Гамильтоновы циклы
Понятие и специфические особенности гамильтоновых циклов, их характеристики. Условия существования гамильтонова цикла. Задачи, связанные с поиском гамильтоновых циклов, методы их построения в графе. Алгебраический метод построения гамильтоновых циклов.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.04.2011 |
| Размер файла | 42,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
2
Размещено на http://www.allbest.ru/
Гамильтоновы циклы
Название «гамильтонов цикл» произошло от задачи «Кругосветное путешествие» предложенной ирландским математиком Вильямом Гамильтоном в 1859 году. Нужно было, выйдя из исходной вершины графа, обойти все его вершины и вернуться в исходную точку. Граф представлял собой укладку додекаэдра, каждой из 20 вершин графа было приписано название крупного города мира.
Основные понятия и определения
Если граф имеет простой цикл, содержащий все вершины графа по одному разу, то такой цикл называется гамильтоновым циклом, а граф называется гамильтоновым графом. Граф, который содержит простой путь, проходящий через каждую его вершину, называется полугамильтоновым. Это определение можно распространить на ориентированные графы, если путь считать ориентированным.
Гамильтонов цикл не обязательно содержит все ребра графа. Ясно, что гамильтоновым может быть только связный граф и, что всякий гамильтонов граф является полугамильтоновым. Заметим, что гамильтонов цикл существует далеко не в каждом графе.
Замечание.
Любой граф G можно превратить в гамильтонов граф, добавив достаточное количество вершин. Для этого, например, достаточно к вершинам v1,…, vp графа G добавить вершины u1,…, up и множество ребер {(vi, ui)}{(ui, vi+1)}.
Степенью вершины v называется число ребер d(v), инцидентных ей, при этом петля учитывается дважды. В случае ориентированного графа различают степень do(v) по выходящим дугам и di(v) - по входящим.
Условия существования гамильтонова цикла
В отличие от эйлеровых графов, где имеется критерий для графа быть эйлеровым, для гамильтоновых графов такого критерия нет. Более того, задача проверки существования гамильтонова цикла оказывается NP-полной. Большинство известных фактов имеет вид: «если граф G имеет достаточное количество ребер, то граф является гамильтоновым». Приведем несколько таких теорем.
Теорема Дирака. Если в графе G (V, E) c n вершинами (n ? 3) выполняется условие d(v) ? n/2 для любого vV, то граф G является гамильтоновым.
Доказательство.
От противного. Пусть G - не гамильтонов. Добавим к G минимальное количество новых вершин u1, …, un, соединяя их со всеми вершинами G так, чтобы G':= G + u1 + … + un был гамильтоновым.
Пусть v, u1, w, …, v - гамильтонов цикл в графе G', причем vG, u1G', u1G. Такая пара вершин v и u1 в гамильтоновом цикле обязательно найдется, иначе граф G был бы гамильтоновым. Тогда wG, w {u1,…, un}, иначе вершина u1 была бы не нужна. Более того, вершина v несмежна с вершиной w, иначе вершина u1 была бы не нужна.
Далее, если в цикле v, u1, w, …, u', w', …, v есть вершина w', смежная с вершиной w, то вершина v' несмежна с вершиной v, так как иначе можно было бы построить гамильтонов цикл v, v', …, w, w', …, v без вершины u1, взяв последовательность вершин w, …, v' в обратном порядке. Отсюда следует, что число вершин графа G', не смежных с v, не менее числа вершин, смежных с w. Но для любой вершины w графа G d(w) ? p/2+n по построению, в том числе d(v) ? p/2+n. Общее число вершин (смежных и не смежных с v) составляет n+p-1. Таким образом, имеем:
n+p-1 = d(v)+d(V) ? d(w)+d(v) ? p/2+n+p/2+n = 2n+p.
Следовательно, 0 ? n+1, что противоречит тому, что n > 0.
Теорема Оре. Если число вершин графа G (V, E) n ? 3 и для любых двух несмежных вершин u и v выполняется неравенство:
d(u)+d(v) ? n и (u, v)E, то граф G - гамильтонов.
Граф G имеет гамильтонов цикл если выполняется одно из следующих условий:
Условие Поша: d(vk) ? k+1 для k < n/2.
Условие Бонди: из d(vi) ? i и d(vk) ? k => d(vi)+d(vk)?n (k?i)
Условие Хватала: из d(vk) ? k ? n/2 => d(vn-k) ? n-k.
