Математическое моделирование задач электроэнергетики с помощью аппарата линейной алгебры и теории графов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра электроснабжения и электротехники

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе по дисциплине

Математические задачи электроэнергетики

Выполнил студент Мещенко В.С.

Иркутск 2010 г.

Введение

Задачи матричной алгебры

1. Математическое моделирование задач электроэнергетики с помощью аппарата линейной алгебры и теории графов.

Матричная алгебра.

Матрицей размера (m?n) прямоугольная таблица

,

составленная из элементов и содержащая m строк и n столбцов.

Если в матрице А строки сделать столбцами, а столбцы строками , то получится транспонированная матрица

Квадратной матрицей называется матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов.

Единичной матрицей называется матрица, у которой на главной диагонали стоят нули.

Сложение матриц. Складывать можно только матрицы имеющие одинаковую размерность, при этом складываются элементы занимающие одинаковые места в соответствующих таблицах.

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый элемент этой матрицы умножить на это число.

Умножение матриц. Для того, чтобы произведение матриц существовало необходимо чтобы число столбцов первой матрицы равнялось числу строк второй матрицы.

Матричная алгебра это множество матриц плюс множество операций, которые можно выполнить над матрицами. В любой алгебре есть два замечательных числа - это ноль и единица. Ноль не изменяет число при сложении, единица при умножении. В алгебре матриц есть подобные элементы - это нулевая матрица, она играет роль нуля в алгебре матриц и единичная матрица соответствующей размерности, она играет роль единицы в алгебре матриц.

Определитель матрицы и его свойства.

Основной числовой характеристикой квадратной матрицы является ее определитель.

Основные свойства определителей матрицы:

· Величина определителя не изменяется при транспонировании матрицы.

· При перестановке местами строк или столбцов матрицы, определитель меняет лишь знак.

· Определитель, содержащий пропорциональные строки или столбцы равен нулю.

· Общий множитель элементов некоторой строки или столбца можно выносить за знак определителя.

· Если все элементы некоторой строки или столбца равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

1. Вычисление определителя матрицы

Вычислить определитель матрицы A классическим способом:

Определителем матрицы, А третьего порядка, классическим методом, называется число, вычисленное по следующему правилу:

?=det A =

A=

det A=

Вычисление определителя матрицы А путем разложения по элементам строки или столбца:

Разложим матрицу А по 1 столбцу. Вычеркнем 1 столбец и 1 строку матрицы А и получим первое слагаемое, далее вычеркиваем 1 столбец и 2 стоку и получаем 2 слагаемое, вычеркиваем 1 столбец и 3 строку и получаем 3 слагаемое.

det A= =

Вычислить определитель матрицы A в MatLab:

>> A=[5 2 3;3 1 3; 4 5 1];

>> det(A)

ans =

-19.0000

Вычисление обратной матрицы А классическим способом.

Обратная матрица в известной степени заменяет операцию деления в алгебре матриц.

А· = Е

Вычислить обратную матрицу можно только для такой матрицы А, для которой detA ? 0.

Классический алгоритм вычисления обратной матрицы:

· Записывают матрицу , транспонированную к матрице А.

· Заменяют каждый элемент матрицы определителем, полученным в результате вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.

· Этот определитель сопровождают знаком плюс, если сумма индексов элемента четная, и знаком минус - в противном случае.

· Делят полученную матрицу на ? определитель матрицы А.

Вычислим обратную матрицу А классическим способом для нашего задания:

A=

Переходим к транспонированной матрице:

А = =

Заменяем каждый элемент транспонированной матрицы определителем полученным вычеркиванием столбца и строки на пересечение которых стоит элемент.

Вычеркиваем 1 столбец и первую строку получаем = -14

Далее вычеркиваем 2 столбец и 1 строку получаем =-13

Далее вычеркиваем 3 столбец и 1 строку получаем =3

Аналогично вычисляется и остальные элементы матрицы. В итоге получаем матрицу:

A1=

Поменяем знаки у элементов с нечетной суммой индексов.

