Основы математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

37

МНОЖЕСТВА

Множество - это простейшее математическое понятие, которому нельзя дать формального определения, основываясь на более простых понятиях.

Элементами множества называются объекты любой природы, составляющие это множество.

Пустым называется множество, не содержащее ни одного элемента

Обозначение: Ш

Заданное множество: Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или нет.

Характеристическое свойство множества - это свойство, которым обладают все элементы данного множества, и только они.

Обозначение: A={y | характеристическое свойство}

Подмножество: Множество В называют подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А.

Обозначение: ВА

Подмножества могут быть:

- Несобственные (А и Ш)

- Собственные (все остальные, если они существуют)

Если А - конечное множество, то 2^n(A) - число всех подмножеств.

Равные множества: Множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Круги Эйлера - это графическое изображение множеств. При этом способе множество изображают замкнутым контуром, элементы - точками внутри этого контура.

Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат одновременно и множеству А, и множеству В.

Обозначение: А?B

Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Обозначение: АUB

Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы множества А, которые не входят в множество В.

Обозначение: А B

Дополнение подмножества: Если ВА, то дополнением В до А называется множество, содержащее только те элементы из А, которых нет в В.

Обозначение: В'_А

Разбиение множества на классы: Говорят, что множество Х разбито на классы (или на попарно непересекающиеся подмножества),если выполнены 3 условия:

1) Ни один класс не пуст, т.е. в каждом классе есть хотя бы 1 элемент.

2) Пересечение любых двух классов пусто, т.е. ни один элемент не попадает сразу в два класса.

3) Объединение всех классов есть множество Х, т.е. каждый элемент множества Х обязательно попадает в какой-то класс

Можно разбить множество на классы путем задания одного или нескольких свойств.

Упорядоченная пара - пара с фиксированным порядком элементов.

Обозначение: (х, у)

Кортеж - упорядоченный набор элементов

Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар, первая координата которых из множества А, а вторая - из множества В.

Обозначение: АЧВ

n(AЧB) =n(A)·n(B)
n(AЧBЧC) =n(A)·n(B)·n(C)
n(A1ЧA2…ЧAn) = n(A1) · n(A2)…· n(An)

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

Математическое понятие - это результат выделения из предметов и явлений окружающего мира количественных и пространственных свойств и отношений и абстрагирования их от всех других свойств

Объем понятия - это множество всех реальных и идеализированных объектов, к которым относится данное понятие, называемое одним термином.

Свойство считают существенным для понятия, если оно присуще всем объектам, принадлежащим объему этого понятия, и без него понятие существовать не может.

Свойство считают несущественным для понятия, если его отсутствие не влияет на существование объекта из объема этого понятия.

Содержание понятия - это множество существенных свойств, которые все вместе присущи только тем объектам, к которым относится это понятие.

Отношения между понятиями.

Пусть даны понятия А и В. если V_A является собственным подмножеством V_B (V_A?V_B; V_A??? V_A?V_B), то говорят, что:

1) А - видовое понятие для В, В - родовое понятие для А, или

2) А - более узкое понятие, чем В, В - более широкое понятие, чем А, или

3) А - частный случай понятия В, В - обобщение понятия А.

Тождественные понятия: Понятия А и В называют тождественными, если их объемы равны

Определение понятия - это логическая операция, раскрывающая содержание понятия.

Явные определения имеют вид «Понятие А есть понятие В», т.е имеют форму равенства двух понятий, где А -определяемое понятие, В - определяющее понятие.

Неявные определения не имеют форму равенства двух понятий.

Определения путем показа. Используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этим термином обозначаются

В этих определениях через отрывок текста, через анализ конкретной ситуации описывается смысл вводимого понятия. Посредством контекста устанавливается связь определяемого понятия с другими известными понятиями, и тем самым косвенно раскрывается его содержание.

Требования к определению понятий:

1) Определение должно быть соразмерным, т.е. объмы определяемого и определяющего понятий должны совпадать.

2) В определениях или их системе не должно быть «порочного круга», т.е. нельзя определять понятие через само себя или через другое понятие, которое, в свою очередь, определяется через него.

3) Определение должно быть ясным, т.е. значение всех терминов из определения должны быть известны слушателю к моменту введения этого определения.

4) Определение не должно быть избыточным, т.е. в видовое отличие должно включать лишь столько свойств, сколько необходимо и достаточно для выделения определяемых объектов из объема родового понятия.

5) Объем определяемого понятия не должен быть пустым, т.е. должен существовать хотя бы один объект, принадлежащий объему определяемого понятия.

СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ МНОЖЕСТВАМИ

Соответствием между множествами X и Y называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств.

Обозначение: P, Q, R, S, T…

Если Р - соответствие между множествами X и Y, то по определению Р является подмножеством их декартова произведения.

Область определения соответствия Р: Пусть Р - соответствие между множествами X и Y. Областью определения соответствия Р называется множество всех тех элементов из множества Х, каждому из которых соответствует хотя бы один элемент из множества Y.

Обозначение: D

Областью значений соответствия Р называется множество всех тех элементов из множества Y, каждый из которых соответствует хотя бы одному элементу из множества Х.

