний трикутник. Нехай АВС - даний трикутник (рис. 1.12).

Рис. 1.12 [4]

Щоб вписати в нього окружність, треба визначити положення її центра й знайти величину радіуса.

Уявимо собі, що точка О - центр вписаної окружності, а ОМ - радіус проведений у яку-небудь із точок торкання окружності до сторін трикутника (наприклад, у точку торкання окружності до сторони АВ). Тоді відрізок ОМ перпендикулярний до прямої АВ. Тому ОМ - відстань центра вписаної окружності від сторони трикутника АВ. Тому що всі радіуси окружності рівні, то центр окружності однаково розташований відносно всіх сторін трикутника й, отже, прямі ОА, ОВ і ОС служать бісектрисами (внутрішніх) кутів трикутника АВС. Цих міркувань, досить для побудови центра й визначення радіуса шуканої окружності.

2. Побудова. Даний етап рішення полягає в тому, щоб указати послідовність основних побудов (або раніше вирішених задач), які досить зробити, щоб шукана фігура була побудована.

Побудова звичайно супроводжується графічним оформленням кожного його кроку за допомогою інструментів, прийнятих для побудови.

Як приклад звернемося знову до задачі про побудову окружності, вписаної в даний трикутник АВС. Як показує проведений вище аналіз цієї задачі, для побудови шуканої окружності потрібно послідовно побудувати (див. рис. 1.13):

а) бісектриси яких-небудь двох внутрішніх кутів даного трикутника;

б) точку їхнього перетинання О;

в) пряму, що проходить через точку О, перпендикулярно прямій АВ;

г) відрізок ОМ проведеного перпендикуляра;

д) окружність (О, ОМ).

3. Доведення. Доведення має на меті встановити, що побудована фігура дійсно задовольняє всім поставленим у задачі умовам.

Так, щоб провести Доведення правильності наведеної вище побудови окружності, вписаної в даний трикутник, треба встановити, що побудована нами окружність (О, ОМ) дійсно торкнеться всіх сторін трикутника АВС. Для цього, насамперед помітимо, що пряма АВ торкається проведеної окружності, тому що ця пряма перпендикулярна до радіуса ОМ.

Разом із цим ясно, що радіус окружності дорівнює відстані її центра від сторони АВ даного трикутника АВС. Далі зауважуємо, що центр окружності О однаково віддалений від всіх сторін трикутника, тому що лежить на перетинанні бісектрис кутів трикутника. Отже, відстань центра окружності від сторони АС, або від сторони ВС, також дорівнює радіусу побудованої окружності, тому якщо провести через О перпендикуляри до сторін трикутника АС і ВС, то підстави цих перпендикулярів (точки N і Р на рис. 1.9) розташуються на тій же окружності.

Рис. 1.13 [4]

Таким чином, кожна із прямих АС і ВС перпендикулярна до відповідного радіуса наприкінці його, що лежить на окружності, і тому кожна із цих прямих торкається побудованої окружності.

4. Дослідження. При побудові звичайно обмежуються відшуканням одного якого-небудь рішення, причому передбачається, що всі кроки побудови дійсно здійсненні. Для повного рішення задачі потрібно ще з'ясувати наступні питання:

а) чи завжди (тобто при чи будь-якому виборі даних) можна виконати побудову вибраним способом;

б) чи можна і як побудувати шукану фігуру, якщо вибраний спосіб не можна застосувати;

в) скільки рішень має задача при кожному можливому виборі даних.

Розгляд всіх цих питань і становить дослідження. Таким чином, дослідження має на меті встановити умови можливості розв'язання й визначити число рішень.

Іноді ставиться також задача: з'ясувати при яких умовах шукана фігура буде задовольняти тим або іншим додатковим вимогам. Наприклад, може бути поставлене питання: при яких умовах шуканий трикутник буде прямокутним або рівнобедреним?

Щоб досягти необхідної планомірності й повноти дослідження, рекомендується проводити дослідження «по ходу побудови». Сутність цього прийому полягає в тому, щоб перебрати послідовно всі кроки, з яких складається побудова, і щодо кожного кроку встановити, чи завжди зазначене на цьому кроці побудова здійсненна, а якщо здійснено, то скількома способами.

