Различные интерпретации геометрии Евклида

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Различные интерпретации геометрии Евклида

Содержание

Введение

Глава 1. Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии

1.1 О «Началах» Евклида

1.2 Аксиоматика Д. Гильберта

1.3 Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта

Глава 2. Требования, предъявляемые к системе аксиом

2.1 Непротиворечивость системы аксиом

2.2 Независимость аксиоматической системы

2.3 Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом

Глава 3. Интерпретации геометрии Евклида

3.1 Интерпретация плоской геометрии Евклида

3.2 Числовая модель планиметрии

3.3 Интерпретация Федорова

3.4 Аналитическая интерпретация геометрии Евклида

3.5 Физическая модель геометрии Евклида

3.6 Интерпретация Пуанкаре планиметрии Евклида

Заключение

Список литературы

Введение

Согласно пониманию Гилберта категории основных объектов (точки, прямые и плоскости), а также основные отношения между ними могут быть самой различной природы, лишь бы удовлетворялись аксиомы. Отсюда вытекает возможность построения модели (интерпретации) одной и той же геометрической системы, исходя из конкретных различных значений категорий основных объектов [3, c. 106].

Говоря подробнее, основные объекты и отношения аксиоматики сопоставляются объектам модели и определенным, имеющимся между ними отношениям. Если при этом для объектов и отношений модели выполняется то, что говорится в аксиомах, то мы получаем интерпретацию аксиом. Или, как еще говорят, аксиомы реализуются на данной модели.

Таким образом мы определили, что

- объектом исследования являются различные интерпретации геометрии,

- предметом исследования - различные интерпретации геометрии Евклида,

- задачи исследования:

- описать труд Евклида «Начала»,

- выделить связи его аксиоматики с аксиоматикой Гильберта Д.,

- освятить требования, предъявляемые к системам аксиом,

Описать различные интерпретации геометрии Евклида.

Таким образом, мы можем приступить к реализации нашего исследования.

Глава 1.Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии

1.1 О «Началах» Евклида

Александрийский ученый Евклид, живший в третьем веке до нашей эры, впервые в истории предпринял попытку глобальной систематизации математических фактов. Его “Начала” состояли из 13 книг, которые представляли собой, по существу, главы, посвященные отдельным вопросам математики. В них дано безупречное для того времени построение геометрии. Евклид начинал изложения с определений, постулатов и аксиом. Затем идут теоремы, которые представляют собой умозаключения, основанные на постулатах, аксиомах, определениях и ранее доказанных теоремах.

Математические построения начинаются с 23 определений. Приведем некоторые из них:

Точка есть то, что не имеет частей.

Линия же - длина без ширины.

Концы линии - точки.

Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.

Параллельные прямые - это прямые которые находятся в одной плоскости и при неограниченном продолжении ни с той, ни с другой стороны не пересекаются и т.д.

Далее Евклид излагает постулаты и аксиомы, формулировки которых представляют для нас лишь исторический интерес.

Постулаты:

От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

Каждую прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

Из любого центра можно описать окружность любым радиусом.

Все прямые углы равны между собой.

Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние по одну сторону углы, меньшие в сумме двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы в сумме меньше двух прямых.

Аксиомы:

Равные одному и тому же равны между собой.

Если к равным прибавляются равные, то целые будут равны.

Если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

Если к неравным прибавляются неравные, то целые будут не равны.

Удвоенные одного и того же равны между собой.

Половины одного и того же равны между собой.

Совмещающиеся друг с другом равны между собой.

Целое больше части.

Две прямые не содержат пространства.

Построения оснований геометрии были проделаны Евклидом с большим мастерством. “Начала” Евклида затмили сочинения его предшественников и на протяжении более чем двух тысяч лет “Начала” представляли образец математической строгости.

С точки зрения современной математики дедуктивные построения Евклида не отражают всех отношений между геометрическими элементами, часть определений логически не задействована, а сами доказательства опираются на ряд неопределяемых понятий [1, c.18-20].

Существуют различные объяснения роли аксиом и постулатов в “Началах”. Постулаты играют роль модельной аксиоматики, а аксиомы “Начал” являются прообразом аксиоматики действительных чисел. На интуитивном уровне “Начала” предвосхищают многие математические построения.

1.2 Аксиоматика Д. Гильберта

Появилась в 1899 г. и считается одним из современных аксиоматических обоснований евклидовой геометрии. Вся система аксиом состоит из 20 аксиом и содержит 26 требований, которые описывают 5 видов отношений между тремя геометрическими объектами - точками, прямыми и плоскостями. Отметим, что эти геометрические объекты - точки, прямые и плоскости никак не определяются, рассматриваются как первичные понятия, суть которых раскрывается через описываемые отношения. По типам отношений аксиомы образуют 5 групп и формируются следующим образом.

Группа 1. Аксиомы соединения. Эта группа аксиом описывает отношения инцидентности (связи и принадлежности) между точками, прямыми и плоскостям.

Для любых двух различных точек существует прямая, инцидентная этим точкам.

Для любых двух различных точек существует не более одной прямой инцидентной этим точкам.

