Определённый интеграл

Условия существования определенного интеграла

1) Интегрируемая функция необходимо ограничена.

Если бы функция f(x) была в промежутке [a, b] неограниченна, то - при любом разбиении промежутка на части - она сохранила бы подобное свойство хоть в одной из частей. Тогда за счет выбора в этой части точки можно было бы сделать f(), а с ней и сумму , - сколь угодно большой; при этих условиях конечного предела для существовать не могло бы.

2) Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было

(S - s) = 0

s = m ?X, S = M ?X,

где m и M - точные нижняя и верхняя грани. Суммы Дарбу s и S служат точными, соответственно, нижней и верхней границами для интегральных сумм.[6]

Основные свойства определенного интеграла:

1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:

Это свойство следует из определения интеграла.

2. Если f(x)=1, то

Действительно, так как f(x)=1, то

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

R

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [a; b] функций f₁(x), f₂(x), …, f_n(x) равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:

6. (аддитивность определенного интеграла). Если существуют интегралы и то существует также интеграл и для любых чисел a, b, c;

7. Если f(x) ? 0 [a; b], то

a < b

8 . (определенность определенного интеграла). Если интегрируемые функции f(x) и ?(x) удовлетворяют неравенству f(x) ? ?(x) [a; b], то

a >b.

9 . (об оценке определенного интеграла). Если m и М - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], то

a < b.

10. (теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка [a; b], что

т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ? отрезка интегрирования [a; b] и длины b-a этого отрезка.[10]

Пример 1.

.

Пример 2.

2. Длина дуги кривой

Прямоугольные координаты

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f(x), где a ? x ? b. (рис 1).

Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю.

Применим схему I (метод сумм).

1. Точками X = a, X, … , X = b (X ? X? … ? X) разобьем отрезок [a, b] на n частей. Пусть этим точкам соответствуют точки M = A, M , … , M = B на кривой AB. Проведем хорды MM, MM, … , MM , длины которых обозначим соответственно через ?L, ?L, … , ?L.

Получим ломанную MMM … MM, длина которой равна L = ?L+ ?L+ … + ?L = ?L.[6]

2. Длину хорды (или звена ломанной) ?L можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами ?X и ?Y:

?L = , где ?X = X - X, ?Y = f(X) - f(X).

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции

?Y = (C) ?X, где C (X, X).

Поэтому ?L = = , а длина всей ломанной MMM … MM равна

L = ?L =

Длина кривой AB, по определению, равна L = L = ?L. Заметим, что при ?L 0 также и ?X 0 (?L = и следовательно | ?X | < ?L). Функция непрерывна на отрезке [a, b], так как, по условию, непрерывна функция f (X). Следовательно существует предел интегральной суммы

L = ?L = , кода max ?X 0:

L = = dx.

Таким образом, L = dx.

Пример: Найти длину окружности радиуса R. (рис 2)[5]

Решение: Найдем ? часть ее длины от точки (0;R) до точки (R;0). Так как

y = , ?L = dx = R arcsin = R .

Значит L = 2R.

Полярные координаты

Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r(), . Предположим, что r() и r() непрерывны на отрезке [].

Если в равенствах x = r cos, y = r sin, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол , то кривую AB можно задать параметрически

Тогда

Поэтому

= =

Применяя формулу L = , получаем

L =

Пример: Найти длину кардиоиды r = a(1 + cos).

Решение: Кардиоида r = a(1 + cos) симметрична относительно полярной оси. Найдем Рис 3 половину длины кардиоиды:

? L = = a = a = 2a cos d = 4a sin = 4a. [7]

3. Площадь криволинейной трапеции

Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абсцисс и прямыми x=a, x=b, называется криволинейной трапецией.

Способы нахождения площади криволинейной трапеции

Теорема. Если f(x) непрерывная и неотрицательная функция на отрезке [a;b], то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразных.

Дано: f(x)- непрерывная неопр. функция, x[a;b].

Доказать: S = F(b) - F(a), где F(x) - первообразная f(x).

Доказательство:

1) Рассмотрим вспомогательную функцию S(x). Каждому x[a;b] поставим в соответствие ту часть криволинейной трапеции (рис 4), которая лежит левее прямой, проходящей через точку с этой абсциссой и параллельно оси ординат.

Следовательно, S(a)=0 и S(b)=S_тр 2) Докажем, что S(a) - первообразная f(x).

D( f ) = D(S) = [a;b]

S'(x₀)= lim( S(x₀+x) - S(x₀) / x ), при x0 S - прямоугольник

при x0 со сторонами x и f(x₀)

S'(x₀) = lim(x f(x₀) /x) = lim f(x₀) = f(x₀): т.к. x0 точка,

^{x0 x0}

то S(x) - первообразная f(x).