A1=

Разделим каждый элемент матрицы на определитель исходной матрицы (определитель решен в пунктах 1.1-1.3):

= =

Проверка : А· = Е



=

Вычислить обратную матрицу А в MatLab программе :

>> A=[5 2 3;3 1 3; 4 5 1];

>> inv(A)

ans =

0.7368 -0.6842 -0.1579

-0.4737 0.3684 0.3158

-0.5789 0.8947 0.0526

>> Е=A*inv(A)

Е =

1.0000 0.0000 0.0000

0 1.0000 0

0.0000 0.0000 1.0000

Расчет установившихся режимов электрических систем

Схема замещения электрической сети может рассматриваться как граф. Математические понятия «вершина графа» и «ребро» могут рассматриваться в электротехнике как «узел» и «ветвь». Схема замещения электрической сети обычно является связным, ориентированным графом. Любая электрическая цепь и соответственно ее схема содержит ветви, узлы и в общем случае контуры.

Ветвью называется участок цепи, в которой в любой момент времени ток имеет одно и то же значение.

Узлом называется место соединения двух или большего количества ветвей. Одна из ветвей, соединяющихся в узле, может быть источником тока.

Контуром называется любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям.

Все элементы схем замещения делятся на активные и пассивные. К активным относятся источники ЭДС и тока. Пассивные элементы схем замещения: сопротивления и проводимости создают пути для протекания тока.

Первая и вторая матрицы инциденции.

Первая матрица инциденции, называется матрицей соединений, обозначается . Показывает взаимосвязь между узлами и ветвями исходного графа. Матрица прямоугольная число строк которой определяется числом узлов в сети, а число столбцов числом ветвей.

=

Здесь - ветви соответствующего графа схемы замещения, - узлы соответствующего графа.

выделить строку, соответствующую некоторому узлу, принятому за балансирующий узел, то матрица без последней строки называется матрицей соединения без балансирующего узла и обозначается М.

Вторая матрица инциденции называется так же матрицей контуров и обозначается N. Она связывает ветви и независимые контуры соответствующего графа схемы замещения. Для составления N нужно определить число независимых контуров схемы. Это число определяется по формуле k=m-n+1, где k - число независимых контуров, m - число ветвей, n - число узлов.

 =

Один из источников питание, обычно самый мощный, играет роль балансирующего узла.

Обобщенное уравнение состояния.

A·I = F (1)

Матричная форма записи уравнения, где A - матрица параметров схемы замещения, I - вектор - столбец токов в ветвях, m - число ветвей в схеме замещения, F - вектор - столбец исходных параметров режима.

Уравнение (1) объединяет два матричных уравнения.

Уравнение по первому закону Кирхгофа

M·I = J

Уравнение по второму закону Кирхгофа

,

где матрица M размерностью ((n-1)?m) матрица соединений ветвей в узлах (без балансирующего узла), здесь n - число узлов схемы замещения, m - число ветвей, N - матрица размерностью (k?m), матрица соединений ветвей в независимые контуры, k - число независимых контуров.

diagZ, диагональная матрица сопротивлений ветвей.

J = - вектор-столбец задающих токов в узлах.

- вектор-столбец контурных ЭДС ветвей, входящих в каждый независимый контур.

A = ,

а вектор-столбцы J и как блоки одной объединенной матрицы исходных параметроврежима

F = .

Можно определить токи в ветвях

I = ·F

При известных токах в ветвях можно определить напряжения в ветвях

Из уравнения M определяем напряжения в узлах схемы замещения.

Матрица напряжение узлов относительно базисного

), I = .

задание 2

1 2

3

4

Рис.1

= 5+j6 A, = j67A, = 18+j6 A.

Записать обобщенное уравнение состояния:

I=

J =

J = -

Вычисление обратной матрицы для матрицы М классическим методом:

M=

Для начала вычислим определитель матрицы М.

det M=

Методика вычисления приведена в пункте 1.4, поэтому запишем решение:

Вычислить обратную матрицу для М в MatLab

>> M=[-1 1 1;0 -1 0;0 0 -1];

>> inv(M)

ans =

-1 -1 -1

0 -1 0

0 0 -1

Расчет токов в ветвях.