Для цього необхідно:

З'ясувати, чи завжди існують у дійсності точки, прямі, окружності або інші фігури, побудову яких передбачається здійснити на кожному кроці наміченої побудови, або ж їхнє існування залежить від спеціального вибору положення або розмірів тих або інших фігур.

Для кожного випадку, коли рішення існує, визначити, скільки саме точок, прямих, окружностей і т.д. дає кожний крок побудови. Наприклад, якщо будуються точки перетинання окружності й прямої, то треба врахувати, що таких точок буде дві, якщо радіус окружності більше відстані від центра до прямої, і одна, якщо радіус окружності дорівнює відстані центра від прямої.

З огляду на результати дослідження кожного кроку, треба звернутися до задачі в цілому й встановити, при яких умовах розташування даних фігур або при яких співвідношеннях їхніх розмірів задача дійсно має рішення, а при яких його не існує. Якщо можливо, виразити умови можливості розв'язання формулою (у формі нерівностей або рівностей).

2. Основні методи рішення задач на побудову

Основними методами розв'язування задач на побудову наступні:

а) метод перетину геометричних місць точок (ГМТ);

б) метод геометричних перетворень, при цьому залежно від того, яке геометричне перетворення використовується, говорять про методи:

- паралельного переносу,

- повороту (центральної симетрії),

- осьової симетрії,

- подібності (гомотетії),

- інверсії та ін.

в) алгебраїчний метод.

2.1 Метод геометричного місця точок

Якщо фігура задана шляхом вказівки властивості, яким володіють всі точки цієї фігури й тільки вони, то таку фігуру називають геометричним місцем точок (ГМТ), що володіють зазначеною властивістю.

Суть методу перетину ГМТ полягає в тому, що задачу зводять до побудови однієї точки Х (основного елемента побудови), яка задовольняє деяким двом незалежним умовам, що випливають із постановки задачі.

Основними ГМТ на площині є:

1) ГМТ, яке знаходиться на заданій відстані r від даної точки О, є коло з центром у точці О радіуса r: щ(O;r);

2) ГМТ, рівновіддалених від точок А і В, є серединний перпендикуляр до [АВ];

3) ГМТ, віддалених від даної прямої АВ на відстань r, є сукупність двох прямих, паралельних до даної, які знаходяться на відстані r від неї;

Рис. 2.1 ? Розташування ГМТ (1)-3)) [8]

4) ГМТ, рівновіддалених від двох прямих, які перетинаються, є сукупність двох перпендикулярних прямих - бісектрис кутів, утворених прямими;

5) ГМТ, рівновіддалених від двох паралельних прямих, є пряма, що до них паралельна та є їх віссю симетрії;

6) ГМТ, з яких даний відрізок АВ видно під кутом 90⁰, є коло, яке побудоване на [АВ] як на діаметрі, крім точок А і В.

Рис. 2.2 ? Розташування ГМТ (4)-6)) [8]

Рішення задачі на знаходження геометричного місця точок складається звичайно з аналізу, Доведення й дослідження, подібно тому, як це робиться при рішенні геометричної задачі на побудову.

Задача 2.1. Побудувати окружність, дотичну до двох даних паралельних прямих і й минаючу через дану точку .

Аналіз. Позначимо відстань між даними прямими через . Тоді радіус шуканої окружності повинен бути дорівнює . Задача зводиться до побудови центра окружності, що повинен задовольняти двом умовам: 1) він повинен бути однаково вилучений від прямих і , 2) він повинен відстояти від точки на відстані . Звідси випливає побудова.

Побудова. З довільної точки прямій опускаємо перпендикуляр на пряму (рис. 2.3). Будуємо середину відрізка . Будуємо ГМТ, рівновіддалених від прямих і ; це буде пряма , що проходить через точку й паралельна прямим і . Будуємо ГМТ, що задовольняють умові 2). Це буде окружність із центром у точці радіуса . Відзначимо точку перетинання окружності із прямої . Будуємо окружність із центром у точці й радіусом . Ця окружність шукана.

Рис. 2.3 [2]

Доведення. Окружність стосується прямих і , тому що відстані її від центра від цих прямих однакові й рівні . Ця окружність проходить через точку по побудові.

