Равномерная сходимость рядов Фурье

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Равномерная сходимость рядов Фурье

Курсовая работа

Содержание

Введение

Глава I. Ряды Фурье

1.1 Основные сведения о рядах Фурье

1.2 Разложение функций в ряд Фурье

Глава II. Сходимость рядов Фурье

2.1 Постановка основных задач

2.2 Характер сходимости рядов Фурье

Заключение

Литература

Введение

Жан Батист Жозеф Фурье - французский математик, член Парижской Академии Наук (1817). Первые труды Фурье относятся к алгебре. Уже в лекциях 1796 года он изложил теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между данными границами (опубликовано 1820 г), названную его именем; полное решение о числе действительных корней алгебраического уравнения было получено в 1829 г. Ж.Ш.Ф. Штурмом. В 1818 г Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768 г французским математиком Ж.Р. Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным методам решения уравнений является «Анализ определённых уравнений», изданный посмертно в 1831г. Основной областью занятий Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811 гг он представил Парижской Академии Наук свои первые открытия по теории распространении тепла в твёрдом теле, а в 1822г опубликовал известную работу «Аналитическая теория теплоты», сыгравшую большую роль в последующей истории математики. Это - математическая теория теплопроводности. В силу общности метода эта книга стала источником всех современных методов математической физики. В этой работе Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Д. Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных (метод Фурье), который он применял к ряду частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами Фурье.

Ряды Фурье теперь стали хорошо разработанным средством в теории уравнений в частных производных при решении граничных задач. Ряды обладают некоторыми преимуществами перед последовательностями вообще. Так, известно множество эффективных признаков сходимости ряда, оценок погрешности приближения при замене суммы ряда на частичную. Если выбранный вычислителем максимальный номер слагаемого в частичной сумме не гарантирует достижения заданной точности приближения, то при увеличении этого номера и "наращивания" частичной суммы - сохраняется и используется уже имеющаяся информация о прежней частичной сумме.

Изложение теории, объединяющей изучение алгебраических и тригонометрических рядов Фурье, лучше начинать с общей теории ортогональных рядов в унитарном пространстве с ортонормальным базисом. Ортогональный ряд является счетномерным аналогом конечной суммы компонентов вектора (проекций на орты), коэффициенты Фурье играют роль координат. Многие факты векторной алгебры переносятся на унитарное пространство, где введено скалярное произведение с обычными свойствами (конкретно-определенный интеграл Римана от произведения функций).

Глава 1. Ряды Фурье

1.1 Основные сведения о рядах Фурье

Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство . Число Т называется периодом функции.

Отметим некоторые свойства этой функции:

1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.

2) Если функция f(x) период Т , то функция f(ax) имеет период .

3) Если f(x) - периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство

.

Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье.

Пусть периодическая функцияс периодомпредставляется правильно сходящимся тригонометрическим рядом (1), т.е. является его суммой. Выразим коэффициенты рядачерез функцию

Предварительно отметим свойства системы тригонометрических функций

(2)



1° - 4° называются свойствами ортогональности системы (2) на отрезке

Интегралы вычисляются с использованием формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, например, при

для коэффициентовсправедливы формулы Фурье:

(3)

для вывода (2) проинтегрируем сначала тригонометрический ряд на

используя свойство 4° системы (2), имеем:



для нахождения коэффициента умножим обе части (1) на и полученный правильно сходящийся ряд проинтегрируем на

в силу 1°, 3°, 4° имеем

аналогично для нахождения коэффициента необходимо умножить обе части (1) на и проинтегрировать полученный правильно сходящийся ряд на используя свойства 2°-4°.

о: тригонометрический ряд (1), коэффициенты которого определяются формулами Фурье (3), называется рядом Фурье (р. ф.), соответствующим функции

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

Если f(x) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:

(1)

то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:



, где n=1,2, .

Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а коэффициентами ряда Фурье.

Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье

Точка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.

ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если периодическая с периодом функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f(x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (функция, удовлетворяющая этим условиям, называется кусочно-монотонной).