Далее, известно, что почти все графы гамильтоновы, то есть
где H(p) - множество гамильтоновых графов с p вершинами, а G(p) - множество всех графов с p вершинами. Таким образом, задача отыскания гамильтонова цикла или эквивалентная задача коммивояжера являются практически востребованными, но для нее неизвестен (и, скорее всего не существует) эффективный алгоритм решения.
Пример графа, когда не выполняется условие теоремы Дирака, но граф является гамильтоновым.
N = 8; d(vi) = 3; 3 ? 8/2 = 4 не гамильтонов граф, но существует гамильтонов цикл: M = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1)
Задачи, связанные с поиском гамильтоновых циклов
В ряде отраслей промышленности возникает следующая задача планирования. Нужно произвести n продуктов, используя единственный тип аппаратуры. Аппарат должен быть перенастроен после того как был произведен продукт pi (но до того как начато производство продукта pj), в зависимости от комбинации (pi, pj). Стоимость перенастройки аппаратуры постоянна и не зависит от производимых продуктов. Предположим, что эти продукты производятся в непрерывном цикле, так что после производства последнего из n продуктов снова возобновляется в том же фиксированном цикле производство первого продукта.
Возникает вопрос о том, может ли быть найдена циклическая последовательность производства продуктов pi (i=1,2,…, n), не требующая перенастройки аппаратуры. Если представить эту задачу в виде ориентированного графа, то ответ на поставленный вопрос зависит от того, имеет ли этот ориентированный граф гамильтонов цикл или нет.
Если не существует циклической последовательности продуктов, не требующей перенастройки аппаратуры, то какова должна быть последовательность производства с наименьшими затратами на перенастройку, т.е. требующая наименьшего числа необходимых перенастроек?
Таким образом, мы рассмотрим следующие две задачи.
Задача 1. Дан ориентированный граф G, требуется найти в G гамильтонов цикл (или все циклы), если существует хотя бы один такой цикл.
Задача 2. Дан полный ориентированный цикл G, дугам которого приписаны произвольные веса C=[cij], найти такой гамильтонов цикл, который имеет наименьший общий вес. Следует отметить, что если ориентированный граф G не полный, то его можно рассматривать как полный ориентированный граф, приписывая отсутствующим дугам бесконечный вес.
Алгоритмы решения задачи коммивояжера и ее вариантов имеют большое число практических приложений в различных областях человеческой деятельности. Рассмотрим, например, задачу в которой грузовик выезжает с центральной базы для доставки товаров данному числу потребителей и возвращается назад на базу. Стоимость перевозки пропорциональна пройденному грузовиком расстоянию, и при заданной матрице расстояний между потребителями маршрут с наименьшими транспортными затратами получается как решение соответствующей задачи коммивояжера. Аналогичные типы задач возникают при сборе почтовых отправлений из почтовых ящиков, составлении графика движения школьных автобусов по заданным остановкам и т.д. Задача очень легко обобщается и на тот случай, когда доставкой (сбором) занимаются несколько грузовиков, хотя эту задачу можно также переформулировать как задачу коммивояжера большей размерности. Другие приложения включают составление расписания выполнения операций на машинах, проектирование электрических сетей, управление автоматическими линиями и т.д.
Очевидно, что сформулированная выше задача (1) является частным случаем задачи (2). В самом деле, приписывая случайным образом дугам заданного ориентированного графа G конечные веса, получаем задачу коммивояжера. Если решение для этой задачи, т.е. кратчайший гамильтонов цикл, имеет конечное значение, то это решение является гамильтоновым циклом ориентированного графа G (т.е. ответом на задачу 1). Если же решение имеет бесконечное значение, то G не имеет гамильтонова цикла.
С другой стороны можно дать еще одну интерпретацию задачи 1). Рассмотрим снова полный ориетированный граф G1 с общей матрицей весов дуг [cij] и рассмотрим задачу нахождения такого гамильтонова цикла, в котором самая длинная дуга минимальна. Эту задачу можно назвать минимаксной задачей коммивояжера. Тогда классическую задачу коммивояжера в той же терминологии можно было бы назвать минисуммной задачей коммивояжера. Покажем теперь, что задача (1) действительно эквивалентна минимаксной задаче коммивояжера.
