Приведение поверхности второго порядка к каноническому виду путем преобразования систем координат

Размещено на http://www.allbest.ru/

45

Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова»

Кафедра высшей математики

Курсовая работа

«Приведение поверхности второго порядка к каноническому виду путем преобразования систем координат »

Проверил: Ильина И.И.

Чебоксары 2007

Содержание

Введение

Глава I. Прямоугольно - декартовая система координат

§1. Общая декартова и декартова прямоугольная системы координат на плоскости

§2. Общая декартова и декартова прямоугольная системы координат в пространстве

Глава II. Преобразование систем координат

§1. Перенесение начала

§2. Изменение координатных векторов

§3. Общий случай

Глава III. Приведение к каноническому виду уравнения поверхностей второго порядка в пространстве

Глава IV. Типы поверхностей второго порядка

Заключение

Список использованной литературы

Приложение 1

Приложение 2

Введение

В данной курсовой работе рассмотрена тема “Приведение поверхности второго порядка к каноническому виду путем преобразования систем координат”. Работа состоит из теоретической и практической частей.

В теоретической части курсовой работы представлены четыре главы. В первой главе описана прямоугольно- декартовая система координат.

Следующая глава раскрывает способы преобразования систем координат.

В третьей главе рассмотрено приведение к каноническому виду уравнения поверхностей второго порядка в пространстве. А в четвёртой -- приведены типы поверхностей второго порядка.

Практическая часть курсовой работы содержит 10 задач: 5 задач по типовому расчёту и 5 по теории.

Глава I. Прямоугольно - декартовая система координат

§1. Общая декартова и декартова прямоугольная системы координат на плоскости

Общей декартовой (или аффинной) системой координат на плоскости называется упорядоченная совокупность двух пересекающихся осей координат с общим началом координат О на каждой из них (рис. 1.1).

Масштабные отрезки этих осей могут быть различны. Первая ось называется осью Ох, или осью абсцисс, вторая--осью Оу, или осью ординат.

Пусть М--произвольная точка плоскости. Пусть Р-- проекция точки М на ось Ох параллельно оси Оу, а x -- координата точки Р на оси Ox; Q -- проекция точки М на ось Оу параллельно оси Ох, а у --координата точки Q на оси Оу. Числа х, у называются общими декартовыми (или аффинными) координатами точки М. Первая координата х называется абсциссой точки М, вторая координата у называется ординатой точки М. Точка М с координатами х, у обозначается М (х, у). Абсцисса точки М равна нулю тогда и только тогда, когда точка М лежит на оси Оу; ордината, у точки М равна нулю тогда и только тогда, когда точка М лежит на оси Ох. Для начала координат О (и только для этой точки) обе координаты х и у равны нулю. Точки E1(1, 0) и Е2(0, 1) называются единичными точками осей координат; точка Е(1, 1) называется единичной точкой системы координат, параллелограмм OE1EE2-- масштабным параллелограммом.

Отрезки ОЕ1 и ОЕ2 являются масштабными отрезками соответственно осей Ох и Оу. Векторы

и

называются масштабными векторами соответственно осей Ох и Оу.

Общую декартову систему координат на плоскости можно задать упорядоченной парой пересекающихся прямых и единичной точкой Е, не лежащей ни на одной из них.

В самом деле, пусть О -- точка, в которой пересекаются эти прямые, Е1 -- про-екция точки E на первую из данных прямых параллельно второй, а E2-- проекция точки E на вторую прямую параллельно первой. Тогда положительные направления прямых

определяются направлениями векторов и , отрезки ОЕ1 и 0Е2 -- масштабные отрезки соответственно для первой и второй осей координат.

При помощи общей декартовой системы координат на плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством всех упорядоченных пар действительных чисел, так как:

каждой точке M плоскости соответствует одна определенная упорядоченная пара действительных чисел x, у-- координат этой точки;

каждая упорядоченная пара х, у действительных чисел ставится в соответствие одной и только одной точке М, для которой первое число х --абсцисса, а второе число -- у ордината.

Для построения этой точки М в случае , надо построить на оси Ox точку Р с координатой х, а на оси Оу --точку Q с координатой у. Точка М является точкой пересечения прямых, проходящих через точки Р и Q, параллельных соответственно осям Оу и Ох. Если у = 0 или х = 0, то дело сводится к построению точки на оси Ох на оси Оу.

