Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач
Изучение задач линейного программирования (симплексный и геометрический методы), тройных интегралов и их приложения для решения геометрических, физических и других задач, отыскания коэффициентов Фурье, их применения в математических методах в экономике.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 24.04.2011 |
| Размер файла | 401,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Федеральное Агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Московский Государственный Институт Стали и Сплавов
(технологический университет)
Кафедра математики
Курсовая работа по высшей математике на тему:
«Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач»
Выполнила:
Куценко А.С.
группа МЭ-03-1
Проверил(а):
Дьяченко О. Н.
Москва
2005
Введение
Целью данной курсовой работы является самостоятельное изучение следующих разделов высшей математики: задачи линейного программирования (симплексный и геометрический методы), ряды Фурье, приложение интегрального исчисления. Для улучшения понимания выше перечисленных тем каждому заданию предшествует краткое теоретическое введение с необходимым пояснением алгоритма решения и практического смысла. Практическая часть курсовой работы, в свою очередь, для облегчения проверки снабжена краткими пояснениями хода решения, в том числе графическими.
Задание № 1
Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x,y)=1-3x2-3y2 в замкнутой ограниченной области D: x2+y216; ух.
Теория:
I. Если из уравнения связи найти y как функция x, т.е f(x, y(x)) тогда задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции одной переменной на заданном отрезке.
Находим значение функции в точках, в которых выполнено необходимое условие наличия экстремумов функции (точки попадания в данную область).
Из найденных значениях выбираем наибольшее и наименьшее значения.
(x0,y0) - точка условного экстремума f(x;y)
Для максимума:
1. (x0;y0) - удовлетворяет уравнению связи
2. Существует такая окрестность точки (x0;y0), что для любых (х;у), таких что
(Аналогично для минимума).
II. Нахождение точек в которых выполнено необходимое условие наличия экстремума функции методом множителей Лагранжа.
z=f(x;y), .
1. Составляем функцию 3-х переменных
2. Для функции F находим точки в которых выполнено необходимое условие обычного экстремума:
Практика:
Рисуем данную область
I. Находим точки в которых выполнено необходимое условие наличия экстремума:
Точка (0;0) D (т.е. принадлежит области определения).
II. Находим наибольшее и наименьшее значения на границе области
|
x |
y |
z |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
-47 |
|||
|
-47 |
Ответ:
Задание № 2
Завод производит два вида продукции : А и В. Единица продукции вида А требует 2 часа на обработку деталей, 3 часов на сборку и 6 часов на упаковку. А единица продукции типа В требует соответственно 2, 9 и 4 часов. Оборудование завода позволяет потратить на эти операции соответственно 32, 108 и 84 часа. Единица продукции первого вида даёт прибыль в размере $2, а второго - $3. Требуется составить план выпуска продукции, обеспечивающий заводу максимальную прибыль. Решить задачу двумя способами ( геометрическим методом и симплексным методом).
|
На обработку деталей, час |
На сборку, час |
На упаковку, час |
||
|
Продукция типа А |
2 |
3 |
6 |
|
|
Продукция типа В |
2 |
9 |
4 |
|
|
Завод позволяет,час |
32 |
108 |
84 |
Геометрический метод
Теория:
Применяется, как правило, для задач линейного программирования, содержащих не более 2 переменных. Суть геометрического метода сводится к следующему:
1) На плоскости, по осям которой отложены искомые переменные величины, строится система ограничений, указанная в задаче (то есть фактически решаем графически систему неравенств). Если она не имеет решения, то соответственно ЗЛП также не имеет решения. Если имеет, то обычно мы получаем некоторый многоугольник (он может быть не замкнут). Этот многоугольник представляет собой область допустимых решений ЗЛП.
2) Находим градиент целевой функции. Он представляет собой вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции.
3) Строим так называемую линию уровня. Для этого приравниваем целевую функцию какой-либо константе. Очевидно, что мы получаем прямую, перпендикулярную градиенту.
4) Возможны два варианта:
I - Целевая функция на максимум: перемещаем линию уровня параллельно самой себе в направлении градиента. Для простоты будем считать, что ЗЛП имеет единственное оптимальное решение. Тогда последняя точка, лежащая на границе области допустимых решений ЗЛП, через которую пройдет линия уровня и будет представлять собой оптимальное решение.
II - Целевая функция на минимум: все аналогично пункту 1 за исключением того, что линию уровня нужно перемещать в сторону, противоположную градиенту.
Практика:
Пусть:
х1 - производство товара А;
х2 - производство товара В.
Тогда целевая функция:
Ограничения по фонду времени:
Максимальное значение функции достигается на пересечении 1 и 2 ограничений.