Для каждой прямой существуют, по крайней мере, две точки, ей инцидентные. Существуют три точки, не инцидентные одной прямой.

Для любых трех точек, не инцидентных прямой, существует плоскость, инцидентная этим точкам. Для каждой плоскости существует, по крайней мере, одна точка, ей инцидентная.

Для трех различных точек, не инцидентных прямой, существует не более одной плоскости, инцидентной этим точкам.

Если две точки прямой инцидентны плоскости, то каждая точка этой прямой инцидентна плоскости (т.е. вся прямая инцидентна плоскости).

Если две плоскости имеют точку им инцидентную, то существует, по крайней мере, еще одна точка, им инцидентная.

Существуют четыре точки, не инцидентные одной плоскости.

Группа 2. Аксиомы порядка. Аксиомы этой группы определяют линейный порядок точек на прямой и понятие полуплоскости относительно прямой на плоскости. Первая аксиома содержит два требования.

Если. А, В, С - три точки, инцидентные прямой, и точка В лежит между точками А, С, то: а) точки А, В, С различны; б) точка В лежит между точками С, A.

Для любых двух точек А, В, инцидентных прямой а, существует точка С прямой а такая, что точка В лежит между точками А и С.

Для трех различных точек, инцидентных прямой, существуют не более одной из них, которая лежит между двумя оставшимися.

Для формулировки следующей аксиомы требуется дать некоторые определения, являющиеся логическими следствиями уже сформулированных аксиом 1-11.

Определение . Две точки на прямой А и В определяют отрезок.

Следствие. Согласно аксиомам 9-11 на этой прямой существуют точки, внешние и внутренние по отношению к отрезку АВ.

Определение. Совокупность трех точек А, В, С, не инцидентных одной прямой, и трех отрезков АВ, АС и ВС называется треугольником.

Аксиома Паша

Пусть задан треугольник АВС и в его плоскости прямая а, не проходящая через А, B, C. Если прямая а пересекает одну сторону АС треугольника, то она пересекает по крайней мере еще одну сторону.

Группа 3. Аксиомы конгруэнтности. Группы аксиом 1-3 позволяют доказать основные свойства отношения конгруэнтности между геометрическими фигурами, определить понятие движения в геометрии и установить признаки конгруэнтности геометрических фигур. Первая аксиома этой группы содержит два требования, а четвертая- три.

13. Пусть даны отрезок АВ а также прямая а/ и точка . точка с заданной стороны относительно точки такая, что отрезок АВ конгруэнтен отрезку (обозначим это ), требуется также, чтобы .

14.

15. Пусть АВ и ВС - отрезки на прямой , АВВС=В, тогда
и лежит между и .

16. Пусть есть угол с вершиной О. Для любой точки и любого выходящего из нее луча можно построить в заданной плоскости, инцидентной , по любую сторону от один и только один, второй луч такой, что .

Требуется также, чтобы (угол конгруэнтен самому себе) и

17. Пусть даны два треугольника АВС и таких, что , , тогда .

На основании аксиом конгруэнтности вводятся понятия прямого угла, смежных и вертикальных конгруэнтных углов, операции сравнения углов и отрезков. Отрезок АВ больше отрезка СD, обозначается АВ>СD, если при совмещении точек А и С и откладывании точек В и D по одну сторону от точки А на некоторой прямой, точка D будет лежать между А и С.

В этой группе аксиом доказываются три признака конгруэнтности треугольников, свойства равнобедренных и равносторонних треугольников и т.д. Справедлива также теорема о внешнем угле треугольника (известная еще Евклиду).

Теорема (о внешнем угле треугольника)

Внешний угол треугольника больше любого не смежного с ним угла треугольника.

Аксиомы 13-17 позволяют ввести операцию движения в геометрии.

Определение движения. Взаимно однозначное соответствие точек плоскости называется движением, если соответствующим парам точек , соответствуют конгруэнтные отрезки

Заметим, что в этой группе вместо аксиом 13-17 можно аксиоматически задать движение и некоторые его свойства. Тогда аксиомы 13-17 будут являться теоремами, которые доказываются на основании аксиом движения.

Таким образом, аксиомы 1-17 первых трех групп позволяют построить геометрию, в которой на прямой существует последовательность примыкающих друг к другу конгруэнтных отрезков, пронумерованных натуральным рядом. В этой геометрии есть конгруэнтные и правильные фигуры, определено понятие движения, совмещающего конгруэнтные фигуры и т. д.

Но в этой геометрии еще нет понятия параллельного переноса, не определено соответствие между действительными числами и точками прямой. Отсутствуют понятия длины отрезка, площади и объема геометрических фигур. Следовательно, в этой геометрии еще нет понятия расстояния и понятий близости и непрерывности, связанных со свойствами расстояния между точками. Хотя абстрактные понятия близости и непрерывности уже можно вести на языке шаровых окрестностей.