Следовательно, по теореме об общем виде первообразной

S(x) = F(x) + C.

Т.к. S(a)=0, то S(a) = F(a)+C

C = -Fa

S = S(b)=F(b)+C = F(b)-F(a)

1). Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей (рис 5). Шаг разбиения

x=(b-a)/n. При этом S_тр=lim(f(x₀)x+f(x₁)x+...+f(x_n))x=

ⁿ

= lim x(f(x₀)+f(x₁)+...+f(x_n))

При n получим, что S_тр= x(f(x₀)+f(x₁)+...+f(x_n))Предел этой суммы называют определенным интегралом.

_b

S_тр= f(x)dx.

^a

Сумма, стоящая под пределом, называется интегральной суммой.

Определенный интеграл это предел интегральной суммы на отрезке [a;b] при n. Интегральная сумма получается как предел суммы произведений длины отрезка, полученного при разбиении области определения функции в какой либо точке этого интервала.

a -- нижний предел интегрирования;

b -- верхний предел интегрирования.[10]

4. Площадь поверхности вращения

Пусть кривая АВ является графиком функции у = f(х) ? 0, где х [а;b], а функция у = f(х) и ее производная у' = f'(х) непрерывны на этом отрезке.

Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох (рис 8).

Применим схему II (метод дифференциала).

1. Через произвольную точку х [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Плоскость П пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом у - f(х). Величина S поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от х, т. е. s = s(х) s(а) = 0 и s(b) = S).

2. Дадим аргументу х приращение ?х = dх. Через точку х + dх [а; b] также проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функция s = s(х) получит приращение ?s, (изображенного на рис 6 в виде “пояска”).

Найдем дифференциал площади ds, заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна dl, а радиусы оснований равны у и у + dу. Площадь его боковой поверхности равна ds = (у + у + dу) * d1 = 2ydl + dydl. Отбрасывая произведение dу d1 как бесконечно малую высшего порядка, чем ds, получаем ds = 2уdl, или, так как d1 = dx.

1. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем

S= 2ydx

Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), t? t ? t, то формула для площади поверхности вращения принимает вид

S = 2dt.

Пример: Найти площадь поверхности шара радиуса R.

Решение: Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности y = , -R ? x ? R, вокруг оси Ox. По формуле S= 2ydx находим

S = 2 =

[7]

Заключение

интеграл лагранж функция коши

Наука прошла большой и сложный путь развития от самого элементарного к более сложному. Человечество прошло и проходит длительный путь от незнания к знанию, непрерывно заменяя на своем пути неполное и несовершенное знание все более полным и совершенным.

Интеграл - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в 19 веке. Решение этой задачи связано с именем О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана и французского математика Г. Дарбу. Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены К. Жорданом.

Различные обобщения понятия интеграла в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом и А. Данжуа, советским математиком А.Я. Хинчиным.

Интеграл используется в таких науках как физика, геометрия, математика и других науках. При помощи интеграла вычисляют работу силы, находят координаты центр масс, путь, пройденный материальной точкой. В геометрии интеграл используется для вычисления объема тела, нахождение длины дуги кривой.

Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления, в общем, и свойства определенного интеграла, в частности.

Также определенный интеграл используется для изучения собственно самой математики. Например, при решении дифференциальных уравнений, которые в свою очередь вносят свой незаменимый вклад в решение задач практического содержания. Можно сказать, что определенный интеграл - это некоторый фундамент для изучения математики. Отсюда и важность знания методов их решения.

Литература:

интеграл лагранж функция коши

1. Виленкин М.Я., О.С. Ивашев - Мусатов, С.И. Шварцбурд, «Алгебра и математический анализ», Москва,1993г.

2. Власов В.Г. «Конспект лекций по высшей математике». Москва Айрис 1997г.

3. Иванов А.А. «Курс лекций по математике».

4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» часть I. Москва, 1982г.

5. Кальницкий Л.А «Специальный курс высшей математики для втузов», Москва,1976.

6. Колмогоров А.Н, А.М Абрамов и др. «Алгебра и начало математического анализа. Учебник для 10 - 11 кл.». - 17-е изд. - М.: Просвещение, 2008 г.

7. Кузнецов Д.А. «Сборник задач по высшей математики» Москва, 1983 г.

8. Никольский С. Н. «Элементы математического анализа». - М.: Наука, 1981г.

9. Понтрягин Л.Н. «Математический анализ для школьников». - 2-е изд., перераб. - М.: Наука, 1983г.

10. Фихтенгольц Г. М «Курс дифференциального исчисления. Том 2».

Размещено на Allbest.ru