Линейная балансовая модель

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Линейная балансовая модель

Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление (конечный продукт), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции (первый столбец таблицы 1) и как ее потребитель (первая строка таблицы 1).

Обозначим через x_i валовой выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через y_i - конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление (средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д.).

Таким образом, разность x_i - y_i составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.

Обозначим через x_ik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере х_k.

Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами:

х₁ - (х₁₁ + х₁₂ + + х_1n) = у₁

х₂ - (х₂₁ + х₂₂ + … + х_2n) = у₂ (1)

…………………….

x_n - (x_n1 + x_n2 + … + x_nn) = y_n

Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.

Будем снабжать штрихом (х'_ik, y'_i и т.д.) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха - аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства (1) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.

Будем называть совокупность значений y₁, y₂, …, y_n, характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором:

у = (у₁, у₂, …, y_n), (2)

а совокупность значений x₁, x₂, …, x_n, определяющих валовый выпуск всех отраслей вектор-планом:

x = (x₁, x₂, …, x_n). (3)

Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами (1). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т. к. кроме искомых неизвестных х_k, содержат n² неизвестных x_ik, которые в свою очередь зависят от x_k.

Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины a_ik из соотношений:

x_ik

a_ik = - (i, k = 1, 2, …, n).

x_k

Величины a_ik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты a_ik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что

x'_ik x_ik

-- = -- = a_ik = const (4)

x'_k x_k

Исходя из этого предложения имеем

x_ik = a_ikx_k, (5)

т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска x_k. Поэтому равенство (5) называют условием линейности прямых затрат.

Рассчитав коэффициенты прямых затрат a_ik по формуле (4), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу

a₁₁ a₁₂ … a_1k … a_1n

a₂₁ a₂₂ … a_2k … a_2n

A= ………………….

a_i1 a_i2 … a_ik … a_in

a_n1 a_n2 … a_nk … a_nn

Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл. 1

Подставляя значения x_ik = a_ik = x_k во все уравнения системы (1), получим линейную балансовую модель:

x₁ - (a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n) = y₁

x₂ - (a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n) = y₂ (6)

……………………………………

x_n - (a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n) = y_n,

характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл. 1

Система уравнений (6) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:

(Е - А)х = У, (6)

где Е - единичная матрица n-го порядка и

1-a₁₁ - a₁₂ … - a_1n

E - A= - a₂₁ 1-a₂₂ … - a_2n

…………………

- a_n1 - a_n2 … 1-a_nn

Уравнения (6) содержат 2n переменных (x_i и y_i). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы (6) найти остальные n - переменных.

Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = (y₁, y₂, …, y_n) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = (х₁, х₂, … х_n).

Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей:

Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:

100 160 275 40

а₁₁ = --- = 0.2; а₁₂ = --- = 0.4; а₂₁ = --- = 0.55; а₂₂ = --- = 0.1

500 400 500 400

Эти коэффициенты записаны в табл. 2 в углах соответствующих клеток.

Теперь может быть записана балансовая модель (6), соответствующая данным табл. 2

х₁ - 0.2х₁ - 0.4х₂ = у₁

х₂ - 0.55х₁ - 0.1х₂ = у₂

Эта система двух уравнений может быть использована для определения х₁ и х₂ при заданных значениях у₁ и у₂, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д.

Так, например, задавшись у₁=240 и у₂=85, получим х₁=500 и х₂=400, задавшись у₁=480 и у₂=170, получим х₁=1000 и х₂=800 и т.д.

отрасль балансовый уравнение матрица

2. Решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы. Коэффициенты полных затрат

Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения (6).

Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т.е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения (6) допустимым решением.

Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя.

Так, например, если

0.9 0.8 0.1 -0.8 и уравнение (6)

А=, то Е - А = 0.6 0.9 -0.6 0.1

запишется в виде 0.1 -0.8 х₁ у₁ или в развернутой форме -0.6 0.1 х₂ у₂

0.1х₁ - 0.8х₂ = у₁ ()

-0.6х₁ + 0.1х₂ = у₂

Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение

-0.5х₁ - 0.7х₂ = у₁ + у₂,

которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х₁ и х₂, если только у₁>0 и у₂>0 (кроме х₁=х₂=0 при у₁=у₂=0).

Наконец уравнение вообще может не иметь решений (система (6) - несовместная) или иметь бесчисленное множество решений (система (6) - неопределенная).

Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос.

Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0, удовлетворяющий неравенству (Е - А)х>0, т.е. если уравнение (6) имеет неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для любого У>0 единственное неотрицательное решение.

При этом оказывается, что обратная матрица (Е - А) будет обязательно неотрицательной.

Из способа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется равенство (Е - А)х = У, где вектор-план х и ассортиментный вектор У определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У>0. Таким образом, уравнение (6) имеет одно неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение (6) всегда имеет допустимый план и матрица (Е - А) имеет обратную матрицу.

Обозначив обратную матрицу (Е - А)^-1 через S = || s_ik+ ||, запишем решение уравнения (6) в виде

х = SУ (7)

Если будет задан вектор - конечный продукт У и вычислена матрица S = (E - A)^-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х.

Решение (7) можно представить в развернутой форме:

x₁ = S₁₁y₁ + S₁₂y₂ + … + S_1ny_n

x₂ = S₂₁y₁ + S₂₂y₂ + … + S_2ny_n (8)

………………………………

x_n = S_n1y₁ + S_n2y₂ + … + S_nny_n

Размещено на Allbest.ru