Действительно, шаром В (O, OА) с центром в точке О и радиусом ОА назовем все точки М такие, что ОМ<ОА. Далее, шар В (О, ОА1) B(О, ОА2), если ОА1<ОА2, таким образом, множество окрестностей точки О есть множество всех шаров В (О, ОРк ), k, где Рк- любая точка пространства. Определим последовательность точек МкВ (О,ОРк), k условиями а) и b):

а) ОР1>ОР2>…>ОРк>…, что означает последовательность вложенных шаров В(О,ОР1)В(О,ОР2)… В(О,ОРк) …;

b) МкВк+1 кN, что означает выбор каждой последующей точки в следующем вложенном шаре.

Используя лишь аксиомы I-III групп, мы не сможем установить существование предела у последовательности М1, М2, …, Мк, …, а в случае существования мы не сможем доказать его единственность.

Группа 4. Аксиомы непрерывности. Для описания свойства непрерывности расположения точек на прямой, определения длины отрезка и величины угла, установления взаимно однозначного соответствия между длинами всех отрезков и множеством действительных чисел вводим две следующие аксиомы.

18. Аксиома Архимеда. Пусть даны два произвольных отрезка АВ и СD; существует такое натуральное n, что n·СD>АВ (n·СD - обозначаем отрезок, полученный откладыванием отрезка СD n раз так, что конец предыдущего

откладывания есть начало следующего и два последовательных отрезка имеют только одну общую точку, рис. 1.).

19. Аксиома Кантора. Пусть на прямой дана последовательность отрезков, удовлетворяющая двум требованиям:

1) каждый последующий отрезок содержится в предыдущем,

2) не существует отрезка, принадлежащего всем отрезкам последовательности. Тогда существует точка, принадлежащая всем отрезкам последовательности.

Аксиомы непрерывности 18-19 в геометрии и аксиомы непрерывности Архимеда и Кантора действительных чисел позволяют установить взаимно однозначное соответствие между значениями длин всех отрезков и действительными числами так, что конгруэнтным отрезкам соответствуют равные значения длин.

Заметим, что геометрия, построенная на 19 аксиомах групп 1-4, называется абсолютной геометрией. В этой геометрии ещё нет понятия параллельного переноса, поэтому ей принадлежат те и только те утверждения, которые не используют явно или неявно свойства параллельности.

Конгруэнтные отрезки в абсолютной геометрии имеют равные длины, а конгруэнтные фигуры - равные числовые меры углов, площадей и объемов. Поэтому отношение двух фигур «быть конгруэнтными» в абсолютной геометрии превращается в числовые равенства длин, углов, площадей и объемов фигур или их частей.

В абсолютной геометрии определено расстояние (А,В) между любыми точками А и В, если определено понятие длины на прямой.

(А,В) = длине отрезка АВ.

Расстояние обладает свойствами:

(А,В) > 0АВ

(А,С) (А,В)+(В,С), А,В,С

Причем равенство выполняется только для точек А, В, С, лежащих на одной прямой так, что A<B<C.

Таким образом, абсолютная геометрия содержит понятия числовых равенств элементов фигур (сторон, углов и т. д.). В этой геометрии существуют понятия близости и непрерывности, основанные на понятии расстояния между точками фигур.

Группа 5. Аксиома параллельности

20. Через любую точку А, не инцидентную прямой “a” , можно провести в плоскости (определяемой этой точкой А и прямой “a”) не более одной прямой, не пересекающейся с “a”.

Обратим внимание на то, что через точку А вне прямой “a” можно провести хотя бы одну прямую “b”, не пересекающуюся с “a”, аb =, мог доказать еще Евклид.

Действительно, опустим перпендикуляр АВ на прямую “a”. Затем восстановим в точке А перпендикуляр “b” к прямой АВ (рис. 2.).

Если существует пересечение прямых “a” и “b” в точке Р, то в треугольнике АВР имеем прямой угол В равный внешнему прямому же углу при вершине А. Это противоречит теореме о внешнем угле треугольника (доказанной на основании I-III групп аксиом!). Следовательно, “b””а”=.

Итак, одна прямая, проходящая через точку и не пересекающая заданную прямую, существует. Но другую, отличную от этой, прямую никто построить не мог. Это породило иллюзию, что аксиома параллельности (V постулат в «началах» Евклида) может быть доказана. На протяжении почти двух тысяч лет геометры пытались вывести V постулат из остальных, рассуждая от противного. Лишь в XIX в. Николаю Ивановичу Лобачевскому (1792-1856) удалось построить мыслимую непротиворечивую геометрию, основанную на отрицании V постулата[8, c 55].

1.3 Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта

Огромное значение аксиоматики Д. Гильберта для всей математики, и геометрии в частности, неоспоримо и продолжает исследоваться до сих пор. А о той роли, которую сыграли выделенные ниже два «недостатка» упоминается не часто.

Первым недостатком является «язык» аксиоматики. Дело в том, что часть формулируемых аксиом содержит понятия, обоснование которых проводится на уровне теорем существования, доказываемых из предыдущих аксиом. Например, формулировка аксиомы Паша требует понятия отрезка и существования его внутренних точек. Последнее приходится доказывать. Далее, требование откладывания конгруэнтного угла с заданной стороны прямой в аксиоме 16 требует же доказательства существования двух сторон, на которые всякая прямая разбивает плоскость. Есть еще ряд замечаний, которые вместе с отмеченными выше двумя, приводят к вопросам о взаимной совместимости и зависимости аксиоматических требований и критериях проверки этих свойств.