Обозначение: E

Способы задания соответствия:

1) Перечислить все упорядоченные пары элементов, связанных этим соответствием (граф, график)

2) Указать характеристическое свойство элементов этого подмножества (как правило, это предложение с двумя переменными - двухместный предикат - x>y, x<y, x+y=5…)

Соответствие, обратное данному: Пусть Р - соответствие между множествами X и Y. Соответствие Р^-1 между множествами У и Х называется обратным данному, если xР^-1y xРy, то есть элементы у и х связаны соответствием Р^-1 тогда и только тогда, когда элементы х и у связаны соответствием Р.

Способы получения Р^-1 из Р:

1) Поменять на графе направления стрелок

2) В парах поменять местами координаты

3) В характеристическом свойстве поменять местами х и у

4) Графики Р^-1 и Р симметричны относительно прямой y=x

5) D(Р)=E(Р^-1); E(Р)=D(Р^-1)

Взаимно однозначное соответствие: Соответствие между множествами X и Y называют взаимно однозначным, если каждому элементу из множества Х соответствует единственный элемент множества Y, и наоборот - каждый элемент множества Y соответствует единственному элементу множества Х.

Равномощные множества: Два множества называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие (хотя бы одно)

Обозначение: X~Y

Равночисленными множествами называют равномощные конечные множества.

Бесконечные множества: Множество называют бесконечным, если оно равномощно своему собственному подмножеству

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Умозаключение - это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося. При этом мы не обращаемся к исследованию предметов и явлений самой действительности, а открываем такие связи и отношения между ними, которые невозможно увидеть непосредственно. Умозаключение состоит из посылок и заключения.

Посылки - это высказывания, содержащие исходное знание.

Заключение - это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного. В умозаключении из посылок выводится заключение.

Дедуктивным называется умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования.

Неполная индукция- это умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса. Выводы, полученные с помощью неполной индукции, носят характер предположения, гипотезы. Их надо либо доказывать, либо опровергать.

Аналогия (с греч. - соответствие, сходство). Под аналогией понимают умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта. Вывод по аналогии носит характер предположения, гипотезы и поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении.

Правильность умозаключения определяется его формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений.

Математическое доказательство - это цепочка дедуктивных умозаключений, выполняемых по определенным правилам.

Правила вывода или схемы дедуктивных (правильных) умозаключений. Наиболее часто используются следующие:

A(x) B(x), A(а)	- правило заключения
B(а)
A(x) B(x), B(а)	- правило отрицания
A(а)
A(x) B(x), B(x) C(x)	- правило силлогизма
A(x) C(x),

Доказать какое-либо утверждение - это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.

Доказательство - это цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений. Различают прямые и косвенные доказательства.

Полная индукция -такой способ доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях. Относят к прямым доказательствам.

Метод от противного. Его суть состоит в следующем. Пусть надо доказать теорему А В. Вместо нее пробуют доказать теорему В А. Если это удалось, то по закону контрапозиции делают вывод , что теорема А В тоже истинна.

ВЫСКАЗЫВАНИЯ

Логика - это наука о следовании одних предложений из других. Одним из основных понятий логики является высказывание

Высказывание - это утверждение, о котором имеет смысл задавать вопрос - истинно он или ложно. Обозначения: A, B, C, D.

Высказывание, образованное из других высказываний с помощью логических связок, называется составным.

Логические связки - и, или, не, если-то, тогда и только тогда, когда

Простым или элементарным называют высказывание, не являющееся составным.

Равносильными называют высказывания, если они принимают одинаковые значения истинности, т.е. либо одновременно истинные, либо одновременно ложные.

Конъюнкцией высказывания А и В называют высказывание " А и В ". Конъюнкция истинна только в одном случае - когда истинны оба высказывания.

Обозначение: А??В, А & В

Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание " А или В ". Дизъюнкция высказывания ложна только в одном случае - когда оба высказывания ложны.

Обозначение: А?В

Импликацией высказываний А и В называют высказывание "если А ,то В". Импликация ложна только в одном случае - когда А истинно, В ложно.

Обозначение: А?В

Отрицанием высказывания А называется высказывание "не А".

Обозначение: ? А, В

Эквиваленцией высказываний А и В называют высказывание " А тогда и только тогда, когда В". эквиваленция истинна, если оба высказывания либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

Обозначение: АВ

Предикат - это предложение с одной или несколькими переменными, которое при подстановке конкретных значений вместо переменных обращается в высказывание.

Предикат - это свойство одного или нескольких объектов ( переменной или переменных).

По числу переменных различают одноместные (А(х)), двухместные (А(х, у)) и т.д. предикаты.

Пусть А(х) - одноместный предикат. Область определения А(х) - это множество вех тех значений переменной , при подстановке каждого из которых А(х) обращается в высказывание( истинное или ложное). Обозначение :Х.

Множество истинности А(х): Пусть на множестве Х задан предикат А(х). Множество истинности А(х) - все те значения переменной из множества Х, которые обращают А(х) в истинное высказывание.