I = ·J = - · = -

Расчет токов в MatLab:

>> M=[-1 1 1;0 -1 0;0 0 -1]

M =

-1 1 1

0 -1 0

0 0 -1

>> J=-[5+6i;67i;18+6i]

J =

-5.0000 - 6.0000i

0 -67.0000i

-18.0000 - 6.0000i

>> I=inv(M)*J

I =

23.0000 +79.0000i

0 +67.0000i

18.0000 + 6.0000i

задание 3

Для схемы представленной на рис.2 определить токи в ветвях схемы, напряжения в узлах. Сеть трехфазная. Токи нагрузки равны = 130 A, = 90 A, = 50 A. Сопротивления ветвей Узел 4 - источник питания, выбираем его в качестве балансирующего узла = 6кВ

2

1 3

4

Рис.2

Составим 1 матрицу инциденции

=

Где строки пронумерованы узлами: 1, 2 ,3, 4 а столбцы связями (1-2), (1-4), (3-4), ( 2-3).

4 узел будет являться балансирующим узлом. Первая матрица инциденции без балансирующего узла будет иметь вид:

M=

В нашей схеме всего один независимый контур, в соответствии с этим запишем вторую матрицу инцеденции:

N=

Столбцы имеют туже нумерацию, что и в первой матрице инциденции.

Сопротивления ветвей равно:

Запишем для нашей схемы обобщенное уравнение состояние :

I = F

I=

F= - =

N=H

>> N=[-1,-1,1,1];

>> Z=[3,0,0,0;0,2,0,0;0,0,2,0;0,0,0,4];

>> H=N*Z

H =

-3 -2 2 4

Отсюда следует что =

Найдем токи методом обратной матрицы:

Найдем обратную матрицу, матрице А.

=



A1 =

=

>> det(А)

ans =

11.0000

Матрицу разделим на det A и получим:

=

I = · =

Найдем токи методом Гаусса :

· =

Первое уравнение сложим со вторым уравнением. Первое уравнение умноженное на 3 сложим с четвертым.

Второе уравнение умножим на -1.

Второе уравнение умноженное на 5 сложим с четвертым уравнением.

Третье уравнение умножим на -1.



Третье уравнение умножено на -2 сложим с четвертым.

Разделим последние уравнение на 11.

Из четвертого уравнения:

Из третьего уравнения:

Из второго уравнения:

Из первого уравнения:

Решая матричное уравнение состояния методом обратной матрицы и методом Гаусса, результат получился одинаковым.

Найдем токи методом Крамера в Matlab программе:

· =

>> A = [1 -1 0 0; -1 0 0 -1; 0 0 -1 1; -3 -2 2 4];

>> A1 = [-130 -1 0 0; -90 0 0 -1; -50 0 -1 1; 0 -2 2 4];

>> A2 = [1 -130 0 0; -1 -90 0 -1; 0 -50 -1 1; -3 0 2 4];

>> A3 = [1 -1 -130 0; -1 0 -90 -1; 0 0 -50 1; -3 -2 0 4];

>> A4 = [1 -1 0 -130; -1 0 0 -90; 0 0 -1 -50; -3 -2 2 0];

>> det(A)

ans =

11.0000

>> det(A1)

ans =

380

>> det(A2)

ans =

1.8100e+003

>> det(A3)

ans =

1160

>> det(A4)

ans =

610

>> i12 = det(A1)/det(A)

i12 =

34.5455

>> i14 = det(A2)/det(A)

i14 =

164.5455

>> i34 = det(A3)/det(A)

i34 =

105.4545

>> i23 = det(A4)/det(A)

i23 =

55.4545

34.5455 A

164.5455

Найдем токи в Matlab программе:

Примем за А.

>> А=[1,-1,0,0;-1,0,0,-1;0,0,-1,1;-3,-2,2,4]

А =

1 -1 0 0

-1 0 0 -1

0 0 -1 1

-3 -2 2 4

>> F=[-130;-90;-50;0]

F =

-130

-90

-50

0

>> I=inv(A)*F

I =

34.5455

164.5455

105.4545

55.4545

2. Вычисление узловых напряжений

Зная ток и сопротивление, можем по закону Ома определить падение напряжения на ветвях схемы.

= · =

?U =

M =

=

· =

· =

=



=

Решим систему уравнений.

В

В

В

Вычисление узловых напряжений в системе MATLAB.

Листинг программы:

>> M=[1 -1 0 0;-1 0 0 -1;0 0 -1 1]

>> transpose(M)

ans =

1 -1 0

-1 0 0

0 0 -1

0 -1 1

>> %введем транспонированную матрицу М без 4 строки т.к. система в нашем задании переопределена.