Второй «недостаток» состоит в том, что описание отношений между основными геометрическими объектами - точками, прямыми и плоскостями, приведенное в аксиоматике Д. Гилберта, не может быть индуктивно перенесено на «мыслимые» свойства «мыслимых» же геометрических объектов размерности большее трех. Необходимость построения многомерной геометрии была продиктована задачами аналитической механики систем n-точек уже в XIX в. В XX в. модель многомерной геометрии возникла в экономических задачах линейного программирования и других задачах естествознания и социальной практики человека [4, c 23].

Для аксиоматического построения многомерной евклидовой геометрии потребовалось переосмыслить процесс арифметизации (введения координат) трехмерного евклидова пространства, связать этот процесс со структурой n-мерного векторного пространства.

Глава 2.Требования, предъявляемые к системе аксиом

Введя систему аксиом, предъявляют к ней следующие требования:

1.Система должна быть совместной, или непротиворечивой.

2.Система аксиом должна быть такой, что бы каждая отдельная аксиома была, по возможности, независимой от остальных аксиом и групп.

3.Относительно системы аксиом должен быть решен вопрос: обладает ли она свойством полноты или нет. Система аксиом обладает свойством полноты, если любые ее две интерпретации изоморфны.

Рассмотрим подробнее каждое из этих требований.

2.1 Непротиворечивость системы аксиом

Система аксиом называется непротиворечивой, или совместной, если в теории этой системы невозможно доказать какое-нибудь утверждение А и его отрицание А. В противном случае система аксиом называется противоречивой.

Теория , содержащая вместе с некоторым утверждением А и отрицание этого утверждения А называется не классической теорией. С точки зрения "здравого смысла" такая теория абсурдна, так как в мире "реальных вещей" некоторое свойство А "выражает" отношение этих реальных вещей и не может одновременно "не выражать" это отношение.

Теоретическая проверка совместности системы аксиом, основанная на непосредственном определении совместности, затруднительна. Действительно, пусть мы доказали утверждения А1,А2,...,Аn теории и пусть отрицание этих свойств А1,..., Аn невозможны в . Где гарантия, что не найдется свойство Аn+1 , которое доказуемо вместе со своим отрицанием Аn+1 в теории ? Такой гарантии нет, поскольку перебрать все возможные утверждения некоторой теории практически невозможно. Например, евклидова геометрия, согласно работе профессора Гарвардского университета Гаррета Биркгоффа [5, с. 95], основанная на 20 аксиомах Гильберта, включает около 20.000 утверждений, получаемых логическим путем. Ясно, что нет никакой возможности проверить на непротиворечивость все эти 20.000 утверждений, составляющий предмет геометрической теории ={ А1,А2,...,А20.000 }.

С точки зрения здравого смысла противоречивая система аксиом не должна допускать никакой реализации или модели (кроме, быть может, мыслимой модели), так как ни одно свойство в реальной модели не может иметь место вместе со своим отрицанием. Отсюда легко получаем следующее достаточное условие совместности.

Система аксиом Т совместна или непротиворечива, если существует хотя бы одна реализация R(T) этой системы.

Доказательство. Пусть А и ТА. Тогда реализация R(T) содержит свойство А и его отрицание, что невозможно в непротиворечивой реализации. геометрия евклид интерпретация планиметрия

Таким образом, непротиворечивость всякой системы аксиом Т сводится к существованию хотя бы одной априорно не противоречивой реализации.

В качестве примера можно обратиться к трехмерной евклидовой геометрии. Так как одной из ее реализаций является арифметическая модель R3 (координатная модель), то евклидова геометрия непротиворечива, если непротиворечива арифметика действительных чисел. Таким образом, вопрос о непротиворечивости евклидовой геометрии сводится к вопросу о непротиворечивости арифметики действительных чисел.

Если в качестве реализации евклидовой геометрии рассматривать окружающий нас мир, то непротиворечивость этой геометрии будет сведена к опытной проверке. Однако расширение границ опыта в конце ХІХ - начале ХХ столетия привело к открытию неевклидовых геометрий в мире электромагнитных явлений, в мире гравитации. Так возникла специальная теория относительности, которая построена на законах неевклидовой геометрии, связанной с геометрией Лобачевского[8, c 11-35].

2.2 Независимость аксиоматической системы

Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если ни одна из аксиом этой системы не может быть выведена из остальных аксиом как теорема. В противном случае система аксиом называется зависимой.

Для иллюстрации этого свойства обратимся снова к геометрической теории, основанной на аксиоматике Гильберта. Ясно, что непосредственная проверка независимости каждой из 20 аксиом затруднительна. История V постулата "Начал" Евклида является поучительным тому примером. Четвертый постулат о конгруэнтности всех прямых углов впоследствии был доказан как логическое следствие других аксиом и постулатов (точнее, других "очевидных" утверждений). Возник вопрос о независимости или прямом доказательстве следующего, пятого постулата о параллельных прямых. Тем более что как бы "половина доказательства" аксиомы параллельности уже была известна. Более двух тысяч лет предпринимались попытки доказать одно из двух: либо то, что V постулат есть логическое следствие других "более очевидных" утверждений, либо то, что он не доказывается исходя из каких-либо "очевидных" утверждений, аксиом и постулатов. Обсуждением той роли, которую сыграл V постулат в теории познания вообще и в математике в частности, мы займемся чуть позже.

