Основные математические понятия
Определение математических понятий: множество, история теории множеств, их сравнение и операции над ними; функция и способы ее задания, группа как непустое множество, конъюнктивная нормальная форма, формальная логика и нормальный алгоритм Маркова.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 19.06.2011 |
| Размер файла | 540,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Мномжество -- одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики. Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит и не имеющее определения. Однако, можно дать описание множества, например в формулировке Георга Кантора:
Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M).
Другая формулировка принадлежит Бертрану Расселлу: «Множество суть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое». Также, возможно косвенное определение через аксиомы теории множеств. В математической логике и дискретной математике часто употребляемый синоним множества -- алфавит. Множество может быть замкнутым и незамкнутым, полным и пустым, упорядоченным и неупорядоченным, счётным и несчётным, конечным и бесконечным. Более того, как в наивной, так и в формальной теориях множеств любой объект обычно считается множеством. История теории множеств. До XIX века математиками рассматривались в основном конечные множества.Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены Бернардом Больцано, который сформулировал некоторые из её принципов.С 1872 г. по 1897 г. (главным образом в 1872--1884 гг.) Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и порядковых). В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор.
В частности Георг Кантор определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Эти объекты назвал элементами множества. Множество объектов, обладающих свойством A(x), обозначил . Если некоторое множество , то A(x) назвал характеристическим свойством множества Y.Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела. Так как теория множеств, фактически, используется как основание и язык всех современных математических теорий в 1908 г. теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселем и Эрнстом Цермело. В дальнейшем многие исследователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их характер. До сих пор они всё ещё известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. В настоящее время, теорию множеств Кантора принято называть наивной теорией множеств, а вновь построенную аксиоматической теорией множеств. На сегодняшний день, множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело -- Френкеля саксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).Элемент множества Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают большими буквами латинского алфавита, его элементы -- маленькими. Если а -- элемент множества А, то записываюта ? А (а принадлежит А). Если а не является элементом множества А, то записывают а ? А (а не принадлежит А).Специальные множества
§ Пустое множество -- множество, не содержащее ни одного элемента.
§ Универсальное множество (универсум) -- множество, содержащее все мыслимые объекты.
§ Упорядоченное множество -- множество, на котором задано отношение порядка.
Сходные объекты
§ Набор (в частности, упорядоченная пара) -- совокупность конечного числа именованных объектов. Записывается внутри круглых или угольных скобок, а элементы могут повторяться.
§ Мультимножество -- множество с кратными элементами.
§ Пространство -- множество с некоторой дополнительной структурой.
§ Вектор -- элемент линейного пространства, содержащий конечное число элементов некоторого поля в качестве координат. Порядок имеет значение, элементы могут повторяться.
§ Последовательность -- функция одного натурального переменного. Представляется как бесконечный набор элементов (не обязательно различных), порядок которых имеет значение.
§ Нечёткое множество -- математический объект, представляющий собой множество, принадлежность к которому представляет собой не отношение, а функцию. Иными словами, относительно элементов этого множества можно говорить «в какой мере» они в него входят, а не просто входят они в него или нет.
По иерархии
§ Множество множеств
§ Подмножество
§ Надмножество
Отношения между множествами
Основная статья: Подмножество
Два множества A и B могут вступать друг с другом в различные отношения.
§ A включено в B, если каждый элемент множества A принадлежит также и множеству B:
§ A включает B, если B включено в A:
§ A равно B, если A и B включены друг в друга:
§ A строго включено в B, если A включено в B, но не равно ему:
§ A строго включает B, если B строго включено в A:
§ A и B не пересекаются, если у них нет общих элементов:
и не пересекаются
§ A и B находятся в общем положении, если существует элемент, принадлежащий исключительно множеству A, элемент, принадлежащий исключительно множеству B, а также элемент, принадлежащий обоим множествам:
и находятся в общем положении
Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые.
Сравнение множеств. Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент B:
В этом случае A называется подмножеством B, B -- надмножеством A. Если и , то A называется собственным подмножеством B. Заметим, что . По определению .
Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга:
Иногда для того, чтобы подчеркнуть, что множества могут быть равны, используется запись:
Операции над множествами
Бинарные операции
Ниже перечислены основные операции над множествами:
§ пересечение:
§ объединение:
Если множества A и B не пересекаются: , то их объединение обозначают также: .