Декартовой прямоугольной система координат на плоскости называется упорядоченная совокупность двух взаимно перпендикулярных осей координат с равными масштабными отрезками ОЕ1=ОЕ2 и с общим началом координат О на каждой оси (рис. 1.2)

Определение декартовых прямоугольных координат точки формулируется аналогично соответствующему определению общих декартовых координат точки: пусть Р и Q--ортогональные проекции точки М соответственно на оси Ох и Оу, х--координата точки Р на оси Ох, а у -- координата точки Q на оси Оу. Числа х, у называются декартовыми прямоугольными координатами точки М.

Отметим, что часто масштабные векторы осей Ох и Оу в декартовой прямоугольной системе координат обозначают так:

и

Рис. 1.1 Декартовая система координат Рис. 1.2 Оси координат

§2. Общая декартова и декартова прямоугольная системы координат в пространстве

Общей декартовой ( или аффинной ) системой координат в пространстве называется упорядоченная совокупность трех осей координат, не лежащих в одной плоскости и проходящих через одну точку О, являющуюся началом координат на каждой оси. Масштабные отрезки осей координат, вообще говоря, различны (рис. 1.3). Точка О называется началом координат. Первая ось называется осью Ох, или осью абсцисс, вторая--осью Оу, или осью ординат, третья--осью Oz, или осью аппликат. Плоскость, проходящая через две оси из трех Ох, Оу, Oz, называется координатной плоскостью; координатных плоскостей три; они обозначаются так:

Oyz, Oxz и Оху.

Пусть М -- произвольная точка пространства. Обозначим через Р проекцию точки М на ось Ох параллельно плоскости yOz, a через х -- координату точки Р на оси Ох. Через Q обозначим проекцию точки М на ось Оу параллельно плоскости zOx, а через у -- координату точки Q на оси Оу. Через R обозначим проекцию точки М на ось Oz параллельно плоскости хОу, а через z-- координату точки R на оси Oz (рис. 1.4). Три числа х, у, z, взятые в этом порядке, называются общими декартовыми координатами точки М. Первая координата х называется абсциссой точки М, вторая у--ординатой точки М, третья z--аппликатой точки М. Точка М с координатами х, у, z обозначается М (х, у, z).

Абсцисса точки М равна нулю тогда и только тогда, когда точка М лежит на координатной плоскости yOz. Ордината точки М равна нулю тогда и только тогда, когда точка М лежит на координатной плоскости zOx. Аппликата точки М равна нулю тогда и только тогда, когда точка М лежит на координатной плоскости хОу.

Отсюда следует, что точка М (х, у, z) лежит на оси Ох тогда и только тогда, когда у = z = 0; на оси Оу тогда и только тогда, когда z = х = 0 и на оси Oz тогда и только тогда, когда х = y = 0. Для начала координат (и только для этой точки) все три координаты равны нулю.

Точки Е1(1, 0, 0), E2(0, 1, 0), E3(0, 0, 1) называются единичными точками осей координат. Точка E(1, 1, 1) называется единичной точкой системы координат. Параллелепипед с вершиной в начале координат О и с ребрами OE1 ОЕ2, ОЕ3 называется масштабным параллелепипедом. Отрезки OE1 ОЕ2, ОЕ3 являются масштабными отрезками соответственно осей Ox, Oy, Oz. Векторы

, ,

называются масштабными векторами соответственно осей Ox, Oy, Oz.

Общая декартова система координат в пространстве может быть задана упорядоченной тройкой прямых, не лежащих в одной плоскости, и проходящих через одну точку, и единичной точкой Е (не лежащей в одной плоскости ни с какой парой из заданных прямых). В самом деле, проектируя единичную точку Е на каждую из заданных прямых параллельно плоскости, содержащей две другие прямые, мы построим единичные точки El E2, Е3; этим самым будут определены и масштабные отрезки, и положительные направления на данных прямых.

При помощи общей декартовой системы координат устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек пространства и множеством всех упорядоченных троек действительных чисел. Здесь для построения точки М, имеющей координатами заданные числа х, у, z, поступают так: если ,, , то строят на осях Ox, Oy, Oz точки Р, Q, R, имеющие на этих осях координаты, соответственно равные х, у, z, и проводят через точки Р, Q, R плоскости, соответственно параллельные координатным плоскостям yOz, zOx, хОу; точка М есть точка пересечения этих плоскостей. Если одна из координат х, у, z равна нулю, например z = 0, то точка М лежит в координатной плоскости

хОу и имеет в этой плоскости относительна на общей декартовой системы координат; заданной осями Ох и Оу, координаты х и у; построение точки М для этого случая указано выше. Аналогично строится точка М, если у = 0 (в этом случае она лежит в плоскости zOx) и если х=0 (в этом случае точка М лежит на плоскости yOz).

Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называется упорядоченная тройка попарно перпендикулярных осей координат с общим началом координат О на каждой из них с одним и тем же масштабным отрезком для каждой оси (рис. 1.5).

Определение декартовых прямоугольных координат точки формулируется аналогично соответствующему определению общих декартовых координат точки, а именно: пусть Р, Q, R -- ортогональные проекции точки М на оси Ох, Оу, Оz (рис. 1.6); х -- координата точки Р на оси Ох, у--координата точки Q на оси Оу, a z-- координата точки R на оси Оz.. Три числа х, у, г называются декартовыми прямоугольными координатами точки М.

Отметим, что часто масштабные векторы осей Ох, Оу, Оz в декартовой прямоугольной системе координат обозначаются

, ,

Рис. 1.3 Масштабные отрезки Рис. 1.4 Проекции точки М

Рис. 1.5. Декартовая система Рис. 1.6. Ортогональные проекции

координат в пространстве точки М

Глава II. Преобразование систем координат

Координаты одной и той же точки или вектора по отношению к различным системам координат, вообще говоря, различны. Очень важно уметь вычислять координаты точки или вектора относительно одной системы по координатам той же точки или вектора относительно другой.

Приступая к решению этого вопроса, мы будем считать известным взаимное расположение основных элементов двух рассматриваемых систем координат. Под основными элементами данной системы декартовых координат мы подразумеваем начало этой системы и координатные векторы. Этими элементами определяются, конечно, и оси координат. Когда речь идет о координатах вектора (а не точки), то положения начал, конечно, безразличны.

§1. Перенесение начала

Начнем с рассмотрения того простого случая, когда новая система отличается от старой только положением начала, так что координатные векторы (и следовательно, направления осей) в обеих системах одни и те же. Оси старой системы обозначим через Ox, Oy, Oz, а оси новой -- через О'х', О'у', O'z' (рис. 2.1. а). Координатные векторы в обеих системах обозначим через . Положение новой системы относительно старой, очевидно, вполне определяется координатами нового начала О' относительно старой системы. Пусть а, b, с обозначают эти координаты.

Если -- некоторый вектор, то, очевидно, его координаты относительно обеих систем одни и те же. Рассмотрим зависимость между старыми и новыми координатами какой-либо точки М. Пусть х, у, z обозначают координаты М в старой системе, а х', у', z' -- в новой. Очевидно, имеем (см. рис. 2.1. а)

. (2.1)

Но, по самому определению координат точки,

, ,

.

Внося эти выражения в предыдущую формулу, получим

,

откуда следует, что

х = а+х', у=b + у', z = c + z'. (2.2)

Формулы (2.2) дают возможность вычислить старые координаты, когда даны новые, и обратно. Для случая координат на плоскости будем иметь аналогично:

х = а + х', у = b + у'; (2.3)

для случая координат на прямой (оси) будем иметь, очевидно,

х = а+х'; (2.4)

читатель легко проверит эти формулы также непосредственно на чертеже (рис. 2.1. б).



а) б)

Рис. 2.1 старая и новая системы координат Рис. 2.2. Системы координат с общим началом

§2. Изменение координатных векторов

Рассмотрим теперь другой частный случай, когда оси новой системы Ox'y'z' составляют произвольные углы с осями старой системы Oxyz, начала же их совпадают; координатные векторы новой системы могут отличаться от старых не только по направлению, но и по величине (рис. 2.2). Мы будем считать заданными координаты векторов относительно старой системы. Пусть эти координаты суть соответственно , ,, так что

(2.5)

Пусть - некоторый вектор и пусть X, Y, Z и X', Y', Z' - его координаты соответственно относительно старой и новой систем.

Имеем: .

Внося в правую часть вместо их выражения (2.5) через и сравнивая в обеих частях коэффициенты при получим

(2.6)

Таким образом, задача наша решена: старые координаты выражены через новые. Если мы хотим выразить новые координаты через старые, то для этого достаточно решить систему (2.6) относительно Х', У', Z' или же прямо применить предыдущий результат, поменяв ролями старые и новые системы В этом последнем случае надо считать заданными координаты координатных векторов u, v, w старой системы относительно новой системы.).