Обозначение: Т_А(х)

Квантором общности по переменной х называется выражение «Для всякого х»

Обозначение: х

Запись х А(х) является высказыванием и означает, что каждый элемент множества Х обращает А(х) в истину (т.е. обладает свойством А(х))

Квантором существования по переменной х называется выражение «Существует х такое, что»

Обозначение: х

Запись х А(х) является высказыванием и означает, что существует такой элемент из множества Х, который обращает А(х) в истину ( т.е. обладает свойством А(х) ).

В логике слово «некоторые» означает «по меньшей мере один, но может быть и все»

Способы построения отрицаний высказываний с кванторами:

1) С помощью слов «неверно, что», то есть отрицание относят ко всему высказыванию

2) Заменой кванторов. Квантор общности заменяют на квантор существования, и наоборот, а отрицание относят к предикату.

Отношение логического следования: Пусть на множестве Х заданы предикаты А(х) и В(х). Говорят, что В(х) логически следует из А(х), если всякий раз, когда А(х) обращается в истину, В(х) тоже обращается в истину. В этом случае истинно высказывание (*) хХ А(х)В(х) (и)

Способы чтения высказываний (*):

1) Из А(х) следует В(х). (и)

2) Если А(х), то В(х). (и)

3) Всякое А(х) есть В(х). (и)

4) В(х) есть следствие А(х). (и)

5) Чтобы А(х), необходимо, чтобы В(х). (и)

6) Чтобы В(х), достаточно, чтобы А(х). (и)

Отношение равносильности между предикатами: Пусть на множестве Х заданы предикаты А(х) и В(х). Говорят, что А(х) и В(х) равносильны на множестве Х, если каждый из них логически следует из другого. В этом случае истинно высказывание (**) хХ А(х)В(х) (и)

Способы чтения высказываний (**):

1) Чтобы А(х), необходимо и достаточно, чтобы В(х). (и)

2) Чтобы В(х), необходимо и достаточно, чтобы А(х). (и)

3) А(х) равносильно В(х). (и)

4) В(х) равносильно А(х). (и)

5) А(х) тогда и только тогда, когда В(х). (и)

6) В(х) тогда и только тогда, когда А(х). (и)

Теорема - это высказывание, истинность которого устанавливается путем доказательства (общие рассуждения).

Теорема (1): хХ А(х)В(х) (и)

А(х) - достаточное условие для В(х), В(х) - необходимое условие для А(х).

Способы формулировки теоремы (1):

1) Если А(х), то В(х).

2) Чтобы А(х), необходимо, чтобы В(х).

3) Чтобы В(х), достаточно, чтобы А(х).

4) В(х) есть следствие А(х).

5) Всякое А(х) есть В(х).

Виды теорем: Пусть на множестве Х даны предикаты А(х) и В(х). Тогда можно сформулировать 4 высказывания с квантором общности:

(1) хХ А(х)В(х) - данное высказывание

(2) хХ В(х)А(х) - высказывание, обратное данному

(3) хХ А(х)В(х) - высказывание, противоположное данному

(4) хХ В(х) А(х) - высказывание, обратное противоположному

Если высказывание вида (1), (2), (3), (4) является истинным, то его называют теоремой

Закон контрапозиции: Высказывания вида (1) и (4), (2) и (3) либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ

Бинарным отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения множества Х на себя

Рефлексивность: Отношение Р на множестве Х называется рефлексивным, если каждый элемент множества Х связан отношением Р сам с собой

хХ хРх

Граф: в каждой точка графа есть петля

Антирефлексивность: Отношение Р на множестве Х называется антирефлексивным, если ни один элемент множества Х не связан отношением Р сам с собой

хХ хРх

Граф: нет ни одной петли

Симметричность: Отношение Р на множестве Х симметрично, если из того, что элементы х и у Х связаны отношением Р, всегда следует, что элементы у и х тоже связаны отношением Р.

х, уХ если хРу, то уРх

Граф: если есть стрелка от х к у, то должна быть и от у к х

Антисимметричность: Отношение Р на множестве Х называется антисимметричным, если для любых двух разных элементов множества Х если х связан отношением Р с у, то у не связан отношением Р с х.

х уХ если хРу то уРх

Граф: если есть стрелка от х к у, то стрелки от у к х нет.

Транзитивность: Отношение Р на множестве Х называют транзитивным, если для любых х, у, z Х если х и у связаны отношением Р, y и z связаны отношением Р, то х и z также связаны отношением Р

х, у, z Х если хРу, yPz, то xPz

Граф: если есть стрелка от х к у, от у к z, то должна быть от x к z

Связанность: Отношение Р на множестве Х называется связанным, если для любых двух разных х, уХ либо х связан отношением Р с у, либо у связан отношением Р с х.

х уХ или хР,у или уРх

Граф: есть стрелка или от х к у, или от у к х.

Эквивалентность: Отношение Р на множестве Х называется отношением эквивалентности, если Р рефлексивно, транзитивно и симметрично на множестве Х

Р+С+Тр=Экв

Теорема Отношение порождает разбиение множества на классы тогда и только тогда, когда это отношение является отношением эквивалентности на данном множестве.