Дослідження. Можливі три випадки.

1. Точка розташована між даними прямими й . Зазначений спосіб побудови дає два рішення: окружність і окружність . Інших рішень немає, тому що якби існували три окружності, що задовольняють умовам задачі, то їх центри повинні були б лежати на одній прямій . З другої сторони, ми повинні були б мати , тобто точки повинні були б лежати на одній окружності із центром у точці й радіусом , так що виникає протиріччя.

2. Точка - на одній із прямих або . Задача має одне рішення.

3. Точка - поза смугою, обмеженої прямими або . Задача не має рішення.

Задача 2.2. Побудувати трикутник по його гострому куту при вершині, радіусу описаної окружності й сумі квадратів бічних сторін.

Аналіз. Нехай - шуканий трикутник, - описана біля нього окружність, - даний кут, , де - даний відрізок (рис. 2.4).

Рис. 2.4 [2]

Величина хорди визначається з умови, що вона видна з деякої точки окружності під даним кутом , а отже, із центра - під кутом (рівним центральним кутам відповідають рівні хорди).

Що стосується точки , то вона визначається двома умовами:

1) вона лежить на окружності ;

2) вона належить ГМТ, для яких сума квадратів відстаней від точок і дорівнює .

Побудова. Будуємо послідовно:

1) окружність із центром у довільній точці ;

2) два радіуси й по окружності під кутом один до іншого;

3) відрізок і його середину ;

4) окружність , що служить ГМТ таких точок , для яких ;

5) будуємо точку перетинання окружностей і ;

6) відрізки й . Трикутник шуканий.

Доведення ясно з аналізу.

Дослідження. Коли окружність існує й має загальну точку з дугою окружності (рис. 2.4), те задача має єдине рішення. У противному випадку рішення немає.

2.2 Побудови методами перетворень

геометричний конструктивний лінійка циркуль

Методом перетворень у теорії геометричних побудов називають застосування перетворень до геометричних побудов. Ідея методу геометричних перетворень полягає в тому, що шукану або дану фігуру перетворюють так, щоб після цього побудова стала простішою або звелась безпосередньо до однієї з елементарних задач.

Залежно від того, яке геометричне перетворення використовується, говорять про методи:

- паралельного переносу,

- повороту (центральної симетрії),

- осьової симетрії,

- подібності (гомотетії),

- інверсії та ін.

Великий клас задач можна розв'язати з використанням методу подібності(гомотетії), суть якого полягає в тому, що будується допоміжна фігура, подібна шуканій, так, щоб вона задовольняла всі умови задачі, які визначають форму фігури, крім однієї умови - що визначає її розміри. Потім будують шукану фігуру, подібну вже побудованій, яка б задовольняла і останню умову. При цьому, як правило, застосовується гомотетія. Метод подібності застосовується при побудові трикутника за одним лінійним і двома нелінійними елементами, при вписуванні однієї фігури в другу та при розв'язуванні інших задач.

2.2.1 Метод паралельного переносу

Часта побудова фігури стає скрутним тільки від того, що частини цієї фігури занадто вилучені друг від друга, і тому важко ввести в креслення дані. У цих випадках яку-небудь частину шуканої фігури переносять або паралельно самої собі, або іншим образом, але на таку відстань, щоб знову отримана фігура могла бути побудована або безпосередньо, або легше, ніж шукана фігура. Напрямок такого переносу залежить від умови задачі й повинно бути обране так, щоб у знову отриману фігуру ввійшло, по можливості, більшу кількість даних.

Задача 2.3. Побудуйте трапецію по заданих сторонах.

Рішення. Аналіз. Нехай трапеція АВС шукана, ВР=b, АD=a, AB=c, CD=d (рис. 2.5).

Рис. 2.5 [2]

Виконаємо паралельний перенос, обумовлений вектором СВ. Тоді сторона СD перейде у відрізок BD^/. Трикутник АВ^/ може бути побудований, тому що три його сторони c, d, a-b (a>b) відомі. Щоб побудувати шукану трапецію залишається піддати паралельному переносу відрізок BD^/ на вектор BC, довжина якого відома і який спрямований однаково з вектором АD.