>>Mt=[1 -1 0;-1 0 0;0 0 -1];

>> F=[103.6365;329.0910;210.9090];

>>x= inv(Mt)*F

x=

-329.0910

-432.7275

-210.9090

>> %найдем сами напряжения из системы U1-6000=x1; U2-6000=x2;U3-6000=x3 , где: х1=-329.0910, x2=-432.7275, x3=-210.9090

>> U1=-329.0910+6000

U1 =

5.6709e+003

>> U2=-432.7275+6000

U2 =

5.5673e+003

>> U3=-210.9090+6000

U3 =

5.7891e+003

Окончательный ответ:

В

В

В

Напряжение, найденное аналитическим методом и в Matlab программе совпадают.

3. Методы решения систем линейных алгебраических

уравнений. (СЛАУ)

Все методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно разделить на две группы :

• точные методы;

• методы последовательных приближений.

С помощью точных методов, проделав конечное число операций, можно

получить точные значения неизвестных. При этом предполагается, что коэффициенты и правые части системы известны точно, а все вычисления проводятся без округлений. К точным методам решения систем линейных алгебраических уравнений относятся такие методы как метод обратной матрицы, метод Крамера (определителей), метод Гаусса и др.

Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений применяют для решения систем относительно небольшой размерности (до 10³). Привлекательными в методах последовательных приближений является их самоисправляемость и простота реализации на ПК. Для начала вычислений требуется задание начальных приближений для искомых неизвестных. К числу методов последовательных приближений относятся: метод простой итерации, метод Зейделя, метод релаксации и др.

Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Решить систему линейных алгебраических уравнений - значит определить, является ли она совместной или нет. В случае если систем; совместна, нужно найти ее решение.

Для определения совместности системы можно использовать теорем; Кронекера - Капелли, смысл которой состоит в следующем: для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов системы А был равен ранту ее расширенной матрицы коэффициентов.

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

В электроэнергетических задачах наибольшее распространение получил метод последовательных исключений Гаусса. Он относится к классу точных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: прямой ход метода и обратный ход. На первом этапе (прямой ход) система приводится к треугольному виду, на втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой треугольной системы.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений n- го порядка.

Будем считать, что коэффициент , который называют ведущим элементом первого шага , отличен от нуля(в случае если , нужно поменять местами первое уравнение с i - тым уравнением, в котором ) . Разделим теперь почленно первое уравнение системы на коэффициент .

Введем множители

.

Прибавим теперь к каждому i - тому уравнению системы первое уравнение, умноженное на . Проделав эту операцию, мы исключим известное из всех , начиная со второго.

Преобразованная система примет вид:

(3)

Здесь индекс (1) означает новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после выполнения первого шага прямого хода метода Гаусса.

Переходя, к выполнению второго шага прямого хода метода Гаусса предположим, что элемент , который называют ведущим элементом второго шага, не равен нулю. Разделим второе уравнение на коэффициент . Введем множители

.

Прибавим к i-тому уравнению системы (3), I = второе уравнение, ноженное на , в результате исключим неизвестное из всех уравнений, кроме первых двух.

Проведя далее аналогичные преобразования, после (n -1) - го шага придем к треугольной системе вида:

(4)

Второй этап - обратный ход метода Гаусса реализуется следующим образом. Из последнего уравнения системы (4) определяем. По найденному значению из (n-1) - го уравнения определяем неизвестное Затем по значениям и из (n- 2) - го уравнения находим и т.д. Последовательное вычисление неизвестных продолжается до тех пор, пока из первого уравнения системы (4) не определим На этом процесс решения заканчивается.

Отметим некоторые специфические особенности изложенного метода Гаусса, характерные для ЭЭС. Основная из них заключается в погрешностях вычислений в результате округления чисел по причине конечной длины разрядной сетки ПК. Погрешности зависят в основном от величины ведущего элемента. На шаге исключения, прямого хода метода Гаусса погрешности возрастают, если ведущий элемент мал по сравнению с другими коэффициентами соответствующего столбца матрицы коэффициентов | Поэтому с целью снижения погрешностей вычислений производят специальный выбор ведущего элемента - перестановкой уравнений добиваютс того* чтобы на данном шаге исключения в качестве ведущего элемента оказался наибольший коэффициент уравнения.