В вышеупомянутом полном ориентированном графе G1 мы можем наверняка найти гамильтонов цикл. Пусть это будет цикл Ф1, и пусть вес самой длинной его дуги равен c1. Удалив из G1 любую дугу, вес которой не меньше c1, получим ориентированный граф G2. Найдем в ориентированном графе G2 гамильтонов цикл Ф2, и пусть вес его самой длинной дуги равен c2. Удалим из G2 любую дугу, вес которой не меньше c2, и так будем продолжать до тех пор, пока не получим ориентированный граф Gm+1, не содержащий никакого гамильтонова цикла. Гамильтонов цикл Фm в Gm (с весом cm) является тогда по определению решением минимаксной задачи коммивояжера, так как из отсутствия гамильтонова цикла в Gm+1 следует, что в G1 не существует никакого гамильтонова цикла, не использующего по крайней мере одну дугу с весом, большим или равным cm.
Таким образом, алгоритм нахождения гамильтонова цикла в ориентированном графе решает также минимаксную задачу коммивояжера. Наоборот, если мы располагаем алгоритмом решения последней задачи, то гамильтонов цикл в произвольном ориентированном графе G может быть найден с помощью построения полного ориентированного графа G1 с тем же самым множеством вершин, что и в G, дугам которого, соответствующим дугам из G, приписаны единичные веса, а остальным дугам - бесконечные веса. Если решение минимаксной задачи коммивояжера для G1 имеет конечный вес (на самом деле равный единице), то в графе G может быть найден соответствующий гамильтонов цикл. Если же решение имеет бесконечный вес, то в графе G не существует никакого гамильтонова цикла. Следовательно, две указанные задачи можно рассматривать как эквивалентные, поскольку было продемонстрировано, что алгоритм нахождения гамильтонова цикла позволяет решать минимаксную задачу коммивояжера и наоборот.
Ввиду того, что обе сформулированные выше задачи (1) и (2) часто встречаются в практических ситуациях и (как мы увидим позже) задачу (1) саму по себе решить намного проще, чем как подзадачу задачи (2), мы обе эти задачи рассмотрим по отдельности.
Методы построения гамильтоновых циклов в графе
Пока неизвестно никакого простого критерия или алгебраического метода, позволяющего ответить на вопрос, существует или нет в произвольном графе G гамильтонов цикл. Критерии существования, данные выше, представляют теоретический интерес, но являются слишком общими и не пригодны для произвольных графов, встречающихся на практике. Алгебраические методы определения гамильтоновых циклов не могут быть применены с более чем несколькими десятками вершин, так как они требуют слишком большого времени работы и большой памяти компьютера. Более приемлемым является способ Робертса и Флореса, который не предъявляет чрезмерных требований к памяти компьютера, но время в котором зависит экспоненциально от числа вершин в графе. Однако другой неявный метод перебора имеет для большинства типов графов очень небольшой показатель роста времени вычислений в зависимости от числа вершин. Он может быть использован для нахождения гамильтоновых циклов в очень больших графах.
гамильтоновый граф цикл алгебраический
Алгебраический метод построения гамильтоновых циклов
Этот метод включает в себя построение всех простых цепей с помощью последовательного перемножения матриц. «Внутреннее произведение вершин» цепи x1, x2, …, xk-1, xk определяется как выражение вида x2*x3* … xk-1, не содержащее две концевые вершины x1 и xk. «Модифицированная матрица смежности» B=[в (i, j)] - это (nЧn) - матрица, в которой в (i, j) - xj, если существует дуга из xi в xj и нуль в противном случае. Предположим теперь, что у нас есть матрица PL = [pL(i, j)], где pL(i, j) - сумма внутренних произведений всех простых цепей длины L (L?1) между вершинами xi и xj для xi?xj. Положим pL(i, i)=0 для всех i. Обычное алгебраическое произведение матриц определяется как
B*PL=P'L+1=[p'L+1(s, t)]
т.е. p'L+1(s, t) является суммой внутренних произведений всех цепей из xs в xt длины l+1. Так как все цепи из xk в xt, представленные внутренними произведениями из pL(k, t), являются простыми, то среди цепей, получающихся из указанного выражения, не являются простыми лишь те, внутренние произведения которых в pL(k, t) содержат вершину xs. Таким образом, если из p'L+1(s, t) исключить все слагаемые, содержащие xs (а это можно сделать простой проверкой), то получим pL+1(s, t). Матрица PL+1=[pL+1(s, t)], все диагональные элементы которой равны 0, является тогда матрицей всех простых цепей длины L+1.