Побудова. Побудуємо трикутник ABD^/ по сторонах AB = c, BD^/ =d, AD^/= a - b. Через точку B проведемо промінь, однаково спрямований із променем AD^/. На цьому промені побудуємо точку З так, щоб BC=b. Через точку Із проведемо пряму CD паралельно BD^/ до перетинання із продовженням AD^/ у точці D. АВС шукана трапеція.

Доведення. AB = c, ВР= b по побудові, AD=AD^/+DD^/= =AD^/+BC=a - b + b. A BD^/= CD як відрізки паралельних прямих між паралельними прямими.

Дослідження. Трикутник ABD^/ можна побудувати по трьох сторонах, якщо d - c < a - b < d + c. При цьому умові однозначно здійсненні й всі інші кроки побудови. Якщо нерівність d - c < a - b < d + c не виконується, то задача при обраних даних не має рішення.

Задача 2.4. Побудувати чотирикутник, знаючи його кути й протилежні сторони. Дано два відрізки a і b і три кути . Потрібно побудувати чотирикутник АВС так, щоб , , , AD=a, CB=b. Передбачається, що , , .

Рис. 2.6 [2]

Аналіз. Допустимо, що АВС - шуканий чотирикутник (рис. 2.6). Перенесемо сторону BC на вектор ВA, і нехай відрізок BC займе після переносу положення AE. Тоді в трикутнику AED відомі: AD=a, AE=b,

За цим даними трикутник AED може бути побудований.

Побудова.

Рис. 2.7 [2]

На довільній прямій будуємо відрізок AD=a (рис. 2.7). Через точку А проводимо промінь AM під кутом до променя AD. Відкладаємо на промені AM відрізок AE=b. Будуємо промінь EN, що утворить із EA кут і розташований із крапкою D по різні сторони від прямій AM. Будуємо промінь DK так, щоб був дорівнює й щоб промінь DK розташовувався по ту ж сторону прямої DE, що й промінь EN. Відзначаємо точку C перетинання променів EN і DK - третю вершину чотирикутника. Четверта вершина B знаходиться на перетинанні прямої AF, паралельної CE, із прямою CL, паралельної AE.

Доведення.

Основна ідея методу подібності полягає в наступному.

Спочатку будують фігуру, подібну шуканій так, щоб вона задовольняла всім умовам задачі, крім одного. Потім будують уже шукану фігуру, як фігуру, подібну побудованій й задовольняючій опущеній вимозі.

Метод подібності знаходить застосування звичайно у випадках, коли серед даних лише одне є відрізком, а всі інші дані - або кути, або відносини відрізків.

Звичайно доцільно допоміжну фігуру будувати так, щоб вона була подібна не тільки шуканій, але й подібно розташована з нею. Успіх рішення залежить у цих випадках від вибору центра подібності.

При рішенні задач на побудову методом подібності часто корисно скористатися наступним зауваженням. Якщо дві фігури подібні, то коефіцієнт подібності дорівнює відношенню будь-яких двох відповідних відрізків. Якщо відрізкам a, b, c,…фігури Ф відповідають відрізки a₁, b₁, c₁,…подібної фігури Ф₁, то коефіцієнт подібності дорівнює також відносинам:

Задача 2.6. Побудувати рівнобедрений трикутник по куту при вершині й сумі основи з висотою.

Аналіз. Шуканий трикутник повинен задовольняти трьом умовам:

1) він повинен бути рівнобедреним; 2) кут при вершині повинен дорівнювати даному куту ; 3) сума основи й відповідної висоти повинна дорівнювати даному відрізку .

Зауважуємо, що легко побудувати трикутник, що задовольняє першим двом умовам. Таких трикутників існує нескінченно багато. Нехай ми побудували один з них - трикутник (рис. 2.9), причому .

Рис. 2.9 [4]

Шуканий трикутник, що задовольняє умовам 1)-3), будемо шукати серед трикутників, подібних до трикутника щодо якого-небудь центра подібності, наприклад, щодо точки . Нехай - шуканий трикутник. Ясно, що (або ). Нехай - висота трикутника , - точка перетинання прямих і . Ясно, що - висота трикутника .

