Системы линейных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Одной из важнейших и наиболее распространённых задач вычислительной математики является задача решения систем линейных алгебраических уравнений. К ним часто приходят при исследовании самых различных проблем науки и техники, в частности, приближенное решение дифференциальных уравнений обыкновенных и в частных производных сводится к решению алгебраических систем. Число неизвестных n может достигать нескольких десятков, сотен и даже тысяч. К решению систем линейных уравнений сводятся такие группы задач:

- задачи механики (статические, теплотехнические);

- задачи из геодезии, связанные с построением карт на основании данных геодезической съемки;

- системы линейных уравнений - основной аппарат при нахождении значений коэффициентов в эмпирических формулах;

- задачи приближенного решения уравнений, имеющих большое распространение в высшей математике;

- системы линейных уравнений широко используются в области физики и смежных с ней наук: теории относительности, атомной физике, при составлении прогнозов погоды и т.д.

Перечисленные задачи не исчерпывают всех случаев использования систем линейных уравнений, но обнаруживают, насколько часто приходится сталкиваться при решении задач математики и естествознания с необходимостью исследовать и точно или приближенно решить систему линейных уравнений.

В данной работе рассматриваются методы решения систем линейных уравнений (СЛУ).

1. Системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений (СЛУ) различаются по числу уравнений и числу неизвестных. Прежде всего, нужно отметить, что совсем не обязательно, чтобы число уравнений m совпадало с числом неизвестных n, как это иногда ошибочно заключают из курса элементарной алгебры. Наряду с системами, в которых выполняется равенство m=n, возможны системы, в которых может иметь место любое из неравенств m>n или m<n. В том частном случае, когда имеет место равенство m=n, это общее значение называется порядком системы. В средней школе основное внимание уделялось системам второго и третьего порядков, в данной работе наряду с такими системами рассмотрены системы более высоких порядков, произвольного порядка n, и системы, в которых m?n.

Системы с небольшим конкретным числом неизвестных (2,3,4 и т.д.) записываются, как в элементарной алгебре - последними буквами латинского алфавита (x, y, z, u, v, w); коэффициенты при неизвестных и свободные члены - первыми буквами того же алфавита (a, b, c, d, e), причем каждой из них присваиваются указатели или индексы, показывающие номер уравнения, в которое входит этот коэффициент или свободный член. Так, системы второго и третьего порядков записываются в виде:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

(1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

(2)

В случае систем с произвольным числом неизвестных n такая система обозначений становится неудобной, так как трудно с помощью букв выразить, что число неизвестных равно точно n, какие именно неизвестное занимает в уравнении первое, второе и т.д. место. В этом случае удобнее применить двухиндексную систему обозначений, принятую в высшей алгебре. Неизвестные обозначаются одной и той же буквой (обычно x), которой присваивается индекс, указывающий номер неизвестной в уравнениях системы. Свободные члены обозначаются одной и той же буквой с индексом, который должен указать номер уравнения, в которое входит соответствующий свободный член. Наконец, коэффициенты при неизвестных также обозначаются одной и той же буквой (a, b, c) с двумя индексами, из которых первый должен указать на номер уравнения, а второй - на номер неизвестного, при котором находится данный коэффициент. В соответствии с этими условиями система произвольного порядка n записывается в общем виде так:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

(3)

а система m уравнений с n неизвестными:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

(4)

Решением СЛУ называется такая совокупность значений неизвестных, входящих в данную систему, которая, будучи подставлена вместо неизвестных в уравнения системы обращает каждое из них в числовое равенство (или тождество, если уравнения содержат буквенные выражения, которые считаются неизвестными). Необходимо при этом помнить, что хотя в совокупность значений неизвестных, дающую решение системы, входит столько чисел (выражений), сколько имеется неизвестных (n?2), но такая совокупность принимается за одно решение; так, например, система чисел x=2, y=-1, z=4 является решением, при том одним, системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Другим решением этой системы будет система чисел x=3, y=3, z=-7.

Очень важна классификация систем по количеству имеющихся у них решений. Из элементарной алгебры уже известно, что система может иметь более одного решения, но может также не иметь ни одного решения. Так как других случаев вообще не может быть, то приходим к такой классификации систем по количеству решений:

- системы, имеющие одно и только одно решение; такие системы называются определенными;

- системы, не имеющие одно и только одно решение; такие системы называются противоречивыми или несовместными;

- системы, имеющие более одного решения; такие системы называются неопределенными. Любая неопределенная система имеет бесконечно много решений.

Системы определенные и неопределенные носят также общее название совместных систем. Любая совместная система имеет, по крайней мере, одно решение.

Для практического применения наиболее важны определенные системы. Но если СЛУ не является определенной, то этому могут быть две причины: либо она вообще не имеет решений, либо она имеет более одного решения.

Две системы называются равносильными или эквивалентными, если любое решение первой системы является также решением второй системы и, обратно, всякое решение второй системы будет также решением первой системы.

Если в системе все свободные члены равны нулю, то система называется однородной. Особенность такой системы состоит в том, что она всегда совместна, так как ей безусловно удовлетворяет решение, состоящее из нулевых значений неизвестных. Это очевидное решение кратко называют нулевым. Если однородная система - определенная, то нулевое решение является единственным ее решением, если же однородная система - неопределенная, то она наряду с нулевым содержит также, по крайней мере, еще одно ненулевое решение (т.е. такое решение, которое имеет в своем составе хотя бы одно число, отличное от нуля). На практике, как правило, представляют интерес именно ненулевые решения однородных систем.

