Основные преобразования в геометрии. Некоторые свойства бесконечно удаленной точки

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Определение преобразования. Простейшие преобразования

преобразование геометрический объект функция

Преобразование, одно из основных понятий математики, возникающее чаще всего при изучении соответствий между классами геометрических объектов, классами функций. К примеру, при геометрических исследованиях часто приходится изменять все размеры фигур в одном и том же отношении, увеличивать радиусы кругов на одну и ту же величину, вообще сопоставлять фигурам какого-либо класса другие, получаемые из них по определённым правилам; при решении дифференциальных уравнений операционными методами заменяют данные функции другими, преобразованными функциями.

Теперь уточним, что же мы будем понимать под преобразованием геометрических фигур. Рассмотрим некоторую плоскость и закон, с помощью которого каждой точке Х этой плоскости ставится в соответствие точка Х' той же плоскости. Этот закон сопоставления называется преобразованием плоскости. Заметим, что преобразование плоскости (пространства) биективно. Введём обозначения: пусть ? - преобразование плоскости, Х? (? - плоскость), Х'- образ Х относительно преобразований ?, то удобно записать Х'=?(Х) или просто ?(Х).

Пусть на плоскости задано преобразование ? и пусть F- некоторая фигура на плоскости. Преобразование ? переводит каждую точку Х фигуры F в некоторую точку Х' - ее образ. Фигура F', состоящая из совокупности всех образов точек фигуры F, называется образом фигуры F относительно преобразования ?. Фигуру F' часто обозначают также ?(F). Таким образом, преобразование ? переводит каждую фигуру F на плоскости в ее образ - фигуру F'=? (F) .

Обычно точка и её образ не совпадают. В том случае, когда точка и ее образ - точка ?(Х) - совпадают, точка Х называется неподвижной точкой преобразования ?.

Преобразование плоскости, сопоставляющее каждой точке плоскости Х ее саму, называется тождественным. Иными словами, преобразование плоскости тождественно, если все точки плоскости относительно этого преобразования неподвижны. Тождественное преобразование плоскости будем в дальнейшем обозначать буквой е.

Пусть на плоскости задано некоторое преобразование ?. Фигура F называется инвариантной относительно преобразования ?, если образ F совпадает с F, т.е. F=?(F). Инвариантная относительно некоторого преобразования фигура может не иметь ни одной неподвижной точки относительно этого преобразования.

Рассмотрим теперь наиболее важные примеры преобразований плоскости.

Совокупность движений и зеркальных отражений, совмещающих некоторую фигуру с собой, называется группой симметрии этой фигуры. Эта группа определяет свойства симметрии фигуры. Например, группа симметрии правильного тетраэдра состоит из 4! = 24 преобразований, переставляющих между собой его вершины.

Параллельный перенос. Это преобразование состоит в следующем: пусть на плоскости дан некоторый отрезок АВ; если точка Х не лежит на прямой 1, то ее образ Х' есть вершина параллелограмма, построенного на сторонах АВ и АХ, если Х лежит на прямой АВ, то за Х' принимается такая точка этой прямой, что отрезки АХ и ВX' равны, а отрезок ХХ' равен отрезку АВ. Таким образом, параллельный перенос сводится к тому, что каждая точка плоскости сдвигается на отрезок АВ в данном направлении. Параллельный перенос сохраняет расстояние и ориентацию плоскости. Аналитическое выражение данного преобразования имеет вид:

х'=х+х,

у'=у+у; где р(х;у)0.

Движениями называются преобразования плоскости, не меняющие расстояний между точками. Все рассмотренные выше преобразования плоскости, как нетрудно видеть, являются движениями. Справедливо в известном смысле обратное утверждение. Именно, любое движение на плоскости сводится либо к вращению, либо к параллельному переносу, либо к последовательному выполнению не более чем трех отражений в некоторых прямых (симметрий).

Гомотетией с центром О и коэффициентом k называется такое преобразование плоскости, при котором любая точка А переходит в точку А' такую, что ОА'=kОА.

Если k=1, то гомотетия сводится к тождественному преобразованию. Если k?1, то единственной неподвижной точкой этого преобразования будет центр гомотетии -- точка О. Инвариантными фигурами гомотетии будут лучи, имеющие своей вершиной центр подобия. Гомотетия сохраняет величину угла, ориентацию плоскости, сохраняет отношения «принадлежать» и «лежать между», параллельность, конгруэнтность.

Сформулируем теперь понятия равных и подобных фигур, играющих важнейшую роль в элементарной геометрии.