§ разность (дополнение):
§ симметрическая разность:
§ Декартово или прямое произведение:
Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы Эйлера -- Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.
Унарные операции
§ Абсолютное дополнение:
Операция дополнения подразумевает некоторый универсум (универсальное множество U, которое содержит A):
Относительным же дополнением называется А\В (см.выше):
§ Мощность множества:
| A |
Результатом является кардинальное число (для конечных множеств -- натуральное).
§ Множество всех подмножеств (булеан):
Обозначение происходит из того, что в случае конечных множеств.
Приоритет выполнения операций
Сначала выполняются операции дополнения, затем пересечения, объединения и разности, которые имеют одинаковый приоритет. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.
Функция -- математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Более точно, это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной xоднозначно определяет значение выражения x2, а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека -- его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.Обычно рассматриваются числовые функции, которые ставят одни числа в соответствие другим. Такие функции обладают рядом отличительных свойств и удобно представляются на рисунках в виде графиков. история Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к тому же Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному. Первоначально, понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем -- у Лакруа (1806 год) -- уже практически в современном нам виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год).
К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Первыми это сделали векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение. Определения
Существуют два определения функции:
§ интуитивное определение, где понятие функции переводится на обычный язык, используя слова «закон», «правило» или «соответствие»;
§ теоретико-множественное определение (на основе понятия бинарного отношения), которое является наиболее строгим (в современном представлении). Оба определения не противоречат друг другу.
Интуитивное определение Функция f (отображение, операция, оператор) -- это закон или правило, согласно которому каждому[3] элементу x из множестваX ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.[4]
При этом говорят, что функция f задана на множестве X, или что f отображает X в Y. Если элементу сопоставлен элемент , то говорят, что элемент y находится в функциональной зависимости f от элемента x. При этом переменная x называется аргументом функции f или независимой переменной, множество X называетсяобластью задания или областью определения функции, а элемент y, соответствующий конкретному элементу x -- частным значением функции f в точке x. Множество Y всех возможных частных значений функции f называется её областью значений илиобластью изменения. Теоретико-множественное определение В теоретической математике функцию f удобно определить как бинарное отношение (то есть множество упорядоченных пар ), которое удовлетворяет следующему условию: для любого[3] существует единственный элемент такой, что .
Это и позволяет говорить о том, что элементу сопоставлен один и только один элемент такой, что .Таким образом, функция -- это упорядоченная тройка (или кортеж) объектов (f,X,Y), где
§ множество X называется омбластью определемния;
§ множество Y называется омбластью значемний;
§ множество упорядоченных пар или, что то же самое, график функции.
Обозначения. Если задана функция f, которая определена на множестве X и принимает значения в множестве Y, то есть, функция f отображаетмножество X в Y, то
§ этот факт коротко записывают в виде или .
§ область определения функции f (множество X) обозначается D(f), или ;
§ область значений функции f (множество Y) обозначается R(f) (E(f)), или ().
Наличие функциональной зависимости между элементом и элементом
§ наиболее часто обозначается как
y = f(x),
или
;
§ реже используется обозначение без скобок y = fx, или y = xf,
§ а там, где необходимо подчеркнуть двойственность, используются обозначения со скобками: y = (f,x) или y = (x,f);
§ так же существует и операторное обозначение y = xf, которое можно встретить в общей алгебре.
§ лx.y в лямбда-исчислении Чёрча.
Функции нескольких аргументов. Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.
Если множество X представляет собой декартово произведение множеств , тогда отображение оказывается n-местным отображением, при этом элементы упорядоченного набора называются аргументами (данной n-местной функции), каждый из которых пробегает своё множество:
где .
В этом случае y = f(x) означает, что .