Якщо при деякому перетворенні подібності точці відповідає точка , то точкам і відповідають точки й . Знайдемо коефіцієнт подібності, що перетворить трикутник у трикутник . За умовою даний відрізок такий, що . Крім того, маючи у своєму розпорядженні побудований трикутник , ми можемо побудувати відрізок , дорівнює сумі . Тоді шуканий коефіцієнт подібності дорівнює , тобто . Отже, трикутник подібний до трикутника щодо центра подібності , причому коефіцієнт подібності дорівнює . За цим даними шуканий трикутник може бути побудований.

Побудова.

Рис. 2.10 [4]

1. Будуємо довільний трикутник (рис. 2.10), що задовольняє умовам 1) і 2) (так, що й ).

2. Будуємо висоту цього трикутника й на продовженні відрізка відкладаємо відрізок так, що . Цю суму позначимо через .

3. Будуємо на промені точку таку, що .

4. Будуємо трикутник , що відповідає трикутнику щодо центра подібності , причому коефіцієнт подібності дорівнює . Для цього послідовно будуємо , . Трикутник шуканий.

Доведення. Нехай . Тому що , то

.

Тому .

Але по побудові. Виходить, . Отже, задовольняє умові 3). Очевидно, що він задовольняє й умовам 1) і 2).

Дослідження. Всі кроки проведеної побудови однозначно здійсненні. Тому даний спосіб побудови дає єдине рішення. Усякий інший трикутник , що задовольняє умовам задачі, повинен бути подібний до побудованого трикутника . Тому для всякого іншого рішення , отриманого яким-небудь іншої шляхом, будуть виконуватися співвідношення:

.

Тому що , те й , звідки ясно, що . Таким чином, усякий інший прийом побудови приведе до того ж рішенню, так що задача розв'язна однозначно.

Задача 2.7. У даний гострокутний трикутник вписати квадрат так, щоб дві вершини квадрата лежали на основі трикутника, а дві - на бічних сторонах.

Аналіз. Потрібно побудувати квадрат, що задовольняє наступним умовам: 1) дві його вершини повинні лежати на ; 2) одна вершина - на ; 3) одна вершина - на .

Зауважуємо, що легко побудувати квадрат, що задовольняє першим двом умовам. Нехай це буде квадрат (рис. 2.11).

Рис. 2.11 [4]

Ясно, що при перетворенні подобі із центром і будь-яким коефіцієнтом подібності квадрат перетвориться у квадрат , притім також задовольняючим умовам 1) і 2). При цьому точка виявиться свідомо на прямій .

Щоб вирішити задачу, потрібно серед квадратів подібних до квадрата , вибрати той, у якого точка лежить на .

У такому випадку точка виявиться крапкою перетинання прямих і . Звідси випливає побудова.

Побудова.

1. Будуємо довільний квадрат , що задовольняє умовам 1) і 2) (рис. 2.12).

2. Будуємо пряму й відзначаємо точку її перетинання зі стороною .

3. Через точку проводимо пряму, паралельну , і відзначаємо точку , у якій вона перетинає сторону .

4. З і опускаємо на перпендикуляри й . Отриманий прямокутник - шуканий квадрат.

Справді, - квадрат, тому що по самому способі побудови він подібний до квадрата . Крім того, він, мабуть, задовольняє всім іншим вимогам задачі. Задача завжди однозначно розв'язна.

Рис. 2.12 [4]

2.2.3 Метод інверсії

Нехай на площині дана окружність (рис. 2.13). Нехай - довільна точка площини, відмінна від точки . Зіставимо їй точку , що задовольняла б двом умовам:

1) точка лежить на промені ;

2) .

Таку точку називають інверсною або зворотною точці щодо окружності . Окружність називають базисною окружністю інверсії, її центр - центром інверсії, а радіус - радіусом інверсії.

Перетворення, при якому кожній точці деякої фігури ставиться у відповідність інверсна їй точка, називається інверсією. Фігура, утворена всіма точками, інверсними точкам даної фігури, називається інверсної стосовно даної фігури.