ТЕОРЕМА 2. Если f(x) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (функция, удовлетворяющая этой теореме, называется кусочно-гладкой).

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть f(x) - четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) .

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

=

=

= 0 , где n=1,2, . . .

Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так:

Пусть теперь f(x) - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x).

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

, где n=1,2, . . .

Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:

Если функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то ,

 где ,

,

,

Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.

Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо : доопределить на [b,a+2L] и периодически продолжить, либо доопределить на [b-2L,a] и периодически продолжить.

Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций

Последовательность функций непрерывных на отрезке [a,b], называется ортогональной системой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если

Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],

если выполняется условие



Пусть теперь f(x) - любая функция непрерывная на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на отрезке [a,b] по ортогональной системе называется ряд:

коэффициенты которого определяются равенством:

n=1,2,...

Если ортогональная система функций на отрезке [a,b] ортонормированная, то в этом случаи

где n=1,2,...

Пусть теперь f(x) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на том же отрезке по ортогональной системе называется ряд:

,

Если ряд Фурье функции f(x) по системе (1) сходится к функции f(x) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a,b]. В этом случае говорят что f(x) на отрезке [a,b] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).

Комплексная форма ряда Фурье

Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функции f(x), если определяется равенством

, где

Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:

(n=1,2, . . .)

1.2 Разложение функций в ряд Фурье

Одним из видов функциональных рядов является тригонометрический ряд

Ставится задача подобрать коэффициенты ряда так, чтобы он сходился к заданной в интервале [-р, р] функции; иначе говоря, требуется разложить данную функцию в тригонометрический ряд. Достаточное условие разрешимости этой задачи состоит в том, чтобы функция была в интервале [-р, р] кусочно-непрерывна и кусочно-дифференцируема, т. е. чтобы интервал [-р, р] мог быть разбит на конечное число частичных интервалов, в каждом из которых данная функция непрерывна и имеет производную (на концах частичных интервалов функция должна иметь конечные односторонние пределы и односторонние производные, при вычислении которых в качестве значения функции в конце частичного интервала берется ее односторонний предел). Условие кусочной дифференцируемости может быть заменено условием кусочной монотонности функции, т. е. требованием, чтобы в каждом из частичных интервалов функция была монотонна. Достаточным условием разложимости функции в интервале [-р, р] в тригонометрический ряд является также требование, чтобы в этом интервале функция имела ограниченное изменение. По определению функции f(x) имеет в интервале [a, b] ограниченное изменение, если при любом разбиении этого интервала на конечное число интервалов

Величина

ограничена сверху одним и тем же числом.

Именно с такими функциями приходится иметь дело при решении практических задач.

При выполнении любого из трех указанных достаточных условий функция f(x) представляется в интервале [-р, р] тригонометрическим рядом, у которого коэффициенты определяются по формулам



При таких коэффициентах тригонометрический ряд называется рядом Фурье. Этот ряд сходится к f(x) в каждой точке ее непрерывности; в точках разрыва он сходится к среднему арифметическому левого и правого предельных значений, т. е. к , если х есть точка разрыва (рис. 1); на границах отрезка ряд сходится к .

Рисунок 1.

Функция, выражаемая рядом Фурье, есть функция периодическая, а потому ряд, составленный для функции, заданной на отрезке [-р, р], сходится вне этого отрезка к периодическому продолжению этой функции (рис. 2).

Рисунок 2.

Если рядом Фурье представляется функция f(x), заданная в произвольном интервале [б, б+2р] длиной 2р, то коэффициенты ряда а0, ak, bk (коэффициенты Фурье) можно определить по указанным формулам, в которых пределы интегрирования заменены на б и б+2р. Вообще, поскольку в формулах для а0, ak, bк стоят функции с периодом 2р, интегрирование можно проводить по любому интервалу с длиной 2р.

Ряд Фурье может быть использован для приближенного представления функции, а именно: функция f(x) заменяется приближенно равной ей суммой sn(x) первых нескольких членов ряда Фурье:

Выражение sn(x), где а0, ak, bk являются коэффициентами Фурье функции f(x), по сравнению с другими выражениями такого же вида с тем же значением n, но с другими коэффициентами, приводит к минимальному среднему квадратичному отклонению sn(x) от f(х), которое определяется как

В зависимости от рода симметрии функции возможны некоторые упрощения. Если функция четная, т. е. , то

и функция разлагается в ряд по косинусам.