Решаем систему из (1) и (2) уравнения:
Получаем: х1=6, х2=10.
Подставим в целевую функцию:
Ответ: максимальная прибыль в $42 будет достигаться при следующем плане выпуска: 6 единиц товара А и 10 единиц товара В.
Симплекс-метод
Теория:
Другой способ решения задач линейного программирования - симплекс-метод. Он, в отличие от геометрического, является полностью аналитическим, что позволяет использовать его в задачах с практически любым конечным числом переменных. Для его использования все ограничения задачи должны представлять собой равенства. Чтобы добиться этого обычно вводят дополнительные переменные. Симплекс-метод основан на том, что оптимальным решением ЗЛП является какая-либо вершина многогранника допустимых решений ЗЛП. Вначале выбирается произвольно любая вершина многогранника (иногда это может быть сопряжено с определенными трудностями). Затем осуществляется переход к другим вершинам до тех пор, пока не обнаруживается оптимальная. Необходимо отметить, что главной отличительной чертой симплекс-метода по сравнению с простым перебором является то, что переход к следующей вершине осуществляется в направлении роста (или падения) целевой функции. Это позволяет значительно ускорить процесс поиска оптимального решения.
Практика:
При введении дополнительных переменных получаем:
Процесс перебора вершин многогранника допустимых решений в поисках оптимального отразим в следующей симплекс-таблице:
|
х1 (2) |
х2(3) |
U1(0) |
U2(0) |
U3(0) |
F(0) |
||
|
U1(0) |
2 |
2 |
1 |
0 |
0 |
32 |
|
|
U2(0) |
3 |
9 |
0 |
1 |
0 |
108 |
|
|
U3(0) |
6 |
4 |
0 |
0 |
1 |
84 |
|
|
Инд.строка |
-2 |
-3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
U1(0) |
4/3 |
0 |
1 |
-2/9 |
0 |
8 |
|
|
х2(3) |
1/3 |
1 |
0 |
1/9 |
0 |
12 |
|
|
U3(0) |
14/3 |
0 |
0 |
-4/9 |
1 |
36 |
|
|
Инд.строка |
-1 |
0 |
0 |
1/3 |
0 |
36 |
|
|
х1(2) |
1 |
0 |
ѕ |
-1/6 |
0 |
6 |
|
|
х2(3) |
0 |
1 |
-1/4 |
1/6 |
0 |
10 |
|
|
U3(0) |
0 |
0 |
-7/2 |
1/3 |
1 |
8 |
|
|
Инд.строка |
0 |
0 |
3/4 |
1/6 |
0 |
42 |
a22 - разрешающий элемент
a11 - разрешающий элемент
Т.к. в индексной строке нет отрицательных элементов, то план является оптимальным.
В итоге получаем:
х1 =6, х2 =10, U3=24 - базисные переменные;
U1= U2 =0 - свободные переменные;
Fmax=42.
Ответ: максимальная прибыль в $42 будет достигаться при следующем плане выпуска: 6 единиц товара А и 10 единиц товара В, при этом время, которое оборудование завода позволяет потратить на сборку будет израсходовано не полностью (останется 8 часов).
Т.о., и геометрический и симплексный метод дали нам один и тот же результат, что доказывает правильность решения.
Задание № 3
Разложить в ряд Фурье по тригонометрической системе функцию
Теория:
Определение. Функциональный ряд вида , называется тригонометрическим рядом, где а, аn, bn, (n = 1, 2, 3, …) - постоянные числа, называемые коэффициентами тригонометрического ряда.
Определение. Тригонометрический ряд с коэффициентами Фурье, т.е.
называется рядом Фурье функции f (x), где f (x) - периодическая функция с периодом 2р.
Определение. Пусть f(x) есть периодическая функция с периодом 2l, вообще говоря, отличным от 2р. Тогда, при разложении ее в ряд Фурье получим формулу:
где коэффициенты a, a,b , вычисляются по формулам:
Это и есть ряд Фурье для периодической функции с периодом 2l.
О разложении в ряд Фурье непериодической функции
Пусть на некотором отрезке [a, b] задана кусочно-монотонная функция f(x). Покажем, что данную функцию в точках ее непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим произвольную периодическую кусочно-монотонную функцию f1(x) с периодом 2м b - a, совпадающую с функцией f (x) на отрезке [a, b].
Разложим функцию f1(x) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a,b] (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией f (x), т. е. мы разложили функцию f (x) в ряд Фурье на отрезке [a, b].