Из того обстоятельства, что, поменяв ролями старые и новые оси, мы можем выразить X', Y', Z' через X, Y, Z, вытекает, что система (2.6) всегда разрешима относительно X', У', Z', а это значит, что определитель

или

отличен от нуля. Последнее вытекает также из того, что если бы предыдущий определитель был равен нулю, то тогда векторы u', v', w' были бы компланарны, а это противоречит условию, принятому раз навсегда относительно координатных векторов.

Совершенно ясно, далее, что координаты любой точки М преобразуются по тем же формулам (2.6), так как координаты точки М суть не что иное, как координаты радиуса- вектора этой точки.

Если, следовательно, х, у, z и х', у', z' суть соответственно старые и новые координаты точки М, то

(2.7)

Точно так же можно выразить новые координаты через старые.

Заметим, что величины в формулах (2.6) или (2.7) суть постоянные величины, зависящие только от взаимного расположения старой и новой систем и от длин координатных векторов, но не зависящие от рассматриваемого вектора Р (или точки М).

§3. Общий случай

Пусть теперь новая система O'x'y'z' расположена совершенно произвольно относительно старой системы Охуz., Так как координаты вектора вовсе не зависят от положения начала координат, то, очевидно, они будут преобразовываться по тем же формулам (2.6) предыдущего параграфа, как если бы новое начало координат О' совпадало с О.

Для вывода же формул преобразования координат точки введем вспомогательную систему 0'x"y"z" ( рис. 2.3 ), имеющую начало в О', но координатные векторы которой равны старым.

Обозначая через (х, у, z), (х', у',z') и (х", у",z") координаты точки М соответственно в старой, новой и вспомогательной системах, будем иметь сперва

х = а + х", y = b + y", z = c + z",

где а, b, с обозначают координаты нового начала О' относительно старой системы. Далее, по формулам предыдущего параграфа получим (рассматривая вспомогательную систему как старую)

подставляя эти значения в предыдущие формулы, получим окончательно

(2.8)

В формулах (2.8) все коэффициенты a, b, … ,п3 cуть постоянные величины, не зависящие от положения точки М (упомянутые коэффициенты зависят только от взаимного расположения осей старой и новой систем координат и от длин координат векторов).

Для случая координат на плоскости вместо формул (2.8) будем иметь формулы (2.9) выводимые совершенно аналогичным способом.

(2.9)

Меняя ролями старые и новые системы, получим совершенно аналогичные формулы:

(2.10)

для пространства и

(2.11)

-- для плоскости. Эти формулы можно, конечно, получить из (2.8) (соответственно из (2.9)), решая последние относительно х', у', z' (соответственно х', у').

Для случая координат на прямой (оси Ох) формулы преобразования координат точки имеют, очевидно, следующий вид:

x = а+1х', х' = а' + 1'х (2.12)

( где ).

Резюмируя полученные результаты, можно высказать следующее основное предложение:

Декартовы координаты вектора относительно одной системы суть линейные однородные функции декартовых координат того же вектора относительно другой системы. Декартовы координаты точки относительно одной системы суть линейные (вообще неоднородные) функции декартовых координат той же точки относительно другой системы).

Замечание. Если переменные х, у, z выражаются через переменные х', у', z' формулами вида

(2.13)

то говорят, что х, у, z получаются из х', у', z' линейной однородной подстановкой (преобразованием) с таблицей

(2.14)

Определитель этой таблицы, т. е. определитель

= (2.15)

называется определителем подстановки; величины …суть коэффициенты подстановки. Если , то подстановка называется особенной, если же ,то подстановка - неособенная.

Формулы вида (2.8) также определяют линейную подстановку (линейное преобразование), вообще неоднородную Подстановка будет однородной в случае, когда а = b = с = 0.. величины а, b, с, l1, l2, . . ., п3 суть коэффициенты подстановки, Однако определителем подстановки называется тот же определитель , составленный из коэффициентов 11, … , п3. Подстановка называется особенной или неособенной в зависимости от случаев или . Эти определения, естественно, распространяются на случай любого числа переменных.