Если функция нечетная, т. е. , то



и функция разлагается в ряд по синусам. Если функция удовлетворяет условию:

,т. е. кривая, относящаяся к половине отрезка длиной 2р, является зеркальным отражением другой половины кривой, то

Функция может быть задана не только на отрезке длиной 2р, но также на отрезке любой длины 2l. Если она на этом отрезке удовлетворяет приведенным выше условиям, то она разложима в ряд Фурье следующего вида:

причем коэффициенты ряда вычисляются по формулам

Ряд Фурье для функций с периодом. Разложение в ряд Фурье непериодических функций.

Пусть функция удовлетворяет условиям Дирихле на любом отрезке из R и Разложение ее в тригонометрический ряд проводится путем сведения этого случая к случаю периодической функции с периодом с помощью замены Функция имеет период так как

Тогда где

Таким образом,

(31.6)

Пример: Разложить в ряд Фурье функцию с периодом заданную формулой Функция нечетная, поэтому в (6) коэффициенты

В точках непрерывности а в точках разрыва имеем

Если функция задана на то для ее разложения в ряд Фурье необходимо продолжить сначала по некоторому закону на четным или нечетным образом. Например, функцию можно продолжить на нечетным образом и получить разложение в ряд по синусам (4) или четным образом и получить разложение в ряд по косинусам (5). Можно осуществить продолжение и другими способами, т.е. получить бесконечное множество рядов Фурье, однако на все они имеют сумму

На практике часто пользуются так называемыми усеченными рядами Фурье:

где-- конечное число. Сумма такого усеченного ряда лишь приближенно аппроксимирует исходную функцию Ряды Фурье широко используются в приложениях, например, при решении линейных дифференциальных уравнений в частных производных, а также в практическом гармоническом анализе для представления функций, заданных таблично или графически, в виде аналитических выражений.

Глава 2. Сходимость рядов Фурье

2.1 Постановка основных задач

Определение 1. Ряд вида

(1)

называется тригонометрическим рядом.

Его частичные суммы являются линейными комбинациями функций, входящих в систему

. (2)

Определение 2. Множество функций (2) называется тригонометрической системой.

Лемма 1. Тригонометрическая система (2) обладает следующими свойствами: фурье ряд ортонормальный

1) интеграл по отрезку от произведения двух различных функций, входящих в нее, равен нулю (это свойство называется ортогональностью системы (2), то есть

(3)

2) (4)

Доказательство. При любых целых неотрицательных , таких, что , имеем

Аналогично доказывается и два других равенства (3).

Докажем теперь (4):

Теорема 1. Пусть

(5)

и ряд, стоящий в правой части этого равенства, сходится равномерно на отрезке . Тогда

,

(6)

Доказательство. Поскольку ряд, стоящий в правой части (5), сходится равномерно на отрезке , а все его члены являются непрерывными на этом отрезке функциями, то и его сумма непрерывна на отрезке , а сам ряд можно почленно интегрировать от до :

Отсюда следует первая формула из (6)

Если ряд (5) почленно перемножить на и , то полученные ряды будут также равномерно сходиться на отрезке .

Интегрируя почленно эти ряды и используя свойство ортогональности (3) тригонометрической системы и равенства (4), будем иметь

,

.

Из полученных соотношений непосредственно вытекают формулы (6).

Теперь заметим, что интегралы (6) имеют смысл не только для функций, непрерывных на отрезке , а также, например, и для функций, интегралы от которых абсолютно сходятся на этом отрезке.

Напомним, что понятие абсолютно сходящегося интеграла (как и просто сходящегося интеграла) было введено для функций, определенных на некотором промежутке с концами и , , для которых существует такое конечное множество точек

,

что функция интегрируема по Риману на любом отрезке , лежащем в заданном промежутке и не содержащем ни одной из точек . При этом если , то , а если , то .

