Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Понятие многочленов

Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором числа и буквы связаны только двумя действиями - умножением и возведением в натуральную степень.

Например, каждое из алгебраических выражений

8; a; -10; bc; 4a; - c; -a·b²·c²; m·n·p⁴·k;

является одночленом. Если в одночлене произведение всех чисел записать перед буквами, а произведение каждой его буквы и ее степеней представить в натуральной степени этой буквы, то после такого преобразования одночлен считается записанным в стандартном виде, а его числовой множитель называется коэффициентом одночлена.

Степень одночлена, представляющего собой число, считается равной нулю.

Чтобы умножить одночлен, нужно перемножить их коэффициенты и перемножить степени с одинаковыми основаниями.

Чтобы возвести одночлен в степень, нужно возвести его коэффициент в эту степень и умножить показатель степени каждой буквы на показатель степени, в которую возводится одночлен.

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.

Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами. Одночлен есть частный случай многочлена.

Одночлены называются подобными, если, будучи записанными в стандартном виде, они совпадают или различаются только коэффициентами.

Например, одночлены 2a³·a; a⁴; 7a²; -5a⁴ подобны.

Подобные члены многочлена можно объединить в один член, им подобный, с коэффициентом, равным алгебраической сумме коэффициентов объединяемых членов; такая их замена называется привидением подобных членов.

Многочлен, содержащийся в скобках, перед которыми стоит знак плюс, можно записать без скобок, сохранив знаки, стоящие перед его одночленами.

Например: 1+3a+(8b-4kc-5k+x) = 1+3a 8b-4kc-5k+x.

Многочлен, содержащийся в скобках, перед которыми стоит знак минус, можно записать без скобок, поменяв знак, стоящий перед каждым его одночленом, на противоположный.

Например: 4x - (4a-3bx+4ab-x²) = 4x-4a+3bx-4ab+x².

Суммой (разностью) двух многочленов называется многочлен, коэффициенты которого являются суммой (разностью) коэффициентов при подобных членах этих многочленов. Например, разность многочлена 5x+7y·x-3b и многочлена 4x-2y+5x·y есть многочлен x+2xy+2y-3.

Часто на практике для нахождения суммы и разности многочленов используют указанное выше правило раскрытия скобок.

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить каждый член первого многочлена на одночлен и сложить полученные одночлены.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и полученные одночлены сложить.

Пример. (x+y)·(x-a-b)=x·x+x·(-a)+x·(-b)+y·x+y·(-a)+y·(-b)=x²-ax-xb+yx-ya-yb;

Свойства степеней для многочленов аналогичны соответствующим свойствам для чисел.

Пример. (a²+1)⁰=1;

а) (a²+a)⁰=1, если a0, a-1;

Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называется разложением многочлена на множители. Для разложения многочлена на множители применяются различные методы: формулы сокращенного умножения, вынесение общего множителя за скобки, метод группировки и др.

При разложении на множители бывает полезным использовать метод выделения полного квадрата относительно некоторой буквы (или выражения) с помощью формулы

P²2PQ+Q²=(PQ)².

Например,

a)

b) x²+4x+8=x²+2·2·x+2²+4=(x+2)²+4;

c) a²·b²-a·b+1=(a·b)²-2··a·b++=(a·b-)²+;

2. Многочлены от одной переменной

Многочлен P_n(x) относительно переменной x вида

P_n(x) = a₀·xⁿ + a₁·x^n-1+ a₂·x^n-2+ … + a_n-1·x+ a_n, (1),

многочлен коэффициент степень разложение

где a₀, a_1, a₂… a_n - действительные числа и a₀ 0, называется многочленом, расположенным по убывающим степеням x, или многочленом, представленном в каноническом виде.

Числа a₀, a_1, a₂… a_n называются его коэффициентами, одночлен a₀·xⁿ - называют старшим членом, а число n-степенью многочлена.

Если у многочлена, представленного в каноническом виде, отсутствует некоторая степень x, то коэффициент соответствующего одночлена равен нулю.

Два многочлена, представленные в каноническом виде, тождественно равны, если равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях x.

Пример. Найти числа если многочлен x³+6x²+x+ является кубом двучлена x+.

Решение. Используя определение тождественного равенства двух многочленов, получаем систему:

откуда

Если многочлены Р_n(x), Q_m(x), и K_l(x) таковы, что справедливо тождественное равенство

то говорят, что каждый из многочленов и является делителем многочлена При этом говорят, что многочлен делится (нацело) на многочлен (или , и тогда многочлен (соответственно ) называют частным от деления многочлена на многочлен (соответственно .

