Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Московский Государственный Институт Стали и Сплавов

(Технологический университет)

Кафедра математики

Учебный курс: «Высшая математика»

Курсовая работа

Выполнил:

студент группы МЭ-03-1

Козлов Г. И.

Проверила:

Дьяченко О. Н.

Москва 2005 г.

Введение.

Эта курсовая работа является продолжением углубленного изучения высшей математики. В ней рассматриваются не пройденные нами темы за 3семестра изучения высшей математики. В курсовой рассматриваются следующие темы: приложение двойных тройных интегралов в пространстве, разложение функции в ряд Фурье, а также отыскание наибольшего и наименьшего значений функции в указанной области, и, наконец, показано решение задачи линейного программирования геометрическим и симплекс методом. интеграл фурье симплекс

Задание №1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции ѓ(x,y) = x² + y² +12xy в замкнутой ограниченной области D: x² + y² ? 9, y ? 3-x.

Рисуем область ограничения D

Находим точки, в которых выполнено необходимое условие наличия экстремумов.

точка (0;0) области D

F(0,0)=0

Находим на границе области наибольшее и наименьшее значения

y =3- x,

f = x² + 12x(3-x)+(3-x)² = -10x²+30x+9

y=3-1,5=1,5

F(1,5;1,5)=31,5 A(1,5;1,5;31,5)

F(0;3)=9 B(0;3;9)

F(3;0)=9 C(3;0;9)

x² + y² = 9

Находим точки, в которых выполнено необходимое условие наличия условного экстремума функции с помощью формулы Лагранжа.

Составляем функцию Лагранжа:

F(x,y,) = x²+ y² + 12xy + (9-x²-y²)

5)

	X	Y	F
O	0	0	0
A	1,5	1,5	31,5
B	0	3	9
C	3	0	9
D			-45
E			-45
F			63

Ответ:

Задание №2

Пекарня имеет 4 ед. прибыли от одного свадебного торта и 3 ед. от праздничного торта. При изготовлении свадебного торта уходит 4 минуты на взбивание теста, 90 минут на выпечку и 8 минут на покрытие глазурью, праздничный торт требует соответственно 6, 15 и 4 минут. Производственные мощности пекарни позволяют тратить всего 120 минут на взбивание теста, 900 минут на выпечку и 96 минут на покрытие глазурью. Требуется составить план выпуска тортов, обеспечивающий пекарне максимальную прибыль.

Геометрический метод

Теоретическое введение:

Применяется, как правило, для задач линейного программирования, содержащих не более 2 переменных. Суть геометрического метода сводится к следующему:

1) На плоскости, по осям которой отложены искомые переменные величины, строится система ограничений, указанная в задаче (то есть фактически решаем графически систему неравенств). Если она не имеет решения, то соответственно ЗЛП также не имеет решения. Если имеет, то обычно мы получаем некоторый многоугольник (он может быть не замкнут). Этот многоугольник представляет собой область допустимых решений ЗЛП.

2) Находим градиент целевой функции. Он представляет собой вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции.

Как можно видеть, для линейной функции он является постоянной величиной. Также нужно отметить, что градиент имеет в данном случае координаты, представляющие собой коэффициенты при соответствующих переменных в целевой функции.

3) Строим так называемую линию уровня. Для этого приравниваем целевую функцию какой-либо константе. Очевидно, что мы получаем прямую, перпендикулярную градиенту.

4) Возможны два варианта:

1) Целевая функция на максимум: перемещаем линию уровня параллельно самой себе в направлении градиента. Для простоты будем считать, что ЗЛП имеет единственное оптимальное решение. Тогда последняя точка, лежащая на границе области допустимых решений ЗЛП, через которую пройдет линия уровня и будет представлять собой оптимальное решение.

Целевая функция на минимум: все аналогично пункту 1 за исключением того, что линию уровня нужно перемещать в сторону, противоположную градиенту.

Решение:

X₁ - кол-во свадебных тортов

X₂ - кол-во праздничных тортов

Целевая функция:

ѓ = 4x₁+3x₂max

Ограничения производственных мощностей:

2X1+3X2=60

2X1+X2=24 (1.0)

Максимальное значение

достигается на пересечении

(1) и (3) ограничений.

Решаем систему, состоящую

из (1) и (3)-ого уравнения

2X1+3X2=60

2X1+X2=24

Получим

X₁=3

X₂=18

Подставим в целевую функцию

ѓ(3;18) = 4*3+3*18 = 66

Т.е., наиболее выгодный план производства тортов будет: 3 свадебных торта и 18 праздничных тортов, что обеспечивает 66 ед. прибыли.