Рассмотрим, далее, следующий важный случай. Пусть функция f(x) задана на отрезке [0,l]. Дополняя определение этой функции произвольным образом на отрезке [-l,0] (сохраняя кусочно монотонность), мы можем разложить эту функцию в ряд Фурье. В частности, если мы продолжим определение функции f(x) при так: f(x) = , то получим нечетную функцию, которая разлагается по синусам. (Функция f(x) “продолжена нечетным образом”).
Практика:
Разложим исходную функцию f (x) в ряд Фурье по тригонометрической системе функций на [-1;1].
1) Найдем коэффициенты Фурье:
2) Раскладываем функцию f(x) в ряд Фурье:
Ответ:
а) Нарисовать график функции f(x) на отрезке [-1;1].
Теория:
Определение. Функция f (x) называется кусочно-монотонной на отрезке [a, b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек x, x, …, x на интервале (a,x), (x1, x2), …, (xn-1, b) так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т.е. либо невозрастающая, либо неубывающая.
Практика:
Построим график данной функции:
б) Написать к чему сходится этот ряд Фурье в точках отрезка [-1;1].
Теория:
Определение. Функция f (x) называется удовлетворяющей условиям Дирикле на сегменте [a, b], если:
1. функция непрерывна на сегменте [a, b] или кусочно-непрерывна (т.е. имеет на нем конечное число точек разрыва 1 рода);
2. функция кусочно-монотонна на сегменте [a,b].
Теорема Дирикле: Пусть периодическая функция f (x) с периодом 2р удовлетворяет на любом сегменте условиям Дирихле. В таком случае ряд Фурье, соответствующий этой функции, сходится во всех точках числовой оси. При этом в каждой точке непрерывности функции f(x) сумма ряда S(x) равна значению функции в этой точке. В каждой точке x0 разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому предельных значений функции при x>x0 слева и справа, т.е.: S(x) = 0,5[f(x0 + 0)+f(x0 - 0)].
Практика:
В каждой точке отрезка [-1;1] полученный ряд сходится к значению функции f(x) в точках:
Ответ:
в) Нарисовать график суммы ряда на отрезке [-3, 3].
Теория:
Как уже было сказано, в каждой точке непрерывности функции f(x) сумма ряда S (x) равна значению функции в этой точке. В каждой точке x0 разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому предельных значений функции при x>x0 слева и справа.
Практика:
г) Пользуясь равенством Парсеваля, найти сумму:
Теория:
Для функции f(x), такой, что f2(x)L(-;), справедливо равенство Парсеваля:
Практика:
Ответ: 8/3.
Задание № 4
Найти линейную комбинацию функций , дающую наилучшее приближение по норме функции f(x) =x3+2x2+6x+4 на отрезке
[-1;1].
Теория:
Бесконечная система функций ц1(x), ц2(x), …, цn(x) называется ортогональной на отрезке [a, b], если при любых n ? k выполняется равенство
При этом предполагается, что
Пусть функция f(x), определенная на отрезке [a;b], такова, что
При этом:
Коэффициенты cn, вычисленные по данной формуле называют коэффициентами Фурье функция f(x) по системе ортогональных функций. А ряд из первой формулы называют рядом Фурье по системе функций.
Практика:
Построим по данной системе ортогональную систему функций.
Найдем ортогональный базис :
Система функций: - ортогональная система на отрезке [-1,1].
Наилучшее приближение по норме функции f(x) даёт линейная комбинация:
, где - коэффициенты Фурье.
В итоге получаем:
Ответ:
Задание №5
Найти объём тела, заданного системой неравенств:
Теория:
Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Пусть в области V и на ее границе определена некоторая непрерывная функция f(x, y ,z), где x, y ,z - прямоугольные координаты точки области. Для ясности в случае, если f(x, y ,z)0, мы можем считать эту функцию плотностью распределения некоторого вещества в области V.
Разобьем область V произвольным образом на области , обозначая символом не только самую область, но и её объём. В пределах каждой частичной области выберем произвольную точку и обозначим через значение функции f в этой точке. Составим интегральную сумму вида (1) и будем неограниченно увеличивать число малых областей так, чтобы наибольший диаметр стремился к нулю. Если функция f(x, y ,z) непрерывна, то при этом будет существовать предел интегральных сумм вида (1). Этот предел, не зависящий ни от способа разбиения области V, ни от выбора точек , обозначается символом (2) и называется тройным интегралом.