Возникает вопрос. Существует ли эффективное достаточное условие для проверки независимости какого-либо утверждения А от системы аксиом Т (проверенной уже на совместность)? Такое условие существует и для совместной системы аксиом формируется следующим образом в терминах реализаций.

Пусть Т - непротиворечивая система аксиом. Утверждение (аксиома) А не зависит от системы Т, если вместе с некоторой реализацией R1 (Т , А) системы Т и А существует некоторая реализация R2(T, A) системы Т и А.

Доказательство. Пусть существует реализация R2(T, A) системы Т и А и пусть Т А. Тогда реализация R2(T, A) содержит вместе со свойством А и его отрицание А= (А), что несовместимо с понятием реализации. Следовательно, предположение ТА (о том, что А следует из Т) неверно.

2.3 Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом

Для структуры ?{T,Р ,М} всякой системы аксиом Т определено множеств И - утверждений или высказываний, связывающих элементы Т, Р, М этой структуры. (Напомним, что М - множество базовых элементов, а Р - множество отношений между элементами М). Любое высказывание "и"И обладает одним из следующих трех свойств. Высказывание "и" является доказуемым в теории , обозначим множество таких высказываний Д. Высказывание "и"И опровержимо в системе , обозначим множество таких высказываний О. Наконец, высказывание "и"И не является ни доказуемым, ни опровержимым, то есть неопределенным; множество таких "и" обозначим Н. Таким образом, множество всех высказываний И, касающихся понятий структуры ?Т, есть сумма непересекающихся классов

И=Д U О U Н. (1)

Определение (дедуктивной полноты). Непротиворечивая система аксиом Т называется дедуктивно полной, если в определяемой ею теории всякое предложение либо доказуемо, либо опровержимо. Другими словами, в теории всех высказываний такой системы Т недоказуемые и неопровержимые (неопределенные) утверждения отсутствуют и разложение (1) принимает вид

И=Д U О. (2)

Например, система аксиом Т абсолютной геометрии, состоящая из аксиом Д. Гильберта с исключенной аксиомой П - параллельности прямых, дедуктивно неполна. Действительно, аксиома параллельности П не доказуема и не опровержима в системе Т, так как П не зависит от Т.

Критерием дедуктивной полноты является свойство категоричности системы аксиом.

Определение (категоричности). Непротиворечивая, система аксиом называется категоричной, если любые ее модели (реализации) изоморфны.

Пусть система аксиом Т имеет две реализации R(T) и R'(T). Тогда согласно выводу 1 (п.6.4) между объектами Ri и R'i реализующими базовые множества Мi, устанавливается взаимно однозначное соответствие по схеме

(3)

Что можно сказать о соответствии между реализациями соотношений Рi в Ri и реализациями отношений P'i в R'i ?

Определение изоморфизма. Две реализации R(T) и R'(T) системы аксиом Т будем называть изоморфными, если выполняется два условия:

существует взаимно-однозначное соответствие (3) между реализациями Ri(Mi) и R'i(Mi) базовых множеств Mi, i=1,2,…, m;

отображение (3) устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми свойствами P'i(r'1,…,r'm) и Pi(r1,…, rm), представляющими в моделях R и R' свойства Рi(x1,…, xm) соответствующих при отображении (3) элементов r'ixiri .

Само отображение (3) при этом называется как изоморфизмом моделей или реализацией R(T) и R'(T), так и изоморфизмом аксиоматических структур T;P;R и T;P';R'.

Другими словами, изоморфизм моделей - это такое взаимно однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет отношения элементов, задаваемые системой аксиом.

Таким образом, если систему аксиом Т и ее аксиоматическую теорию рассматривать как мыслимые или абстрактные объекты, и если существует реализация R(T) этой системы Т, то соответствие между элементами базового множества М и элементами объекта R(M), реализующего М, устанавливает изоморфизм между мыслимой структурой T,Р;М и моделью этой структуры T;P;R(M).

Разница между абстрактной (формальной) системой аксиом с некоторой реализацией и содержательной системой аксиом состоит только в способе построения структуры. Действительно, можно вначале построить абстрактную систему аксиом, а затем указать ее модель. Можно наоборот, вначале выбрать те свойства модели, которые определяют ее с точностью до изоморфизма, а затем эти свойства принять за аксиомы. Оба способа определяют две изоморфные структуры.

Всякая аксиоматическая структура T,Р;М определена с точностью до изоморфизма. Это означает, что любая ее изоморфная модель T;P;R(M) рассматривается как совокупность тех и только тех свойств, которые выводятся логическим путем в теории [2, c 19-22].

Глава 3. Интерпретации геометрии Евклида

Отвлеченно рассматриваемая аксиоматика сама по себе ни к чему определенному не относится, так что не ясно какой смысл она имеет. Для того что бы она получила более определенный смысл, нужно найти предмет - модель, где бы она выполнялась.