4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом

Жордана-Гаусса

Метод Жордана - Гаусса является одной из модификаций метода Гаусса, в котором матрица коэффициентов при неизвестных последовательно приводится к единичной матрице, а на месте столбца свободных членов в расширенной матрице в результате располагается решение системы линейных алгебраических уравнений.

Сущность этого метода заключается в том, что, начиная со второго шага, зануляются все элементы в соответствующем столбце, кроме элемента, стоящего на главной диагонали. Это достигается с помощью алгебраических преобразований аналогичных классическому методу Гаусса. Если имеется система линейных алгебраических уравнений n - го порядка, то на каждом шаге прямого метода Гаусса в каждом столбце матрицы коэффициентов зануляются ровно (n-1) коэффициент.

Стандартной функцией, которая реализует метод Жорданна - Гаусса в системе MATLAB, является функция rref(). Аргументом у этой функции является расширенная матрица коэффициентов.

задание 4

Исследовать на совместимость заданную систему уравнений.

>> A=[2,-1,1,-1;2,-1,0,-3;3,0,-1,1;2,2,-2,5];rank(A)

ans =

4

>> A=[2,-1,1,-1,1;2,-1,0,-3,2;3,0,-1,1,-3;2,2,-2,5,-6];rank(A)

ans =

4

Система совместна.

Решить СЛАУ методом Гаусса.



Четвертое уравнение умноженное на -1 сложим с третьим и поменяем его с первым уравнением местами.

Первое уравнение, умноженное на -2 сложим с вторым уравнением.

Первое уравнение, умноженное на -2 сложим с третьим уравнением.

Первое уравнение, умноженное на -2 сложим с четвертым уравнением.

Поделим второе уравнение на 3.



Второе уравнение умноженное на -3 сложим с третьим уравнением.

Второе уравнение умноженное на -6 Сложим с четвертым уравнением.

Разделим четвертое уравнение на 3.

Из четвертого уравнения системы:

Из третьего уравнения системы:; ;

;

Из второго уравнения системы: ;

; ;

Из первого уравнения системы: ;

;;;

Окончательно получаем корни уравнения:

Решить СЛАУ методом Жордана - Гаусса в MATLAB.

>> A=[2,-1,1,-1;2,-1,0,-3;3,0,-1,1;2,2,-2,5];

>> B=[1;2;-3;-6];

>> AB=[A B]

AB =

2 -1 1 -1 1

2 -1 0 -3 2

3 0 -1 1 -3

2 2 -2 5 -6

>> rref(AB)

ans =

1.0000 0 0 0 0

0 1.0000 0 0 2.0000

0 0 1.0000 0 1.6667

0 0 0 1.0000 -1.3333

	Метод Гаусса	Метод Жардана - Гаусса
	0	0
	2	2
	1.667	1.667
	-1.333	-1.333

5. Приближенные методы решения нелинейных алгебраических

уравнений

Необходимость отыскания корней характеристического уравнения возникает при расчете переходного процесса в линейных электрических цепях. В общем случае характеристическое уравнение может быть сколь угодно высокого порядка. Значения, которые могут принимать корни характеристического уравнения дают представление о характере переходного процесса и в общем случае могут принимать комплексные значения.

Алгебраическое уравнение задается в следующем виде.

……+ = 0

Относительно небольшое количество задач отыскании корней нелинейных алгебраических уравнений можно решить аналитически, на практике почти всегда приходится находить решение с помощью численных методов.

Приближенное решение нелинейных алге6раичских уравнений состоит из двух этапов:

* этап отделения корней

* этап уточнения корней

Пусть требуется найти корни уравнения f(x)=0 Этап отделения корней этого уравнения заключается в нахождении всех интервалов в области определения функции f(x), на концах которых функция меняет знак. Количество интервалов определяется по числу корней. Не существует универсального метода, позволяющего отделить все корни нелинейного алгебраического уравнения. В качестве возможных способов отделения корней могут быть предложены следующие способы.

* Графический способ. Приближенно строится график функции f(x) и по графику определяются интервалы на оси Ох, на которых функция f(x)меняет знаки.