Способы задания функции
Аналитический способ Функция математический объект представляет собой бинарное отношение, удовлетворяющее определенным условиям. Функцию можно задать непосредственно как множество упорядоченных пар, например: есть функция . Однако, этот способ совершенно непригоден для функций на бесконечных множествах (каковыми являются привычные вещественные функции: степенная, линейная, показательная, логарифмическая и т. п.).Для задания функции пользуются выражением: . При этом, x есть переменная, пробегающая область определения функции, а y - область значений. Эта запись говорит о наличии функциональной зависимости между элементами множеств. х и yмогут пробегать любые множества объектов любой природы. Это могут быть числа, векторы, матрицы, яблоки, цвета радуги. Поясним на примере: Пусть имеется множество яблоко, самолет, груша, стул и множество человек, паровоз, квадрат. Зададим функцию f следующим образом: (яблоко,человек), (самолет,паровоз), (груша,квадрат), (стул,человек). Если ввести переменную x, пробегающую множество и переменную y, пробегающую множество , указанную функцию можно задать аналитически, как: .Аналогично можно задавать числовые функции. Например: где х пробегает множество вещественных чисел задает некоторую функцию f. Важно понимать, что само выражение не является функцией. Функция как объект представляет собой множество (упорядоченных пар). А данное выражение как объект есть равенство двух переменных. Оно задает функцию, но не является ею.Однако, во многих разделах математики, можно обозначать через f(x) как саму функцию, так и аналитическое выражение, ее задающее. Это синтаксическое соглашение является крайне удобным и оправданным.
Графический способ Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть - вещественная функция n переменных. Рассмотрим некоторое (n+1)-мерное линейное пространство над полем вещественных чисел (так как функция вещественная). Выберем в этом пространстве любой базис (). Каждой точке функции сопоставим вектор: . Таким образом, мы будем иметь множество векторов линейного пространства, соответствующих точкам данной функции по указанному правилу. Точки соответствующего аффинного пространства будут образовывать некоторую поверхность. Если в качестве линейного пространства взять евклидово пространство свободных геометрических векторов (направленных отрезков), а число аргументов функции f не превосходит 2, указанное множество точек можно изобразить наглядно в виде чертежа (графика). Если сверх того исходный базис взять ортонормированным, получим "школьное" определение графика функции.Для функций 3 аргументов и более такое представление не применимо ввиду отсутствия у человека геометрической интуиции многомерных пространств.Однако, и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например каждому значению четвертой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике)
Связанные определения
Сужение и продолжение функции. Основная статья: Сужение и продолжение функции
Пусть дано отображение и .
Функция , которая принимает на M те же значения, что и функция f, называется сужемнием (или, иначе ограничением) функции f на множество M.
Сужение функции f на множество M обозначается как .
Если функция такова, что она является сужением для некоторой функции , то функция f, в свою очередь, называется продолжением функции g на множество X.
Образ и прообраз (при отображении) Элемент y = f(x), который сопоставлен элементу x, называется образом элемента (точки) x (при отображении f).Если взять целое подмножество A области определения функции f, то можно рассмотреть совокупность образов всех элементов множества A, а именно подмножество области значений (функции f) вида
,которое, называется образом множества A (при отображении f). Это множество иногда обозначается как f[A] или Af.Наоборот, взяв некоторое подмножество B области значений функции f, можно рассмотреть совокупность тех элементов области определения (функции f), чьи образы попадают в множество B, а именно -- множество вида
,
которое называется (полным) прообразом множества B (при отображении f).
В том частном случае, когда множество B состоит из одного элемента, скажем, B = {y}, множество f ? 1({y}) = {x:f(x) = y} имеет более простое обозначение f ? 1(y).
Тождественное отображение
Отображения, у которых совпадают область определения и область значений, называются отображениями заданного множества в себя или преобразованиями.
В частности, преобразование , которое сопоставляет каждой точке x множества X её саму или, что тоже самое,
f(x) = x для каждого ,
называется тождественным.
Это отображение имеет специальное обозначение: idX или, проще, id (если из контекста понятно, какое множество имеется в виду). Такое обозначение обязано своим происхождением англ. слову identity («идентичный»).Другое обозначение тождественного преобразования -- 1X. Такое отображение является унарной операцией, заданной на множествеX. Поэтому, нередко, тождественное преобразование называют единичным.
Композиция отображений
Пусть и -- два заданных отображения таких, что область значений первого отображения является подмножеством области определения второго отображения. Тогда для всякого однозначно определяется элемент такой, что y = f(x), но для этого самого y однозначно определяется элемент такой, что z = g(y). То есть, для всякого однозначно определяется элемент такой, что z = g(f(x)). Другими словами, определено отображение h такое, что
h(x) = g(f(x)) для всякого .