Определение. Модель или интерпретация аксиоматики представляет собой совокупность некоторых объектов с отношениями, для которых выполняются аксиомы[1, c. 117].

Рассмотрим различные интерпретации геометрии Евклида.

3.1 Интерпретация плоской геометрии Евклида

Рассмотрим множество всех прямых в пространстве, параллельных между собой (связку прямых), и множество всех плоскостей, параллельных хотя бы одной прямой связки [3,c 106-107] .

Дадим категориальный смысл основных объектов:

1.Прямые назовем «точками»,

2.Плоскости - «прямыми»,

3.Все множество прямых и плоскостей назовем «плоскостью» (рис. 3 ):

Основным отношениям между объектами придадим такой смысл:

«лежать на» пусть означает принадлежность объекта первой категории объекту второй- в обычном смысле (т.е. прямая со всеми своими точками принадлежит плоскости);

«Лежать между» - означает, что три прямые связки лежат в одной плоскости и две из них лежат по разные стороны от третьей прямой, которую и будем считать «лежащей между» двумя первыми;

Значение «быть конгруэнтным» есть совпадение при наложении в обычном смысле.

Легко проверить на чертеже, что все плоскостные аксиомы системы гильберта удовлетворяются в этой модели (Рис 4, 5, 6, 7):

3.2 Числовая модель планиметрии

В аналитической геометрии на плоскости уже содержится числовая модель планиметрии; нужно только дать алгебраические определения основных объектов и отношений планиметрии [6, c 45-47].

Тогда основными объектами в данной интерпретации будет:

«точка»- упорядоченная пара чисел (x,y). Эти числа- координаты точки.

«отрезок АВ»- множество точек (x,y), координаты которых удовлетворяют формулам:

x = s xa + t xb, y = s ya + t yb, s + t =1 s, t 0 (1)

Точки А (xa, ya) , В( xb,yb) назовем концами отрезка. Точка (x,y) принадлежит отрезку, если x и y выражаются формулами (1).

Каждому отрезку АВ относят число |АВ| - его «длину»:

Отрезки называют равными, если равны их длины. Таким образом, основные объекты и отношения определены.

Чтобы проверить выполнимость аксиом планиметрии, введем вместо точек формальные векторы, понимая под ними упорядоченные пары чисел.

Тогда: x = (x,y). От точек они отличаются тем, что для них мы определим сложение и умножение на число и друг на друга. Получаем:

x1 + x2 = ( x1,y1) + ( x2,y2) = ( x1+ x2, y1+ y2),

лx = л(x,y) = ( лx, лy),

x1* x2= ( x1,y1) * ( x2,y2) = x1x2 + y1y2 ,

(xx)= x2 = x2+ y2 и .

Отрезок АВ тогда можно записать так:

x = xA +t (xB - xA), 0 t 1. (3)

И |АВ|=| xB - xA| (4)

Вместо xB , xA будем писать a, b и т. п.

Для любых c и e определим луч с началом в точке с «вдоль» ненулевого вектора е: х=с+ te , (5)

где t пробегает любые неотрицательные значения, прямую определим тоже формулой (5), но при условии, что t пробегает все вещественные значения.

Часть луча, соответствующая какому угодно промежутку t [t0, t1], представляет собой отрезок.

Полагая a = c + t0e , b= c + t1e, получим

x = c + te = , (6)

или , обозначая коэффициенты при a и b через r и s ,

x= ra + sb, где r+s = 1 и t0 t t1, будет r, s0, так что мы имеем отрезок с концами a,b.

Для того, что бы проверить, что в указанной числовой модели выполняются все аксиомы планиметрии нужно то, что говорится в каждой аксиоме перевести на язык модели- язык координат- и убедиться, что сказанное в аксиоме выполняется.

Покажем это на примере проверки некоторых аксиом.

1. Проверим аксиому Архимеда. Пусть дан отрезок АВ. Его можно представить формулой х = a+te, |e| = 1, 0 t l,

где l- длина отрезка АВ. Поэтому параметр t- это длина отрезка от точки а до х = a+te.

Если дан еще отрезок длины l1 , то отложив его вдоль АВ от конца А, получим, что при l1 l, то останется отрезок с концами a+ l1 e , a+ le. Его длина будет l-l1. откладывая на нем отрезок длины l1 и т.д., придем к тому, что перекроем отрезок АВ ( на n-м шаге, где n такое, что nl1 l >(n-1)l1), как и того требует аксиома Архимеда.

2. Проверим аксиому непрерывности. Последовательность вложенных один в другой отрезков можно представить так, что таким отрезкам будут отвечать промежутки значений параметра t, соответственно вложенные один в другой. По свойству вещественных чисел существует чисто t0, принадлежащее всем этим промежуткам. Ему будет отвечать точка a+t0e, общая данным отрезкам.

3. Проверим ту аксиому, что вдоль всякого отрезка от любого из его концов можно отложить отрезок, равный любому данному, и при том только один.

