Формула Бернуллі, теореми Бернулі, Чебишева, Ляпунова

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат на тему

Формула Бернуллі, теореми Бернулі, Чебишева, Ляпунова

Послідовності незалежних випробовувань

Формула Бернуллі:

Якщо досліди проводити послідовно один за одним в одних і тих же умовах, причому так, що ймовірність реалізації події А не залежить від наслідку інших випробувань, то такі випробування рахуються незалежними відносно подій А.

В подальшому будемо рахувати, що ймовірність події А в усіх випробовуваннях (спробах) одна і та ж.

Під складною подією будемо розуміти суміщення кількох подій, які будемо називати проектами. Нехай приводиться „n” спроб отримати подію А, причому в кожній спробі ймовірність появи події „А” одна і та ж і рівна „p”.

Ймовірність не реалізації події А буде

q = 1 - p

Нехай необхідно узнати ймовірність тримати подію А „k” раз якщо здійснено „n” спроб. Зрозуміло, що позитивна реалізація події А не повинна бути якоюсь певною. Шукану ймовірність можна обчислити по формулі Бернуллі.

Вивід формули Бернуллі:

Згідно теореми множення ймовірностей, якщо в „n” спробах реалізується „k” раз подія, то ймовірність однієї спроби даної ситуації обчислюється. В даній формулі реалізується лише одна, певна послідовність виникання події 10001110...

Pn(1) (k) = pk qn-k

Число комбінацій, які сприяють появі даного результату з ”n” спроб „k” позитивна реалізація події визначається:

Cnk = n!/k! (n-k)!

Якщо допускається, що до мети (виникнення „k” помірних реалізацій при „n” спробах) веде довільна комбінація 1010101... і інші, то згідно суми ймовірностей незалежних подій шукана ймовірність буде:

Pn(k) = Cnk Pk qn-k = Pk qn-k (1)

Отримана формула називається формулою Бернуллі.

ПРИКЛАД: Ймовірність того, що на протязі доби екзаменаційні сесії двійок отримає не більше p = 0,1; Знайти ймовірність того, що за всю сесію (20 днів) на протязі 7 днів двійок отримає не більше p = 0,1.

Ясно що при p = 0,1 a = 0,9 шукана ймовірність обчислюється за формулою:

P20(7) = C207 P7 q20-7 = 0,17 0,913

Набір чисел Pn(k) = C20k , k = 0,1,2,...,n називається біноміальним розподілом, а саму формулу

Pn(k) = Cnk Pk qn-k

біномною формулою. Оскільки 1n = 1, то

(p + q)n = Cnk Pk qn-k = 1 (2)

Число настання події являється найімовірнішим, якщо ймовірність даної події більша, за усі інші. Ясно, що для різних „k” число незалежних випробовувань, p - ймовірність послання даної події в одній спробі q = 1 - p - ймовірність не послання події, то найімовірніше число настання події „k0” задовольняє нерівності:

Pn - q ? K0 ? Pn + P (3)

Оскільки K0 додатнє число, а різниця

np + p - (n - p) = p + q = 1,

то завжди існує оптимальне значення K0.

Якщо ймовірність „p” одного порядку з величиною (1/n) при великих „n” або при P < 0,1 то обчислення згідно формули (1) можна привести до:

Pn(k) = e-L (4)

де L = n p

Формула (4) називається розподілом Пуассона. Даний розподіл є в таблицях.

НАПРИКЛАД: На факультеті є близько 500 студентів. Яка ймовірність того, що 1-го вересня в 3-х студентів день народження, ймовірність того, що в одного студента день народження 1-го вересня

P = ; Згідно (4) p n = = L = 1,37 днів у році.

Поведінка функції біномного розподілу від „k” можна дослідити так:

Обчислимо відношення

 = () для довільних k = 0,1,2,3,...,n

Ясно, що коли

> 1 - то ймовірність зросту.

Якщо

< 1 - то спаду.

> 1 => pn - kp > kq + q,

pn - q > k (p + q), але p + q = 1.

k < pn - q,

та ціле, то ймовірність зростає.

Якщо k > pn - q,

то функція буде спадати. Графік, схематичний даної функції:

теорема формула ляпунов бернулі чебишев



Як бачимо максимум обов'язково є.

Зрозуміло, що pn - q - не є цілим числом. Якщо врахувати, що k0 є цілим числом, то , як виявляється k0 мусить задовольняти нерівності np - q < np + p.