Доказывается, что если многочлен степени n делится на многочлен степени m, то частным от деления будет многочлен степени n-m и этот многочлен единственный.

Отсюда следует, что если многочлен степени n делится на многочлен степени n, то , где , т.е. коэффициенты этих многочленов пропорциональны. Например если известно, что многочлен 2x²+b·x+c делится на многочлен x²-x+1, то b= -2 и c=2.

3. Свойства делимости многочленов

1. Если многочлен делится на многочлен , а многочлен делится на многочлен , то многочлен делится на многочлен .

Например, многочлен x⁴-1 делится на многочлен х+1, поэтому многочлен х⁴-1 также делится на многочлен x²+1.

2. Если многочлены Р_n(x) и Q_m(x) делятся на многочлен , то многочлены

Р_n(x)+ Q_m(x) и Р_n(x) - Q_m(x) делятся на многочлен , а многочлен Р_n(x)· Q_m(x) делится на многочлен .

Например, каждый из многочленов x³-1 и 5·x²-x-4 делится на многочлен x-1; поэтому многочлен x³+5·x²-x-5, равный их сумме, и многочлен x³-5·x²+x+3, равный их разности, делится на x-1, а многочлен 5·x⁵-x⁴-4·x³-5·x²+x+4, равный их произведению, делится на многочлен (x-1)² = x²-2x+1.

3. Если многочлен Р_n(x) делится на многочлен Q_m(x), то произведение многочлена Р_n(x) на любой многочлен также делится на многочлен Q_m(x).

Например, многочлен x²-x+1 делится на x²-x+1; поэтому многочлен x⁴+x²+1, равный произведению многочленов x²-x+1 и x²+x+1, делится на многочлен x²-x+1.

4. Многочлены Р_n(x) и Q_m(x) тогда и только тогда делятся друг на друга, когда

Р_n(x)=C· Q_m(x), где C0.

Пример. Известно, что многочлен x³+x+1 и многочлен Р_n(x) делятся друг на друга и Р_n(0) = 3. Найти многочлен Р_n(x).

Решение. Из свойства 4 следует Р_n(x) =c·(x³+x+1).Так как Р_n(0) = 3, то c = 3. Итак, Р_n(x) = 3x³+3x+3.

5. Если многочлен Р_n(x)= Q_m(x)· делится на двучлен x-, то хотя бы один

из многочленов - Q_m(x) или - делится на x-.

Например, так как многочлен x⁴-1 делится на двучлен x-1 и x⁴-1=(x+1)·

(x³-x²+x-1), то многочлен x³-x²+x-1 делится на двучлен x-1.

Разделить с остатком многочлен Р_n(x) на многочлен (m) это значит найти многочлены и (x) такие, что справедливо тождественное равенство

Р_n(x)= ·+(x),

где 0k<m. При этом многочлен называется частным, а многочлен (x) - остатком.

Заметим, что если многочлен Р_n(x) делится с остатком на многочлен , то существует единственная пара многочленов и (x) таких, что Р_n(x)= ·+(x), причем l = n-m, 0k<m.

Любой многочлен P_x(x) делится на многочлен T_m(x) (mn) либо нацело, либо с остатком. В первом случае (при делении нацело) частное от деления, а во втором случае (при делении с остатком) частное и остаток можно найти методом неопределённых коэффициентов.

4. Метод неопределённых коэффициентов

Даны многочлен: P_x(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+ … +a_n-1·x+a_n степени n и T_m(x)=b₀x^m+b₁x^m-1+ … +b_m-1·x+b_m степени m (mn).

Положим частное q_n-m(x)=x^n-m+c₁x^n-m-1+ … +c_n-m (1)

и остаток r_l(x)=d₀x^m-1+d₁x^m-2+ … +d_m-1, (2)

где числа c1, c2, …, c_n-m и d₀, …, d_m-1 не определены.

Напишем тождественное равенство

P_n(x)=T_m(x)·q_n-m(x)+r_l(x). (3)

Перемножая многочлены T_m(x) и q_n-m(x) и приводя подобные члены, в правой части равенства (3) получим многочлен n-ой степени, который записывается в каноническом виде. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х этого многочлена и многочлена P_n(x), получим систему n уравнений, решая которую находим числа c₁, c₂, …, c_n-m, d₀, d₁,…, d_m-1.

Если окажется, что все числа d₀, d₁, …, d_m-1 равны нулю, то это означает, что многочлен P_n(x) делится нацело на многочлен T_m(x). Если хотя бы один из коэффициентов d_0, d_1, …, d_m-1 отличен от нуля, то многочлен P_n(x) делится на многочлен T_m(x) с остатком, при этом степень остатка l равна максимальной степени одночлена от x правой части (2), при котором коэффициент не равен нулю.