Порядок: Отношение Р на множестве Х называется отношением порядка, если Р антисимметрично и транзитивно на множестве Х

Ас+Тр=Порядок

Виды отношения порядка:

1) Порядок + Рефлексивность Нестрогий порядок (, делимость)

2) Порядок + Антирефлексивность Строгий порядок (, короче, старше)

3) Порядок + Связанность Линейный порядок (выше, на N)

4) Порядок без Связанности Частичный порядок (делимость на N)

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Математический язык - это искусственный язык, который создан человеком и развивается вместе с математикой. В него входят: цифры, знаки операций, знаки отношений, буквы латинского алфавита, технические знаки. Используя этот алфавит, в алгебре образуют выражения.

Числовое выражение. Каждое число есть числовое выражение. Если f и g - числовые выражения, то f+g, f-g, f·g, f:g - тоже числовые выражения.

Значение числового выражения. Если выполнить все действия, указанные в числовом выражении, то получим число, называемое значением числового выражения.

Равные числовые выражения. Если значения числовых выражений равны, то эти числовые выражения называют равными.

Числовым равенством называют высказывания вида а=в, где а и в - числовые выражения.

Свойства истинных числовых равенств:

1) Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же число или числовое выражение, имеющее смысл, то получим истинное числовое равенство.

2) Если обе части истинного числового равенства умножить или разделить на одно и то же число или числовое выражение, имеющее смысл (для деления не должно быть равно 0), то получим истинное числовое равенство.

Числовыми неравенствами называют высказывания вида а<в, а>в, где а и в - числовые выражения.

Свойства истинных числовых неравенств:

1) Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же число или числовое выражение, имеющее смысл, то получим истинное числовое неравенство.

2) Если обе части истинного числового неравенства умножить или разделить на одно и то же число или числовое выражение, имеющее смысл и положительное значение, то получим истинное числовое неравенство того же знака.

3) Если обе части истинного числового неравенства умножить или разделить на одно и то же число или числовое выражение, имеющее смысл и отрицательное значение, а так же поменять знак неравенства, то получим истинное числовое неравенство.

Область определения выражения с переменной. Пусть на множестве Х задано выражение f(x). Областью определения f(x) называется множество тех значений из множества Х, при которых выражение f(x) имеет смысл, т.е. имеет конкретное числовое значение.

Тождественно равные выражения. Выражения f(x) и g(x) называются тождественно равными на множестве Х, если выполнены 2 условия:

1) Области определения этих выражений равны на множестве Х

2) При любых значениях переменной из области определения этих выражений их соответствующие значения равны.

Тождество. Если соединить знаком равенства два тождественно равных выражения на множестве Х, то получим тождество на множестве Х. (Или - тождество - это равенство, которое верно при любых значениях входящих в него букв).

Тождественным преобразованием выражения называется замена одного выражения другим, тождественно равным ему.

Уравнение с одной переменной. Пусть на множестве Х даны выражения f(x) и g(x). Одноместный предикат вида f(x)=g(x) называется уравнением с одной переменной, если поставлена задача: найти все значения переменной из множества Х, каждое из которых обращает предикат в истинное высказывание. Такое значение переменной называется корнем уравнения.

Решить уравнение - значит найти множество его корней

Равносильные уравнения. Два уравнения называют равносильными на множестве Х, если множества их корней из множества Х совпадают (или равны), т.е каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения и наоборот. Если уравнения не имеют корней на множестве Х , то их также считают равносильными на Х.

Теоремы о равносильных уравнениях.

Теорема 1.

Пусть на множестве Х дано уравнение f(x)=g(x). Если к обеим частям этого уравнения прибавить выражение р(х), определенное на множестве Х, то получим уравнение f(x) + p(x)= g(x) + p(x), равносильное данному на множестве Х.

Следствие 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

Следствие 2. Любой член уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

Теорема 2.

Пусть на множестве Х дано уравнение f(x)=g(x). Если обе части этого уравнения умножить на выражение р(х), определенное на множестве Х и не обращающееся в 0 на нем, то получим уравнение

f(x)p(x)=g(x)p(x), равносильное данному на множестве Х.

Следствие. Если обе части уравнения умножить ( разделить ) на одно и то же число, не равное 0, то получим уравнение, равносильное данному.

Неравенство с одной переменной. Пусть на множестве Х даны выражения f(x) и g(x). Одноместный предикат вида f(x) g(x) называется неравенством с одной переменной. Значение переменной из множества Х, которое обращает предикат в истинное неравенство, называется решением неравенства.

Задачи относительно неравенств с переменной:

1 задача: решить неравенство, т.е найти все значения переменной из множества Х , каждое из которых обращает его в истинное высказывание;

2 задача: доказать неравенство, т.е. доказать, что любое значение переменной из множества Х обращает его в истинное высказывание.

Виды неравенств :строгие, нестрогие, одного смысла, противоположного смысла.

Равносильные неравенства. Два неравенства называют равносильными на множестве Х, если множества их решений из множества Х совпадают, т.е каждое решение первого неравенства является решение второго неравенства и наоборот. Если неравенства не имеют решений на множестве Х, то их тоже считают равносильными на множестве Х.

Теоремы о равносильных неравенствах.