Числові характеристики випадкових величин. Математичне сподівання та дисперсія випадкових величин

1. Нехай о - дискретна випадкова величин з законом розподілу

о	x1	x2	……	xn	……
p	p1	p2	……	pn	……

Математичним сподіванням М(о) цієї випадкової величини називають суму ряду

M(о)= x1p1+ x2p2+…+ xnpn+ …=

2. Якщо о- неперервна величина з щільністю ймовірності Pо(x) то математичним сподіванням називається число

Математичне сподівання має властивості:

1) Якщо (о) - неперервна випадкова величина з щільністю

pо(x),

- неперервна то

(x)dx.

У випадку дискретні величини

M((о))=

Mc= c, якщо c= const.

M(cо)= cMо,

M(о + з)= Mо + Mз, де о: з

- випадкові величини.

Якщо о: з - незалежні, то

M(оз)= Mо * Mз

M(о- M(о))= 0, бо M(о)- M(M(о))= M(о)- M(о)= 0.

Математичне сподівання це середнє значення даної випадкової величини, центр її розподілу. Однак для опису випадкової величини цього не достатньо. Бо

[M(о)]= [о]- розмірності.

Тому вводять числову характеристику, яку називають дисперсією(момент другого порядку).

Дисперсією D(о) називають математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання

D(о)= M(о- M(о))2

Властивості дисперсії.

Дисперсія сталої величини рівна нулю

Dc= 0. Дійсно M(о- M(о))2 (c-c)2= 0

Сталий множник можна виключити

D(оc)= c2D(о).

Якщо о: з- незалежні випадкові величини, то

D(о + з)= Dо + Dз.

Dо= M(о2)+ M(о)2.

Дійсно

M(о2- 2оM(о)+ (M(о))2= M(о2)- 2M(о)*M(о)+(M(о))2= M(о2)- (Mо)2

У випадку дискретної випадкової величини

D(о)= ,

а у випадку неперервної

D(о)=

Розмірність

[D(о)]= [о2].

Середнє квадратичне відхилення

у= ; [у]= [о].

Е. Нормальний закон розподілу. Нормальна крива і вплив н форму кривої параметрів розподілу. Ймовірність попадання випадкової величини з нормальним законом розподілу в заданий інтервал.

Основним поняттям в телекомунікаційних системах є білий шум, джерелом якого є практично необмежена кількість випромінювачів, які між собою неузгоджені ні амплітудами, ані фазами.

Зрозуміло, що цей випадковий процес описується цілком певною функцією розподілу. Якщо ж кількість дослідів обмежена, то, як виявляється, функції розподілу, що описують даний процес є різними, залежать від ряду умов і кількості дослідів. Вибір функції розподілу є досить складною задачею, адже, якщо її неможливо розрахувати теоретично, то довільна функція розподілу випадкової величини буде краще чи гірше описувати дану систему.

Однак, якщо дослідів робити дуже багато, а випадкова величина є неперервною, то, як виявляється, усі вони описуються однією функцією розподілу, так званим нормальним законом розподілу випадкової величини, який описується щільністю, густиною.

Як бачимо, дана функція розподілу задається двома параметрами „а” та „у”, тобто знаючи їх можна задавати f(х).

Обчислимо математичне сподівання випадкової величини з нормальним законом розподілу:

Введемо безрозмірну змінну.

Z= і тоді х= уz + a.

і область інтегрування -?, +?.

Тоді:

Перший інтеграл рівний нулю, бо функція непарна, а границі симетричні.

Використовуючи зміст інтеграла Пуассона:

(2)

отримуємо , що М(х) = а (3)

Отже, параметр „а” є математичним сподіванням випадкової величини.

Обчислимо дисперсію випадкової величини

Введемо безрозмірну змінну.

Z= і тоді х-а= уz , .

Тоді D(X)= (5)

Інтегруємо по частинах

u=z, , .

(6)

Оскільки за визначенням, то

є середньоквадратичним відхиленням випадкової величини, отже, а= М(Х)- математичне сподівання,

- середньоквадратичне відхилення.

Вплив параметрів „а” та у на графічну залежність

х)=

Площа під заданою кривою рівна 1,бо

.

Функція симетрична відносно точки х=а.

Максимальне значення ц(х) буде завжди при х=а;причому чим менше значення у, тим вужчим є пік функції розподілу. Зрозуміло, що при рості у функція буде розпливатись так, що

.

Якщо випадкова величина має а=0, тобто однаковими є ймовірності попадання величини в околи точок +х0 та -х0 то функцією розподілу, щільністю, густиною ймовірності буде функція

х)=(7)

Такою функцією розподілу описується білий шум.