Пусть в каждом уравнении системы выделили то неизвестное, номер которого совпадает с номером уравнения в системе (например, в системе (2) х в первом уравнении, у - во втором, z - в третьем). Выделенные неизвестные называются диагональными неизвестными, а стоящие перед ними коэффициенты - диагональными коэффициентами.

Так, например, в СЛУ (3) диагональными будут коэффициенты, у которых оба индекса совпадают (а₁₁, а₂₂,…, а_nn).

2. Методы решения СЛУ

2.1 Метод Гаусса (метод последовательного исключения)

Наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной.

Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений [1].

Рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

(5)

Для определенности положим, что коэффициент отличен от нуля. Если это не так, то поменяем строки местами или сделаем перенумерацию переменных. Преобразуем систему (5), исключая переменную из всех уравнений, кроме первого. Для этого обе части первого уравнения умножим на и вычтем из соответствующих частей второго уравнения, затем обе части первого уравнения умножим на и вычтем из соответствующих частей третьего уравнения и т.д. В результате придем к новой СЛУ с n неизвестными (6), которая является эквивалентной данной, то есть они или обе несовместны или же обе совместны и обладают одними и теми же решениями.

 (6)

Считаем, что среди этих уравнений нет таких, все коэффициенты левых частей которых равны нулю, эти уравнения будем исключать, если , в противном случае система несовместна.

Далее первое уравнение не трогаем, и начинаем работать со вторым. Если коэффициент 0, то начинаем выполнять преобразования, аналогичные предыдущим, в противном случае поменяем строки местами или сделаем перенумерацию переменных. Преобразуем (6), вычитая из обеих частей третьего уравнения и из каждого следующего уравнения обе части второго уравнения, умноженные на числа: соответственно. Этим мы исключим неизвестную из всех уравнений кроме первых двух. В результате получаем систему (7), эквивалентную системе (6), а, следовательно, и системе (5).

(7)

Система (7) содержит уравнений, где т. к. некоторые уравнения могли быть отброшенными.

Данные преобразования выполняем до тех пор, пока не получим СЛУ (8):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

(8)

В этом случае система совместна, определена при не определена при

Если то (8) имеет вид:

линейный уравнение решение метод

(9)

Система (9) называется системой треугольного (ступенчатого) вида. Она обладает единственным решением, для нахождения которого необходимо из последнего уравнения найти , затем, двигаясь вверх по уравнениям системы определить значения остальных переменных, подставляя уже найденные переменные. Таким образом, система (9), а значит и эквивалентная ей (5) совместны и определены.

Если , то говорят, что система (8) имеет трапецеидальный вид и для нее существует бесчисленное множество решений. Чтобы найти общее решение данной системы неизвестные , двигаясь по системе (8) снизу вверх, выражаем через переменные.

называются параметрами или свободными неизвестными. Придавая параметрам различные числовые значения, получим множество частных решений системы.

Данный метод применим к ОСЛУ. Однородная система всегда совместна, так как обладает нулевым решением (0,0 0). Если число неизвестных больше числа уравнений, то система неопределенна.

Рассмотренный метод также называют методом последовательного исключения неизвестных.

2.2 Решение СЛУ по правилу Крамера

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Свойства определителей состоят в следующем [1]:

1. Величина определителя не изменится при его транспонировании (перемене мест строк и столбцов).

2. Знак определителя изменится на противоположный, если поменять местами два его параллельных ряда.

3. Определитель, два параллельных ряда которого совпадает, равен нулю.

4. Определитель равен сумме произведений элементов любого ряда определителя на их алгебраические дополнения.

5. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одного ряда, можно вынести за знак определителя.

6. Если определитель ? имеет ряд, составленный из нулей, то ? =0.

7. Если элементы какого-либо ряда определителя ? можно представить в виде суммы, то ? также можно представить в виде суммы определителей.

8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения, отвечающие элементам другого параллельного ряда, равна нулю.

9. Величина определителя не изменится, если к элементам любого ряда прибавить элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило) Крамера

Если определитель системы ? ? 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁, 2-ое уравнение - на A₂₁ и 3-е - на A₃₁:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца.

Далее рассмотрим коэффициенты при x₂:

Таким образом, заметим, что если определитель системы ? ? 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

2.3 Матричный метод решения СЛУ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными [2]:

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A•X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т. к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ? 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A^-1, обратную матрице A:.

Поскольку A^-1A = E и E•X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A^-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A^-1B.

Список литературы

1. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Высшая математика: Учебник. - Д.: Сталкер, 1997. - 560 с.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов ВТУЗов. В 2-х ч. Ч.I. - 4-е изд., испр. и доп. - М.: Высш. шк., 1986. - 304 с., ил.

3. Куринной Г.Ч. Математика: Справочник. - Харьков: Фолио; М.: ООО «Издательство АСТ», 2000. - 464 с.

4. Маргулис Б.Е. Системы линейных уравнений. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. - 97 с.

Размещено на Allbest.ru