Пример. Разделить многочлен 2x⁴+x³-5x²-x+1 на многочлен x²-x.

Решение. Ищем частное от деления многочленов в виде многочлена q₂(x)=2x²+c₁x+c₂, а остаток в виде многочлена r₁(x)=d₀x+d₁. Имеем тождественное равенство 2x⁴+x³-5x²-x+1=(2x²+c₁x+c₂)·(x²-x)+d₀x+d₁. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем 2x⁴+x³-5x²-x+1=2x⁴+(c₁-2)·x³+(-c₁+c₂)·x²+(d₀-c₂)·x+d₁.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, имеем систему

c₁-2=1,

- c₁+c₂=-5,

d₀-c₂=-1,

d₁=1,

откуда c₁=3, c₂=-2, d₀=-3, d₁=1.

Следовательно, q₂(x)=2x²+3x-2, а r₁(x)=-3x+1, т.е.

2x⁴+x³-5x²-x+1=(2x²+3x-2)·(x²-x)-3x+1.

Пример. Разделить многочлен -12x⁶+4x⁵-3x⁴+4x³+8x²-1 на многочлен x²+1.

Решение. Ищем частное от деления многочленов в виде многочлена q₄(x)=-12x⁴+c₁·

·x³+c₂x²+c₃x+c₄, а остаток в виде многочлена r₁(x)=d₀x+d₁. Имеем тождественное равенство

-12x⁶+4x⁵-3x⁴+4x³+8x²-1=(-12x⁴+c₁x³+c₂x²+c₃x+c₄)·(x²+1)+d₀x+d₁, или

-12x⁶+c₁x⁵+(c₂-12)·x⁴+(c₃+c₁)·x³+(c₄+c₂)·x²+(c₃+d₀)·x+c₄+d₁.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему:

откуда c₁=4, c₂=9, c₃=0, c₄=-1, d₀=0, d₁=0.

Следовательно, q₄(x)=-12x⁴+4x³+9x³+9x²-1 и r₁(x)=0, т.е.

многочлен -12x⁶+4x⁵-3x⁴+4x³+8x²-1 нацело делится на многочлен x²+1 и

-12x⁶+4x⁵-3x⁴+4x³+8x²-1=(-12x⁴+4x³+9x²-1)·(x²+1).

5. Деление многочленов на многочлен «столбиком» (или «углом»)

Проиллюстрируем этот метод на примере деления многочлена 2x⁴-3x³+4x²+1 на многочлен x²-1:



В общем случае при делении многочлена P_n(x) на многочлен T_m(x) «столбиком» многочлены P_n(x) и T_m(x) располагают по убывающим степеням x. Затем старший член многочлена P_n(x) делят на старший член многочлена T_m(x) и получают старший член частного-многочлена q(x) умножают затем на делитель-многочлен T_m(x) и полученный многочлен вычитают из многочлена P_n(x). В результате вычитания получается некоторый многочлен D₁(x), степень которого меньше n.

Если степень многочлена D₁(x) меньше m, то процесс деления окончен, при этом многочлен D₁(x) - остаток. Если степень многочлена D₁(x), больше или равна m, то описанная процедура деления повторяется для многочлена D₁(x), т.е. старший член многочлена D₁(x) делят на старший член многочлена T_m(x) и полученный многочлен вычитают из многочлена D₁(x). В результате вычитания получается многочлен D₂(x), степень которого меньше n-1. Если степень многочлена D₂(x) меньше m, то процесс деления окончен, при этом многочлен D₂(x) - остаток. Если же степень многочлена D₂(x) больше или равна m, то описанная процедура деления повторяется для многочлена D₂(x). Процесс продолжается до тех пор, пока степень полученного на k-м шаге многочлена D_k(x) станет меньше степени многочлена T_m(x), т.е. меньше m. При этом многочлен D_k(x) - остаток.



При делении многочлена P_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+ … +a_n-1x+a_n, расположенного по убывающим степеням x, на двучлен применяется метод сокращённого деления, называемой схемой Горнера. Этот метод есть непосредственное следствие метода неопределённых коэффициентов. Заметим, что при делении многочлена P_n(x) степени n на двучлен в частном получается многочлен Q_n-1(x)=a_0·x^n-1+b_1·x^n-2+ … +b_n-1 степени n-1, а в остатке - число (в частности, нуль). По методу неопределённых коэффициентов имеем

т.е.