Симплекс- метод

Другой способ решения задач линейного программирования - симплекс-метод. Он, в отличие от геометрического, является полностью аналитическим, что позволяет использовать его в задачах с практически любым конечным числом переменных. Для его использования все ограничения задачи должны представлять собой равенства. Чтобы добиться этого обычно вводят дополнительные переменные. Симплекс-метод основан на том, что оптимальным решением ЗЛП является какая-либо вершина многогранника допустимых решений ЗЛП. Вначале выбирается произвольно любая вершина многогранника (иногда это может быть сопряжено с определенными трудностями). Затем осуществляется переход к другим вершинам до тех пор, пока не обнаруживается оптимальная. Необходимо отметить, что главной отличительной чертой симплекс-метода по сравнению с простым перебором является то, что переход к следующей вершине осуществляется в направлении роста (или падения) целевой функции. Это позволяет значительно ускорить процесс поиска оптимального решения.

В основе симплексного метода решения ЗЛП лежит метод последовательных исключений.

1. Добавляем к левой части неравенств некоторую неотрицательную величину U_i>=0.

2X1+3X2+U1=60

6X1+X2+U2=60 (1.1)

2X1+X2+U3=24

X1>=0, X2>=0, Ui>=0 (i=1,2,3)

Целевая функция: 4X1+3X2+0U1+0U2+0U3max

Причем каждому решению системы неравенств (1.0) соответствует единственное решение системы уравнений и неравенств (1.1).

2. Записываем Гауссову таблицу.

X1	X2	U1	U2	U3	B
2	3	1	0	0	60
6	1	0	1	0	60
2	1	0	0	1	24

3. Записываем симплекс-таблицу.

		4	3	0	0	0
		X1	X2	U1	U2	U3	B
0	U1	2	3	1	0	0	60
0	U2	6	1	0	1	0	60
0	U3	2	1	0	0	1	24
		-4	-3	0	0	0	0

В первой строке записываются коэффициенты целевой функции при соответствующих переменных второй строки.

В втором столбце записываются переменные, находящиеся в базисе.

В первом столбце записываются коэффициенты целевой функции переменных, находящихся в базисе.

Последняя строка - индексная. Ее элементы вычисляются по формуле

Б_s= s-й столбец*1 столбец - число, стоящее в 1 строке и s-м столбце.

Одновременно с этим последний элемент индексной строки является значением целевой функции.

У нас в базисе U1, U2, U3.

Опорное решение: (0;0;60;60;24). Fmax=0

Симплексное преобразование выполняется по следующему правилу:

1) Выбираем разрешающий столбец, соответствующий наибольшему по модулю отрицательному элементу в индексной строке.

2) Выбирается разрешающая строка, которая соответствует наименьшему положительному из отношений элементов правой части уравнений на соответствующие элементы разрешающего столбца. На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца стоит разрешающее число.

3) Элементы разрешающей строки делятся на разрешающее число.

4) Вычисляются элементы всех остальных строк по формуле:

Новые эл-ты = старые эл-ты -

С каждым последующим симплексным преобразованием значение целевой функции будет увеличиваться. При этом:

1) Если в индексной строке найдется хотя бы один отрицательный элемент и

· в разрешающем столбце найдется хотя бы один положительный элемент, то можно улучшить решение;

· разрешающий столбец не содержит положительных элементов, то целевая функция неограниченно возрастает.

2) Если все элементы индексной строки неотрицательны, то достигнуто оптимальное решение.

Это и есть достаточные условия существования оптимального плана решения.

4. В нашем случае: наибольшее по модулю отрицательное число в индексной строке стоит в 1 столбце, следовательно разрешающий столбец 1. Разрешающая строка 2.

Вводим в базис X1 вместо U2.

		4	3	0	0	0
		X1	X2	U1	U2	U3	B
0	U1	0		1	-	0	40
4	X1	1		0		0	10
0	U3	0		0	-	1	4
		0	-	0		0	40

В базисе U1, X1, U3.

Новое опорное решение: (10; 0; 40; 0; 4) Fmax=40

Решение не является оптимальным, т. к. в индексной строке есть отрицательные элементы.

5. Наибольшее по модулю отрицательное число в индексной строке стоит во 2 столбце, следовательно разрешающий столбец 2. Разрешающая строка 3.

Вводим в базис X2 вместо U3.

		4	3	0	0	0
		X1	X2	U1	U2	U3	B
0	U1	0	0	1	1	-4	24
4	X1	1	0	0		-	9
0	X2	0	1	0	-		6
		0	0	0	-		54

В базисе X1, X2, U1.

Опорное решение: (9; 6; 24; 0; 0), Fmax=54.

Решение не является оптимальным, т. к. в индексной строке есть отрицательные элементы.

6. Наибольшее по модулю отрицательное число в индексной строке стоит в 4 столбце, следовательно разрешающий столбец 4. Разрешающая строка 1.