Две фигуры Е и F называются равными, если существует движение, переводящее фигуру Е в F.

Фигуры Е и F называются подобными, если существует преобразование гомотетии, переводящее фигуру Е в фигуру F , равную Е. Ясно, что все понятия преобразования плоскости легко переносятся на случай произвольных геометрических фигур. Сопоставляя по определенному закону каждой точке Х фигуры М некоторую точку Х' другой фигуры N, получаем преобразование ? фигуры М в фигуру N. Если при этом образ фигуры М покрывает всю фигуру N, то говорят, что ? - есть преобразование М на N.

2. Стереографическая проекция

Для того чтобы лучше понять преобразование инверсии рассмотрим стереографическую проекцию.

Пусть К - сфера и Р - плоскость, касающаяся К в точке S. Точку S будем называть южным полюсом К, а диаметрально противоположную ей точку N - северным полюсом. Пусть Х - произвольная точка сферы К, отличная от точки N. Тогда луч NХ пересекает плоскость Р в некоторой точке Х'. Преобразование, относящее каждой точке Х сферы К, отличной от точки N, точку пересечения Х' плоскости Р с лучом NХ, и называется стереографической проекцией. Очевидно, что при этом покрывается вся плоскость Р. Таким образом, стереографическая проекция преобразует сферу К с исключенной точкой N на всю плоскость Р.

Рассмотрим, как ведет себя образ точки X на плоскости Р, когда точка Х неограниченно приближается к точке N по сфере К. Из подобия прямоугольных треугольников X'NS u XNS имеем

Обозначим через R радиус сферы К. Так как точка Х находится достаточно близко к северному полюсу N, то ХS>R и потому

Как известно, положение окружности на плоскости определяется любой тройкой её точек, не лежащих на одной прямой. Положение прямой на плоскости также определяется тройкой её точек, из которых две могут быть выбраны произвольно, а третья обязательно является бесконечно удалённой. Поэтому на прямую можно смотреть как на окружность, проходящую через бесконечно удалённую точку.

Рассмотрим теперь на сфере К семейство всех окружностей, плоскости которых параллельны плоскости Р. Будем считать, что в это семейство входят точки S и N, как окружности нулевого радиуса. Стереографическая проекция преобразует это семейство окружностей в совокупность всех концентрических окружностей на плоскости Р с центром в точке S, которая включает в себя точку S и бесконечно удаленную точку.

Пусть далее k'-- произвольная окружность на шаре, не проходящая через точку N. Касательные плоскости к шару в точках этой окружности огибают некоторый конус вращения; пусть вершина этого конуса есть S. Так как окружность k' не проходит через точку N, то NS не будет касательной к шару в точке N и, следовательно, не будет параллельна плоскости проекции. Пусть М будет точкой пересечения плоскости проекции с NS. Мы утверждаем, что кривая k, изображающая окружность k' на плоскости проекции, есть окружность с центром в точке М. Доказательство можно легко увидеть из чертежа 1. Если Р' есть произвольная точка окружности k', а Р -- ее проекция, то Р'S есть касательная к шару в точке Р', а PM - проекция касательной Р'S; чертеж 1 отсюда ?PP'S = ?P'РМ. Проведем через точку S прямую параллельную РМ, и пусть эта прямая пересекает NР в точке P”. Тогда либо точки Р” и Р' совпадают, либо треугольник P'P”S имеет равные углы ПРИ точках Р' и Р” и, следовательно, этот треугольник равнобедренный: SP'= SP”, но:

Так как точка S одинаково удалена от всех точек окружности k', то Р'S постоянна. Из последней формулы следует, что и РМ - постоянная, т. е. кривая k есть окружность с центром в точке М. Таким образом все окружности на шаре, не проходящие через точку N, при стереографической проекции изображаются на плоскости в виде окружностей, и, обобщая только что проведенное исследование, можно видеть, что также и всякая окружность на плоскости переходит в окружность на шаре. Когда некоторый круг, подвижный на шаре, приближается к кругу, проходящему через точку N, то прямая NS приближается к касательной шара в точке N, а точка М удаляется в бесконечность. Отсюда следует, что кругам, проходящим через точку N шара, соответствуют на плоскости проекций прямые. Это ясно и без перехода к пределу, так как лучи, проектирующие точки окружности, проходящей через точку N шара, расположены в плоскости этого круга, так что прямая, получающаяся в пересечении этой плоскости с плоскостью проекции, служит проекцией нашей окружности. Таким образом, совокупности окружностей на шаре соответствуют в стереографической проекции совокупности окружностей и прямых плоскости. Стереографическая проекция сохраняет окружности. Примерами преобразований, сохраняющих окружности, служат так же движения, перевертывания (отражения) и преобразования подобия плоскости.

