Поверхностный интеграл второго рода
Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода, свойства поверхностного интеграла второго рода и формулы Остроградского-Гаусса и Стокса. Поток векторного поля. Физическое приложение поверхностного интеграла как потока векторного поля.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.04.2011 |
| Размер файла | 309,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Введение
Целями данной курсовой работы являются систематизация теоретической информации по данной теме, использование изученного теоретического материала для решения практических задач, вывод доказательств для основных теорем: Формулы Стокса, Остроградского-Гаусса, о связи между поверхностными интегралами первого и второго рода и о связи между поверхностным интегралом второго рода и двойным интегралом.
Изучение данной области математического анализа выходит за рамки стандартной программы нематематических специальностей и требует повышенного уровня подготовки студентов. За счёт использования нескольких источников предпринимается попытка изложения материала в достаточно полной и одновременно доступной форме.
В курсовой работе были рассмотрены такие вопросы как определение поверхностного интеграла второго рода, его связь с двойным интегралом, связь между поверхностными интегралами первого и второго рода, свойства поверхностного интеграла второго рода и рассмотрение формул Остроградского-Гаусса и Стокса.
Опорные сведенья
Рассмотрим точки области, в которой функция f(x, y, z)(однозначная и непрерывно-дифференцируемая) принимает постоянные значения: f(x, y, z)=с. Это уравнение можно рассматривать как уравнение некоторой поверхности в пространстве.
Поверхность Ф, точки которой имеют координаты (x,y,z), называется к раз дифференцируемой, если при некотором к >=1 у каждой точки поверхности Ф есть окрестность, допускающая к раз дифференцируемую параметризацию.
Поверхность Ф называется гладкой, если такое к=1.
Если с каждой точкой M(x, y, z) пространственной области G связана векторная функция её радиус-вектора , то говорят, что в области G задано векторное поле.
Нормалью к поверхности Ф в точке М называется прямая, проходящая через точку М перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.
Рассмотрим гладкую и незамкнутую поверхность , ограниченную кусочно-гладким контуром . Это означает, что для уравнения поверхности существуют частные производные по всем переменным. В точке Р проведём нормаль к поверхности. Через точку P проведем замкнутый контур Г, не имеющий общих точек с границей.
Рисунок 1
При обходе контура возможны две ситуации:
а) нормаль к поверхности ? при возвращении в точку P сохранит свое направление;
б) при непрерывном движении вдоль замкнутого контура Г, непрерывно меняясь по направлению, нормаль изменит направление на противоположное при возвращении в исходную точку.
В случае «а» поверхность называется двусторонней, в случае «б» - односторонней. Совокупность точек поверхности с определенным направлением нормали называется стороной поверхности.
Выберем определенную сторону незамкнутой двусторонней поверхности, а в ней замкнутый контур Г. Он ориентирован положительно, если обход совершается против часовой стрелки (+), и ориентирован отрицательно, если обходится по часовой стрелке.
Построим в точке поверхности, лежащей внутри контура, нормаль к поверхности и воспользуемся: «правилом буравчика».
Поверхность является положительно ориентированной, если при обходе контура Г в положительном направлении движение винта совпадает с направлением нормали. Если движение винта противоположно направлению нормали, то поверхность отрицательно ориентирована.
Для замкнутой поверхности считается, что внешняя поверхность ориентирована положительно, а внутренняя - отрицательно.
Поверхностный интеграл второго рода
Определение поверхностного интеграла второго рода.
Введем определение поверхностного интеграла 2-го рода по аналогии с соответствующим криволинейным интегралом.
В случае криволинейного интеграла была направленная (ориентированная) кривая, которую раскладывали на элементы. Каждый такой элемент, соответственно направленный, проектировался на координатную ось. Проекция получалась тоже направленной, и ее длина бралась со знаком плюс или минус в зависимости от того, совпадало ли ее направление с направлением оси или нет.
В данном случае рассматривается гладкая или кусочно-гладкая двусторонняя поверхность S, для определенности пусть она задана явным уравнением z = z(x, y) ( точка (x, y) изменяется в области D на плоскости , ограниченной кусочно-гладким контуром), в каждой точке которой определена функция f(M) = f(x, y, z). Разобьем поверхность S при помощи гладких или кусочно-гладких кривых на конечное число частей S1, S2,…, Sп, выберем в каждой части Si точку Mi(xi, yi, zi).Обозначим через максимальный размер Si. Выберем какую-либо из сторон поверхности (или, что то же самое, определенную ориентацию). Выбор возможен между верхней и нижней сторонами. В первом случае замкнутой кривой на поверхности приписывается направление против часовой стрелки, если смотреть сверху, во втором - обратное направление.