Пусть дан отрезок с концами a, b и некоторый отрезок длины l, который требуется отложить вдоль первого отрезка от его конца а. Представим первый отрезок формулой

x= a+ tc, c= b-a, 0 t 1.

Отрезок x= a+ tl, 0 t 1,

налегает на первый отрезок. Один его конец - а, другой d= a+l. Поэтому его длина будет |d-a|= l= l1, что и требуется.

3.3 Интерпретация Федорова

Рассмотрим еще одну интерпретацию геометрии Евклида, принадлежащую русскому кристаллографу и геометру академику Евграфу Степановичу Федорову (1853 - 1919) [3,c 107-110]. Он составил такую модель. Возьмем точку А пространства и из нее опустим перпендикуляр на данную плоскость . Опишем окружность в плоскости , приняв основание этого перпендикуляра за центр, радиус окружности пусть равен расстоянию точки А до плоскости . Ориентацию окружности выберем так, что если смотреть из точки А, то вращение, указанное стрелкой, будет против часовой стрелки. Точка А', симметричная А относительно плоскости , будет отображаться окружностью того же радиуса, но обратной ориентации. Таким образом, полученная ориентированная - векториальная - окружность на плоскости будет изображать точку пространства, находящуюся на расстоянии радиуса и по соответствующую сторону от плоскости. Прямой, перпендикулярной к плоскости, соответствует система концентрических окружностей на плоскости (рис. 8).

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

рис. 8.

Прямая, пересекающая эту плоскость, изобразится пересекающимися окружностями различной ориентации, у которых центр подобия - точка пересечения прямой с плоскостью (рис. 9).

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 9.

Прямая, параллельная плоскости , изобразится равными окружностями. Прямая, лежащая в плоскости , изобразится обычной прямой. Плоскость, перпендикулярная нашей плоскости изобразится окружностями, центры, которых лежат на линии пересечения плоскости с перпендикулярной плоскостью. Эти окружности любого радиуса и различной ориентации. Плоскость, параллельная , изобразится равными окружностями одной ориентации.

Построив такое отображение трехмерного пространства на плоскость при помощи ориентированных окружностей, выделим основные объекты:

1.Ориетнтированные окружности в плоскости назовем «точками»,

2. Множество гомотетичных окружностей с различными ориентациями по разные стороны от центра гомотетии - окружности нулевого радиуса - «прямыми»,

3.Вся система окружностей - «плоскость».

Выделим основные отношения:

«лежать на»- быть элементом образа;

«Лежать между» - означает, что при обратном отображении этой системы окружностей получим точки пространства такие, что образ «лежит между»; Выполнимость аксиом устанавливается наглядно на чертежах

3.4 Аналитическая интерпретация геометрии Евклида

Введем основные объекты. Пусть «точками» будут упорядоченные пары действительных чисел (x, y). «Прямые» - отношения трех упорядоченных чисел (u:v:w), из которых u и v одновременно не равны нулю. Все эти объекты считаем принадлежащими одной «плоскости».

Основное отношение « лежать на» пусть имеет такой смысл: точка (x, y) лежит на прямой (u:v:w), если ux+ vy+ w= 0.Аналогично интерпретируются понятия « между», «конгруэнтный».

Введя упорядоченные тройки (x, y, z) как «точки» легко получить аналитическую модель пространственной геометрии[3,c 110].

3.5 Физическая модель геометрии Евклида

Физическая модель геометрии Евклида реализует обычно лишь ограниченную часть пространства Евклида [9,c 26-27]. Если рассматривать «точки» и «прямые» какой-нибудь одной «плоскости», то получается интерпретация плоской евклидовой геометрии. Итак, точку, прямую и плоскость геометрии Евклида можно представлять соответственно как шарик, цилиндр и «плоский слой» того же диаметра (рис 9,10).

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

рис.9.



2

Размещено на http://www.allbest.ru/

рис. 10.

Определим основные отношения:

«точка» «лежит» на «прямой», если шар вписан в цилиндр,

«точка» «лежит» в «плоскости», если шар вписан в плоско-параллельную пластинку,

«прямая» «лежит» в «плоскости», если цилиндр вписан в плоско - параллельную пластинку.

При такой интерпретации все аксиомы соединения соблюдаются. Также соблюдаются аксиомы порядка при обычном понимании слова «между», аксиомы конгруэнтности - если конгруэнтными считать «отрезки» и «углы», могущие быть совмещенными, и аксиома параллельности, если считать параллельными «прямые», «лежащие» в одной «плоскости» и не имеющие общей «точки» (рис.11).

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

рис 11.

Проверим выполнимость некоторых аксиом: в «плоскости» существует только одна «прямая» l', инцидентная «точке» М' и параллельная данной «прямой» l', ибо существует только одна обыкновенная прямая l (ось цилиндра), инцидентная точке M и не инцидентная прямой l (осью цилиндра l') и заключенная вместе с «прямой» l' между двумя плоскостями.

3.6 Интерпреация Пуанкаре планиметрии Евклида

Рассмотрим в плоскости Евклида множество всех прямых [7, c 264-265]. Выбрав в этой плоскости некоторую произвольную точку О в качестве центра инверсии с произвольным радиусом инверсии, преобразуем множество всех этих прямых в множество всех прямых и окружностей, проходящих через точку О.

