Ряды Фурье

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

«Ряды Фурье»

1. Теоретический материал

1.1 Тригонометрический ряд

Членами тригонометрических рядов служат тригонометрические функции и , взятые с числовыми коэффициентами. Тригонометрические функции, так же как и степенные, используются для разложения по ним функций.

Определение 1. Функциональный ряд вида

(1)

где , и вещественные числа, называется тригонометрическим рядом. (Свободный член обозначается для удобства некоторых дальнейших выкладок.)

Каждый член тригонометрического ряда является периодической функцией с периодом 2?. Действительно, постоянную можно, как известно, считать периодической функцией с каким угодно периодом, в частности с периодом 2?; и имеют период 2?; и , как известно, имеют период ?, следовательно, число 2? также является их периодом; вообще и имеют период, равный , и, следовательно число также является их периодом. Поэтому можно сказать, что если ряд (1) сходится, то его сумма является функцией с периодом 2?.

Рассмотрим одно свойство системы тригонометрических функций.

Определение 2. Система функций , ,…, заданных в некотором промежутке , называется ортогональной системой в , если

при

и (2)

при любом .

(Последнее неравенство означает, в частности, что ни одна из функций системы не есть тождественный нуль.)

Теорема. Система функций

, , , , ,…,, ,… (3)

является ортогональной системой в промежутке .

Доказательство. Проверим выполнение равенства (2) для функций системы (3). Для этого надо проверить непосредственным вычислением равенство нулю интегралов от произведений различных функций системы (3), то есть от произведения двух косинусов с разными аргументами, двух синусов с разными аргументами, произведения косинуса на синус (с любыми аргументами) и произведения любого синуса или любого косинуса из системы (3) на единицу, которая является первой функцией системы (3).

Итак, приведу указанные выкладки:

а)

б)

в) Пусть :



в силу пункта а), так как и - целые числа, отличные от нуля.

г) Пусть :

опять в силу пункта а).

д)

в силу пункта б) первый интеграл равен нулю; второй интеграл равен нулю в силу пункта б) при ; если же , то этот интеграл равен нулю потому, что подынтегральная функция тождественно равна нулю: .

Также проверяется и второе требование:

; ; .

Таким образом, теорема доказана.

1.2 Ряд Фурье

В первом параграфе было введено понятие ряда Тейлора. Так был назван специальный ряд, коэффициенты которого вычислялись по определенному правилу с помощью некоторой заданной функции . Из формулы видно, что эта функция должна быть обязательно бесконечно дифференцируемой. Таким образом, каждой бесконечно дифференцируемой функции ставился в соответствие ее ряд Тейлора.

В случае с тригонометрическими рядами, мы пойдем по такому же пути. Возьмем некоторую функцию, определенную в (а может быть, и в большем промежутке или даже на всей числовой оси), и составим с ее помощью следующие числа:

, , (1)

Определение. Тригонометрический ряд, коэффициентами которого служат числа (1), называется рядом Фурье функции , а сами числа (1) называются коэффициентами Фурье функции .

Для того чтобы можно было вычислить коэффициенты Фурье, нужно, очевидно, предположить, что функция интегрируема в , можно поставить в соответствие ее ряд Фурье:

~ (2)

вспомним теорему для ряда Тейлора.

Если функция разлагается в некотором промежутке в степенной ряд по степеням , то это разложение единственно.

То есть, если функция разлагается в степенной ряд, то этот степенной ряд есть ее ряд Тейлора. Введение рядов Фурье можно оправдать аналогичным утверждением.

Докажем предварительно следующее утверждение, относящееся к любому функциональному ряду.

Лемма. Если функциональный ряд сходится равномерно в и - некоторая ограниченная в функция, то ряд также равномерно сходится в .

Доказательство. Тот факт, что данный ряд равномерно сходится в означает следующее: для всякого найдется номер такой, что неравенство справедливо для всякого и для любого .

Так как по условию ограничена в , то существует число такое, что для всех .

Возьмем любое . Найдем по определению равномерной сходимости ряда номер такой, что для всех . Известно, что во всяком сходящемся ряде множитель, общий для всех членов ряда, можно «выносить за скобку». Поэтому справедливо следующее равенство:

Теперь, используя предыдущее неравенство, получаем:

Итак, для и для всех . Ввиду произвольности это и означает, что ряд равномерно сходится в .

Теорема. Если функция разлагается на в равномерно сходящийся тригонометрический ряд, то этот тригонометрический ряд есть ее ряд Фурье.

Доказательство. Пусть для

(3)

и ряд сходится равномерно в . проинтегрируем обе части равенства (3) в . При вычислении интеграла от правой части можно по условию теоремы проинтегрировать ряд почленно:

По теореме (свойство ортогональности системы тригонометрических функций) интегралы под знаком суммы равны нулю, и, таким образом, получаем:

откуда , то есть (см. формулу (1)).

