Определение прямоугольно-декартовой системы координат

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Определение прямоугольно-декартовой системы координат

Системой координат называется совокупность одной, двух, трех или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, - начала координат - и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел - координат. В конкретной невырожденной координатной системе каждой точке соответствует один и только один набор координат.

Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной (или ортогональной). Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной (декартовой) системой координат (в честь французского математика Рене Декарта).

Рис. 1. - Декартова система координат

В элементарной математике чаще всего рассматривается двухмерная или трехмерная декартова система координат; координаты обычно обозначаются латинскими буквами x, y и называются, соответственно, абсциссой, ординатой. Координатная ось OX называется осью абсцисс, ось OY - осью ординат. Положительные направления отсчета по каждой из осей обозначаются стрелками.

Рис. 2. - Координаты точки в декартовой системе координат

Важно отметить, что порядок записи координат существенен; так, например, точки A (-3; 2) и B (2; -3) - это две совершенно различные точки

Как определить координаты точки в декартовой системе координат? Проведем через точку A прямые (в трехмерном случае - плоскости), перпендикулярные осям. Расстояния от точек пересечения построенных прямых (плоскостей) с осями абсцисс, ординат (аппликат) до начала координат, взятые со знаком «+», если точки лежат на положительных полуосях, и со знаком «-», если они лежат на отрицательных полуосях, и будут координатами точки A. Координаты точки записываются в скобках: например, A (-3; 2) или B (x0; y0). В трехмерном пространстве координаты точки в декартовой системе координат записываются тремя числами, например, C (5; 0,2; -6).



Рис. 3

Координатные оси делят координатную плоскость на четыре квадранта (четверти). Точки, лежащие на осях координат, не принадлежат ни одному квадранту

В двухмерной системе координат все точки, лежащие над (под) осью OX, образуют верхнюю (нижнюю) координатную полуплоскость. Все точки, лежащие правее (левее) оси OY образуют правую (левую) координатную полуплоскость.

Рис. 4. - Расстояние между городами

Координаты вектора

Координаты вектора - коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

Вектора i, j называются координатными векторами.

Эти векторы некомпланарные, а значит, любой вектор можно разложить по координатным векторам:

a=xi+yj.

Коэффициенты разложения определяются единственным образом и называются координатами вектора в данной системе координат

Координаты точки

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезка OB, координата y - длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y'Y и X'X соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y - ординатой точки A. Записывают так:.

Если точка A лежит в координатном углу I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном углу III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.



Рис. 5

Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X'X и Y'Y, называются координатными углами или квадрантами

Действия над векторами в координатной форме (сложение и

вычитание двух векторов, умножение вектора на число, скалярное

произведение двух векторов)

Суммой двух векторов и называется вектор, направленный из начала вектора в конец вектора при условии, что начало совпадет с концом вектора . Если векторы заданы их разложениями по базисным ортам, то при сложении векторов складываются их соответствующие координаты.

Рассмотрим это на примере декартовой системы координат. Пусть

= x_a + y_a и = x_b + y_b

Покажем, что



Из рисунка видно, что

Сумма любого конечного числа векторов может быть найдена по правилу многоугольника (рис. 4): чтобы построить сумму конечного числа векторов, достаточно совместить начало каждого последующего вектора с концом предыдущего и построить вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.

Свойства операции сложения векторов:

В этих выражениях m, n - числа.

Разностью векторов и называют вектор .Второе слагаемое является вектором, противоположным вектору по направлению, но равным ему по длине.



Таким образом, операция вычитания векторов заменяется на операцию сложения:

Произведением вектора и действительного числа б называется вектор ·, модуль которого равен |б|· ||, направление совпадает с направлением вектора при б> 0 и противоположно направлению вектора ,при б < 0 (рис. 2). при б = 0 б·

Скалярное произведение двух векторов:

Скалярным произведением векторов и называется произведение их длин на косинус угла между ними:

Совершенно аналогично, как в планиметрии, доказываются следующие утверждения:

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Скалярный квадрат вектора, то есть скалярное произведение его самого на себя, равно квадрату его длины.

Скалярное произведение двух векторов (a₁;a₂) и (b₁;b₂) заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле

(;) = a₁b₁ + a₂b2.

Перечислим основные свойства скалярного произведения, которые также доказываются аналогично планиметрическим.

Для любых векторов , и и любого числа л справедливы равенства:

1.

причем

2. (переместительный закон).

3.(распределительный закон).