Будем рассматривать данную плоскость Евклида с множеством всех ее прямых и ее отображение с множеством всех окружностей и прямых параболической связки с центром в точке О в виде двух отдельных плоскостей. Тогда при помощи инверсии одна плоскость Евклида отображается на другую плоскость. Это отображение первой плоскости на вторую является взаимно однозначным за одним исключением: точке О в первой плоскости не соответствует никакой точки во второй. Поэтому, что бы добиться взаимнооднозначного соответствия из второй плоскости исключим одну точку О, как бы прокалывая плоскость в этой точке, но дополним ее несобственной (бесконечно удаленной) точкой О' первой плоскости. Вторую плоскость после указанных изменений будем называть плоскость Пуанкаре, и обозначать буквой П. Первую плоскость обозначим через Е.

Введем основные понятия:

П -точкой называется любая точка плоскости П, т.е. любая точка плоскости Евклида с выключенной точкой О и дополненной несобственной точкой О'.

П - прямой называется любая прямая или окружность параболической связки с центром связки О плоскости П, т.е. любая прямая или окружность параболической связки плоскости Евклида с центром связки О, если из этой плоскости выбросить точку О и дополнить её несобственной точкой О' .

«П - инцидентность» между П -точками и П -прямыми будем понимать в обычном смысле.

Определение. Пусть три П - точки: A, B, C, инцидентные одной П -прямой, инверсией преобразуются в три точки: A', B', C', инцидентные одной прямой в плоскости Е. Тогда будем говорить, что «B лежит между A и C», если соответствующая точка B' лежит между A' и C' в обычном смысле слова.

Таким образом, мы ввели понятия П - отрезка, П - луча, П - угла, которые определяются точно так же, как это сделано Гильбертом в отношении понятия отрезка, луча, угла, при этом очевидно, что инверсия преобразует П - отрезок, П - луч, П - угол соответственно в обычные отрезок, луч, угол плоскости Е и обратно.

В силу свойства инверсии П - угол между П -прямыми равен соответствующему обычному углу между обычными прямыми плоскости Е , которые переходят в данные П -прямые.

Определение. П -конгруэнтность в применении к П - отрезкам и к П - углам означает конгруэнтность в обычном смысле тех отрезков или углов плоскости Е, которые преобразуются инверсией в данные П - отрезки или П - углы. При исполнении инверсии ясно, что П -конгруэнтность П - углов означает равенство мер этих углов.

Учитывая свойства инверсии, естественно принять следующее определение.

Определение. Две П - прямые называются «параллельными», если они в плоскости П изображаются двумя окружностями или окружностью и прямой, касающимися в точке О.

Поскольку точка О исключена из плоскости П, эти П -параллельные П -прямые не имеют общей П - точки.

Покажем выполнимость некоторых аксиом:

1. Через всякие две П-точки проходит П-прямая и притом только одна(рис.13).

2. На каждой П- прямой от данной на ней П- точки С можно по данную сторону отложить П- отрезок, П- конгруэнтный заданному ( рис .14)

3.Через П - точку А, лежащую вне П -прямой а, в П - плоскости, ими определяемой, проходит только одна П -прямая, П -параллельная А ( рис 15).

Заключение

Анализируя результаты нашего исследования, мы можем выделить следующие:

- мы описали труд Евклида «Начала»,

- выделили связи его аксиоматики с аксиоматикой Гильберта Д., а также недостатки данной аксиоматики,

- освятили требования, предъявляемые к системам аксиом, а именно непротиворечивость, независимость и дедуктивную полноту и категоричность системы аксиом,

- описать различные интерпретации геометрии Евклида:

- интерпретацию плоской геометрии Евклида,

- числовую модель планиметрии,

- интерпретацию Федорова,

- аналитическую интерпретацию геометрии Евклида,

- физическую модель геометрии Евклида,

- интерпретацию Пуанкаре планиметрии Евклида.

Таким образом, мы имеем право говорить, что задачи нашего исследования реализованы.

Список литературы

1. Адамар Ж. Элементарная геометрия, ч. I и ч. II, Учпедгиз, 1951.

2. Александров А.Д. Основания геометрии: Учебн. пособие для вузов.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

3. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия.- М.: Просвящение, 1996.

4. Атанасян Л.С. Геометрия Лобачевского: Кн. Для учащихся / Л.С. Атанасян.- М.: Просвящение, 2001.

5. Биркгофф Г. Математика и психология. - М.: Советское радио, 1977.

6. Каган В.Ф. Основания геометрии. Ч.1.- М.; Л.: Гостехиздат, 1949.

7. Киселев А.П. Геометрия, ч. I и ч. II, М., Учпедгиз, 1962.

8. Кутузов Б.В. Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии: пособие для учителей средней школы. - М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства посвящения РСФСР, 1995.

9. Ефимов Н.В. Высшая геометрия.- М.: Наука, 1978.

10. Погорелов А.В. Геометрия.- М.: Наука, 1984.

Размещено на Allbest.ru