Теперь умножим обе части равенства (3) на , где - любое натуральное число, и проинтегрируем опять в . Умножение всех членов равномерно сходящегося ряда на ограниченный множитель в силу леммы не нарушает равномерной сходимости ряда, и ряд в правой части (3) можно опять интегрировать почленно:

(4)

в силу теоремы из § 1 интеграл в первом слагаемом равен нулю, первый из интегралов в скобках равен нулю при , а второй - всегда равен нулю. Следовательно, из всего ряда в правой части (4) остается только слагаемое с номером :

Таким образом, равенство (4) принимает вид , откуда

,

то есть (см. (1)).

Таким же образом, умножая обе части равенства (3) на и интегрируя почленно, получаем, что .

Итак, коэффициенты тригонометрического ряда (3) совпадают с коэффициентами Фурье функции , то есть ряд (3), действительно, является рядом Фурье функции .

1.3 Особенности ряда Фурье четной и нечетной функции

1. Пусть функция задана на и четная.

Проверим, что в этом случае коэффициенты Фурье функции равны нулю. Так как - четная функция, то произведение - нечетная функция, и в силу свойства интеграла от нечетной функции по промежутку, симметричному относительно нуля, можно сказать, что

, то есть (1)

Формулам для коэффициентов можно придать несколько иной вид. Действительно, произведение - четная функция и по свойству интеграла от четной функции по промежутку, симметричному относительно нуля, можно написать:

Итак,

, (2)

Таким образом, ряд Фурье, соответствующий четной функции, содержит только члены с косинусом и свободный член:

~

2. Пусть задана на и нечетная.

Используя рассуждения, аналогичные приведенным выше, можно показать, что в этом случае

(3)

(4)

и поэтому нечетной функции соответствует ряд Фурье, содержащий только члены с синусами:

~.

1.4 Сходимость ряда Фурье

Соотношение (2) из § 2 оставляет открытым вопрос о том, сходится ли ряд Фурье функции в , и, если сходится, то к какой функции он сходится: к функции , породившей этот ряд, или к какой-либо другой функции?

Для сходимости ряда Фурье во всех точках промежутка и для того, чтобы сумма ряда Фурье Вов всем промежутке, за исключением лишь конечного числа точек, совпадала с функцией , породившей этот ряд Фурье, оказываются достаточными, например, следующие условия, наложенные на функцию :

Теорема (Дирихле). Если функция такова, что

1) имеет в разве лишь конечное число точек разрыва первого рода.

2) имеет конечный правосторонний предел в точке и конечный левосторонний предел в точке .

3) Промежуток можно разбить на конечное число частей, внутри каждой из которой изменяется монотонно, то ряд Фурье функции сходится в промежутке , причем его сумма

а) равна числу

(1)

если

б) равна числу

(2)

при и при .

Доказательство этой теоремы я приводить не буду, так как оно требует довольно длительных и сложных рассуждений.

Замечание 1. Из а) следует, что сумма ряда Фурье во всякой точке , в которой непрерывна, равна числу . Действительно, если непрерывна в точке , то и значение выражения (1) совпадает со значением . Следовательно, сумма ряда Фурье совпадает с функцией всюду, где непрерывна.

Замечание 2. Так как члены ряда Фурье являются периодическими функциями с периодом (как было указано в § 1), то из теоремы Дирихле следует, что ряд Фурье при указанных условиях сходится на всей оси .

Замечание 3. Если функция , для которой составляется ряд Фурье, сама является периодической функцией с периодом (и удовлетворяет условиям теоремы Дирихле), то утверждения 1), 2) и 3) этой теоремы справедливы не только в промежутке , но и в любом промежутке , где .

Таким образом, в любой точке числовой оси, отличной от , сумма ряда Фурье равна значению выражения (1) (если непрерывна в точке , то значение (1) совпадает с ), в точках вида сумма ряда Фурье равна значению выражения (2).

Замечание 4. Если функция , для которой составляется ряд Фурье, задана на всей числовой оси и непериодическая, то за пределами промежутка утверждения теоремы Дирихле уже не имеют места. Непериодическая функция - сумма ряда Фурье - не имеет ничего общего за пределами промежутка .

1.5 Рабочие формулы для разложения функции в ряд Фурье

Коэффициенты Фурье для функции :

Разложение в ряд по четного продолжения:



Разложение по нечетного продолжения:

.

2. Применение стандартной программы MatLab для вычисления коэффициентов ряда и получение его вида

2.1 Программа для вычисления коэффициентов ряда

ряд фурье тригонометрический matlab

Исследуемая функция:

F(t)=-sin (t/4), 0?t?2?

syms t;

a0=(1/pi)*int((-sin (t/4)), 0,2*pi);

sym2poly(a0)

ans =

-1.2732

syms n t;

I=int((-sin (t/4))*(cos (n*t/2)), 0,2*pi)

I=

-4*(2*n*sin (pi*n) - 1)/(1+2*n)/(-1+2*n)

an=(1/pi)*(-4*(2*n*sin (pi*n) - 1)/(1+2*n)/(-1+2*n));

syms n t;

I=int((-sin (t/4))*(sin (n*t/2)), 0,2*pi)

I =

8*n*cos (pi*n)/(-1+4*n^2)

bn=(1/pi)*(8*n*cos (pi*n)/(-1+4*n^2)).