Рис. 2.13 [2]

Сутність методу інверсії полягає в наступному. Поряд з даними й шуканими фігурами розглядаємо фігури, інверсні їм або їхнім частинам. Іноді цього виявляється досить для находження таких зв'язків між шуканими й даними, які потрібні для рішення задачі.

У більшості випадків рішення задачі зводиться до побудови фігури, інверсною шуканій, у припущенні, що вже побудовано фігуру, інверсну даній. Ця остання задача, при вдалому виборі базисної окружності, може виявитися простіше даної задачі. Метод інверсії дає можливість вирішити ряд найбільш важких конструктивних задач елементарної геометрії.

Недоліком цього методу є його громіздкість, пов'язана з необхідністю виконати велику кількість побудов.

Задача 2.8. Через дві дані точки й провести окружність, ортогональну даної окружності (рис. 2.14).

Дві окружності називаються ортогональними, якщо вони перетинаються під прямим кутом (тобто під прямим кутом між дотичними, проведеними в точці їхнього перетинання).

Аналіз. Якщо приймемо окружність за базисну окружність, то при інверсії шукана окружність перетвориться в себе, а точки й перейдуть у точки й на цій окружності. Але окружність повністю визначається, якщо відомі три точки на ній, наприклад , і . Звідси випливає побудова.

Побудова.

Рис. 2.14 [2]

Будуємо точку , інверсну точці щодо окружності . Будуємо окружність , що проходить через точки , і . - шукана окружність. Якщо точка лежить на окружності , то точка збігається із точкою й зазначений шлях рішення непридатний. У цьому випадку потрібно провести аналогічну побудову щодо точки . Якщо обидві точки , лежать на окружності , то побудову можна виконати так: через і проводимо дотичні до окружності й відзначивши точку їхнього перетинання . - центр шуканої окружності.

Ці побудови непридатні, якщо точки , і розташовані на одній прямій. Якщо при цьому точки й не інверсні, то задача не має рішення. Якщо ж точки й інверсні щодо окружності , то задача має нескінченно багато рішень: будь-яка окружність, що проходить через точки й , ортогональна окружності .

Задача 2.9. Дано точку й дві не минаючі через неї прямі й . Провести через точку такий промінь, щоб добуток його відрізків від точки до точок перетинання з даними прямими дорівнював квадрату даного відрізка.

Рис. 2.15 [2]

Аналіз. Нехай (рис. 2.15) - дана точка, і - дані прямі, - шуканий промінь, так що , де - даний відрізок.

Інверсія щодо окружності переведе точку в точку , а пряму - у деяку окружність , що проходить через точку . У такий спосіб .

Побудова. Будуємо послідовно: 1) окружність ; 2) образ прямої в інверсії відносно ; 3) точку ; 4) промінь Ю який і задовольняє умові задачі.

Доведення. Нехай . Тоді - прообраз точки в інверсії відносно , тому що пряма - прообраз окружності . Отже, по визначенню інверсії, .

Дослідження. Можливі наступні випадки:

1) окружність перетинає пряму (два рішення);

2) окружність стосується прямій (одне рішення);

3) окружність не має загальних точок із прямій (рішень немає).

Тому що шукана точка обов'язково відповідна точці в інверсії відносно , те точка повинна бути загальною крапкою прямій і окружності . Звідси витікає, що інших рішень, крім знайдених, задача мати не може.

2.3 Алгебраїчний метод

Задача 2.9. (задача про подвоєння квадрата.) Побудувати квадрат, площа якого вдвічі більше площі даного квадрата.

Аналіз. Позначимо сторону даного квадрата через , а сторону шуканого квадрата через . Тоді .

Побудова. Будуємо тепер відрізок по отриманій формулі: - гіпотенуза рівнобедреного трикутника з катетом . Побудувавши відрізок , легко потім побудувати шуканий квадрат (рис. 2.15).

Рис. 2.15 [2]

Задача 2.10. З вершин даного трикутника, як із центрів, описати три окружності, що стосуються попарно зовнішнім образом.

Аналіз. Нехай АВС (рис. 2.16) - даний трикутник, а, b, c - його сторони, х, в, z - радіуси шуканих окружностей. Виразимо х, в, z через а, b, c.

Тоді

Тому

звідки , ,

Побудова.