Теорема 1.

Пусть на множестве Х задано неравенство f(x) g(x). Если к обеим частям этого неравенства прибавить выражение р(х), определенное на множестве Х, то получим неравенство f(x)+ p(x) g(x)+ p(x), равносильное данному на множестве Х.

Следствие 1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то получим неравенство, равносильное данному.

Следствие 2. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.

Теорема 2.

Пусть на множестве Х задано неравенство f(x) g(x). Если обе части этого неравенства умножить на выражение р (х), определенное на Х и принимающее на Х только положительные значения, то получим неравенство того же смысла f(x) p(x) g(x) p(x), равносильное данному на множестве Х.

Следствие. Если обе части неравенства умножить ( разделить ) на одно и то же положительное число, то получим неравенство того же смысла, равносильное данному.

Теорема 3.

Пусть на множестве Х задано неравенство f(x) g(x). Если обе части этого неравенства умножить на выражение р(х), определенное на Х и принимающее на нем только отрицательные значения, то получим неравенство противоположного смысла f(x) p(x) g(x) p(x), равносильное данному на множестве Х.

Следствие. Если обе части неравенства умножить (разделить) на отрицательное число, то получим неравенство противоположного смысла, равносильное данному.

ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ СМЫСЛ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА, НУЛЯ

Количественное натуральное число: С теоретико-множественной точки зрения количественное натуральное число - это общее свойство класса непустых конечных равномощных друг другу множеств.

Ноль - это количественная характеристика пустого множества, 0=n

Отрезок натурального ряда. Пусть а - натуральное число, тогда множество всех натуральных чисел, не превосходящих числа а, называют отрезком натурального ряда и обозначают N_a.

Пересчитать элементы конечного множества X - это значит установить взаимно однозначное соответствие между множеством X и отрезком натурального ряда Na , число а будет называться числом элементов в множестве X и обозначаться n(X) = а

Правила пересчета:

начинать пересчет можно с любого элемента множества,

ни один элемент не должен быть пропущен,

каждый элемент считают только один раз.

Количественное натуральное число отвечает на вопрос «сколько элементов в множестве?» и выражается числительными «один», «два», «три», и т.д.

Порядковое натуральное число отвечает на вопрос «которым по счету является данный элемент в множестве?» и выражается числительными «первый», «второй», «третий» и т.д.

Равные натуральные числа. Натуральные числа а и b называются равными, если они являются характеристиками равномощных множеств. a=b n(A)=n(B), n(A)=a, n(B)=b, A B.

Свойства отношения равенства на N.

1) рефлексивность (aN), a=a

2) симметричность (a,bN), если a=b, тоb=a

3) транзитивность а,b,cN), если а=b, b=с, то а=с

Отношение «меньше» на N

1 подход Пусть а и b - натуральные числа, а < b N_a является собственным подмножеством N_b, т.е. N_a N_b N_a N_b, N_a

Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда при счете число а называют раньше числа b.

2 подход Пусть а и b - натуральные числа

а < b Из множества, в котором b элементов можно выделить собственное подмножество из а элементов.

Свойства отношения «меньше» на N.

- антирефлексивность х х<х, т.е. ни одно натуральное число не может быть меньше само себя т.к. ни из одного конечного множества, в котором х элементов , нельзя выделить собственное подмножество из х элементов.

- антисимметричность x,уN), если х<у, то у<х, т.е. если первое число меньше второго числа, то второе число не может быть меньше первого. Если х<у , то из множества, в котором у элементов, можно выделить собственное подмножество из х элементов. Значит, из множества, в котором х элементов, нельзя выделить собственное подмножество из у элементов.

- транзитивность х,у,zN), если х<у, y<z, то у<z (рассуждения аналогичны)

Отношение обладает связанностью, т.к. x,уN), если ху, то х<у, либо у<х. (Из двух разных натуральных чисел одно обязательно меньше другого).

Порядок + антирефлексивность + связанность дают строгий линейный порядок, значит, множество N линейно упорядоченно с помощью отношения « меньше ».

1<2<3<4<…..1,2,3,4….

Свойства множества N.

Линейно упорядоченно.

Есть наименьший элемент - это 1.

Нет наибольшего элемента.

Бесконечное множество, т.к. содержит собственное подмножество, равномощное самому себе.

Дискретно, т.е. существуют такие натуральные числа х и у, что если х<у, то нет натурального числа z: x<z<у.

ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ СМЫСЛ ОПЕРАЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ

Теоретико-множественный смысл суммы

Суммой целых неотрицательных чисел (ц.н.ч.) a и b называется ц.н.ч. c, равное числу элементов объединения множеств А и В, таких, что n(A)=a, n(B)=b

a+b=n(A)+n(B)=n(, если

Сложение Действие, с помощью которого находят сумму целых неотрицательных чисел, называется сложением

Сумма трех и более слагаемых Суммой а₁+а₂+а₃ называется сумма (а₁+а₂)+а₃, т.е. а₁+а₂+а₃=(а₁+а₂)+а_3. Аналогично а₁+а₂+а₃+а₄=((а₁+а₂)+а₃)+а_4., т.е. вычисление суммы любого конечного числа слагаемых сводится к нахождению суммы двух слагаемых.