2.2 Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье

%тригонометрический ряд Фурье с четырьмя приближениями

a0=-1.2732;

figure

x1=-2*pi:0.001:2*pi;

y1=-sin (x1/4);

t=-2*pi:0.001:2*pi;

k1=0;

for n=1;

an=(1/pi)*(-4*(2*n*sin (pi*n) - 1)/(1+2*n)/(-1+2*n));

bn=(1/pi)*(8*n*cos (pi*n)/(-1+4*n^2));

k1=k1+an*cos (n*t/2)+bn*sin (n*t/2);

end;

k2=0;

for n=1:2;

an=(1/pi)*(-4*(2*n*sin (pi*n) - 1)/(1+2*n)/(-1+2*n));

bn=(1/pi)*(8*n*cos (pi*n)/(-1+4*n^2));

k2=k2+an*cos (n*t/2)+bn*sin (n*t/2);

end;

k3=0;

for n=1:3;

an=(1/pi)*(-4*(2*n*sin (pi*n) - 1)/(1+2*n)/(-1+2*n));

bn=(1/pi)*(8*n*cos (pi*n)/(-1+4*n^2));

k3=k3+an*cos (n*t/2)+bn*sin (n*t/2);

end;

k4=0;

for n=1:4;

an=(1/pi)*(-4*(2*n*sin (pi*n) - 1)/(1+2*n)/(-1+2*n));

bn=(1/pi)*(8*n*cos (pi*n)/(-1+4*n^2));

k4=k4+an*cos (n*t/2)+bn*sin (n*t/2);

end;

f1=a0/2+k1;

f2=a0/2+k2;

f3=a0/2+k3;

f4=a0/2+k4;

plot (t, f1,'r', t, f2,'k', t, f3,'g', t, f4,'m', x1, y1,'b');

legend ('1-e priblizhenie', '2-e priblizhenie', '3-e priblizhenie', '4-e priblizhenie', 'f(t)=-sin (t/4)');

function varargout = scribemethod(varargin)

% SCRIBEMETHOD - gets the scribe object that contains the hg object

% h and calls that objects method with fcn and varargin

% Copyright 1984-2003 The MathWorks, Inc.

% nargin can be 2 or 3 (not called from function handle callback) or 4 or 5

% (from function handle callback).

n=1;

if nargin>3

n=3;

end

h = varargin{n};

fcn = varargin {n+1};

if nargin>n+1

args = varargin (n+2:nargin);

else

args = {};

end

if ~ishandle(h), return; end

h = handle(h);

if isequal (get(h, 'Type'), 'figure')

% if a figure is passed its a scribe overlay method

obj = handle (getappdata(double(h), 'Scribe_ScribeOverlay'));

elseif isa (h, 'scribe.scribeaxes')

% scribeaxes, colorbar and legend it is the object itself

obj = h;

else

% other scribe objects it is their parent group

obj = handle (get(h, 'Parent'));

end

if ~isempty(obj) && ishandle(obj)

fig = ancestor (double(obj), 'figure');

if isappdata (fig, 'scribeActive')

if nargout==0

obj.methods (fcn, args{:});

else

[varargout {1:nargout}] = obj.methods (fcn, args{:});

end

end

end

2.3 Разложение функции по косинусам (четное продолжение)

%разложение в ряд четного продолжения

a0=-1.2732;

figure

c1=0;

for n=1;

an=(1/pi)*(-4*(2*n*sin (pi*n) - 1)/(1+2*n)/(-1+2*n));

c1=c1+an*cos (n*t/2);

end;

c2=0;

for n=1:2;

an=(1/pi)*(-4*(2*n*sin (pi*n) - 1)/(1+2*n)/(-1+2*n));

c2=c2+an*cos (n*t/2);

end;

c3=0;

for n=1:3;

an=(1/pi)*(-4*(2*n*sin (pi*n) - 1)/(1+2*n)/(-1+2*n));

c3=c3+an*cos (n*t/2);

end;

c4=0;

for n=1:4;

an=(1/pi)*(-4*(2*n*sin (pi*n) - 1)/(1+2*n)/(-1+2*n));

c4=c4+an*cos (n*t/2);

end;

f1=a0/2+c1;

f2=a0/2+c2;

f3=a0/2+c3;

f4=a0/2+c4;

x1=-2*pi:0.001:0;

y1=sin (x1/4);

x2=0:0.001:2*pi;

y2=-sin (x2/4);

plot (t, f1,'r', t, f2,'k', t, f3,'g', t, f4,'m', x1, y1,'b', x2, y2,'b');

legend ('1-e priblizhenie', '2-e priblizhenie', '3-e priblizhenie', '4-e priblizhenie', 'ishodnaya funktsiya', 'chyotnoe prodolzhenie').

Размещено на Allbest.ru