Вводим в базис U2 вместо U1.

		4	3	0	0	0
		X1	X2	U1	U2	U3	B
0	U2	0	0	1	1	-4	24
4	X1	1	0	-	0		3
0	X2	0	1		0	-	18
		0	0		0		66

В базисе U1, X1, X2.

Опорное решение: (3; 18; 0; 24; 0), Fmax=66.

Данное решение является оптимальным, т. к. в индексной строке отсутствуют отрицательные элементы.

Ответ: оптимальный план 3 свадебных торта и 18 праздничных тортов. Fmax=66.

Задание №3

Разложить в ряд Фурье по синусам функцию

Теоретическое введение:

Определение. Функциональный ряд вида

называется тригонометрическим рядом или рядом Фурье. Постоянные числа a₀, a_n, и b_n (n=1,2,…) называются коэффициентами тригонометрического ряда или коэффициентами Фурье.

Если дана периодическая функция f(x) с периодом 2р, то целью применения ряда Фурье является отыскание тригонометрического ряда, сходящегося к данной функции. Таким образом, мы отыскиваем функцию, являющуюся суммой ряда в интервале (-р, р):

.

При этом коэффициенты Фурье находят по формулам:

, ,

О разложении в ряд Фурье непериодической функции. Пусть на некотором отрезке [a, b] задана кусочно-монотонная функция f (x). Покажем, что данную функцию в точках ее непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим произвольную периодическую кусочно-монотонную функцию f₁ (x) с периодом 2м ? b - a, совпадающую с функцией f (x) на отрезке [a, b].

Разложим функцию f₁ (x) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией f (x), т. е. мы разложили функцию

f (x) в ряд Фурье на отрезке [a, b].

Решение:

Разложим исходную функцию f (x) в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, 3].

;

Ответ:

а) Нарисовать график функции ѓ(x) на отрезке [0;3]

Теоретическое введение :

Определение. Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т.е. либо невозрастающая, либо неубывающая.

Решение:

Из этого определения следует, что данная функция является кусочно монотонной, т.к. на интервалах (0;1,5) и (1,5;3) она монотонна.



б) Написать, к чему сходится этот ряд в точках отрезка [0,3].

Теоретическое введение:

Определение. Функция f (x) называется удовлетворяющей условиям Дирихле на сегменте [a, b], если: функция непрерывна на сегменте [a, b] или же имеет на нем конечное число точек разрыва 1 рода; функция кусочно-монотонна на сегменте [a, b].

Теорема Дирихле: Пусть периодическая функция f (x) с периодом 2р удовлетворяет на любом сегменте условиям Дирихле. В таком случае ряд Фурье, соответствующий этой функции, сходится во всех точках числовой оси. При этом в каждой точке непрерывности функции f (x) сумма ряда S (x) равна значению функции в этой точке. В каждой точке x₀ разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому предельных значений функции при x>x₀ слева и справа, т.е.:

S(x) = 0,5[f(x₀ + 0)+f(x₀ - 0)]

Решение:

Внутри интервала (0;3) ряд сходится к значениям самой функции f(x).

S(0)=

S(3)=

в) Нарисовать график суммы ряда на отрезке [-3,9].

Практическая часть:

В каждой точке x₀ разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому предельных значений функции при x>x₀ слева и справа.

г) Пользуясь равенством Парсеваля найти сумму: .

Теоретическое введение:

Для функции f(x), такой, что f²(x)L(-;), справедливо равенство Парсеваля:

Решение:

Ответ : 0,75.

Задание №4

Найти линейную комбинацию функций 1, x, x²+3x+3 дающую наилучшее приближение по норме функции f(x) = x³+3x²+2x+3 на отрезке [-1,1].

Указание: ортогонализировать данную систему функций и воспользоваться экстремальным свойством коэффициентов Фурье.

Теоретическая часть:

Определение. Скалярным произведением двух кусочно-непрерывных на функций будем называть интеграл .

Определение. Величина называется нормой функции f.

Определение. Система кусочно-непрерывных на отрезке [a, b] функций (конечная или бесконечная) называется ортогональной, если при любых n ? k выполняется равенство(т.е. функции попарно ортогональны) и функции имеют положительную норму.

Пусть функция f(x), определенная на отрезке [a, b], такова, что: .При этом:

Коэффициенты , вычисленные по данной формуле называют коэффициентами Фурье функция f(x) по системе ортогональных функций. А ряд называют рядом Фурье функция f(x) по ортогональной системе функций.

Теорема. Если система функций ц₁(x), ц₂(x), …, ц_n(x) ортонормирована(), то для любой функции f норма среди всевозможных систем чисел достигает своего минимума для единственной системы чисел, определяемых равенствами т.е. для коэффициентов Фурье функции f.