+…

+ (4)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части равенства (4), находим

Откуда получаем рекуррентные формулы для нахождения коэффициентов частного b₁, b₂, …, b_n-1 и остатка r:

Практически вычисление коэффициентов частного Q_n-1(x) и остатка r проводится по следующей схеме (схема Горнера):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В этой схеме, начиная с коэффициента b₁, каждое число третьей строки получается из предыдущего числа этой строки умножением на число и прибавлением к полученному результату соответствующего числа первой строки, стоящего над искомым числом.

При делении многочлена P_n(x) на x- имеем тождественное равенство

P_n(x) =(x - )· Q_n-1(x)+r.

Оно справедливо, в частности, при x =, т.е. P_n() = r

Следующая теорема позволяет найти остаток от деления многочлена на двучлен, не находя частного.

6. Теорема Безу и её следствия

Остаток от деления многочлена P_n(x) на двучлен x - равен значению многочлена P_n(x) при x =, т.е. r = P_n().

Число называется корнем многочлена P_n(x), если при x = числовое значение многочлена равно нулю, т.е. P_n(x)= 0.

Замечание: При делении многочлена P_n(x) на двучлен вида ax+b получается остаток, равный значению этого многочлена при x = т.е. r = P_n(-).

Следствия

1. Многочлен P_n(x) делится на x- тогда и только тогда, когда число является корнем многочлена P_n(x).

2. Многочлен xⁿ-ⁿ делится на x- при любом натуральном n, причем

= .

3. Многочлен x²ⁿ-²ⁿ делится на x+ при любом натуральном n, причем

= .

4. Многочлен x²ⁿ⁺¹+²ⁿ⁺¹ делится на x+ при любом натуральном n, причем

А для всякого многочлена P_n(x) (n2) существует двучлен x- такой, что многочлен P_n(x) делится нацело на этот двучлен x-. Примером этого может служить многочлен второй степени вида a·x²+b·x+c, a0, в случая, когда b² - 4·a·c < 0.

Многочлен a·x²+b·x+c, где a0, называется квадратным трехчленом.

Проведем преобразование квадратного трехчлена, которое называется выделением полного квадрата:

a·x²+b·x+c = a·(x²+·x+) =

= a·(x²+2x· +()²+ - ()²) =

a·((x+)² +-) = a·(x+)² - .

выражение b² - 4·a·c называется дискриминантом квадратного трехчлена и обозначается D, т.е. по определению D= b² - 4·a·c. Если D > 0, то квадратный трехчлен представим в виде

a·x²+b·x+c = a·(x+)²- = a·(x+)²- ² =

=a·(x+ +)·(x+ -) =

=a·(x-)·(x +),

т.е. в этом случае квадратный трехчлен разлагается в произведение двух линейных множителей, а каждое из чисел

x₁ = и x₂ =

является корнем квадратного трехчлена.

Если D = 0, то квадратный трехчлен представим в виде

a·x²+b·x+c = a·(x+)²,

т.е. разлагается в произведение двух совпадающих линейных множителей и обращается в нуль при x = (корень кратности два).

При D > 0 квадратный трехчлен на линейные множители не разлагается и не имеет действительных корней.

Пример. Разложить на множители квадратный трехчлен:

1) 2·x² -12·x +18;

2) 3·x²-3·x -6;

3) x²-x +1.

Решение.

1) Так как D = 12² - 8·18 =0, то x₁=x₂=3; следовательно,

2·x² -12·x +18 = 2·(x-3)²;

2) так как D = 9+4·3·6 >0, то x₁=2 и x₂=-1;

следовательно, 3·x²-3·x -6=3·(x-2)·(x+1);

3) так как D=1-4<0, то квадратный трехчлен x²-x +1 не имеет действительных корней и на линейные множители не разлагается.

Заметим, что если D 0, то для корней x₁ и x₂ квадратного трехчлена a·x²+b·x+c справедливы равенства (Теорема ВИЕТА):

x₁·x₂ = и x₁+x₂ = -.

Справедливо и обратное утверждение: если числа и таковы, что ·= и +=-, то они являются корнями квадратного трехчлена a·x²+b·x+c.

В случае приведенного квадратного трехчлена x² +p·x+q иногда легко найти два таких числа, произведение которых равно свободному члену q, а их сумма равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. - p. Согласно теореме Виета, эти найденные числа и являются корнями приведенного квадратного трехчлена x² +p·x+q.

Для любого многочлена степени больше 2 доказывается, что существует квадратный трехчлен, на который данный многочлен делится нацело.

Для многочлена третьей степени P₃(x)=a·x³+b·x²+c·x+d из двух: либо он разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена, т.е.

P₃(x)=a·(x-)·(x)·(x-),

где числа не обязательно различные, либо он разлагается в произведение двучлена и квадратного трёхчлена, т.е.