Теорема о существовании и единственности суммы ц.н.ч.

a,bc c=a+b

Каковы бы ни были ц.н.ч. a и b, существует ц.н.ч. с, равное их сумме, и притом только одно.

Законы сложения

Коммутативный (переместительный)

a,ba+b=b+a

От перестановки слагаемых значение суммы не меняется

Ассоциативный (Сочетательный)

a,b,с (a+b)+с=a+(b+c)

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно (достаточно) к первому числу прибавить сумму второго и третьего.

Следствия из ассоциативности и коммутативности сложения

Эти законы позволяют произвольно группировать соседние слагаемые и произвольно менять местами слагаемые, что упрощает вычисления

Монотонность суммы

ТЕОРЕМА 1 a,b,с если b<a, то c+b<c+a

Сумма возрастает, если возрастает одно слагаемое, а другое слагаемое не меняется

ТЕОРЕМА 2 a,b,с,d если a<b,c<d, то a+c<b+d

Сумма возрастает, если возрастают оба слагаемые

ТЕОРЕМА 3 a а+0=а (Основано на свойстве na, n)

Теоретико-множественный смысл разности целых неотрицательных чисел

Разностью ц.н.ч. a и b называется ц.н.ч. с, равное числу элементов дополнения множества В до множества А, где n(A)=a, n(B)=b и , a-b=n(A)-n(B)=n(B) (аналогично: =Аа-0=а, А=Аа-а=0)

Вычитание Действие, с помощью которого находят разность чисел, называют вычитанием

Разностью ц.н.ч. a и b называется ц.н.ч. с, которое в сумме с числом b дает число а, т.е.

a-b=c a=b+c

Связь между компонентами сложения

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.

Связь между компонентами вычитания

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность

Третий подход к определению отношения "меньше" на

a,bb<ac a=b+c

a,bb<ac a=b+c

Правила вычитания

Правила вычитания числа из суммы

Пусть a,b и с - натуральные числа

если a>c, то (a+b)-c=(a-c)+b

если b>c, то (a+b)-c=(b-c)+a

если a>c и b>c, то можно использовать любую из этих формул. (a+b)-c=(a-c)+b=(b-c)+a

Чтобы вычесть число из суммы, достаточно (можно) вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному числу прибавить другое слагаемое.

Правило вычитания суммы из числа

a,b,с если a>b+c, то a-(b+c)=(a-b)-c=(a-c)-b

Чтобы вычесть сумму из числа, достаточно вычесть из этого числа одно слагаемое и из полученной разности вычесть другое слагаемое

Отношения "больше на", "меньше на"

Чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого, надо от большего числа отнять меньшее.

5>3 на 2, т.к. 5-3=2. 3<5 на 2, т.к. 5-3=2.

Теоретико-множественный смысл произведения целых неотрицательных чисел

Произведением ц.н.ч. а и n называется ц.н.ч., определяемое следующим образом:

Теоретико-множественный смысл произведения: Если множества А₁, А₂…….А_n содержат по а элементов и никакие два из них не пересекаются, то их объединение содержит an элементов.

Произведением натуральных чисел a и b называется натуральное число, равное числу элементов декартова произведения множеств А и В, где n(A)=a, n(B)=b. ab=n(A)n(B)=n(AB)

Умножение: Действие, с помощью которого находят произведение, называют умножением

Произведение трех и большего числа множителей: Произведением а₁а₂а₃ называется произведение (а₁а₂)а₃, т.е а₁а₂а₃=(а₁а₂)а_3. Аналогично а₁а₂а₃а₄=((а₁а₂)а₃)а_4., т.е. нахождение произведения любого конечного числа множителей сводится, в конечном счете, к нахождению произведения двух множителей.

Теорема о существовании и единственности произведения ц.н.ч.

a,nc c=an

Каковы бы ни были ц.н.ч. a и n, существует ц.н.ч. с, равное их произведению, и притом только одно.

Законы умножения

Коммутативный (переместительный)

a,bab=ba

От перестановки множителей значение произведения не меняется

Ассоциативный (сочетательный)

(a,b,c) (ab)c=a(bc)

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.

Следствие из коммутативного и ассоциативного законов умножения

Эти законы позволяют произвольно менять местами множители и группировать рядом стоящие множители, что упрощает вычисления

Дистрибутивный закон умножения относительно сложения (вычитания) (распределительное свойство)

a,b,n (a+b)n=an+bn

(a-b)n=an-bn

Для того, что бы сумму двух чисел умножить на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить.

Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел

Частное: Пусть А - непустое конечное множество, которое разбито на С равномощных классов, в каждом из которых b элементов, причем n(A)=a, А₁~А₂~…~А_c, n(А₁)=n(А₂)=…n(А_c)=b. Число С таких классов называют частным от деления а на b (выполнено деление по содержанию).

Число элементов b в каждом из С классов разбиения называют частным от деления а на с (выполнено деление на равные части).