Это отображение называется композицией отображений f и g и обозначается
§ либо или ,
§ либо (именно в таком порядке!), что является наиболее употребительным.
Обратное отображение
Если отображение является взаимно однозначным или биективным (см. ниже), то определено отображение , у которого
§ область определения (множество Y) совпадает с областью значений отображения f ;
§ область значений (множество X) совпадает с областью определения отображения f;
§ x = f ? 1(y) тогда и только тогда, когда y = f(x).
Такое отображение называется обратным по отношению к отображению f.
Отображение, у которого определено обратное, называется обратимым.
В терминах композиции функции, свойство обратимости заключается в одновременном выполнении двух условий: и .
Свойства. Пусть задана функция , где X и Y -- данные множества, причём X = domf. Каждая такая функция может обладать некоторыми свойствами, описание которых приведено ниже. Образ и прообраз при отображении
Взятие образа Положим, A и B -- подмножества области определения. Взятие образа (или, что то же самое, применение оператора f) обладает следующими свойствами:
§ ;
§ ;
§ .
Далее
§ образ объединения равен объединению образов: образ пересечения является подмножеством пересечения образов . Последние два свойства, вообще говоря, допускают обобщение на любое количество множеств, большее двух (как оно здесь сформулировано). Взятие прообраза Положим, A и B -- подмножества множества Y.По аналогии с взятием образа, взятие прообраза (переход к прообразу) обладает также следующими двумя очевидными свойствами:
§ прообраз объединения равен объединению прообразов: ;
§ прообраз пересечения равен пересечению прообразов .
Данные свойства, также, допускают обобщение на любое количество множеств, большее двух (как оно здесь сформулировано).
В случае, если отображение обратимо (см. ниже), прообраз каждой точки области значений одноточечный, поэтому для обратимых отображений выполняется следующее усиленное свойство для пересечений:
§ образ пересечения равен пересечению образов: .
Поведение функций
Сюръективность. Основная статья: Сюръекция Функция f называется сюръективной (или, коротко, сюръекция), если каждому элементу множества прибытия может быть сопоставлен хотя бы один элемент области определения. Другими словами, функция f сюръективна, если образ множества X при отображении совпадает с множеством Y: f[X] = Y.Такое отображение называется ещё отображением на. Если условие сюръективности нарушается, то такое отображение называют отображением в.
Инъективность. Основная статья: Инъекция (математика) Функция f называется инъективной (или, коротко, инъекция), если разным элементам множества X сопоставлены разные элементы множества Y. Более формально, функция f инъективна, если для любых двух элементов таких, что f(x1) = f(x2), непременно выполняется x1 = x2.Другими словами, сюръекция -- это когда «у каждого образа есть прообраз», а инъекция -- это когда «разные -- в разные». То есть, при инъекции не бывает так, чтобы два или больше разных элементов X отображались в один и тот же элемент Y. А при сюръекции не бывает так, чтобы какой-то элемент Y не имел прообраза.
Биективность. Основная статья: Биекция Если функция является и сюръективной, и инъективной, то такую функцию называют биективной или взаимно однозначной.
Многозначные функции. В силу определения функции, заданному значению аргумента соответствует ровно одно значение функции. Не смотря на это, нередко, можно услышать про т. н. «многозначные» функции. В действительности, это не более чем удобное обозначение функции, область значений которой само является семейством множеств. Пусть , где -- семейство подмножеств множества Y. Тогда f(x)будет множеством для всякого .
Грумппа -- непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам. Группы являются важными инструментами в изучении симметрии во всех её проявлениях. Примерами групп являются вещественные числа с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат и т. п. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп.
Определения Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией называется группой (G, * ), если выполнены следующие аксиомы:
1. ассоциативность: ;
2. наличие нейтрального элемента: ;
3. наличие обратного элемента:
Комментарии
§ Элемент a - 1, обратный элементу a, единственен.
§ В определении группы 2-ю и 3-ю аксиомы можно заменить одной аксиомой существования обратной операции:
§ Вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального () и левого обратного () элементов. При этом они автоматически являются e и a - 1:
Связанные определения. Основная статья: Словарь терминов теории групп
§ В общем случае от группы не требуется выполнения свойства коммутативности
§ Пары элементов , для которых выполнено равенство a * b = b * a, называются перестановочными иликоммутирующими.
§ Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы.
§ Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой.
§ Подгруппа -- подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.
§ Порядок группы (G, * ) -- мощность G (т. е. число её элементов).
§ Если множество G конечно, то группа называется конечной.
Примеры
§ Целые числа с операцией сложения. группа с нейтральным элементом 0. Она является абелевой.
§ Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел -- снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность и единица.
§ Свободная группа с двумя образующими (F2) состоит из пустого слова, которое мы обозначаем (это единица нашей группы), и всех конечных слов из четырёх символов a,a ? 1,b и b - 1 таких, что a не появляется рядом с a - 1 и b не появляется рядом с b - 1. Операция умножения таких слов -- это просто соединение (конкатенация) двух слов в одно с последующим сокращением парaa ? 1,a ? 1a,bb ? 1 и b ? 1b.
§ Симметрическая группа. Множество всех биекций конечного множества в себя с операцией композиции является конечной группой, которая называется симметрической группой, или группой перестановок. Любая конечная группа является подгруппой некоторой симметрической группы (теорема Кэли).
§ Циклические группы состоят из степеней одного элемента a. Такие группы всегда коммутативны. Примеры таких групп -- упомянутые уже целые числа по сложению и группа корней из единицы.
Стандартные обозначения
Мультипликативная запись Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применяется мультипликативная запись:
§ результат операции называют произведением и записывают a * b или ab;
§ нейтральный элемент обозначается «1» и называется единицей;
§ обратный к a элемент записывается как a - 1.
Кратные произведения записывают в виде натуральных степеней [1]. Для элемента a корректно[2]определена целая степень, следующим образом:
a0 = e,
a ? n = (a ? 1)n.
Для степени элемента справедливо . В частности, .
Аддитивная запись. В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:
§ пишут «a + b» и называют получившийся элемент суммой элементов a и b;
§ обозначают нейтральный элемент «0» и называют его нулём;
§ обратный элемент к a обозначают как «?a» и называют его противоположным к a элементом;
§ запись сокращают следующим образом: a + (-b) = a - b;
§ выражения вида a + a, a + a + a, -a - a, … обозначают символами 2a, 3a, -2a, …
Простейшие свойства
§ Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.
§ (a?1)-1 = a, aman = am+n, (am)n = amn.
§ (ab)?1 = b?1a?1.
§ Верны законы сокращения:
,
.
§ Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.
§ Группа содержит единственное решение x любого уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».
§ Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.
§ Теорема Лагранжа: если G -- группа конечного порядка g, то порядок g1 любой её подгруппы G1 является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы.
§ Для определения числа подгрупп в группе используются теорема Лагранжа и теоремы Силова.
Способы задания группы Группу можно задать:
§ С помощью порождающих и соотношений.
§ Факторгруппой G/H, где G -- некоторая группа и H -- её нормальная подгруппа. В частности, каждая группа является факторгруппой свободной группы порождающего множества этой группы по подгруппе соотношений группы.
§ Полупрямым произведением двух групп и, в частности,
§ Прямым произведением двух групп (G,·) и (H,*), то есть множеством G?H пар, наделённым операцией покомпонентного умножения: (g1,h1)(g2,h2) = (g1 · g2,h1*h2).
§ Свободным произведением двух групп G и H есть группа, система образующих которой есть объединение систем образующих Gи H, a система соотношений есть объединение систем соотношений G и H. Например, модулярная группа является свободным произведением и .
История Идея группы появилась в исследованиях перестановок корней алгебраических уравнений, начиная с работ Лагранжа (1771),Руффини (1799), Абеля (1826) Галуа (1831). Лагранж исследовал решения уравнений степени три и четыре, тогда как Руффини, Абель и Галуа показали неразрешимость в радикалах общего уравнения степени пять и выше. Галуа первым использовал термин «группа» в его современном смысле. Основываясь на разработках других областей, таких как теория чисел и геометрия, понятие группы было обобщено и аксиоматически определено Кронекером в 1870 году.
Обобщения
§ Группоид -- магма.
§ Полугруппа
§ Множество G с заданной на нём бинарной операцией ·, удовлетворяющее только первым двум аксиомам, называется моноидом. Таким образом, группа может быть определена как моноид, в котором каждый элемент обратим.