Інтегральною функцією розподілу



Зрозуміло, що коли а=0, а у=1

- вона табульована.

Легко перевірити, що

F(x)=F0!

Ймовірність попадання нормованої величини Х в інтервал (0,х) можна знайти, користуючись функцією Лапласа

Дійсно, .

Якщо врахувати, що функція х) парна і симетрична відносно точки х=0, то

Отже, !

Тоді F0(х)=0,5+ф(х).

Ця формула зв'язує дві функції F0(х) та ф(х) (і та, і інша табуьовані.)

Ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал. Нормальний закон розподілу неперервної випадкової величини

Уже відомо, що коли щільність закону розподілу f(х), то ймовірність, що випадкова величина Х попаде в інтервал (б,в) може обчислюватись виразом

(1) бо .

Для спрощення інтегралу введемо безрозмірну змінну

; dx=уdz

Після заміни

Наприклад. Фізична величина є випадковою з нормальним законом розподілу. Знайти ймовірність того, що величина попаде в інтервал (10,50). Якщо математичне сподівання 30, а дисперсія 100 (у=10). Тоді

Правило трьох „у”. Ми уже знаємо, що степінь розпорошення випадкової величини біля її значення „а” визначається „у”. Питається, якщо відомо а та у, де в основному буде перебувати випадкова величина. Виявляється, що, коли інтервал зміни випадкової величини буде

|x-a|<36, то ймовірність попадання в даний інтервал практично рівна „1”.Дійсно

P(|x-a|<36)=2ф3=2*0,49865=0,9973?1

Тобто, якщо білий шум характеризується середньоквадратичним відхиленням у, то випадкова напруга практично завжди буде коливатися в межах -36<Uвип<36 з ймовірністю Р=0,9973!

Поняття про функції випадкового аргументу і її закон розподілу

Нехай є функція однієї змінної f (ж) є областю визначення D(f). Ясно, що усі ж D(f). Якщо ж приймає цілком певне значення (випадкове) з області D, то, можна вважати, що нова випадкова змінна з набула значення

з = f(x)

Ця нова випадкова величина називається функцією випадкового аргументу ж. Цікаво, якщо закон розподілу випадкової величини “ж” відомий , то яким же буде закон розподілу випадкової величини “з”?

Дискретна випадкова величина

Нехай задано закон розподілу

ж	X1	X2	……	X n
P	P1	P2	.......	P n

Якщо імовірність випадання ж = x1 буде P1 , то із цією ж імовірністю

зж = з I = f(x1)

Тому, очевидно, що закон розподілу буде наступним

з	f(x1)	f(x2)	…..	f(x n)
P	P1	P2	…..	P n

Якщо існує кілька випадкових величин, які дають одне і те ж значення f(xi), то імовірності такого випадання додаються.

Неперервні випадкові величини

Якщо ж - неперервна випадкова величина, яка задана з щільністю Pж і якщо y = f(x) неперервна і диференційована строго зростаюча або строго спадна функція, обернена для якої x = f -1(y), то щільність Pз випадкової величини з знаходиться за формулою

Pз (y) = Pж (f -1(y)) * |(f -1(y))' | (*)

Якщо ж f(x) - кусково строго монотонна на проміжку можливих значень ж , то весь указаний відрізок ділиться на куски так, щоб в рамках кожного функція f(x) була монотонною. Тоді в рамках кожного з отриманих відрізків застосовується формула (*), а на всьому інтервалі щільність функції розподілу випадкової величини з буде наступною

Pз (y) = Pж (fi -1(y)) * |(f i-1(y))' |.

Наприклад. Нехай задано щільність Pж випадкової величини ж заданої на інтервалі (a,b). Знайти щільність розподілу випадкової величини з=3ж.

Розв'язання. Оскільки функція y=3x диференційована та монотонно зростаюча на (a,b), має обернену функцію

x = y = f-1 (y),

яка визначена на інтервалі (3a,3b), то

;

Pз (y) = P ж () * |()'| = P ж () * ;

- це відповідь, де y ( 3a; 3b)

3. Якщо ж і з - дискретні випадкові величини, то для знаходження щільності розподілу випадкової величини т = ж + з необхідно (в першу чергу) знайти область зміни т. Імовірності знайдених випадкових значень т із знайденої області рівна добутку ймовірностей значень ж та з, що складають т.

4. Якщо ж та з - неперервні змінні з щільністю Pз та Pж відповідно, то щільність

т = ж+ з

можна обчислити за формулою

P (т) = P ж (x) Pз (т - x) dx

або рівносильно

P (т) = P ж (т -x) P з (x) dx

де P ж (x) та P з (x) - відповідні щільності змінних ж та з.

