Изучение распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне
Распределение температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня, помещенного в высокотемпературный поток жидкости или газа путем анализа математической модели. Задача регрессии. Метод наименьших квадратов. Проверка гипотезы об адекватности модели.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 10.06.2011 |
| Размер файла | 152,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Контрольная работа
"Изучение распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне"
Санкт-Петербург 2008
Введение
В решении любой прикладной задачи можно выделить три основных этапа:
· Построение математической модели исследуемого объекта
· Выбор способа и алгоритма решения полученной модели
· Численная реализация алгоритма
Цель данной работы - на примере исследования распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне освоить основные методы приближенных вычислений, приобрести практические навыки.
Самостоятельных исследований, существенно опирающихся на использование методов прикладной математики.
1. Исходные данные
2. Постановка задачи
2.1 Физическая модель
При решении некоторых практических задач возникает необходимость исследования распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня, помещенного в высокотемпературный поток жидкости или газа. Такое исследование можно проводить на основе обработки эксперимента (измерение температуры в различных точках стержня) или путем анализа соответствующей математической модели.
В настоящей работе используется оба подхода.
В нашем случае, тонкий цилиндрический стержень помещен в постоянный тепловой поток (с температурой ). На концах стержня поддерживается постоянная температура .
2.2 Математическая модель
Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержня с началом в середине стержня. Будем рассматривать задачу (распределение температуры по стержню)
После момента установление режима .
Первая математическая модель использует экспериментальные данные, при этом измеряют температуру стержня в нескольких точках стержня с координатами . Результаты измерения рассматривают как функцию регрессии и получают статистики. Учитывая четность можно искать ее в виде многочлена по четным степеням (ограничимся 4-ой степенью этого многочлена).
(1.1)
Задача сводится к отысканию оценок неизвестных параметров, т.е. коэффициентов и , например, методом наименьших квадратов.
Вторая математическая модель основана на использовании закона теплофизики. Можно доказать, что искомая функция имеет вид:
(1.2)
Где - коэффициент теплопроводности, -коэффициент теплоотдачи, -диаметр стержня, -температура потока, в который помещен стержень.
Ищем как решение краевой задачи для уравнения (1.2) с граничными условиями:
(1.3)
На отрезке , где L-длина стержня, - постоянная температура, поддерживаемая на концах стержня.
Коэффициент теплопроводности зависит от температуры:
(1.4)
где - начальное значение коэффициента теплопроводности, -вспомогательный коэффициент.
Коэффициент теплоотдачи вычисляют по формуле:
(1.5)
Т.е. как среднее значение функции
за некоторый отрезок времени от 0 до Т, здесь - значение при t стремящемся к бесконечности, b - известный коэффициент.
Время , по истечении которого распределение температуры в стержне можно считать установившимся определяется по формуле:
(1.6)
где а - коэффициент температуропроводности, - наименьший положительный корень уравнения:
(1.7)
3. Статистическая обработка результатов эксперимента
3.1 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов
Ищу функцию регрессии в виде (1*). Оценки коэффициентов нахожу с помощью Метода Наименьших Квадратов (МКВ), при этом наименьшими будут оценки, обеспечивающие минимум квадратов отклонений оценочной функции регрессии от экспериментальных значений температуры. Суммирование буду производить по всем экспериментальным точкам (минимум величины S):
(2.1)
В случае нашей задачи, необходимым и достаточным условие минимума S является:
где k=0, 1, 2. (2.2)
Из уравнений (2.1) и (2.2) получаем:
(2.3)
Сумма будет находиться по формуле:
где k = 0, 1, 2, 3, 4;
где j = 0, 1, 2
Система уравнений (2.3) примет вид:
(2.4)
В результате вычислений и :
Обозначим матрицу коэффициентов уравнения (2.4) через «p»:
Методом Гаусса (a=s-1*V) решаем систему (2.4) и найдем обратную матрицу s-1. В результате всех вычислений получаем:
Подставляем найденные значения коэффициентов в уравнение (2*) и находим из него минимальное значение суммы S: .
При построении доверительных интервалов для оценок коэффициентов определяем предварительно точечные оценки.
Полагаем, что экспериментальные значения измерены с пренебрежимо малыми ошибками, а случайные ошибки распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией , которая известна. Для имеющихся измерений температуры , неизвестные значения дисперсии оцениваются по формуле:
Где r - число степей свободы системы, равное разности между количеством экспериментальных точек и количеством вычисляемых оценок коэффициентов (в нашем случае r = 3). 2 = 0.07287
Оценка корреляционной матрицы имеет вид:
K=*s-1
При вычислении получаем:
Элементы главной диагонали матрицы являются оценками дисперсий оценок коэффициентов функции регрессии:
Найденные оценки коэффициентов распределены по нормальному закону, потому что линейно зависят от линейно распределенных экспериментальных значений .
Известно, что оценки несмещенные и эффективные. Тогда случайные величины:
где k = 0, 1, 2.
Имеют распределение Стьюдента и r = 3.