P₃(x)=a·(x-)·(x²+).

7. Утверждения о корнях многочлена

1. Многочлен n-й степени имеет не более n действительных корней (с учётом их кратностей).

2. Многочлен нечётной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. (Теорема Виета). Если x₁, x₂, …, x_n-действительные корни многочлена

P_n(x)=a₀·xⁿ+a₁·x^n-1+ … +a_n, то имеют место следующие равенства:

4. Если P_n(x)=Q_m(x)·K_l(x), то каждый корень многочлена P_n(x) есть корень хотя бы одного из многочленов Q_m(x) и K_l(x), а каждый корень многочлена Q_m(x) и каждый корень многочлена K_l(x) являются корнями многочлена P_n(x).

5. Если - корень многочлена P_n(x), то P_n(x) = (x-)· Q_m-1(x), где Q_m-1(x) - некоторый многочлен степени n-1.

Нахождение корней многочлена представляет собой в общем случае не простую задачу, однако в тех случаях, когда многочлен P_n(x) разложен в произведение многочленов, степень каждого из которых не больше 2, эту задачу удается решить полностью, так как по свойству 4 множество корней многочлена P_n(x) совпадает с множеством корней его делителей.

Для того чтобы несократимая дробь p/q (p-целое, q-натуральное) была корнем многочлена

P_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+ … +a_n-1x+a_n

С целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было делителем свободного члена a_n, а число q-делителем старшего коэффициента a₀.

В частности, если многочлен P_n(x) имеет целые коэффициенты и a₀=1, то рациональными корнями такого многочлена могут быть только целые числа, которые являются делителями свободного члена a_n.

Пример. Найти корни многочлена

P(x)=2x³+x²-4x-2.

Решение. Выясним, имеет ли данный многочлен своим корнем рациональное число. Пусть несократимая дробь p/q является корнем данного многочлена, тогда, согласно приведённому выше утверждению, число p может принимать значения: -1, 1, -2, 2, а число q-может принимать значения 1, 2. Таким образом, рациональными корнями данного многочлена могут быть только следующие числа:

-2, -1, -, , 1, 2.

Непосредственной подстановкой каждого из этих чисел в данный многочлен получаем

P(-2)0, P(-1)0, P(-)0, P()0, P(1)0, P(2)0.

Следовательно, x =- является корнем данного многочлена P(x) и P(x)=(x+)·Q(x).

Применяя схему Горнера, находим выражение Q(x)=2x²-4, корнями которого являются числа и -. Поэтому данный многочлен имеет корни x₁=-, x₂= и x₃=-.

Пример. Разложить на множители многочлен P(x)=2x⁴+2x²+3x-2.

Решение. Выясним, имеет ли многочлен своим корнем рациональное число. Пусть несократимая дробь p/q является корнем данного многочлена, тогда число p может принимать значения -1, 1, -2, 2, а число q-значения 1 и 2. Таким образом, рациональными корнями данного многочлена могут быть следующие числа:

-2, -1, -, , 1, 2.

Непосредственной подстановкой каждого из этих чисел в многочлен получаем

P(-2)0, P(-1)0, P(-)0, P()0, P(1)0, P(2)0.

Так как P(-1)= P()=0, то числа -1 и являются корнями данного многочлена; следовательно, P(x)=(x+1)·(x-)·Q(x).

Многочлен Q(x) можно найти, например, делением «столбиком» многочлена P_n(x) на многочлен (x+1)·(x-)=x²+- или делением по схеме Горнера многочлена P_n(x) на x+1, а затем делением полученного частного на x- или методом неопределённых коэффициентов.

Найдём многочлен Q(x)=2x²+bx+c методом неопределённых коэффициентов.

Поскольку справедливо тождественное равенство

2x⁴-x³+2x²+3x-2=(x²+-)·(2x²+bx+c)

И свободный член многочлена, стоящего в левой части, равен -2, а свободный член многочлена, стоящего в правой части, равен -c, то c=4. Подставляя в тождество вместо c значение 4, а вместо х число 1, находим b:

2·1-1+2·1+3·1-2=(1+-)·(2·1+b·1+4), откуда b=-2.

Итак, Q(x)=2x²-2x+4.

Многочлен 2x²-2x+4 действительных корней не имеет и на множители не разлагается. Поэтому данный в условии задачи многочлен разлагается на множители следующим образом: 2x⁴-x³+2x²+3x-2=2 (x -)·(x²-x+2).

8. Разложения многочлена на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки и способ группировки. В ряде случаев, целесообразно заменить некоторые члены на сумму (разность) подобных слагаемых или ввести взаимно уничтожающиеся члены.