При указанной терминологии доказанное выше предложение можно высказать еще так: новые координаты точки получаются из старых линейной неособенной подстановкой с постоянными коэффициентами; новые координаты вектора получаются из старых линейной однородной неособенной подстановкой с постоянными коэффициентами. Коэффициенты названы здесь постоянными в том смысле, что они не зависят от рассматриваемого вектора или точки, а только от взаимного положения и длин старых и новых координатных векторов и начал координат.

Легко видеть, что всякую неособенную подстановку вида (2.8) можно рассматривать, как формулы преобразования координат точки при переходе от одной системы декартовых координат к другой. Аналогично относительно подстановки вида (2.13) для координат вектора.

Рис. 2.3. Произвольные системы координат

Глава III. Приведение к каноническому виду уравнения поверхностей второго порядка в пространстве

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz . Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка, коэффициенты в котором обозначены специальным образом

a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+b1x+b2y+b3z+c = 0 (3.1)

где aij , bi , c - числа, причем хотя бы одно из чисел aij отлично от нуля.

Выделим квадратичную часть выражения, стоящего в уравнении слева,

f = a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz (3.2)

Такое выражение называется квадратичной формой от трех переменных. Составим матрицу

(3.3)

Эта матрица называется матрицей квадратичной формы f. Она является симметричной, то есть, или, другими словами, aij = aij . Следует обратить внимание на то, как эта матрица составлена. На диагонали у нее стоят коэффициенты при квадратах переменных, а в остальных местах - половины коэффициентов при произведениях переменных.

Исходная система координат является прямоугольной, поэтому скалярное произведение векторов с координатными , задается формулой .

(3.4)

Сформулируем две теоремы, позволяющие пользоваться приведенным ниже алгоритмом.

Теорема 1.Если матрица A - симметричная, то ее собственные числа являются вещественными числами и существует ортонормированный базис из собственных векторов.

Пусть A - матрица квадратичной формы f. По сформулированной теореме у нее существует ортонормированный базис из собственных векторов. Обозначим их , и пусть эти векторы имеют координаты

Базис назовем старым, а базис - новым. Тогда матрица перехода будет иметь вид

(3.5)

Выберем новую систему координат так, что начало координат не изменяется, а новые базисные векторы задают направления новых координатных осей (рис. 3.1).

Тогда координаты (x, y, z) точки M являются координатами ее радиус-вектора и, следовательно, при замене базиса меняются по формуле

3.6

Теорема 2.Пусть собственные векторы матрицы квадратичной формы f, образующие ортонормированный базис, соответствуют собственным числам . Тогда в системе координат квадратичная форма принимает вид

(3.7)

Если мы из равенства (3.6) выпишем выражение x, y, x через новые переменные и подставим в уравнение (3.1), то обнаружим, что квадратичная его часть и линейная часть преобразуются независимо друг от друга. В результате уравнение в системе координат имеет вид

(3.8)

Хотя бы одно из чисел отлично от нуля, иначе матрица A была бы нулевой.

Рассмотрим три случая.

Пусть все собственные числа отличны от нуля. В уравнении (3.8) выделим полные квадраты

(3.9)

декартовы координаты уравнение поверхность

Выполним параллельный перенос системы координат , взяв за новое начало системы координат точку . Тогда в новой системе координат уравнение запишется в виде

3.10

Здесь возможны следующие варианты.

Пусть

Перенесем в правую часть и поделим обе части на , получим

3.11

Если числа отрицательны, то ни одна точка пространства не удовлетворяет этому уравнению. Говорят, что оно определяет мнимый эллипсоид.

Если числа положительны, то уравнение является каноническим уравнением эллипсоида.

Если одно из чисел отрицательно, а остальные положительны, то (после переименования осей) получим каноническое уравнение однополостного гиперболоида.

Если одно из чисел положительно, остальные отрицательны, то (после переименования осей) получим каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.

Пусть .

Если все числа положительны, то только начало координат удовлетворяет этому уравнению. Поверхность выродилась в точку.

Если одно из чисел отрицательно, а два положительны, то (после переименования осей) получим каноническое уравнение конуса.

Если же два числа отрицательны или все три отрицательны, то, умножив обе части уравнения на -1, получим случай 2 или случай 1.

Пусть одно из чисел равно нулю, а два других отличны от нуля. Допустим, что . Тогда в уравнении (3.8) выделим полные квадраты по переменным .