Частным натуральных чисел а и b называется натуральное число с, которое при умножении на b дает а, т.е. а:b=ca=bc

Связь между компонентами умножения

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Связь между компонентами деления

Чтобы найти делимое, надо делитель умножить на частное

Чтобы найти делитель, надо делимое разделить на частное

Существование и единственность частного: Для того, чтобы частное натуральных чисел а и b существовало, необходимо (но не достаточно), чтобы аb. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственное.

Отношения "больше в", "меньше в"

Если даны числа чисел а и b такие, что n(A)=a, n(B)=b. ab и множество А можно разбить на с подмножеств, равномощных множеству В, то говорят, что число а больше числа b в с раз. (мы узнаем, сколько раз по b элементов содержится в а элементах)

Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, надо большее из них разделить на меньшее.

8>4 в 2 раза, т.к. 8:4=2.

4<8 в 2 раза, т.к. 8:4=2.

Правила деления

Правило деления суммы на число: чтобы сумму разделить на число, можно каждое слагаемое разделить на это число и полученные частные сложить.

Правило деления числа на произведение: Если число а делится на числа b и c, то чтобы разделить а на произведение b и c, достаточно а:b (или на c), и частное разделить на с (или на b).

Правило умножения числа на частное двух чисел: Чтобы умножить число на частное двух чисел, достаточно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на делитель.

Деление с остатком

Разделить с остатком натуральное число а на натуральное число b - это значит найти пару целых неотрицательных чисел q и r таких, что a=bq+r, 0<r<b

Теорема: Каковы бы ни были натуральные числа а и b, существует и притом единственная пара целых неотрицательных чисел q и r, для которых выполнено равенство a=bq+r, 0<r<b, a-делимое, b-делитель, q-неполное частное, r-остаток.

Теоретико-множественный смысл деления с остатком: Пусть n(A)=a и множество А разбито на множества А₁,А₂,…А_q,R так, что А₁~А₂~А_q, множество R содержит элементов меньше, чем каждое множество А₁, А₂,…А_q. Тогда если n(А₁)=n(А₂)=…=n(А_q), n(R)=r, то a=bq+r, где 0<r<b, причем число q равночисленных множеств является неполным частным .

ВЕЛИЧИНЫ

Величина- это свойство объекта, значения которого отвечают на вопросы какой? и сколько? И их можно записать в определенной системе счисления.

Однородные величины - это величины, которые отражают одно и то же свойство объектов. множество доказательство натуральное число

Неоднородные величины - это величины, которые отражают разные свойства объектов ( объекта).

Векторная величина- это величина, определяемая не только численным значением , но и направлением.

Скалярная величина- это величина, определяемая только численным значением, т.е. числом и единицей измерения.

Измерение- это операция, посредством которой находят отношение измеряемой величины к другой, однородной с ней величине, принятой за единицу измерения.

Аддитивность- свойство величины, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих частям этого объекта.

Свойство аддитивности длины отрезка - если отрезок состоит из нескольких отрезков, не имеющих общих точек, то длина отрезка равна сумме длин этих отрезков.

Свойство аддитивности площади фигуры - если фигура состоит из нескольких фигур, не имеющих общих внутренних точек, то площадь фигуры равна сумме площадей этих фигур.

Свойство аддитивности объема тела - если тело состоит из нескольких тел, не имеющих общих внутренних точек, то объем тела равен сумме объемов этих тел.

Действия с однородными величинами - сравнение, сложение, вычитание, умножение (для отдельных величин), деление.

Действия с неоднородными величинами - умножение и деление (для отдельных величин).

Натуральное число как мера величины показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется.

Смысл сложения ( вычитания ) натуральных чисел- мер величин состоит в сложении ( вычитании ) однородных величин.

Смысл умножения натуральных чисел- мер величин состоит в переходе (в процессе измерения ) от более крупной к более мелкой единице измерения.

Смысл деления натуральных чисел- мер величин состоит в переходе (в процессе измерения ) от более мелкой к более крупной единице измерения.

ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Отношение делимости. Если при делении с остатком натурального числа а на натуральное число b остаток равен 0, то говорят что а делится на b. В этом случае а называют кратным числа b, b называют делителем числа а.

Обозначение а:b

Запись символами (а,bN) (а:b)(сN) (а=вс).

Простое число. Натуральное число называют простым, если оно делится только на себя и на единицу, т.е если у него только два делителя.

Составное число. Натуральное число называют составным, если у него более двух делителей.

1 не является ни простым, ни составным числом, т.к имеет только один делитель - себя.

2 - единственное четное простое число.

Свойства отношения делимости:

1. если а делится на b, то а?b.

2. рефлексивность, т.е. каждое натуральное число делится само на себя.

3. антисимметричность, т.е. если два числа не равны, и первое из них делится на второе, то второе не делится на первое.

4. транзитивность, т.е. если первое число делится на второе число, второе число делится на третье число, то первое число делится на третье число.

Отношение делимости на N - это отношение частичного нестрогого порядка. Порядок частичный, т.к. есть такие пары разных натуральных чисел, ни одно из которых не делится на другое.

Признак делимости суммы на число. Если каждое слагаемое суммы делится на число, то вся сумма делится на это число (для того чтобы сумма делилась на число, достаточно, чтобы каждое слагаемое делилось на это число). Этот признак не является необходимым, т.е. если каждое слагаемое не делится на число, то вся сумма может делиться на это число.