Всякое конечное множество точек обладающее указанными выше свойствами, будем называть правильным разбиением промежутка интегрирования функции . Очевидно, что если к правильному разбиению рассматриваемого промежутка добавить любое конечное множество точек, являющихся внутренними или концевыми точками этого промежутка, и расположить точки получившегося множества в порядке возрастания, то получится снова правильное разбиение.

Если все интегралы сходятся, то можно определить интеграл . Он определяется равенством

и называется сходящимся интегралом.

Отметим, что значение интеграла не зависит от выбора правильного разбиения промежутка интегрирования.

Если сходится интеграл , то интеграл также сходится и называется абсолютно сходящимся, а функция - абсолютно интегрируемой на рассматриваемом промежутке.

Отметим, что если функция интегрируема по Риману на некотором отрезке, то ее абсолютная величина также интегрируема по Риману на нем и, следовательно, функция, интегрируемая по Риману на отрезке, абсолютно интегрируема на нем.

Если интеграл от функции абсолютно сходится на отрезке , то для нее все интегралы (6) также сходятся, так как они представляют собой интегралы от произведения абсолютно интегрируемой функции на ограниченную (синус или косинус), а такие интегралы абсолютно сходятся.

Определение 3. Пусть функция абсолютно интегрируема на отрезке . Тригонометрический ряд (1), коэффициенты которого задаются формулами (6), называется рядом Фурье или, более подробно, тригонометрическим рядом Фурье, а числа и - коэффициенты Фурье функции .

В этом случае пишут

.

Частичные суммы порядка этого ряда будем обозначать через или, короче, и называть суммами Фурье порядка функции

Подчеркнем, что здесь знак ~ обозначает не асимптотическое равенство, а просто соответствие: функции сопоставляются ее ряду Фурье.

Теорему 1 в этих терминах можно перефразировать следующим образом:

Всякий равномерно сходящийся тригонометрический ряд является рядом Фурье своей суммы.

Далее будут рассмотрены периодические функции , для каждой из которых существует число такое, что при всех , принадлежащих области определения функции , значения и также принадлежат этой области и выполняется равенство



Такие функции называются -периодическими.

Пусть абсолютно интегрируема на отрезке и, следовательно, ей можно сопоставить ряд Фурье. Если он сходится на некотором множестве, то сходится к -периодической функции, так как все его члены -периодичны. Поэтому бывает удобно и саму функцию «периодически продолжить» с периодом . Кавычки поставлены потому, что в действительности функцию можно продолжить периодически только случае, когда .

Если это условие не выполнено, то продолжение функции назовем -периодическую функцию , которую получим, полагая для любой точки , в которой определена функция (напомним, что, в силу абсолютной интегрируемости функции на отрезке , она определена во всех его точках, кроме, конечно их множества);

Такое предложение в случае, когда , приводит к несовпадению значений функций и при . Однако, поскольку коэффициенты Фурье функции определяются и помощью интегралов (6), это не приведет к их изменению и, следовательно, ряды Фурье данной функции и продолженной совпадают.

Отметим, что при указанном периодическом продолжении функция может не быть непрерывной в точках , даже если функция непрерывна в и , причем . Непрерывность в других точках при периодическом продолжении сохраняется: если непрерывна в точке , то непрерывна в любой точке

Часто продолженную функцию будем обозначать тем же символом , что и продолжаемую.

Если функция -периодичная, то при вычислении ее коэффициентов Фурье интегрирование можно выполнять по любому отрезку длины , например по отрезку :

,

.

Действительно, если какая-либо функция имеет период, равный , и для некоторого числа интегрируема на отрезке , то при любом выборе она интегрируема и на отрезке , причем

,

то есть интеграл не зависит от выбора числа .

2.2 Характер сходимости рядов Фурье

Рассмотрим связь рядов Фурье функции и ее производной. Теорема 2. Пусть функция непрерывна на отрезке , и пусть

.