* Табличный способ. Строится таблица, состоящая из двух строк, в первой строке с каким-то произвольным шагом изменяется значение аргумента х, желательно на отрезке симметричном относительно 0. Во второй строке вычисляются соответствующие значения функции f(x). Если в соседних ячейках второй строки функция меняет знак (причем неважно с + на - или с - на +), то считается что на этом интервале находится хотя бы один корень.

* Способ нахождения верхних и нижних границ положительных и отрицательных корней.

Метод деления отрезка пополам.

После отделения корней можно уточнить его одним из методов последовательных приближений. Одним из таких методов является метод деления отрезка пополам. Этот метод является наиболее простым надежным методом уточнения корня на отрезке [а, b ] в том случае, когда функция f(x) из уравнения f(x)=0 является непрерывной функцией и принимает на концах отрезка [a,b] значения разных знаков, т.е. f(a)·f(b)<0

Метод Ньютона

Метод Ньютона применяется к решению уравнения, когда функция f(x) является непрерывно дифференцируемой функцией, Также вначале отделяем корень уравнения на отрезке [a,b]. Для начала вычислений требуется задание одного начального приближения х₀ внутри отрезка [a,b]. Первое приближение вычисляется через это начальное по формуле.

Общая формула метода Ньютона может быть записана с помощью рекуррентного соотношения.

,

где n = 0, l,…….)?0.

Каждое последующее приближение вычисляется через предыдущее. Геометрически точка является значением абсциссы точки пересечения касательной к кривой у = f(x) в точке (, f()) с осью абсцисс, поэтому часто метод Ньютона называют также методом касательных.

На практике можно встреться со случаем сходимости метода. Ньютона, когда х₀ далеко от искомого корня, так и со случаем расходимости метода близких к корню. Возможен также случай зацикливания метода. Часто при неудачном выборе начального приближения нет монотонного убывания последовательности . В таком случае проводить по модифицированному методу Ньютона:

· а

сомножители 0 < ? 1 выбираются так, чтобы выполнялось неравенство.

Сомножители 0 < ?1 Всегда рекомендуется выбирать достаточно тесные границы корня [a,b], и в качестве начального приближения выбирать такую точку отрезка [a,b], где знаки функции и ее кривизны совпадают.

Условием выхода из итерационного процесс; является выполнение неравенства ? ?.

Метод простой итерации

Метод простой итерации применяется к решению уравнения с выделенным значением неизвестного в правой части х = ?(х) n = 0,1,.,. и состоит в построении последовательности {}, начиная с некоторого начального значения по правилу

, n=1,2,…,

Если - непрерывная функция, а {} - сходящаяся последовательность, то значение = lim х_п является корнем уравнения.

Условием сходимости процесса итерации т.е. условие существования предела есть соблюдение неравенства, носящего название принципа сжатых отображений:

Где для всех x в интервале определения корня. Сходимость будет тем более быстрой, чем меньше величина . Погрешности метода на n и на n+1 связаны неравенством.

? ,

Что позволяет отнести метод простой итерации к классу методов с линейной скоростью сходимости. Во всех итерационных методах уточнения корней уравнений в качестве критерия выбрано условие:

? ?.

При этом предполагается, что чем больше проделано уточнений, тем выше точность определения корня.

Метод простой итерации имеет линейную скорость сходимости, чтобы увеличить скорость сходимости следует выбирать достаточно близкие значения интервала определения корня [a,b], что при высокой скорости вычисления современных ПК не представляет больших затруднений.

Следует четко уяснить, что во всех итерационных методах есть условие входа в итерационный процесс и условие выхода из итерационного процесса, в противном случае он может продолжаться бесконечно, бесконечно близко можно приближаться к точному решению, но в общем случае точное решение не достижимо

Задание.

Решить нелинейное уравнение с точностью

;

Отделение корней нелинейного алгебраического уравнения в системе MATLAB.

Набираем в m -файле последовательность команд:

function f=funl (x)

f=x.^3+4*x.^2+5.5*x

Далее в командном окне вводи следующие команды которые построят график функции:

>> x=-1:0.1:1;

>> plot(x,funl(x)); grid on;

Решение уравнения методом деления отрезков пополам.

Решить нелинейное уравнение с точностью

;

Функция меняет знак на отрезке от -1 до 0,

Подели отрезок пополам: , и посчитаем функцию в этой точке и в точках отрезка.