(3.12)

Пусть . Преобразуем уравнение к виду

(3.13)

Поделим обе части уравнения на и выполним параллельный перенос осей координат, взяв за новое начало координат точку .

Получим уравнение

3.14

Если числа и положительны, то это - каноническое уравнение эллиптического параболоида.

Если , получим каноническое уравнение гиперболического параболоида.

Если числа и отрицательны или , то сменим направление у оси на противоположное и получим либо случай 1, либо случай 2.

Пусть

Тогда поверхность является цилиндрической, образующие которой параллельны оси , а направляющей служит кривая на плоскости c уравнением

3.15

Пусть только одно из чисел отлично от нуля. Допустим, что .Тогда в уравнении (3.8) выделим полный квадрат по переменной

3.16

Пусть хотя бы одно из чисел отлично от нуля. Тогда на плоскости возьмем две перпендикулярные прямые и . Возьмем новую систему координат, у которой начало будет в точке O, ось направлена по оси , ось направлена вдоль второй прямой, а ось направлена вдоль первой прямой. Тогда уравнение примет вид

3.17

Это - уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси , а направляющей служит кривая на плоскости с уравнением

Пусть . Тогда уравнение принимает вид

Если число справа положительно, то уравнение определяет две плоскости

Если число справа равно нулю, то уравнение определяет одну плоскость

Если число справа отрицательно, то ни одна точка пространства уравнению не удовлетворяет.

Итак, получен алгоритм, позволяющий установить, какая поверхность задается уравнением второго порядка и каково ее положение в пространстве.



Рис. 3.1 Система координат

Глава IV. Типы поверхностей второго порядка

Поверхности	Название	Каноническое уравнение	Вид поверхности
1	Эллипсоид	++=1
2	Мнимый эллипсоид	++= -1
3	Однополостный гиперболоид	+-=1
4	Двуполостный гиперболоид	+-= -1
5	Эллиптический параболоид	+=2Z
6	Гиперболический параболоид	-=2Z
7	Конус второго порядка	+-=0
8	Мнимый конус второго порядка	++=0
9	Цилиндр эллиптический	+=1
10	Мнимый эллиптический цилиндр	+= -1
11	Цилиндр гиперболический	-=1
12	Цилиндр параболический	X2=2pY
13	Пара пересекающихся плоскостей	-=0
14	Пара мнимых пересекающихся плоскостей	+=0
15	Пара параллельных плоскостей	X2-a2=0
16	Пара мнимых параллельных плоскостей	X2+a2=0
17	Пара совпадающих плоскостей	X2=0

Заключение

Данная курсовая работа раскрывает теорию приведения поверхности второго порядка к каноническому виду путем преобразования систем координат. Ее можно использовать как учебное пособие по приведенной теме. А практическая часть работы, представленная десятью задачами, может служить примером решения типичных задач.

Список использованной литературы

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1980.

2. Бугров А.С. Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Наука, 1980.

3. Глухое М. М. Алгебра и аналитическая геометрия: Курс лекций. - М.: 1986.

4. Рублев А. Я. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Высшая школа, 1972.

5. Моденов П.С. Аналитическая геометрия. - Изд-во МГУ, 1969.

6. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1968.

7. Мусхешвили Н.И. Курс аналитической геометрии. - С-П, 2002.

8. Ефимов А.В., Демидова Б.П. Сборник задач по математике для вузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. - М.: Наука, 1981.

9. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, в двух частях, часть 1, издание четвёртое, исправленное и дополненное. - М.: Высшая школа, 1986.

10. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии, издание двадцать девятое, стереотипное. - М.: Наука, 1968.

11. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. - М.: Наук, 1966.

12. Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1999.

13. Наумов В.А. Руководство к решению задач по линейной алгебре и аналитической геометрии. - М.: Наука, 1993.

14. Клетенник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1986.

15. Бахвалов С.Б. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1964.

Приложение 1

Задача 1. Даны уравнения одной из сторон ромба х-3у + 10 = 0 и одной из его

диагоналей х + 4у - 4 = 0; диагонали ромба пересекаются в точке (0; 1). Найти уравнение остальных сторон ромба.

Решение:

Найдем т. пересечения и :

=> A(-4;2)

Т.к P - середина отрезка AC, то

=> C(4;0). Через точку C направим прямую, параллельную (т.е. найдем ). => По свойству ромба:

 => ; =>

; ; ; =>

;

По формуле прямой, проходящей через две точки, найдем

;

Задача 2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти длины медианы, высоты, биссектрисы, проведенных из вершины А. Вычислить внутренний угол при вершине В.