Пусть Р - точка плоскости, которая при заданном преобразовании ?, сохраняющем окружности, переходит в точку D, и пусть Р -- стереографическая проекция точки шара Р'. Дадим теперь шару такое вращение ?”, при котором точка Р' переходит в точку N. Вращению ?” соответствует преобразование ?', сохраняющее окружности, свойства которого связаны и простым наглядным образом со свойствами вращения ?”. Заданное преобразование ?, сохраняющее окружности, которое точно так же, как ?', переводит точку Р в точку D , может отличаться от преобразования ?' только преобразованием, сохраняющим окружности, которое оставляет точку D неподвижной. Поэтому преобразование ? тождественно ?' с точностью до движения, перевертывания или преобразования подобия. Так как стереографическая проекция сохраняет углы, то вращение ?” представляет отображение шара с сохранением углов, а так как ?' получается из ?” при помощи стереографической проекции, то ?' представляет отображение плоскости с сохранением углов. ? отличается от ?' только на отображение с сохранением углов. Отсюда следует, что все преобразования, сохраняющие окружности, сохраняют неизменными углы. Связь отображений ?' и ?” наглядно представлена на чертежах 2 и 3 выделением окружности k, проходящей через точку Р плоскости, которая является стереографической проекцией большого круга 1 шара. Отображение ?” переводит большой круг 1 в большой круг п, проходящий через точку N, стереографической проекцией которого служит прямая g . Таким образом отображение а' переводит окружность k в прямую g . Из чертежей понятно, что внутренность и внешность окружности переходят в полуплоскости, ограниченные прямой g, что, впрочем, ясно из соображений непрерывности. Перевертывание u плоскости вокруг прямой g является преобразованием, сохраняющим окружности. В соответствии с этим отображение i = а' и(а') представляет собой преобразование, сохраняющее окружности, которое сохраняет неподвижными точки окружности k, а внутренность и внешность этого круга переводит друг в друга. Отображение i называется инверсией или зеркальным отражением по отношению к кругу k.

3. Инверсия. Основные свойства инверсии

Приведем, теперь, наиболее распространенное определение инверсии.

Пусть в плоскости чертежа дана некоторая окружность (О,r) и точка Р, отличная от точки О. Возьмем на луче ОР точку Р' так, чтобы произведение длин отрезков ОР и ОР' равнялось квадрату радиуса данной окружности, то есть,

Такую Точку Р' называют инверсной точке Р относительно окружности (О,r). Окружность (О, r) называют окружностью инверсии или базовой окружностью, ее центр О - центром инверсии или полюсом инверсии, а величину r -- степенью инверсии.

Соответствие между инверсными точками, или иначе преобразование, которое каждую точку Р некоторой фигуры Ф переводит в инверсную ей точку Р' соответствующей фигуры Ф', называется инверсией или преобразованием обратных радиусов. Положим |ОА|=r=1, |ОР|=R, |ОР'|=R'; равенство |ОР|•|ОР'|= запишется в этом случае так: R=1/R', то есть расстояния инверсных точек Р и Р' от центра инверсии О являются взаимно обратными числами. Слово «инверсия» с латинского inversio - «обращение», «перестановка».

В ряде случаев бывает удобным определение приведенное И.Я. Бакельманом. Пусть на плоскости Р фиксирована окружность с центром в точке О и радиусом r. Инверсией с центром в точке О и радиусом r называется преобразование плоскости, которое описывается следующим законом: точке Х, отличной от точек О и О, ставится в соответствие точка Х' на луче ОХ такая, что ОХ'=, точке О - бесконечно удаленная точка О и бесконечно удаленной точке О - точка О.

Далее, рассмотрим наиболее важные свойства инверсии.

1. Пусть Х лежит на окружности инверсии, то ОХ=r и, тогда, ОХ'==r. Так как точки Х и Х' лежат на одном луче ОХ, то точки Х и Х' совпадают. Отсюда следует, что все точки окружности инверсии являются неподвижными точками, а сама окружность инверсии является инвариантной фигурой.