2. Использование формул сокращённого умножения. Иногда приходится выносить множители за скобки, группировать члены, выделять полный квадрат и только затем сумму кубов, разность квадратов или разность кубов представлять в виде произведения.

3. Использование теоремы Безу и метода неопределённых коэффициентов.

Пример. Разложить на множители:

P₃ (x)= x³+4x²+5x+2;

Так как P₃ (-1)=0, то многочлен P₃ (x) делится на x+1. Методом неопределённых коэффициентов найдём частное от деления многочлена

P₃ (x)= x³+4x²+5x+2 на двучлен x+1.

Пусть частное есть многочлен x²+. Так как x³+4x²+5x+2=(x+1)·(x²+)=

=x³+(+1)·x²+()·x+, получим систему:

Откуда . Следовательно, P₃ (x)=(x+1)·(x²+3x+2).

Поскольку x²+3x+2=x²+x+2x+2=x·(x+1)+2·(x+1)=(x+1)·(x+2), то P₃ (x)=(x+1)²·(x+2).

4. Использование теоремы Безу и деления «столбиком».

Пример. Разложить на множители

P₄ (x) = 5·x⁴+9·x³-2·x²-4·x -8.

Решение. Поскольку P₄ (1) = 5+9-2-4-8 = 0, то P₄ (x) делится на (x-1). Деление «столбиком» найдем частное

Следовательно,

P₄ (x) = (x-)·(5·x³+14x²+12x+8)=

= (x-1) ·P₃(x).

Так как P₃ (-2) = -40+56-24+8=0, то многочлен P₃ (x) = 5·x³+14x²+12x+8 делится на x+2.

Найдем частное делением «столбиком»:

Следовательно,

P₃ (x) = (x+2)·(5·x²+4x+4).

Так как дискриминант квадратного трехчлена 5·x²+4x+4 равен D = -24<0, то этот

квадратный трехчлен на линейные множители не разлагается.

Итак, P₄ (x) = (x-1)·(x+2)·(5·x²+4x+4)

5. Использование теоремы Безу и схемы Горнера. Полученное этими способами частное можно разлагать на множители любым другим или этим же способом.

Пример. Разложить на множители:

P₃ (x) = 2·x³ -5·x² -196·x+99;

Решение.

Если данный многочлен имеет рациональные корни, то они могут быть только среди чисел 1/2, 1, 3/2, 3, 9/2, 11/2, 9, 33, 99, 11.

Для нахождения корня данного многочлена воспользуемся следующим утверждением:

Если на концах некоторого отрезка значения многочлена имеют разные знаки, то на интервале (a; b) существует хотя бы один корень этого многочлена.

Для данного многочлена P₃(0) =99, P₃(1) = - 100. Следовательно, на интервале (0; 1) имеется по крайней мере один корень данного многочлена. Поэтому среди выписанных выше 24 чисел целесообразно вначале проверить те числа, которые принадлежат интервалу

(0; 1). Из этих чисел только число принадлежит этому интервалу.

Значение P₃(x) при x=1/2 можно находить не только непосредственной подстановкой, но и другими способами, например по схеме Горнера, так как P() равно остатку от деления многочлена P(x) на x-. Более того, во многих примерах этот способ предпочтительнее, так как одновременно находятся и коэффициенты частного.

По схеме Горнера для данного примера получим:

Так как P₃(1/2) = 0, то x =1/2 является корнем многочлена P₃(x), и многочлен P₃(x) делится на x-1/2, т.е. 2·x³-5·x²-196·x+99 =(x-1/2)·(2·x²-4·x-198).

Поскольку 2·x²-4·x-198 = 2·(x²-2·x+1-100) = 2·((x-1)²-10²) = 2·(x+9)·(x-11), то

P₃(x) = 2·x³-5·x²-196·x+99 = 2·(x-1/2)·(x+9)·(x-11).

Понятие кольца многочлена

Пусть К и L коммутативные кольца

Определение 1: Кольцо К называется простым расширением кольца K с помощью элементов x и пишут:

L=K[x], если выполняются условия:

подкольцо кольца

Основное множество K[x] обозначают сомволами L, K[x].

Определение 2: Простое расширение L=K[x] кольца K с помощью x - простое трансцендентное расширение кольца K с помощью x, если выполняются условия:

подкольцо кольца

, если , то

Определение 3: Элемент x называется трансцендентным над кольцом K, если выполняется условие: , если , то

Предложение. Пусть K[x] простое трансцендентное расширение. Если и , где , то

Доказательство. По условию , вычтем из первого выражения второе, получим: так как элемент x трансцендентен над K, то из (3) получим:.