§ Квазигруппа
Подгруппа Ї подмножество H группы G, само являющееся группой относительно операции, определяющей G.Подмножество H группы G является её подгруппой тогда и только тогда, когда:
1. содержит произведение любых двух элементов из H,
2. содержит вместе со всяким своим элементом h обратный к нему элемент h ? 1.
В случае конечных и, вообще, периодических групп проверка условия 2 является излишней.
Примеры
§ Подмножество группы G, состоящее из одного элемента 1, будет, очевидно, подгруппой, и эта подгруппа называется единичной подгруппой группы G.
§ Сама G также является своей подгруппой.
Связанные определения
§ Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе.
§ Сама группа G и единичная подгруппа называется несобственными подгруппами группы G, все остальные Ї собственными.
§ Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих все элементы некоторого непустого множества M, называется подгруппой, порожденной множеством M, и обозначается < M > .
§ Если M состоит из одного элемента a, то < a > называется циклической подгруппой элемента a.
§ Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой.
§ Если группа G1 изоморфна некоторой подгруппе H группы G, то говорят, что группа G1 может быть вложена в группу G.
Свойства
§ Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) подгрупп группы G является подгруппой группы G.
§ Теоретико-множественное объединение подгрупп, вообще говоря, не обязано являться подгруппой. Объединением подгрупп H иK называется подгруппа, порожденная объединением множеств .
§ Гомоморфный образ подгрупп Ї подгруппа.
§ Если даны две группы и каждая из них изоморфна некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда еще не следует изоморфизм самих этих групп.
циклическая группа. В теории групп группа называется циклической, если она может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n -- целое число). Математическое обозначение: .ь Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени gn будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению ().
Подобные документы
Определение понятия множеств Г. Кантора, их примеры и обозначения. Способы задания, включение и равенство множеств, операции над ними: объединение, пересечения, разность, дополнение, их определение и наглядное представление на диаграмме Эйлера-Венна.
реферат [70,9 K], добавлен 11.03.2009Понятия множеств и их элементов, подмножеств и принадлежности. Способы задания множеств, парадокс Рассела. Количество элементов или мощность. Сравнение множеств, их объединение, пересечение, разность и дополнение. Аксиоматическая теория множеств.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 07.02.2011Краткое историческое описание становления теории множеств. Теоремы теории множеств и их применение к выявлению структуры различных числовых множеств. Определение основных понятий, таких как мощность, счетные, замкнутые множества, континуальное множество.
дипломная работа [440,3 K], добавлен 30.03.2011Понятие множества и его элементов. Обозначение принадлежности элемента множеству. Конечные и бесконечные множества. Строгое и нестрогое включение. Способы задания множеств. Равенство множеств и двухсторонее включение. Диаграммы Венна для трех множеств.
презентация [564,8 K], добавлен 23.12.2013Графическая интерпретация множеств и операций над ними. Математическая логика, булева алгебра. Совершенная конъюнктивная нормальная форма. Равносильные формулы и их доказательство. Полнота системы булевых функций. Логика предикатов, теория графов.
лекция [253,7 K], добавлен 01.12.2009Математическая теория нечетких множеств и нечеткая логика как обобщения классической теории множеств и классической формальной логики. Сферы и особенности применения нечетких экспертных систем. Анализ математического аппарата, способы задания функций.
презентация [1,0 M], добавлен 17.04.2013Понятие множества, его обозначения. Операции объединения, пересечения и дополнения множеств. Свойства счетных множеств. История развития представлений о числе, появление множества натуральных, рациональных и действительных чисел, операции с ними.
курсовая работа [358,3 K], добавлен 07.12.2012Множество как ключевой объект математики, теории множеств и логики. Операции над множествами, числовые последовательности. Множества действительных чисел. Бесконечно малые и большие функции. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций.
лекция [540,0 K], добавлен 25.03.2012Понятие функции как одно из важнейших понятий математики. Сюръекции, инъекции и биекции. Композиция или сложная функция и ее иллюстрация. Зависимость множеств Х и У, их области, элементы и простейших операций над ними. История математической функции.
реферат [58,8 K], добавлен 11.03.2009Сущность теории множеств и особенности ее практического применения. Операции над множествами и их главные закономерности. Порядок нахождения области определения функции, участков ее возрастания и убывания. Определение вероятности исследуемого действия.
контрольная работа [46,5 K], добавлен 02.12.2011