Спроектировав каждую часть, соответственно ориентированную, на плоскость ,получим, что направление обхода контура проектируемой фигуры определит и направление обхода контура проекции. Это направление будет совпадать с вращением против часовой стрелки, то есть отвечать ориентации самой плоскости , если фиксирована была верхняя сторона поверхности; в этом случае нормаль с осью будет составлять острый угол, и площадь проекции будет браться со знаком плюс. В случае нижней стороны вращение будет обратным, угол между нормалью и осью будет тупым, и площадь проекции будем брать со знаком минус. Обозначим через Di- площадь проекции части Si на плоскость с определенным знаком, зависящим от выбора стороны поверхности.
Умножим f(Mi) на площадь Di проекции части Si на плоскость . Составим сумму:
Если существует конечный предел этой суммы при , не зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек Mi на ней, то он называется поверхностным интегралом второго рода от функции f(M) по выбранной стороне поверхности S и обозначается
(говорит о площади проекции элемента поверхности на плоскость ).
В этой записи не содержится указания на то, какая сторона поверхности выбрана, поэтому это требуется оговаривать отдельно.
Если поверхность S не имеет указанного специального вида, то есть, не задана явным уравнением, то определение поверхностного интеграла второго рода строится совершенно так же. Площади Di проекций могут браться не все с одинаковыми знаками, а возможно и с разными знаками, если одни части поверхности оказываются лежащими вверху, а другие - снизу.
Рисунок 2
Аналогичным образом если вместо плоскости проектировать части поверхности на плоскость или , то получим два других поверхностных интеграла второго типа:
,
где Ci и Bi - площади проекций Si соответственно на плоскости и .
Сумма последних трёх интегралов, если они существуют, называется полным (или общим) поверхностным интегралом второго рода по выбранной стороне поверхности S и обозначается:
,
где P, Q, R - функции от (x,y,z), определенные в точках поверхности S.
Важно отметить отличительное свойство данного интеграла:
При замене рассматриваемой стороны поверхности на противоположную поверхностный интеграл 2-го рода меняет знак:
Это вытекает из определения поверхностного интеграла, то есть если изначально мы рассматривали верхнюю сторону поверхности, то проекция площади Di на будет с положительным знаком. При смене на нижнюю сторону поверхности эта проекция поменяет знак.
S+:
S-:
Вычисление поверхностного интеграла 2 рода.
Пусть поверхность S задается явным уравнением z = z(x,y), где z(x,y)- непрерывно дифференцируемая функция, и однозначно проектируется в плоскую область на координатной плоскости . Нормаль к поверхности S , как вектор, ортогональный к касательной плоскости, имеет координаты: и направляющие косинусы нормали равны:
Выбор знака перед радикалом соответствует острому или тупому углу нормали с соответствующей осью координат и определяет сторону поверхности S.
Рисунок 3
Спроектируем элементы Si на касательной плоскости на координатную плоскость , площадь проекции:
(выбор знака зависит от направления нормали).
Исходя из, получили интегральную сумму для двойного интеграла, то есть:
D - проекция поверхности S на плоскость . Таким образом, вычисление поверхностного интеграла 2-го рода сводится к вычислению обычного двойного интеграла по области D от функции f, в которую вместо
Координаты z подставлено ее выражение из уравнения поверхности S.
Обобщая эти рассуждения, получим, что
где Dxy, Dxz, Dyz - это соответствующие проекции поверхности S на плоскости , , .
Связь между поверхностными интегралами второго рода и первого рода.
Учитывая, что проекции элемента поверхности Si, на координатные плоскости имеют вид используя ранее доказанное получим:
При смене стороны поверхности меняют знак направляющие косинусы нормали, и, соответственно, интеграл в правой части равенства, который сам по себе, как поверхностный интеграл 1-го рода, от выбора стороны поверхности не зависит.
Из определения поверхностного интеграла второго рода следует, что он зависит от выбора системы координат. При изменении системы координат меняются значения направляющих косинусов .
Если поверхность S гладкая, ограниченная, полная, двусторонняя, и на ней задана векторная функция , то мы можем выбрать на ней определенную сторону и обозначить через векторное поле единичных нормалей поверхности S. скалярное произведение - функция не зависящая от выбора декартовой системы координат в пространстве. Следовательно, также не зависит от выбора этой системы координат.