Вычисляя затем B*PL+1, находим PL+2 и т.д., пока не будет построена матрица Pn-1, дающая все гамильтоновы цепи (имеющие длину n-1) между всеми парами вершин. Гамильтоновы циклы получаются тогда сразу из цепей в Pn-1 и тех дуг из G, которые соединяют начальную и конечную вершины каждой цепи. С другой стороны, гамильтоновы циклы даются членами внутреннего произведения вершин, стоящими в любой диагональной ячейке матрицы B*Pn-1 (все диагональные элементы этой матрицы одинаковые).
Очевидно, что в качестве начального значения матрицы P (т.е. P1) следует взять матрицу смежности A графа, положив все ее диагональные элементы равными нулю.
Недостатки этого метода совершенно очевидны. В процессе умножения матриц (т.е. когда L увеличивается) каждый элемент матрицы PL будет состоять из все большего числа членов вплоть до некоторого критического значения L, после которого число членов снова начнет уменьшаться. Это происходит вследствие того, что для малых значений L и для графов, обычно встречающихся на практике, число цепей длины L+1, как правило, больше, чем число цепей длины L, а для больших значений L имеет место обратная картина. Кроме того, так как длина каждого члена внутреннего произведения вершин увеличивается на единицу, когда L увеличивается на единицу, то объем памяти, необходимый для хранения матрицы PL, растет очень быстро вплоть до максимума при некотором критическом значении L, после которого этот объем снова начинает уменьшаться.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Основные понятия и свойства эйлеровых и гамильтоновых цепей и циклов в теории графов. Изучение алгоритма Дейкстры и Флойда для нахождения кратчайших путей в графе. Оценки для числа ребер с компонентами связанности. Головоломка "Кенигзберзьких мостов".
курсовая работа [2,4 M], добавлен 08.10.2014Общее понятие теоремы Эйлера, этапы ее доказательства. Необходимые и достаточные условия существования эйлерова цикла. Сущность задачи о построении каркаса куба. Алгоритм Флери построения эйлерова цикла. Обход полуэйлерова графа с нечетной вершины.
презентация [27,1 K], добавлен 12.04.2014Эйлеровы цепи и циклы, теоремы. Алгоритм построения эйлерова цикла. Обоснование алгоритма. Нахождение кратчайших путей в графе. Алгоритм Форда отыскания кратчайшего пути. Задача отыскания кратчайших расстояний между всеми парами вершин. Алгоритм Флойда.
реферат [108,4 K], добавлен 01.12.2008Понятие "граф" и его матричное представление. Свойства матриц смежности и инцидентности. Свойства маршрутов, цепей и циклов. Задача нахождения центральных вершин графа, его метрические характеристики. Приложение теории графов в областях науки и техники.
курсовая работа [271,1 K], добавлен 09.05.2015Нахождение особых точек уравнений, определение их типов, построение фазовых траекторий в окрестности каждой особой точки. Исследование циклических траекторий на изохронность, устойчивости нулевого решения, доказывание существования циклов в уравнениях.
контрольная работа [457,9 K], добавлен 23.09.2010Модельная задача уравнения колебаний струны и деформации системы из трех струн. Вариационные методы решения: экстремум функционала, пробные функции, метод Ритца. Подпространства сплайнов и тестирование программы решения системы алгебраических уравнений.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 29.06.2012Ориентированные и неориентированные графы: общая характеристика, специальные вершины и ребра, полустепени вершин, матрицы смежности, инцидентности, достижимости, связности. Числовые характеристики каждого графа, обход в глубину и в ширину, базис циклов.
курсовая работа [225,5 K], добавлен 14.05.2012Обзор и характеристика различных методов построения сечений многогранников, определение их сильных и слабых сторон. Метод вспомогательных сечений как универсальный способ построения сечений многогранников. Примеры решения задач по теме исследования.
презентация [364,3 K], добавлен 19.01.2014Граф как совокупность объектов со связями между ними. Характеристики ориентированного и смешанного графов. Алгоритм поиска кратчайшего пути между вершинами, алгоритм дейкстры. Алгебраическое построение матрицы смежности, фундаментальных резервов и циклов.
методичка [29,4 M], добавлен 07.06.2009Системная модель сложной организационной системы "Неврологическая лечебно-диагностическая клиника". Алгебраический и итерационный метод восстановления функций по их проекциям. Решение задачи восстановления функции с носителем в круге и в эллипсе.
дипломная работа [4,1 M], добавлен 21.08.2011