Вывод. Любой элемент простого трансцендентного расширения неравного нулю, коммутативного кольца K с помощью элемента x допускает единственное представление в виде линейной комбинации целых неотрицательных степеней элемента x

Определение: Кольцом многочлена от неизвестного x над, неравным нулю, кольцом K называется простое трансцендентное расширение не нулевого коммутативного кольца K с помощью элемента x.

Теорема. Для любого не нулевого коммутативного кольца K, существует его простое трансцендентное расширение с помощью элемента x, k[x]

Операции над многочленами

Пусть k[x] кольцо многочленов не нулевого коммутативного кольца K

Определение 1: Многочлены f и g принадлежащие k[x], называются равными и пишут f = g, если равны между собой все коэффицинты многочленов f и g, стоящие при одних степенях неизвестного x.

Следствие. В записи многочлена порядок следования слагаемых не существенно. Приписывая и исключая из записи многочлена слагаемые с нулевым коэффициентом, не изменит многочлен.

Пусть ;

Определение 2. Суммой многочленов f и g называется многочлен f + g, определяемый равенством:

, где ; , .

Определение 3: - произведение многочленов, обозначается , который определяется по правилу:

, где .

Степень многочленов

Пусть коммутативное кольцо. k[x] кольцо многочленов над полем K : ,

Определение: Пусть - любой многочлен. Если , то целое неотрицательное число n - степень многочленов f. При этом пишут n=deg f.

Числа - коэффициенты многочлена, где - старший коэффициент.

Если , f - нормированный. Степень нулевого многочлена неопределенна.

Свойства степени многочлена

и .

ии

K - область целостности

Доказательство:

, так как и . К - область целостности .

Следствие 1: k[x] над полем К (область целостности) в свою очередь является областью целостности. Для любой области целостности существует область частности.

Следствие 2: Для любого k[x] над областью целостности К существует поле частных.

Деление на двучлен и корни многочлена.

Пусть , элемент называется значением многочлена f от аргумента .

Теорема Безу: Для любого многочлена и элемента , существует элемент : .

Доказательство: Пусть - любой многочлен

.

Следствие: Остаток от деления многочлена на , равно .

Определение: Элемент называется корнем многочлена f, если .

Теорема: Пусть , элемент является корнем f тогда и только тогда, когда делит f

Доказательство:

Необходимости. Пусть , , из теоремы Безу следует, что , из свойств делимости следует, что

Достаточности. Пусть , что . ч.т.д.

Максимальное число корней многочлена над областью целостности.

Теорема: Пусть k - область целостности . Число корней многочлена f в области целостности k не больше степени n многочлена f.

Доказательство:

Индукцией по степени многочлена. Пусть многочлен f имеет ноль корней, и их число не превосходит .

Пусть теорема доказана для любого .

Покажем, что из пункта 2 следует истинность утверждения теоремы для многочленов .

Пусть и , возможны два случая:

А) Многочлен f не имеет корней, следовательно, утверждение теоремы истинно.

Б) Многочлен f имеет, по крайней мере, корень, по теореме Безу , , так как k - область целостности то по свойству 3 (степени многочлена), следует, что

Пусть и

, так как , k - область целостности.

Таким образом, все корни многочлена , является корнем многочлена g так как , то по индукционному предположению, число всех корней многочлена g не больше n, следовательно, f имеет не больше (n+1) корень.

Следствие: Пусть k - область целостности, если число корней многочлена f больше числа n, где , то f - нулевой многочлен.

Алгебраическое и функциональное равенство многочленов

Пусть , - какой-то многочлен, он определяет некоторую функцию

в общем случае, любой многочлен может определять одну функцию.

Теорема: Пусть k- область целостности, таким образом, для равенства многочленов и равенство (тождественное равенство ()) определяемыми и .

Доказательство:

Необходимости. Пусть и - область целостности, , .

Пусть , то есть

Достаточности. Предположим, что . Рассмотрим , , так как k область целостности, то многочлен h имеет число корней, из следствия следует, что h нулевой многочлен. Таким образом, ч.т.д.

Теорема о делимости с остатком

Определение: Евклидовым кольцом K называется такая область целостности k, что на множестве определена функция h, приминающая целые неотрицательные значения и удовлетворяет условию

, и или .

В процессе нахождения элементов для данных элементов называется делением с остатком, - неполное частное, - остаток от деления .

Пусть - кольцо многочленов над полем .