Примеры на вычисление поверхностного интеграла рассмотрены в приложении 1.
Свойства.
Учитывая связь между поверхностным интегралом второго рода с двойным интегралом и поверхностным интегралом первого рода, можно выделить следующие важные свойства:
1. Постоянную можно выносить за знак интеграла:
2.
3. Если и имеют только общую границу, то:
4. Если S есть часть цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси z, направляющая которой на плоскости имеет нулевую площадь, то все ее элементы имеют нулевые проекции, так что в этом случае:
или, зная формулу связи между поверхностными интегралами 1 и 2 рода, можно прийти к этому равенству:
Поток векторного поля
Пусть - непрерывное векторное поле, а S- ориентированная кусочно-гладкая поверхность (имеющая конечное число границ - линий излома). Разобьем поверхность на n частей , каждая из которых имеет площадь , и выберем точку Pi на каждом из участков Si. В точке построим единичный вектор нормали к поверхности Si.
Рисунок 4
Составим вектор с длиной , направленный по нормали . Вычислим скалярное произведение , просуммируем по всем участкам и рассмотрим предел суммы при .
Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения поверхности S на участки Si и от выбора точки Pi, то он называется потоком векторного поля через поверхность S.
Используя введенное ранее понятие поверхностного интеграла второго рода, можно определить поток вектора через поверхность S как поверхностный интеграл второго рода от вектора по поверхности S.
Поток вектора - скалярная характеристика векторного поля.
Формула Остроградского-Гаусса
Для гладких функций эта формула была впервые получена в трёхмерном случае Остроградским в 1828 (опубликована в 1831). На n-мерный случай была обобщена им же в 1834 (опубликовано в 1838). С помощью этой формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от n-кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации n-кратного интеграла. При n = 3 для одного частного случая формула Остроградского была получена Гауссом в 1813, поэтому иногда она называется также формулой Остроградского -- Гаусса.
Теорема. Пусть S - замкнутая кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая тело V в пространстве. Пусть выбрана внешняя сторона S. Пусть P,Q,R - функции, имеющие непрерывные производные на V. Тогда имеет место формула:
или
,
- внешняя нормаль к S.
Доказательство:
Будем считать, что поверхность S можно разбить на три части: , заданную уравнением и - цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси . Функции непрерывны в замкнутой области D, которая является проекцией S.
Рисунок 5
Вычислим интеграл:
Выберем внешнюю сторону поверхности, и полученные двойные интегралы заменим поверхностными интегралами второго рода. На направляющий косинус , на , а на .
Тогда:
Прибавим :
Если поверхность S можно представить в виде объединения поверхностей и цилиндрической поверхности, с образующей параллельной оси , то , и, при аналогичных условиях , то складывая получим формулу Остроградского-Гаусса:
Теперь предположим, что V состоит из конечного числа тел, разделенных гладкими поверхностями , причем эти тела удовлетворяют сформулированным выше условиям. Для удобства, пусть
Тогда
Каждый из интегралов преобразуем по формуле Остроградского-Гаусса как , где взяты внешние стороны поверхностей Поверхности имеют общую часть, причем они имеет общую часть , причем их внешние нормали противоположны, в этой общей части и интегралы по этой внешней части взаимно сократятся, поэтому:
Аналогично можно показать для большего числа частей V.
Пример на формулу Остроградского рассмотрен в приложении 2.
Формула Стокса
Теорема. Пусть S - гладкая ориентированная двусторонняя поверхность (т.е. направление нормали выбрано, образует с положительным направлением оси острый угол) и l - кусочно-гладкая кривая, ограничивающая S, причем мы считаем направление обхода l положительным. Пусть функции P, Q, R - непрерывно дифференцируемые.
Тогда
или
.
Замечание. В случае плоской кривой L (поверхность S представляет собой плоскую область D ), лежащей на плоскости , z=0, эта формула совпадает с формулой Грина:
Замечание. Формулы в правой части запомнить непросто. Поэтому удобно записать подынтегральное выражение в виде своеобразного определителя .
Во второй строке стоят операторы дифференцирования. Поэтому будем считать, что мы понимаем под этим определителем его формальное разложение по первой строке, причем произведение, например, оператора на функцию R есть и т.п.
Доказательство:
Рисунок 6
Если уравнение поверхности имеет вид z = f(x, y), то направляющие косинусы нормали задаются формулами:
Вычислим, например, .. Рассмотрим параметризацию проекции L кривой l на плоскость : (разумеется - непрерывно дифференцируемые функции).