Выбираем отрезок [-0,5 ; 0] и делим его пополам. , и посчитаем функцию в этой точке и в точках отрезка.

-1,14

Выбираем отрезок [-0,25 ; 0] и делим его пополам. , и посчитаем функцию в этой точке и в точках отрезка.

Выбираем отрезок [-0,125 ; 0] и делим его пополам. , и посчитаем функцию в этой точке и в точках отрезка.

Выбираем отрезок [-0,0625 ; 0] и делим его пополам. , и посчитаем функцию в этой точке и в точках отрезка.

Выбираем отрезок [; 0] и делим его пополам. , и посчитаем функцию в этой точке и в точках отрезка.

Выбираем отрезок [; 0] и делим его пополам. ,

и посчитаем функцию в этой точке и в точках отрезка.

Выбираем отрезок [; 0] и делим его пополам.

Длинна этого отрезка: , это означает что, процесс по методу деления отрезка пополам нужно завершить и середина этого отрезка даст корень с заданной точностью приближения .

Решение уравнения методом Ньютона.

Решить нелинейное уравнение с точностью

;

Корень находится на отрезке [-1; 0] . В качестве начального приближения выберем середину этого отрезка.

1.По рекуррентной формуле метода Ньютона вычислим:

2.По рекуррентной формуле метода Ньютона вычислим:

3.По рекуррентной формуле метода Ньютона вычислим:

4.По рекуррентной формуле метода Ньютона вычислим:

,

это значит что вычисление по методу Ньютона можно закончить.

Решение уравнения методом простой итерации

Решить нелинейное уравнение с точностью

; [-1; 0]

Перенесем в правую часть и разделим все уравнение на .

Проверяем принцип сжатых отображений для выбранной нами интегрирующей функции.



Построим таблицу.

x	-1	-0,9	-0,8	-0,7	-0,6	-0,5	-0,4	-0,3	-0,2	-0,1	0
	0,9	0,87	0,81	0,75	0,68	0,59	0,495	0,39	0,27	0,14	0

Таким образом будем уточнять корень уравнения на отрезке [-1 ; 0] с помощью следующего рекуррентного уравнения:

Выберем в качестве начального приближения

Сведем результаты расчета в таблицу

№
1	-1	-0,54545
2	-0,54545	-0,18687
3	-0,18687	-0,02421
4	-0,02421	-0,00042
5	-0,00042	-0,00000014

? ?.; ? 0,01 ;

На 5 шаге выполняется условие выхода из итерационного процесса. Отсюда следует ,что корень уравнения по методу простой итерации с точностью равен

Решение нелинейного алгебраического уравнения в системе MATLAB

>> solve('x^3+4*x^2+5.5*x')

ans =

0

1.2247448713915890490986420373529*i - 2.0

- 1.2247448713915890490986420373529*i - 2.0

6. Применение вероятностно - статистических методов в задачах

электроснабжения

Теория вероятности - это математическая наука, изучающая закономерности случайных событий, случайных величин и случайных функций. В теории вероятностей рассматривается следующая модель изучаемых явлений реальной жизни: проводится опыт, в результате чего происходят случайные события A,B,C…. (обозначение событий).

Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит в результате опыта. (обозн. U).

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате рассматриваемого опыта (обозн.V).

Два события и более называются невозможными, если они не могут произойти одновременно в рассматриваемом опыте.

Событие А благоприятствует событию В, если из того что произошло событие А произошло событие В.Записывается это как.

Множество событий рассматриваемого опыта, одно из которых в результате опыта может произойти называются множеством исходов опыта.

При этом говорят что события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Классическое определение вероятности

Пусть события образуют полную группу попарно несовместных равновозможных событий . Пусть событие А разлагается на m частных событий из этой группы

События будем называть событиями , благоприятствующими появлению события А, события не благоприятствуют появлению события А. Вероятность события А обозначается через Р(А).

Вероятность события А равна отношению числа событий, благоприятствующих появлению этого события к общему числу исходов опыта

Свойство вероятности

· P(A)?0 , т.к. m?0, n?0

· P(U)=1, т.к. в этом случае m=0

· P(V)=0, т.к. в этом случае n=0

· 0?P(A)?1

· Теорема о вероятности суммы двух несовместных событий: если события А и В несовместны то Р(А+В) = Р(А)+Р(В)

· Если событие А влечет за собой событие В , т.е. , то Р(А) ?Р(В)

Два События А и называются взаимообратными, если А+=U и А•=V, в этом случае справедливо Р(А)=1-P().