А (8;0), В(-4; -5); С(-8;-2).

Решение:

1) ={-12; -5}, ||=13

= {-4; 3}, ||=5

= {-16; -2}, ||==



2) =0.5(+)=0.5{-12-16;-5-2}={-28;-7}

|| =

x +4	=	y + 5
-4		3

3) Имеем уравнение прямой ВС:

3x + 4y + 32 = 0.

|| = с(A, BC) =	|3•8+4•0+32|	=

4) Найдем уравнение прямой AL:

; ;

Значит,

.

Тогда, или

Найдем точку L - точку пересечения прямых AL и BC:

;

Тогда

и .

Итак,

и

5)

Ответ: ; ;;

Задача 3. Найти точки пересечения кривой второго порядка с прямой (а):

Решаем систему: ; ;

Подставляем в первое уравнение и получаем:

D<0 => нет точек пересечения

Ответ: нет точек пересечений

Задача 4. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось направлена по биссектрисе первого координатного угла. Даны полярные координаты точек . Определить декартовы прямоугольные координаты этих точек.

M(xM; yM), где

xM=с1Cos (ц1+р/4) = Cos(25р/12) = Cos(р/12),

yM=с1Sin (ц1+р/4) = Sin(25р/12) = Sin(р/12).

N(xN; yN), где

xN=с2Cos (ц2+р/4) = 2Cos(р +р/4) =-2Cos(р/4)=,

yN=с2Sin (ц2+р/4) = 2Sin(р +р/2) = -2Sin(р/4)= .

Ответ:

Задача 5. Для векторов , заданных в ортонормированном базисе найдите:

- направляющие косинусы вектора ;

- площадь параллелограмма, построенного на векторах и , имеющих общее начало;

- объем пирамиды, построенной на векторах , и , имеющих общее начало.

-

1) ; ;

2) ; ;

3)

Ответ: ; ; ;; 82.

Приложение 2

Задача 1. С помощью преобразования поворота прямоугольной декартовой системы привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка

29x2 + 144xy + 71y2 - 40x + 30y - 50 = 0.

Написать формулы преобразования и изобразить данную кривую на чертеже.

Решение:

При повороте системы координат на угол ц наблюдается следующая зависимость между старыми и новыми координатами:

.

Тогда общее уравнение кривой второго порядка

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

преобразуется следующим образом:

+

+

Раскроем скобки. Получим

или

, где

.

Для того, чтобы избавиться от перекрестного члена необходимо повернуть систему координат на такой угол ц, чтобы , т.е.

Найдем :

где .

Тогда

и

; .

Имеем:

.

Получили:

, где .

Канонический вид уравнения заданной кривой:

Это гипербола с вершинами в точках и ; асимптотами и фокусами и

Ответ:

Задача 2. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить кривую на плоскости:

.

Решение:

Имеем: a11 = 4, a22 = 9, a12 = 0, a1 = ?16, a2 = 9, a0 = 37. Тогда

, то есть уравнение задает кривую эллиптического типа. Так как , то выделяем "полный квадрат":

? ;

;

? ;

? .

Сделаем замену:

.

В системе координат уравнение имеет вид:

.

Таким образом, данное уравнение определяет эллипс с полуосями и , с центром в точке . Строим чертеж .



Ответ:



Ответ:

Задача 5. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить кривую на плоскости:

.

Решение:

Имеем: a11 = 9, a12 = ?6, a22 = 0, a1 = ?21, a2 = 6, a0 = 81. Тогда

то есть уравнение (1) задает кривую гиперболического типа. Далее находим:

Найдем собственные значения:

.

Тогда угол поворота равен

Далее найдем координаты б, в нового центра О1 системы координат .

.

Уравнение (1) в системе примет вид:

.

Уравнение (2) задает гиперболу, у которой и , фокусы гиперболы лежат на оси О1х1.

Строим гиперболу на плоскости по плану (рис. 2.11):

T поворачиваем ось на угол против часовой стрелки, для этого строим прямую (так как ); в результате получаем систему координат ;

T на плоскости отмечаем точку , через эту точку проводим две прямые, параллельные осям и ; получаем систему координат ;

T в системе строим гиперболу, согласно уравнению (2).



Размещено на Allbest.ru