4. (сочетательный закон)

Расстояние между двумя точками, длина вектора, угол между

двумя векторами. Направляющие косинусы вектора

Расстояние d между двумя точками (,) и (,) в пространстве определяется формулой

d = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²

Координаты x, y точки М, которая делит отрезок, ограниченный точками (,) и (,), в отношении , определяется по формулам

,

В частности, при =1 имеет координаты середины данного отрезка:

,

Длиной вектора, или модулем вектора, называют длину соответствующего направленного отрезка

Угол между векторами. Угол между вектором и осью.

Определение. Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором

Обозначение.. Из определения следует, что.

Мы полагаем очевидным, что при параллельном переносе любого из двух векторов угол между ними остается неизменным, только в этом случае поворот одного из векторов осуществляется либо в общей для обоих векторов плоскости, либо в плоскости параллельной другому вектору.

Направляющие косинусы

Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора, которые могут быть вычислены по формулам:

;

Отсюда получим: m : n = cosa : cosb.

Уравнение окружности

Общее уравнение окружности записывается как:

или

где

Точка - центр окружности, R - её радиус.

Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат:

Уравнение окружности, проходящей через три точки (с помощью определителя) ,



Окружность также можно описать с помощью параметрического уравнения:

В декартовой системе координат окружность не является графиком функции, но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций:

Если центр окружности совпадает с началом координат, функции принимают вид:

Перенос начала координат

В аналитической геометрии основное значение имеет так называемая задача преобразования координат. Она заключается в следующем. Даны две системы координат (на плоскости или в пространстве) - «старая» и «новая». Требуется, зная координаты какой-нибудь точки или вектора в одной системе координат, найти координаты той же точки или вектора в другой системе.

Предположим, что даны две координатные системы, у которых одни и те же единичные векторы, но разные начала О и О', так что новая система координат О' получается из старой О, сдвигом на вектор ОО' (рисунок представлен ниже).

При этом даны координаты точки О' относительно системы О е₁ е₂ : О' = (a, b). Мы уже знаем, что в этом случае координаты каждого вектора u в обеих системах одинаковы, потому что этими координатами являются координаты вектора u относительно одного и того же базиса, т.е. коэффициенты x, y в представлении

u = xe₁ + ye₂.

Посмотрим, как связаны между собою координаты x, y и x', y' произвольной точки М в обеих системах. Числа x, y суть координаты вектора ОМ (рисунок представлен ниже), а числа x', y'- координаты вектора О'М (относительно того же базиса е₁ е₂). Но

ОМ = OO' + O'M, (1)

Причем для вектора ОМ, ОО', О'М (и базиса е₁ е₂) имеем

ОМ = { x, y }, ОМ = { a, b }, ОМ = { x', y' },

Так что векторное равенство (1) равносильно совокупности двух числовых равенств:

Эти формулы и решают поставленную задачу.

В случае плоскости вместо трех равенств (2) получаем два: если координаты нового начала О' относительно старой системы координат суть a, b,так что O' = (a, b) в старой системы координат, то координаты x, y произвольной точки М в старой системе выражаются через координаты той же точки в новой системе формулами:

(3)

Иногда при решении задач удобно вместо данной системы XOY использовать другую X'O'Y', определенным образом ориентированную относительно данной системы.

Пусть новая система X'O'Y' получена из старой ХОY параллельным переносом осей координат, т.е. оси новой системы параллельны осям старой и имеют одинаковое с ними направление (Рисунок представлен ниже). Пусть начало О' новой системы имеет координаты (a, b) в старой системе.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Возьмем точку М на плоскости и найдем зависимость между ее координатами (х, у) в старой системе и (х', у') в новой. Из рисунка ясно, что

.

Если уравнение не содержит члена с произведением координат (В= 0), то с помощью параллельного переноса оно приводится к каноническому виду. Для этого необходимо в случае А ? 0, С ? 0 выделить полные квадраты для членов, содержащих у, и членов, содержащих х, затем для полученных полных квадратов вида (х - а)², (y - b)².

Поворот осей координат

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Пусть новая система 0\х\у получена поворотом системы Оху на угол б.

Пусть М - произвольная точка плоскости, (а; у) - ее координаты в старой системе и (х', у') - в новой системе.

Введём две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и Oxi (масштаб одинаков). Полярный радиус г в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны a + j и j, где j - полярный угол в новой полярной системе.

По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем

т.е.

Но и

Поэтому

Полученные формулы называются формулами поворота осей. Они позволяют определять старые координаты (x;у) произвольной точки М через новые координаты (х';у') этой же точки М, и наоборот.