Случайные величины

Случайной величиной X называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее неизвестно какое именно.

Дискретная случайная величина - величина , принимающая только отделенные друг от друга значения, которые заранее можно перечислить.

Непрерывная случайная величина - имеет бесчисленное множество возможных значений сплошь заполняющих некоторый промежуток.

Если дискретная случайная величина Х принимает возможные значения с заданными вероятностями то таблица называется законом распределения случайной величины.

x			……
p			…….

Если случайная величина имеет счетный спектр, то закон распределения задается в виде двух бесконечных последовательностей:

,

Спектральное значение, обладающие наибольшей вероятностью реализации , называется наивероятнейшим значением случайной величины.

Числовые характеристики дискретных и случайных величин

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма ее всевозможных значений умноженная на соответствующие вероятности.

M(X)=

матрица электрический ток уравнение

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

D(X)=M

Среднеквадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии

Принцип равных возможностей

Этот принцип используют в случае, когда нет оснований отдавать предпочтение какому либо одному исходу эксперимента перед другим. В этом случае считают, что имеются равные возможности для любого исхода эксперимента и всем им следует предписывать одинаковые вероятности.

Для равновозможной случайной величины справедливо

,

Для двух равновозможных случайных величин вводится числовой коэффициент - коэффициент корреляции, который используется для определения взаимосвязи между двумя случайными величинами. Пусть случайные величины заданы своими возможными числовыми значениями X= Y= i= Коэффициент корреляции вычисляется по формуле

Прогнозирование уровня электропотребления на промышленном предприятии

По результатам наблюдения за выработкой продукции завода и потребляемой им электроэнергии из системы в течение n лет получена зависимость П=f(W), отражающаяся в таблице. Здесь П объем выпускаемой продукции в некоторых условных единицах, W - объем потребляемой электроэнергии в КВт.ч Через год намечается увеличение выпуска продукции до некоторой конкретной величины . Требуется определить, какое количество электроэнергии будет потреблено из системы в этот расчетный год. Для прогноза следует использовать линейное уравнение регрессии

W=

Данное уравнение носит название линейного уравнения регрессии, т.к. зависимость между функцией W и аргумента П носит линейный характер

W=f(П)=k•П+b

Задание

Для промышленного предприятия в течении n лет собирались статистические данные:

1. Годовое потребление электроэнергии

2. Производство продукции

Через 2 года планируется увеличение выпуска продукции до величины .Спрогнозировать годовое потребление электроэнергии на этот расчетный год Исходные даны приведены в таблице.

Статистические данные	Прогнозируемое значение
П	31	35	33	40	41	42	40	45	50	51	=55
W	12	13	15	12	16	17	18	15	19	20

Вычисление числовых характеристик случайных величин аналитически.

Для того чтобы рассчитать прогнозируемое значение электропотребления промышленного предприятия по линейному уравнению регрессии нужно подсчитать все неизвестные элементы этого уравнения.

W=

Рассчитаем неизвестные величины этого уравнения:

39,96

()

Теперь можно вычислить прогнозируемое значение электропотребления.

Вычисление прогнозируемого значения электропотребления промышленного предприятия с помощью линейного уравнения регрессии .

W=

При увеличение выработки продукции до 55 условных единиц в год из системы будет потребляться 20,4 МВт.ч.

Вычисление числовых характеристик случайных величин в MatLab

Листинг программы:

>> A=[31 35 33 40 41 4240 45 50 51]

A =

31 35 33 40 41 42 40 45 50 51

>> W=[12 1315 12 16 1718 15 19 20]

W =

 12 13 15 12 16 17 18 15 19 20

>> mean(A)

ans =

40.8000

>> mean(W)

ans =

15.7000

>> std(A,1)

ans =

6.3214

>> std(W,1)

ans =

2.6851

>> corrcoef(A,W)

ans =

1.0000 0.7741

0.7741 1.0000

Расчеты числовых характеристик случайных величин в MatLab совпадают с аналитическим расчетом.

Размещено на Allbest.ru