Выбираем доверительную вероятность и находим по таблице Стьюдента критическое значение и удовлетворяющее равенству:
Доверительные интервалы для коэффициентов имеют вид:
(2.4*)
В нашем случае доверительные интервалы для коэффициентов примут вид:
106.42206 < a0 < 107.3192
-1.19086*105 < a1 < -1.03638*105
-2.71642*107 < a2 < 1.72479*107
температура регрессия модель стержень
3.2 Проверка статистической гипотезы об адекватности модели в задаче регрессии
Имеется выборка объема n экспериментальных значений . Предполагаем, что ошибки вычисления пренебрежимо малы, а случайные ошибки измерения температур подчинены нормальному закону с постоянной дисперсией . В нашем случае была выбрана функция регрессии в виде:
Выясним, возможно ли ограничиться многочленом второго порядка, т.е. функцией вида:
(2.5)
При помощи МНК можно найти оценки этих функций и несмещенные оценки дисперсии отдельных измерений для этих случаев:
где = 4 (количество точек = 6, 2 параметра).
Нормальная система уравнений для определения новых оценок коэффициентов функции (2.5), при помощи МНК, можно представить в виде:
(2.6)
Решение этой системы ищем методом Гаусса (), получим:
(2.7)
Вычислим статистический критерий, имеющий закон распределения Фишера. Для этого определим два числа степей свободы: .
где (3 - 2) - разность между числом оцениваемых коэффициентов первой и второй модели. где (6 - 3) - разность между числом экспериментальных точек и числом оцениваемых коэффициентов первой модели.
По формуле статического критерия Фишера, находим:
Из таблицы распределения Фишера по уровню значимости (например ) и числам степеней свободы и , находим критическое значение статистики : .
Так как , то гипотеза о допустимости упрощенной модели регрессии не принимается.
Следовательно, нужно использовать функцию регрессии в виду полинома четвертой степени:
.
3.3 Нахождение значения по интерполяционной формуле Лагранжа
Интерполяция является одной из задач Приближения функции. В общем случае сводит более сложную функцию к более простой.
Интерполяция - замена одной функции другой при условии, что исходная и интерполирующая функции имеют равные значения в некоторых точках, называемых узловыми или узлами интерполяции.
Формула Лагранжа в общем виде:
где , соответственно, равно
n=6
Найдем решение задачи интерполирования полинома Лагранжа первой степени:
где
Найдем «хорошее решение»:
«плохое решение»:
Решение задачи интерполирования полинома Лагранжа второй степени соответственно примет вид:
«хорошее решение»:
«плохое решение»:
Решение задачи интерполирования полинома Лагранжа пятой степени:
Сравнивая полученное значение (L5) со значением функции Y в точке :
Y(x)= 91.65097
Легко заметить, что значения приближенно совпадают.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Прямолинейные, обратные и криволинейные связи. Статистическое моделирование связи методом корреляционного и регрессионного анализа. Метод наименьших квадратов. Оценка значимости коэффициентов регрессии. Проверка адекватности модели по критерию Фишера.
курсовая работа [232,7 K], добавлен 21.05.2015Вероятностное обоснование метода наименьших квадратов как наилучшей оценки. Прямая и обратная регрессии. Общая линейная модель. Многофакторные модели. Доверительные интервалы для оценок метода наименьших квадратов. Определение минимума невязки.
реферат [383,7 K], добавлен 19.08.2015Основные понятия теории течения жидкости. Создание математической модели распределения температурного поля в вязкой жидкости. Разработка цифровой модели изменения поля температуры в зависимости от: теплопроводности жидкости и металла, граничных условий.
дипломная работа [4,0 M], добавлен 03.07.2014Основные задачи регрессионного анализа в математической статистике. Вычисление дисперсии параметров уравнения регрессии и дисперсии прогнозирования эндогенной переменной. Установление зависимости между переменными. Применение метода наименьших квадратов.
презентация [100,3 K], добавлен 16.12.2014Статистическое описание и выборочные характеристики двумерного случайного вектора. Оценка параметров линейной регрессии, полученных по методу наименьших квадратов. Проверка гипотезы о равенстве средних нормальных совокупностей при неизвестных дисперсиях.
контрольная работа [242,1 K], добавлен 05.11.2011Построение диаграммы рассеивания, полигонов, гистограмм нормированных относительных частот, эмпирических функций распределения по X и по Y. Параметры для уравнения параболической регрессии. Проверка гипотезы о нормальном распределении признака Х.
курсовая работа [511,8 K], добавлен 08.12.2013Проверка адекватности линейной регрессии. Вычисление выборочного коэффициента корреляции. Обработка одномерной выборки методами статистического анализа. Проверка гипотезы значимости с помощью критерия Пирсона. Составление линейной эмпирической регрессии.
задача [409,0 K], добавлен 17.10.2012Числовые характеристики выборки. Статистический ряд и функция распределения. Понятие и графическое представление статистической совокупности. Метод наибольшего правдоподобия для нахождения плотности распределения. Применение метода наименьших квадратов.
контрольная работа [62,6 K], добавлен 20.02.2011Анализ влияния радиуса кривошипа на величину максимальной температуры рабочего тела в цилиндре двигателя. Получение функциональной зависимости между данными величинами методом наименьших квадратов. Проверка работоспособности регрессионной модели.
контрольная работа [57,1 K], добавлен 23.09.2010Основные методы измерения деревьев. Наука о математических методах систематизации. Определение дисперсии случайной величины. Выборочное исправленное среднее квадратическое отклонение. Метод наименьших квадратов. Свойства параболической регрессии.
курсовая работа [840,1 K], добавлен 15.06.2011