Если функция кусочно-непрерывно дифференцируемая функция на отрезке , то

,

то есть ряд Фурье производной получается из ряда Фурье самой функции формальным почленным дифференцированием.

Доказательство. Пусть

.

Тогда, замечая, что , и интегрируя по частям, получим:

,

,

,

Рассмотрим скорость сходимости ряда Фурье в зависимости от гладкой функции. Предварительно докажем лемму.

Лемма 2. Пусть функция имеет на отрезке непрерывные производные до порядка включительно и кусочно-непрерывную производную порядка , причем

,

Тогда коэффициенты Фурье функции удовлетворяют неравенством

,

где и ряд сходится.

Доказательство. Применяя последовательно теорему 13 раз, получим

,

где либо

, (1)

либо

, (2)

причем, по неравенству Бесселя,

. (3)

Положим . В силу неравенства, ряд сходится.

Если справедливо (1), то

.

Аналогично,

.

Подобным же образом эта оценка получается и в случае (2).

Теорема 3. Пусть функция имеет на отрезке непрерывные производные до порядка включительно и кусочно непрерывную производную порядка , причем . Тогда ряд Фурье функции равномерно и абсолютно на всем отрезке сходится к самой функции и

,

где ( - числовая последовательность), а - сумма Фурье порядка функции .

Таким образом, можно сказать, что на отрезке равномерно выполняется оценка

.

Предварительно заметим, что если и - последовательности неотрицательных чисел таких, что

и ,

то

. (3)

Действительно, это неравенство сразу получается предельным переходом из неравенства Коши - Шварца при .

Доказательство теоремы 3. Пусть

, (4)

.

По лемме,

, , (5)

где таковы, что ряд

 (6)

сходится.

Применяя неравенства (4) и (6), оценим остаток ряда (5):

. (7)

Положим

.

В силу сходимости ряда , имеем

. (8)

Далее заметим, что на отрезке выполняется неравенство (рисунок 1) и, следовательно, .

Рисунок 1

Поэтому

.

Таким образом, из (7) вытекает оценка

. (9)

Положим, наконец, ; .

Поэтому из неравенства (9) получаем

при этом бесконечно малая не зависит от точки .

Ряд (4) сходится к функции ; следовательно, и, таким образом, равномерная сходимость ряда Фурье с указанной оценкой доказана.

Его абсолютная сходимость также доказана, так как мы получим оценку

,

из которой следует, что ряд Фурье функции не только абсолютно сходится, но и что ряд, составленный из абсолютных величин его членов, и даже, более того, ряд

Сходится с той же «скоростью» .

Теорема 14 показывает, что чем глаже функция , то есть чем больше она имеет производных, тем более сходится к ней ее ряд Фурье. При этом неравенство (9) дает возможность оценивать погрешность, получающуюся при замене ряда Фурье его -частичной суммой.

Из этой теоремы следует, в частности при , что ряд Фурье всякой периодической периода непрерывной и кусочно-непрерывной дифференцируемой функции равномерно на всем периоде сходится к самой функции.

Условия равномерной сходимости ряда Фурье. Если функция f(x) имеет хотя бы один разрыв, то ее ряд Фурье не может сходиться к ней равномерно, поскольку сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций всегда непрерывна. Таким образом, непрерывность функции есть необходимое (но, конечно, не достаточное) условие равномерной сходимости ее ряда Фурье.

Простое достаточное условие дает следующая теорема.

Теорема 4. Если функция f с периодом 2р абсолютно не-прерывна, а ее производная f' принадлежит L[--р, р], то ряд Фурье функции f сходится к ней равномерно на всей прямой.

Доказательство. Обозначим через ап' и b'п коэффициенты Фурье функции f'. Так как f абсолютно непрерывна, то к интегралу



можно применить формулу интегрирования по частям. Получаем

аналогично,

Следовательно,

(10)

Этот ряд сходится, поскольку

а

в силу неравенства Бесселя. Числовой ряд (10) служит, мажорантой для ряда Фурье функции f. Но тогда, ряд Фурье функции f равномерно (и абсолютно) сходится. Остается показать, что сумма этого ряда есть f.