Тогда
.
К плоской кривой L применим формулу Грина:
,
где D - ограничиваемая кривой L область плоскости . Вычислим . Итак, . Далее, , , и, значит, .
Поэтому
Аналогично,
и .
Складываем:
Формула Стокса доказана.
Заключение
поверхностный интеграл второго рода
При написании этой работы были поставлены три основные цели, все они были достигнуты. Были приведены доказательства теорем: формулы Остроградского-Гаусса и формулы Стокса. Рассмотрено основное свойство поверхностного интеграла, проведено подробное доказательство этого свойства. Также в данной курсовой было изучено физическое приложение поверхностного интеграла как потока векторного поля.
Список используемой литературы:
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: для ун-тов и пед. ин-тов / Г.М.Фихтенгольц .-Изд. 3-е, стереотип.-М.:Физматгиз. Т.3.-1960.?656с.
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Уч. Пособие. ? 22-е изд., перераб. - СПб., Профессия, 2005.?416 с., ил.
3. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ: Учебник для физ. и инж.-физ. специальностей вузов.-М: Высш. школа. Т.2.-1970.?420с.
4. Титаренко В.И., Выск Н.Д. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля: учебное пособие. - М: Издательство РГТУ им. К.Э.Циолковского, 2006.-72с.
5. Соболев А.Б., Рыбалко А.Ф. Математика: учебное пособие.- Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2006. - 142 с.
6. Ильин В.А. н др. Математический анализ. Продолжение курса/ В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл. X. Сендов. Под ред. А.Н. Тихонова. -- М.: Изд-вo МГУ, 1987. -- 358 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Определение понятия поверхностного интеграла первого и второго рода, их основные свойств, примеры вычисления и его перевода в обыкновенный двойной. Рассмотрение потока векторного поля через поверхность, как механического смысла поверхностного интеграла.
контрольная работа [157,6 K], добавлен 24.01.2011Поверхностный интеграл как интеграл от функции, заданной какой-либо поверхности. Сущность и понятие поверхностного интеграла первого и второго рода, взаимосвязь между ними и вычисление. Формулы Остроградского и Стокса, их доказательство и применение.
курсовая работа [321,7 K], добавлен 09.10.2011Криволинейные и поверхностные интегралы. Криволинейный интеграл I и ІІ рода. Поверхностный интеграл I и ІІ рода. Формулы Грина, Остроградского-Гаусса, Стокса. Основные понятия теории поля. Скалярное поле. Производная скалярного поля по направлению.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 09.12.2008Вычисление площади фигуры, ограниченной заданными линиями, с помощью двойного интеграла. Расчет двойного интеграла, перейдя к полярным координатам. Методика определения криволинейного интеграла второго рода вдоль заданной линии и потока векторного поля.
контрольная работа [392,3 K], добавлен 14.12.2012Поверхностный интеграл второго рода, вычисление поверхности. Теорема Остроградского-Гаусса. Дивергенция, векторное поле скоростей. Поток вектора через замкнутую поверхность, направления внешней нормали. Поверхность произвольных частей.
реферат [354,0 K], добавлен 23.02.2011Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.
контрольная работа [257,4 K], добавлен 23.02.2011Алгоритм вычисления интегральной суммы для функции нескольких переменных по кривой АВ. Определение понятия криволинейного интеграла второго рода. Представление суммы интегралов двух функций вдоль кривой АВ как криволинейного интеграла общего вида.
презентация [69,4 K], добавлен 17.09.2013Специальные векторные поля. Теорема Стокса. Потенциальное, соленоидальное поле. Теорема Остроградского-Гаусса. Поток и определение вектора, направленного в отрицательную сторону оси. Дивергенция, свойства и интенсивностью векторной трубки.
реферат [369,7 K], добавлен 23.02.2011Несобственные интегралы первого рода. Понятие абсолютно и условно сходящегося интеграла. Несобственные интегралы второго рода. Определение непрерывности функции и равномерной сходимости. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра.
курсовая работа [240,1 K], добавлен 23.03.2011Математическое объяснение понятия и свойств скалярного поля. Формулы расчета нормали к поверхности. Вычисление потока векторного поля через прямой круговой цилиндр с заданным радиусом основания. Доказательство теорем Остроградского-Гаусса и Стокса.
реферат [264,0 K], добавлен 11.02.2011