Решение:

L₁(x)=1

L₂(x)=x

L₃(x)= x²+3x+3

Ортогонализируем данную систему фукций:

1. f₁(x)=L₁=1

2. f₂(x)=бf₁+L₂, причем б подбираем таким образом, чтобы (f₁;f₂)=0

б =

f₂(x)=x

3. f₃(x)=вf₂ + гf₁ + L₃, причем в и г подбираем так, чтобы (f₃;f₁)=0 и (f₃;f₂)=0

г =

в =

f₃ = -3x - + x² + 3x + 3 = x² - 1/3

4. f₁(x)= 1

f₂(x)= x

f₃(x)= x² - 1/3

5. Воспользуемся экстремальным свойством коэффициентов Фурье:

Отсюда,

F(x) = c₁f₁ + c₂f₂ + c₃f₃ = 4 + 2,6x + 3(x² - 1/3) = 3x² + 2,6x +3.

Ответ: F(x)= 3x² + 2,6x +3

Задание №5

Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

9(x² + y²) >= 16z²

x² + y² + z² <= 25

z<=0

Теоретическое введение:

Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Пусть в области V и на ее границе определена некоторая непрерывная функция f(x, y ,z), где x, y ,z - прямоугольные координаты точки области. Для ясности в случае, если f(x, y ,z)0, мы можем считать эту функцию плотностью распределения некоторого вещества в области V.

Разобьем область V произвольным образом на области , обозначая символом не только самую область, но и её объём. В пределах каждой частичной области выберем произвольную точку и обозначим через значение функции f в этой точке. Составим интегральную сумму вида (1) и будем неограниченно увеличивать число малых областей так, чтобы наибольший диаметр стремился к нулю. Если функция f(x, y ,z) непрерывна, то при этом будет существовать предел интегральных сумм вида (1). Этот предел, не зависящий ни от способа разбиения области V, ни от выбора точек , обозначается символом (2) и называется тройным интегралом.

Если подынтегральная функция f(x, y ,z)=1, то тройной интеграл по области V выражает объем области V:

Декартовы прямоугольные координаты:

Вычисление тройного интеграла в декартовых прямоугольных

координатах сводится к последовательному вычислению одного однократного и одного

двойного интегралов. Если область интегрирования ограничена снизу и сверху соответственно поверхностями:

а с боков - прямым цилиндром, сечением которого плоскостью, параллельной плоскости X0Y является область D, то:

Вычисление начинаем с внутреннего интеграла

по переменной z, считая переменные x и y константами, а затем вычисляем двойной интеграл по проекции области V на плоскость X0Y.

Сферические координаты

Пусть

где r - радиус-вектор точки М, т.е. r - расстояние от точки М до начала координат:

ц - угол между положительными направлением оси 0X и лучом (- проекция точки М на плоскость X0Y), ;

и - угол между положительным направлением оси 0Z и радиус-

вектором точки М (лучом ОМ),

Тогда модуль якобиана:

В сферических координатах:

Решение:

9(x² + y²) >= 16z² - конус

x² + y² + z² <= 25 - сфера

z<=0

находим пересечение поверхностей

z² = 16(x² + y²)/9

x² + y² +16(x² + y²)/9 = 25

D: x² + y² = 16

переходим к сферической системе координат

ц = (0;2р)

и = (arctg4/3;р/2)

r²cos²цsin²и + r²sin²цsin²и +r²cos²и = 25

с = 5

I=

V =

Ответ: V=

Задание №6

Найти статический момент относительно плоскости XOY однородного тела, ограниченного поверхностями:

x²+y²=z²

x²+y²=2z

Теоретическое введение:

Статический момент относительно координатных плоскостей вычисляется по следующим формулам:

M_XOY=

M_XOZ=

M_YOZ=

В нашем примере нам также понадобится знание о цилиндрической системе координат

Цилиндрические координаты:

Пусть

Здесь - угол между положительным направлением оси 0X и лучом , (- проекция точки М на плоскость X0Y), ; r - радиус-вектор точки,

Тогда интеграл вычисляется по формуле

Решение:

x²+y²=z² - конус

x²+y²=2z - эллиптический параболоид

Найдем пересечение этих поверхностей: 2z = z²; z = 0, z = 2

D: x²+y² = 4

Z_верх=

Z_низ=0,5(x²+y²)

Переходим к цилиндрическим координатам:

тогда

Z_верх = r

Z_низ = 0,5r²

M_XOY==

Ответ:

 Список литературы.

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. -М.: Наука, 1985г.

2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. -М.: Астрель АСТ, 2002г.

3. Н.С.Пискунов «Дифференциальное исчисления», том 2

4. Шапкин А. С., Мазаева Н. П. Математические методы и модели исследования операций. «Дашков и К», 2005

Размещено на Allbest.ru