Пусть ц --сумма ряда Фурье функции f . Тогда ц имеет те же самые коэффициенты Фурье, что и f. Отсюда в силу непрерывности обеих функций получаем, что f = ф.

Можно дать другое условие равномерной сходимости ряда Фурье.

Теорема5. Если на некотором множестве Е[- р, р] суммируемая функция f ограничена, т. е. для всякого е>0 существует такое д>0, что одновременно для всех xE, то ряд Фурье функции f сходится к этой функции равномерно на Е.

Лемма 3. Если В -- предкомпактное в метрике [- р, р] множество суммируемых функций, то для всякого е > 0 найдется такое N = N(е), что

при л?N(е) для всех fB одновременно.

Для доказательства леммы возьмем в В конечную е/2-сеть и выберем N так, чтобы

при л?N.

Если теперь f - произвольная функция из B, то при некотором i

и, следовательно

Тем самым лемма доказана.

Применение этой леммы основано на том легко проверяемом факте, что в условиях теоремы 4 множество функций



предкомпактно.

Для случая нескольких независимых переменных тоже можно сформулировать как условия, достаточные для сходимости ряда Фурье в каждой точке, так и условия равномерной сходимости ряда Фурье.

Заключение

Разложение функции в ряд означает среднеквадратичное стремление частичных сумм ряда к функции.

Унитарное пространство всех кусочно-непрерывных функций неполное. Из среднеквадратичной сходимости, вообще говоря, не следует поточечной, но при некоторых дополнительных естественных условиях тригонометрический ряд сходится абсолютно и равномерно. Один из способов установления такого факта, заключается в предварительном исследовании почленной интегрируемости общего ряда Фурье. Из равномерной сходимости следует не только поточечная, но и среднеквадратичная сходимость к тому же пределу. Операция, обратная дифференцированию, - интегрирование с переменным верхним пределом - "улучшает" не только функции (интегрируемую по Риману преобразует в непрерывную, а непрерывную - в дифференцируемую), но и характер сходимости: среднеквадратично сходящийся функциональный ряд допускает почленное интегрирование и преобразуется в равномерно сходящийся ряд интегралов с переменным верхним пределом. В случае интегрирования тригонометрического ряда - функциональный ряд таких интегралов сходится, кроме того, и абсолютно. Отсюда следуют такие утверждения.

Тригонометрический ряд для кусочно-гладкой периодической функции сходится к ней абсолютно и равномерно. Если же функция, кроме того, имеет кусочно-гладкую производную, то этот ряд допускает почленное дифференцирование, и тригонометрический ряд производных тоже сходится абсолютно и равномерно. Подобные факты имеют место и для старших производных. Все это позволяет эффективно применять тригонометрические ряды в исследовании линейных дифференциальных и интегральных уравнений и в построении приближенных методов решения линейных и нелинейных уравнений.

В этой работе даны определения ряда Фурье, коэффициентов Фурье, представлены примеры разложений функций в ряд Фурье, а также рассмотрен характер сходимости рядов Фурье и приведены примеры.

Математиками был развит геометрический подход к теории рядов Фурье путем введения полного ортонормального базиса. Исторически эти ряды возникли в результате анализа сложных колебаний и разложений их на гармонические.

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. «Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного», Москва, «Наука», 1989 г.

2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.М.:Наука, 1976г.

3. Пискунов Н.С «Дифференциальное и интегральное исчисления», Москва, «Наука», 1972 г.

4. Подольский В.А., Суходский А.М. «Сборник задач по математике для техников-программистов», Москва, «Высшая школа», 1978 г.

5. Уваренков И.М., Маллер М.З. «Курс математического анализа», Москва, «Просвещение», 1976 г.

6. Фихтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 3, Москва, «Наука», 1969г.

7. Шилов Г.Е. «Математический анализ функции одного переменного», Москва, «Наука», 1970г.

8. Шипачев В.С. «Высшая математика», Москва, «Высшая школа», 1990г.

9. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. «Краткий курс высшей математики», том 2, Москва, «Высшая школа», 1978г.

Размещено на Allbest.ru