Если подынтегральная функция f(x, y ,z)=1, то тройной интеграл по области V выражает объем области V:
Декартовы прямоугольные координаты
Вычисление тройного интеграла в декартовых прямоугольных координатах сводится к последовательному вычислению одного однократного и одного двойного интегралов. Если область интегрирования ограничена снизу и сверху соответственно поверхностями: а с боков - прямым цилиндром, сечением которого плоскостью, параллельной плоскости
X0Y является область D, то:
вычисление начинаем с внутреннего интеграла по переменной z, считая переменные x и y константами, а затем вычисляем двойной интеграл по проекции области V на плоскость X0Y.
Сферические координаты
Пусть
где - радиус-вектор точки М, т.е. - расстояние от точки М до начала координат:
ц - угол между положительными направлением оси 0X и лучом (- проекция точки М на плоскость X0Y), ; и - угол между положительным направлением оси 0Z и радиус-вектором точки М (лучом ОМ), .
Тогда модуль якобиана: .
В сферических координатах:
Практика:
- сфера радиусом 4; - сфера радиусом 10;
- конус второго порядка; - плоскости.
Изобразим проекции сфер и плоскостей на плоскость XOY:
Перейдем к сферическим координатам:
Ответ:
Задание № 6
Найти массу тела ограниченного поверхностями: если плотность распределения массы равна
Теория:
Для вычисления массы тела применяем приложение тройного интеграла. В данном случае удобно применить переход к сферическим координатам.
Практика:
Перейдём к сферическим координатам:
Ответ:
Заключение
Итак, вышеизложенный материал наглядно рассматривает все интересующие нас разделы программы. Используя его, даже несведущий человек сможет овладеть основами знаний по теории и практике затронутых тем. Изучив предложенные задания, можно отработать технику решения тройных интегралов и их приложения для решения геометрических, физических и других задач, отыскания коэффициентов Фурье и их применения и т.д. фурье интеграл программирование симплекс
Данная курсовая работа способствует закреплению и углублению знаний по математическому анализу, интегральному исчислению и математическим методам в экономике.
Список использованной литературы
1. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа - М., НАУКА,1969
2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного - М.,НАУКА, 1985
3.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления - М.,НАУКА,1978
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
История интегрального и дифференциального исчисления. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики. Моменты и центры масс плоских кривых, теорема Гульдена. Дифференциальные уравнения. Примеры решения задач в MatLab.
реферат [323,3 K], добавлен 07.09.2009Нахождение наибольшего и наименьшего значения (экстремумы) функции в замкнутой ограниченной области. Геометрический и симплексный метод составления плана выпуска продукции, разложение в ряд Фурье по синусам непериодической функции, её график и сумма.
курсовая работа [282,7 K], добавлен 25.04.2011Основные понятия математического моделирования, характеристика этапов создания моделей задач планирования производства и транспортных задач; аналитический и программный подходы к их решению. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
курсовая работа [2,2 M], добавлен 11.12.2011Рассмотрение задач с двойными и тройными интегралами, применение к ним геометрического и симплекс методов решения; описание теоретической и практической части. Разложение функции в ряд Фурье по синусам и определение наибольшего и наименьшего значения.
курсовая работа [185,1 K], добавлен 28.04.2011Рассмотрение видов арифметических задач, используемых в работе с дошкольниками. Этапы обучения решению арифметических задач. Изучение структуры, модели записи математического действия. Алгоритм решения задач. Роль данных занятий в общем развитии ребенка.
презентация [379,7 K], добавлен 19.06.2015Знакомство с особенностями построения математических моделей задач линейного программирования. Характеристика проблем составления математической модели двойственной задачи, обзор дополнительных переменных. Рассмотрение основанных функций новых переменных.
задача [656,1 K], добавлен 01.06.2016Сущность линейного программирования. Изучение математических методов решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейной целевой функцией. Нахождение точек наибольшего или наименьшего значения функции.
реферат [162,8 K], добавлен 20.05.2019Проектирование методов математического моделирования и оптимизации проектных решений. Использование кусочной интерполяции при решении задач строительства автомобильных дорог. Методы линейного программирования. Решение специальных транспортных задач.
методичка [690,6 K], добавлен 26.01.2015- Основы вычислительной математики и использование системы Mathcad 14 для решения вычислительных задач
Методы, используемые при работе с матрицами, системами нелинейных и дифференциальных уравнений. Вычисление определенных интегралов. Нахождение экстремумов функции. Преобразования Фурье и Лапласа. Способы решения вычислительных задач с помощью Mathcad.
учебное пособие [1,6 M], добавлен 15.12.2013 Общее понятие вектора и векторного пространства, их свойства и дополнительные структуры. Графический метод в решении задачи линейного программирования, его особенности и область применения. Примеры решения экономических задач графическим способом.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 14.11.2010