Закон великих чисел. Нерівність Чебишева , теореми Чебишева та Бернулі. Поняття про теорему Ляпунова

Якщо подія А має ймовірність Р(А) то, взагалі кажучи не можна передбачити , чи настане , чи не настане дана подія після однієї спроби. Якщо ж Р(А) дуже близька до одиниці , то практично завжди подія А буде реалізовуватись , точно так же , коли Р(А) 0, то подія не реалізується в одному досліді. У зв'язку з цим на практиці подію А вважають практично вірогідною якщо Р(А) 1 або ж практично неможливою коли Р(А) 0. Тому виникає питання, якою ж повинна бути ймовірність Р(А) 0, щоб подія практично не реалізовувалась.

На це запитання відповіді однозначної немає, оскільки важливим є результат помилки. Наприклад , ймовірність помилкового спрацювання системи ПВО, в порівнянні з такою ж ймовірністю виходу із ладу телевізора. Наслідки різні і ціна помилки різна.

Тому особливе значення в теорії ймовірності мають випадкові події, ймовірності яких близькі до «1» або до «0».

Нерівність Чебишева. (1 форма)

Якщо випадкова величина ж може набувати тільки невід'ємних значень і має скінчене математичне сподівання, то

Доведення. Розглянемо математичне сподівання величини ж (дискретної).

1)

Якщо , то відповідно

- що очевидно.

Тепер розглянемо - ймовірність того , що випадкова величина , тобто

=,

бо якщо суму розширити на усі , то вираз зросте. Отже

2) Якщо випадкова величина неперервна. Тоді

,

- інте43гральна функція розподілу -

Ясно, що коли помножити функцію на X>1 , то

і якщо область зміни «X» то це означає , що для усіх X<0 , а раз так, то

Отже ! (_)

Нерівність Чебишева (друга форма)

Нехай випадкова величина ж має скінчене математичне сподівання M(ж) і скінченну дисперсію D(ж) . Тоді, для будь-якого е > 0 має місце нерівність

Доведення. Розглянемо випадкову величину

вона додатно визначена, тоді виписується нерівність (_)

Відмітимо, що нерівність

>1

еквівалентна нерівності

!

;

Тоді .

Але, оскільки змінна або ?е або менша е , то ясно, що

.

Теорема Чебишева. Нехай ж1,…, жn - попарно спряжені випадкові величини з однаковими математичними сподіваннями та дисперсіями, обмеженими одним і тим же числом

D (жi) ? Ci ; i=1, 2, …

Тоді (ж1+ ж2 +…+жn)/n a.

Згідно з властивостями математичного сподівання паралельних величин

M () =[M(ж1)+ M(ж2)+… M(жn)+]==a

Аналогічно для дисперсій

D () = [D(ж1)+ D(ж2)+… D(жn)+] ? = .

Отже D () =;

Тоді можна записати нерівність Чебишева

P {| - a|< е} ? 1 - ;

Якщо ж n , то очевидно, що

P {| - a|< е} = 1;

Тобто, якщо дослідів робити дуже багато, то середнє арифметичне значення наближається до математичного сподівання до реального значення вимірювальної величини, при цьому дисперсія 0.

В цьому полягає закон великих чисел.

Теорема Бернулі

Нехай м - число появ події А при “n” послідовних незалежних випробуваннях, в кожному із яких імовірність появи події А рівна “p”, тоді

p.

Доведення. Якщо м k - число успіхів при “k” випробуванні, то

м = м 1 + м 2 +…+м n, при цьому м (м k) = p

D( м k) = pq = p(1 - p) = p - p2 = - (p - )2 ? , (k = 1,…,n).

Тому для м k виконуються умови теореми Чебишева , отже

P (| - p|<е) = 1, при n.

Отже. Якщо кількість дослідів D, то середньоарифметичне значення результатів кожного прямує до математичного сподівання, а частота появи прямує до ймовірності появи події А.

Ясно, що дії усіх дослідів математичного сподівання і ймовірність появи одна і та ж. Це і є закон великих чисел.

Теорема Ляпунова. (Поняття)

Відомо, що нормальний закон розподілу дуже поширений в природі. Чим же це пояснюється? Відповідь дав Ляпунов (як центрально граматична теорема).

Теорема. Якщо випадкова величина Х представляє собою суму великого числа взаємно незалежних випадкових величин, вплив кожної із яких на всю суму надзвичайно малий, то Х має розподіл, який надзвичайно є близьким до нормального розподілу.

Размещено на Allbest.ru