2. Точки Х, лежащие внутри окружности инверсии и отличные от точки О, переводятся инверсией в точки, лежащие вне окружности инверсии, и наоборот, точки, лежащие вне окружности инверсии, переводятся во внутренние точки по отношению к этой окружности. Действительно, в первом случае имеем ОХ<r, и потому ОХ'=> r, что и показывает, что Х' лежит вне окружности инверсии. Аналогично рассматривается второй случай. 3. Если точка Х неограниченно приближается к точке О (ОХ0), то образ ее -- точка Х'-- неограниченно удаляется от точки О.Это видно из соотношения ОХ'=+ . То есть точка Х' стремится к бесконечно удаленной точке, а при неограниченном удалении точки Х от точки О её образ Х' неограниченно приближается к точке О. Эта особенность объясняет тот факт, что по определению инверсии центр инверсии переходит в бесконечно удаленную точку, и обратно.

Тогда и, следовательно,

Так любая произвольная точка Х плоскости преобразуется дважды выполненной инверсией ? в эту же точку Х. То есть справедлива следующая теорема.

Теорема . Преобразование плоскости, представляющее собой последовательно выполненную дважды одну и ту же инверсию, есть тождественное преобразование.

Аналитически Т.1 можно записать так: ?(Х)=е(Х)=Х. Заметим, что если ?(Х)=Х', то ?(Х')=Х. Поэтому иногда инверсию называют «отражением в окружности».

Лемма . Пусть инверсия ? переводит точки А и В соответственно в точки А' и В' (предполагается, что точки А и В отличны от точки О и бесконечно удаленной точки и, кроме того, точки О, А, В не лежат на одном луче с началом в точке О). Тогда треугольники ОАВ и ОА'В' подобны и <ОАВ=<ОВ'А', <ОВА=<ОА'В'.

Доказательство. У ?ОАВ и ?ОА'B' есть общий угол при вершине О, а стороны пропорциональны, т.к. если

Теорема 2. Инверсия преобразует: прямую, проходящую через центр инверсии, в эту же прямую; прямую, не проходящую через центр инверсии, в окружность, проходящую через центр инверсии; окружность, проходящую через центр инверсии, в прямую, не проходящую через центр инверсии; окружность, не проходящую через центр инверсии, в окружность, не проходящую через центр инверсии.

Для доказательства Т.2 важно отметить следующее. Назовем углом между пересекающимися окружностями с вершиной в точке пересечения меньший угол между касательными к ним в точке пересечения. Аналогично углом между окружностью и пересекающей ее прямой с вершиной в точке пересечения называется угол между этой прямой и касательной к окружности, проведенной в точке пересечения. Из этого определения следует, что если две окружности или прямая и окружность касаются (то есть имеют единственную общую точку), то угол между ними равен нулю.

Теорема 3. При инверсии ? угол между прямыми равен углу между их образами.

Доказательство. Возможны 3 случая:

1) прямые lи l проходят через центр инверсии ?; 2) одна из прямых l и l проходит через центр инверсии; 3) ни l, ни l не проходят через центр инверсии. В первом случае утверждение теоремы очевидно. Рассмотрим случаи 2) и 3).

В случае 2) будем считать для определенности, что прямая проходит через центр инверсии - точку О. Тогда инверсия ? переводит прямую l саму в себя, т. е. образ прямой l совпадает с этой прямой. Прямая l не проходит через центр инверсии и потому переводится инверсией

в некоторую окружность l', проходящую через точку О. Касательная t к окружности l' в точке О параллельна прямой l. Относительно взаимного расположения прямых l и l могут представиться две возможности: 1. ||; 2.=А.

Если ||, то угол между ними, очевидно, равен нулю. Но прямая проходит через точку О и параллельна . Тогда совпадет с касательной t к окружности в точке О. Отсюда следует, что угол между равен нулю и, следовательно, утверждение теоремы в случае 1 доказано. Пусть теперь l и l не параллельны и А - точка их пересечения. Обозначим через ? наименьший из вертикальных углов между l=l' и прямой l или, что тоже, прямой t. Точка А при инверсии переходит в некоторую точку А', в которой прямая l' пересекается с окружностью l'. Но прямая t' или, что то же, прямая ОА' составляет с касательной t' в точке А' к окружности l' такие же вертикальные углы, что и с касательной t. Отсюда немедленно следует, что угол между l' и 1' в точке А' равен ?. Случай 2. полностью доказан.

Теорема 4. Угол между окружностями равен углу между образами этих окружностей относительно инверсии.

Теорема 5. Угол между окружностью и прямой равен углу между образами этих фигур относительно инверсии.

Теорема 6. Если две кривые пересекаются в точке Р, то инверсные им кривые пересекаются в точке Р, инверсной точке Р.

Теорема 7. Кривая, инверсная данной окружности (О, R), не проходящей через центр инверсии, есть также окружность. Центр инверсии является при этом подобия этих окружностей.

Доказательство.