Теорема (о делении с остатком): Пусть - кольцо многочленов над полем и многочлен существует единственная пара многочленов , такая, что и выполняется условие или . или

Доказательство: Существование многочлена. Пусть , то есть . Теорема верна, очевидно, если - нулевой или , так как или . Докажем теорему, когда. Доказательство проведём по индукции степени многочлена , предположим, что теорема доказана (кроме единственности), для многочлена . Покажем, что в этом случае утверждение теоремы выполнено для . Действительно, пусть - старший коэффициент многочлена , следовательно, многочлен будет иметь тот же старший коэффициент и тужу степень, что у многочлена , следовательно многочлен будет иметь или является нулевым многочленом. Если , то , следовательно, при и получим . Если , то по индуктивному предположению , следовательно, , то есть, при получаем или . Существование многочлена доказано.

Покажем, что такая пара многочленов единственна.

Пусть существует или , вычтем: . Возможны два случая или .

Пусть .

С другой стороны. По условию степени или , или .

Если . Получено противоречие, таким образом . Единственность доказана.

Следствие 1: Кольцом многочленов над полем , является Евклидово пространство.

Следствие 2: Кольцом многочленов над , является кольцом главных идеалов (любой идеал имеет единственную образующую)

Любое Евклидово кольцо факториально: Кольцо многочлена над , называется факториальным кольцом.

Алгоритм Евклида. НОД двух многочленов

Пусть кольцо многочленов над .

Определение 1: Пусть и , если существует многочлен , то остаток от деления равен нулю, то называется делителем многочлена и обозначается: ().

Определение 2: Наибольший общий делитель многочленов и называется многочлен :

и (- общий делитель и ).

( на любой общий делитель и ).

Наибольший общий делитель многочленов и обозначается НОД(;). К числу общих делителей любых многочленов относят все многочлены нулевой степени из , то есть не нулевого поля . Может оказаться так, что два данных многочлена и не имеют общих делителей, не являющиеся нулевыми многочленами.

Определение: Если многочлены и не имеют общих делителей не являющихся многочленами нулевой степени, то они называются взаимно простыми.

Лемма: Если многочлены от над полем , имеет место , то наибольшим общим делителем многочленов и ассоциированы НОД . ~

Запись (a~b) означает, что ( и ) по определению.

Доказательство: Пусть и

и , отсюда следует, что и поучаем, что - общий делитель многочлена и .

общий делитель и , получаем

Алгоритм Евклида

Пусть и многочлены из кольца над . Алгоритм Евклида, нахождения , заключается в том, что методом последовательного деления задача нахождения НОД многочленов и , сводится к задаче нахождения НОД двух многочленов меньшей степени.

Пусть , по теореме о делимости с остатком существуют многочлены , возможны два случая:

,

, по теореме о делимости с остатком , в этом случае разделим с остатком на : . Предположим . Продолжим процесс деления по изложенной схеме до появления нулевого остатка от деления. Получим следующую цепочку последовательности деления:

и

и

…

и

. Полученная цепочка последовательности деления конечна, так как , и при этом - целое неотрицательное число, следовательно, существует конечное число целых неотрицательных чисел меньше степени , является степенями полученных остатков от деления. По лемме: .

Таки образом, , при последовательном делении с помощью алгоритма Евклида.

Наименьшее общее кратное

Пусть кольцо многочленов над .

Определение: многочлен называется наименьшим общим кратным многочленов и , если выполняются условия:

, - общее кратное и .

.

- наименьшее среди всех общих кратных многочленов и .

Используем следующие обозначения - произвольный отрезок. Наименьшее общее кратное и - нормированное. Символом НоК обозначается нормированное наименьшее общее кратное.

Замечание: Для произвольных многочленов и , существует (пересечение главных идеалов)

,

.

Теорема (связь НОД и НОК): Пусть и - произвольные многочлены от над , таким образом, имеет место следующее отношение: .

Доказательство: Введём обозначения . Рассмотрим многочлен .

, таким образом, существуют и , такие, что , где .

Рассмотрим , тогда и и , таким образом .

Получили , ч.т.д.

Пример: , найти

Решение:

Таким образом

Ответ:

Формальная производная многочлена. Неприводимые кратные многочлена

Пусть кольцо многочленов , образующие . Пусть - простое трансцендентное расширение с помощью .

. Элемент - многочлен от переменной , коэффициент которой является многочленом от переменной над . Если и зависит от , то пишут через . Если зависит от , то пишут через .

Пусть , , обозначим , таким образом: . .

Определение 1: Пусть . Формальной производной многочлена называется многочлен , формальная производная обозначается или.

Свойства производных

Для любых многочленов и

1°

2°

3°

4°

Доказательство 1°

Таким образом: , ч.т.д.

Доказательство 2°

,

ч.т.д.

Доказательство 3°

Следует из свойств 2° при ;

Доказательство 4° следует из свойства 2° при индукцией по степени .

Размещено на Allbest.ru