Если новая система координат O1х1у1 получена из старой Оху путем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол a (см. рис. 30), то путем введения вспомогательной системы легко получить формулы

выражающие старые координаты х и у произвольной точки через её новые координаты х' и у'.

Общее преобразование систем координат

Преобразование декартовых координат при параллельном сдвиге осей определяется формулами

,

Здесь x, y - координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, x', y' - координаты той же точки относительно новых осей, a, b - координаты нового начала O' относительно старых осей (говорят также, что a - величина сдвига в направлении оси абсцисс, b - величина сдвига в направлении оси ординат).

Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей на угол (который надо понимать, как в тригонометрии) определяется формулами

,

Здесь x, y суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, x', y' - координаты той же точки относительно новых осей.

Формулы

,

определяют преобразование координат при параллельном сдвиге системы осей на величину а в направлении Ох, на величину b в направлении Оу и последующем повороте осей на угол. Все указанные формулы соответствуют преобразованию координат при неизменном масштабе. Неизменность масштаба предполагается также в нижеприводимых задачах.

Матрица перехода. Свойства матрицы перехода

Матрицей перехода от базиса к базису является матрица, столбцы которой - координаты разложения векторов в базисе .

Обозначается

Так как

Матрица перехода это

Свойства

Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю.

Ориентация систем координат

декартовый координата вектор окружность

Ориентация двух координатных осей на плоскости.

Пусть Ох и Оу - две неколлинеарные координатные оси, точка О пересечения которых является их общим началом координат. В зависимости от выбора направлений на координатных осях возможны 4 случая.

Рассмотрим кратчайший поворот оси Ох к оси Оу вокруг точки О до положения сонаправленности осей:. На рисунках 1 и 4 такой поворот осуществляется против часовой стрелки, а на рисунках 2 и 3 - по часовой стрелки. С этой точки зрения существует две принципиально различные возможности ориентации координатных осей на плоскости.

Определение. Говорят, что упорядоченная пара двух неколлинеарных координатных осей имеет правую ориентацию, если кратчайший поворот первой оси вокруг их точки пересечения до положения сонаправленности со второй осью осуществляется против часовой стрелки. В противном случае говорят, что эта пара осей имеет левую ориентацию.

Определение. Угол между положительными направлениями координатных осей называется координатным углом.

Общая и прямоугольная декартовая система координат на плоскости.

Выберем упорядоченную пару неколлинеарных координатных осей на плоскости с общим началом координат, с правой ориентацией, с произвольным координатным углом и с одинаковым масштабом. Первую ось обозначим Ох и назовем её осью абсцисс, вторую - Оу и назовем её осью ординат.

Для каждой точки плоскости определим понятие её координат. Пусть М - произвольная точка плоскости. Проведем через точку М прямые параллельные координатным осям. Точку пересечения построенной прямой с осью Ох обозначаем . Вторую точку пересечения обозначим .

Определение. Точка называется проекцией точки М на ось Ох параллельно оси Оу, а точка называется проекцией точки М на ось Оу параллельно оси Ох.

Каждая точка на координатной оси имеет свою координату. Обозначим через координату точки и назовем её абсциссой точки М. Обозначим через координату точки и назовем её ординатой точки М.

Определение. Координатами точки М на плоскости называют упорядоченную пару действительных чисел , где - абсцисса точки М, а - ордината точки М. Соответственно, ось х называется осью абсцисс, ось у - осью ординат.

Определение. Плоскость, на которой выбраны две неколлинеарные координатные оси с правой ориентацией, с общим началом координат, выбранным масштабом и для каждой точки, которой определено понятие её координат, называется координатной плоскостью. Говорят также, что на плоскости введена декартовая система координат.

Определение. Декартовая система координат на плоскости с координатным углом равным называется прямоугольной.

Замечание. В дальнейшем мы будем изучать только прямоугольную декартовую систему координат и сокращенно писать: ПДСК.

Задачи по обсуждаемой теме

1. Нахождение скалярного произведения двух векторов

Задание:

Найти скалярное произведение векторов и

; ;

Решение:

· = =

Ответ:

2. Нахождение суммы двух векторов

Задание:

Найти сумму векторов и

;

Решение:

· = =

Ответ:

3. Нахождение разности двух векторов

Задание:

Найти разность векторов и

;

Решение:

= =

Ответ:

.

4. Умножение вектора на число.

Даны число q = 8.0 и вектор a = [ 7 ;12].

Найдем произведение c = q * a

Находим:

c₁ = q * a₁ = 8.0 * 7 = 56.0;

c₂ = q * a₂ = 8.0 * 12 = 96.0;

Значит, c = [ 56; 96.]