Пусть линия центров 00 окружности инверсии (0,r) и данной окружности (О, R) пересекает последнюю из них в точках А и В. Обозначим A'=?(A) и В'=?(В). Возьмем на окружности (О, R) произвольную точку Р и обозначим Р'=?(Р). Применяя лемму 1, получим

Тогда, получаем Пусть точка Р перемещается по данной окружности (О,R), тогда точка Р'=?(Р) будет описывать окружность (О,|ОР'|), имеющую отрезок А'B' своим диаметром. Теорема доказана.

Если QQ'и ТТ'-- общие внешние касательные данной окружности (О,R ) и инверсной ей окружности (О, |O,Р' |), то точки касания Q,Q' и Т, Т' будут всегда взаимно инверсны. Перпендикуляр, проведенный через точку Q' к касательной QQ', пересечет линию центров ОО в точке О, являющейся центром окружности, инверсной данной. Из прямоугольных треугольников ООQ и OOQ можем записать:

,

где k - это коэффициент гомотетии окружностей (О,|OP'|) и (О,R).

5. Введем теперь понятие степени точки относительно окружности, которое является аналогом понятия расстояния от точки до прямой.

Степенью М относительно окружности К называется число s=d - r, где d -- расстояние точки М от центра О окружности К, а r -- радиус этой окружности. Если точка М лежит внутри окружности К, то d<r, и потому степень точки М: s=d - r, отрицательна. Величины r-d и r+d суть отрезки диаметра PQ, на которые его разбивает точка М.(Рис.1) Поэтому для любой хорды АМВ круга К имеем (рис. 1) (рис. 2)

Если точка М лежит на окружности К, то d=r и, следовательно, степень точки М равна нулю. Наконец, если точка М лежит вне окружности К, то d>r и s=d - r представляет собой квадрат длины касательной к окружности К, проведенной из точки М.(Рис. 2) Пусть теперь даны две окружности К и К. Геометрическое место точек, степени которых относительно окружностей К и Кравны, называют радикальной осью окружностей К и К.

Интересна следующая теорема.

Теорема 8. Если окружности К и К не концентрические, то их радикальная ось представляет собой прямую, перпендикулярную линии центров К и К.

Доказательство. Пусть О и r, О и r - соответственно центры и радиусы окружностей К и К. Пусть, далее, точка М удалена от точки О на расстояние d, а от точки О - на расстояние d. Если степени точки М относительно К и К равны, т.е.

6. Рассмотрим теперь свойства радикальной оси 1 в зависимости от характера взаимного расположения окружностей К и К.

1. К и Кпересекаются в двух точках А и В . Так как степени точек А и В относительно обеих окружностей К и Кравны нулю, то радикальная ось 1 совпадает с прямой АВ. В этом случае радикальная ось пересекает линию центров во внутренней точке отрезка ОО.

2. К и Кимеют единственную общую точку А, в которой они касаются друг друга. Степень точки А относительно обеих окружностей К и Кравна нулю.

Поэтому l проходит через точку А, и т.к. l перпендикулярна линии центров ОО, она совпадает с общей касательной к К и К в А. Так l пересекает ОО во внутренней точке и окружности К и К, кроме того лежат по разные стороны от l .

З. Окружности К и К не имеют общих точек. Здесь возможны два подслучая: а) Окружности К и К расположены одна вне другой . Проведем к К и К какие-нибудь две общие касательные РQ и RT и пусть Н и Н-- середины отрезков РQ и RT. Так как степень точки Х, лежащей вне окружности К, относительно этой окружности равна квадрату длины касательной, проведенной из точки Х, то точки Н и Н имеют равные степени относительно обеих окружностей К и К, следовательно, принадлежат радикальной оси 1. Поэтому радикальная ось 1 окружностей К и К совпадает с прямой НН. Легко видеть, что К и К лежат по разные стороны от радикальной оси 1 и 1 пересекает линию центров во внутренней точке отрезка ОО.

б) Окружность К лежит внутри окружности К . В этом случае построение осуществляется по общему способу: находится точка пересечения S радикальной оси 1с линией центров ОО и из нее восстанавливается ось 1 расположена вне окружности К и обе окружности К и К лежат по одну сторону от 1. Из проведенных рассмотрений ясно, что построение радикальной оси значительно облегчается в случаях 1, 2, За. Заметим, что геометрическим местом точек, касательные из которых к К и К равны, является в случаях 2 и З вся радикальная ось, а в случае 1 все точки радикальной оси, кроме точек отрезка АВ (А и В -- точки пересечения окружностей К и К ).

Размещено на Allbest.ru