Признак делимости разности на число. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на число и уменьшаемое больше вычитаемого, то разность делится на это число (для того чтобы разность делилась на число, достаточно, чтобы уменьшаемое и вычитаемое делились на это число, при условии, что эта разность положительна). Этот признак не является необходимым, т.е. уменьшаемое и вычитаемое могут не делиться на число, а их разность может делиться на это число.

Признак неделимости суммы на число. Если все слагаемые суммы, кроме одного, делятся на число, то сумма не делится на это число.

Признак делимости произведения на число. Если хотя бы один множитель в произведении делится на число, то произведение делится на это число (для того чтобы произведение делилось на число, достаточно, чтобы один множитель в произведении делился на это число). Этот признак не является необходимым, т.е. если ни один множитель в произведении не делится на число, то произведение может делиться на это число.

Признак делимости произведения на произведение. Если число а делится на число b, число с делится на число d, то произведение чисел а и с делится на произведение чисел b и d. Этот признак не является необходимым.

Признак делимости натуральных чисел на 2. Чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы десятичная запись этого числа оканчивалась на одну из цифр 0, 2, 4, 6 или 8.

Признак делимости натуральных чисел на 5. Чтобы натуральное число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы десятичная запись этого числа оканчивалась на 0 или на 5.

Признак делимости натуральных чисел на 4. Чтобы натуральное число делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы десятичная запись этого числа оканчивалась на 00 или две последние цифры в десятичной записи этого числа образовывали двузначное число, кратное 4.

Признак делимости натуральных чисел на 3. Чтобы натуральное число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма всех цифр десятичной записи этого числа делилась на 3.

Признак делимости натуральных чисел на 9. Чтобы натуральное число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма всех цифр десятичной записи этого числа делилась на 9.

Общий делитель натуральных чисел а и в - это натуральное число, которое является делителем каждого из этих чисел.

Наибольший общий делитель натуральных чисел а и в- это наибольшее натуральное число из всех общих делителей этих чисел.

Обозначение НОД (а, в)

Свойства НОД (а, в):

1. всегда существует и только один.

2. не превосходит меньшего из а и в.

3. делится на любой общий делитель а и в.

Общее кратное натуральных чисел а и в - это натуральное число, кратное каждому из этих чисел.

Наименьшее общее кратное натуральных чисел а и в - это наименьшее натуральное число из всех общих кратных этих чисел.

Обозначение НОК (а, в )

Свойства НОК (а, в):

1. всегда существует и только одно.

2. не меньше большего из а и в.

3. любое общее кратное а и в делится на него.

Взаимно простые числа. Натуральные числа а и в называют взаимно простыми, если у них нет общих делителей, кроме 1, т.е. НОД (а, в)=1.

Признак делимости на составное число. Чтобы натуральное число а делилось на произведение взаимно простых чисел m и n, необходимо и достаточно, чтобы число а делилось на каждое из них.

Примеры:

1. Чтобы число делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 4.

2. Чтобы число делилось на 18, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 9.

Разложение числа на простые множители- это представление этого числа в виде произведения простых множителей.

Основная теорема арифметики. Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.

Алгоритм нахождения НОД:

Разложить каждое число на простые множители.

Записать произведение общих для данных чисел простых множителей, причем каждый множитель записать с наименьшим показателем, с каким он входит во все разложения.

Найти значение полученного произведения. Это и будет НОД данных чисел.

Алгоритм нахождения НОК:

Разложить каждое число на простые множители.

Записать произведение всех простых множителей из разложений, причем каждый из них записать с наибольшим показателем, с каким он входит во все разложения.

Найти значение полученного произведения. Это и будет НОК данных чисел.

Множество положительных рациональных чисел

Дробь. Пусть даны отрезок а и единичный отрезок е, который состоит из n отрезков, равных e .

Если отрезок а состоит из m отрезков, равных e. то его длина может быть представлена в виде

Символ называют дробью; m, n - натуральные числа; m - числитель дроби, n - знаменатель дроби. n показывает, на сколько равных частей разделена единица измерения ; m показывает, сколько таких частей содержится в отрезке a.

Равные дроби. Дроби, выражающие длину одного и того же отрезка в одной единице измерения, называют равными.

Признак равенства дробей.

Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

Сокращение дроби - это замена данной дроби другой, равной ей, но с меньшим числителем и знаменателем.

Несократимая дробь - это дробь, числитель и знаменатель которой взаимно простые числа, т.е. их НОД равен единице.

Приведение дробей к общему знаменателю - это замена данных дробей другими, равными им с равными знаменателями.

Положительное рациональное число - это бесконечное множество разных по написанию, но равных между собой дробей; каждая дробь этого множества есть форма записи этого положительного рационального числа.

Равные положительные рациональные числа - это числа, которые могут быть записаны равными дробями.

Сумма положительных рациональных чисел. Если положительное рациональное число a представлено дробью , положительное рациональное число b представлено дробью , то их суммой называется положительное рациональное число с, представленное дробью .