5. Написать уравнение окружности, проходящей через три точки:

(0, 1); (2, 0); (3, -1).

Решение.

Искомое уравнение имеет вид

(x - a)² + (y - b)² = r².

Поскольку окружность проходит через заданные точки, координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению окружности. Подставляя поочередно в искомое уравнение координаты данных точек, получим три уравнения для определения a, b и r. Вот эти уравнения:

Возьмем уравнения первое и второе, а потом первое и третье. Правые части этих уравнений между собой равны, значит, равны и левые их части, и мы получаем

Раскрывая скобки и упрощая, будем иметь

Отсюда . Подставляя эти значения a и b в первое из уравнений системы, получим .

Искомое уравнение имеет вид

или после упрощений x² + y² + 3x + 9y - 10 = 0.

6. Параллельный перенос начала координат.

Пусть на плоскости заданы две декартовы прямоугольные системы координат: ("старая") и ("новая"), причем как оси абсцисс, так и оси ординат обеих систем параллельны и одинаково направлены.

В этом случае говорят, что одна система координат получается из другой "параллельным переносом".

Пусть начало "новой" системы координат имеет в "старой" системе координат координаты , и пусть А - некоторая точка плоскости. Обозначим координаты точки в "старой" системе координат , а в "новой" - .

, .

Откуда, .

Так как точка взята произвольно, то индекс 0 в записи ее координат, как "старых", так и "новых", можно убрать. Получаем связь между "старыми" и "новыми" координатами точки при параллельном переносе осей координат:

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Выясним теперь, как связаны друг с другом уравнения одной и той же кривой в "старых" и "новых" координатах.

7. Поворот осей координат. Дано каноническое уравнение равносторонней гиперболы х2 - у2 = 18. Написать ее уравнение, отнесенное к асимптотам.

Выполним поворот на угол б == -45°. Тогда старше координаты выражаются через новые по формулам

Подставив в данное уравнение значения х и у, получим

1/2(х' - у')2 - 1/2(х' + у')2 = 18

или после упрощения х'у' = 9.

Задача

Дано: А (5 ; 2) ; 4х + 2у + 1 = 0.

Найти: В (х ; у).

Рисунок:



Решение:

Представим прямую в виде у = -2х - 0,5.

Найдём уравнение прямой перпендикулярной исходной прямой и проходящей через точку А (5 ; 2)

у = ах + b

Угловой коэффициент а = 1 / 2 = 0,5 => у = 0,5х + b

Подставим координаты точки :

2 = Ч 5 + b => b = -0.5

y(2) = x - 0.5

Найдём точку В пересечения прямых

-2х - 0,5 = х - 0,5

=> х = 0 ; у = -0,5

В (0 ; -0,5)\

Точка С - искомая

Точка В делит отрезок АС пополам

р х_В = (Ха + Хс) / 2 и у_В =

х_С = 2х_В - х_А = 2 Ч 0 - 5 = -5 ;

у_С = 2у_В - у_А = 2 Ч(-0,5) - 2 = 3;

Ответ : (-5 ; -3).

Задача

Дано: ?АВС; А (-1 ; 7); В (11 ; 2); С (17 ; 10).

Найти: АН - высота; АК - медиана; угол В.

Рисунок:

Решение:

=

CB : = => =

d(A;CB) = .

d(A;CB) = = =10,6.

AK - медиана => СК = КВ

Х_к = = = 14;

У_к = = = 6.

= = = .

= = .

Задача

Дано: г : х²-2ху-3у²-4х-6у+3=0; а : х+4у-1=0.

Найти: Точку пересечения

АЧС = 1 Ч (-3) = -3 < 0 => г - гипербола

- = 1; - = 1; y²-x²=-2;

Построим графики функций:



Из рисунка видно что точка пересечения - это точка с координатами (-1,5; 0,58).

Задача

Дано: (-2 ; 3 ; 5); (1;-3;4); (7;8;-1).

Найти: Направляющие косинусы ; Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , имеющих общее начало; Объём пирамиды, построенной на векторах , и , имеющих общее начало.

Решение:

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

 = = =

= = =

= = =

² + ² + ² = + + = 1.

Ѕ_пар.= = ЧЧ= = = = = = .

V_пир.=

= = = 290

V_пир.== 48.

Задача

- = z

=>

=>

=>

- = z ;

= z;

= z;

= z;

= 0.

Z² - 3Z - 2 = 0;

D = 9+8 = 17

= ?4

Z₁ = = -0.5 Z₂ = = 3.5

Размещено на Allbest.ru