Рис. 2.16. [2]

1. Проводимо окружність S₁(A, x).

2. Проводимо окружність S₂(B, c - x).

3. Проводимо окружність S₃(C, b - x).

Доведення. Знайдемо суму радіусів окружностей S₂ і S₃:

= ВР.

Одержали, що сума радіусів дорівнює відстані між центрами окружностей, що й доводить торкання окружностей S₂ і S₃.

Дослідження. Задача завжди однозначно розв'язна, оскільки:

1. У трикутнику АВС сума сторін , і тому відрізок х може бути побудований.

2. , тому що тому що .

3. , тому що .

Задача 2.11. Побудувати прямокутний трикутник по гіпотенузі й бісектрисі прямого кута.

Аналіз. Задача легко зважиться після того, як удасться визначити висоту шуканого трикутника, проведену з вершини прямого кута. З рис. 2.15 видно, що , тобто

або .

Рис. 2.17 [4]

Залишається виключити із цього співвідношення два невідомих катети й . Для цього потрібно скласти ще два незалежних рівняння, яким задовольняють ці катети:

Звідси або . Тоді з формули маємо або .

Таким чином, шукана висота визначається з рівняння

,

з якого знаходимо єдине позитивне рішення:

.

Побудова. Будуємо відрізок по формулі . На довільній прямій відкладаємо відрізок . На , як на діаметрі, будуємо окружність. Проводимо пари прямих, паралельних , на відстані від цій прямій (рис. 2.18). Відзначаємо точку перетинання цих прямих з окружністю. Трикутник шуканий.

Рис. 2.18 [4]

Доведення випливає з оборотності всіх наведених в аналізі міркувань.

Дослідження. Перебираючи послідовно кроки побудови, зауважуємо, що останній крок виконаємо того й тільки тоді, коли , тобто коли

.

Після спрощення ця умова приймає вид: .

Якщо , то пари прямих і окружність перетинаються в чотирьох точках, так що ми одержимо чотири трикутники, що задовольняють умові задачі. Однак вони всі рівні. Тому задача має єдине рішення.

Якщо ж , то пари прямих стосується окружності, і ми одержимо два рівнобічних прямокутних трикутники, що задовольняють умові задачі. Ці трикутники також рівні між собою, задача має єдине рішення. Отже, спосіб завжди дозволяє знайти єдине рішення задачі, якщо виконано умову: .

3. Багатоходові задачі на побудову n-мірних правильних вписаних

в коло багатогранників з використанням лінійки та циркуля

Як відомо, навколо правильного многокутника завжди можна описати коло. Тому задача на побудову правильного n-кутника зводиться до поділу кола на п рівних частин циркулем і лінійкою. Не викликає труднощів поділ кола на 3, 4, 6 рівних частин, а отже, й побудова правильних трикутника, чотирикутника і шестикутника.

У загальному випадку питання про побудову правильних n-кутників циркулем і лінійкою в основному розв'язане німецьким математиком К. Гаусом (1777-1855). Він довів таку теорему (наводимо її без доведення).

Теорема Гаусса. Побудову правильного n-кутника циркулем і лінійкою можна виконати тільки для таких натуральних n, які можна подати у вигляді 2^m, р₁ р₂,...,р₃, де р₁ р₂,...,p₃ - прості числа виду 2^2k + 1. Якщо n - просте число, то для побудови правильного n-кутника циркулем і лінійкою необхідно й достатньо, щоб число п можна було подати у вигляді 2^2к + 1.

Можна перевірити, що п = 3 при k = 0; п =5 при k = 1; п = 17 при k = 2; n=257 при k = 3; n = 65 537 при k = 4.

Отже, циркулем і лінійкою можна побудувати, крім правильних трикутників, чотирикутників, шестикутників, також правильні п'ятикутник, сімнадцятикутник і т. д. Зауважимо, що коли можна побудувати правильний n-кутник, то можна побудувати також 2n-кутник і взагалі 2^m * n-кутник. Отже, циркулем і лінійкою можна побудувати правильні многокутники з числом сторін 3, 4, 5, а також шестикутник, восьмикутник, десятикутник, дванадцятикутник, п'ятнадцятикутник.