Кратні інтеграли та їх застосування

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВА РОБОТА

з дисципліни «Математичний аналіз»

Кратні інтеграли та їх застосування

202 ТІ.03. 08073 КР

Зміст

1. Означення подвійного інтеграла

2. Основні властивості подвійних інтегралів

3. Обчислення подвійного інтеграла

4. Перехід до полярних координат

5. Обчислення площ плоских фігур

6. Обчислення об'єму циліндричного тіла

7. Означення потрійного інтеграла

8. Обчислення потрійного інтеграла

9. Перехід до циліндричних координат потрійному інтегралі

10. Перехід до сферичних координат у просторі

11. Застосування подвійних та потрійних інтегралів до задач механіки і фізики

ІДЗ №1

ІДЗ №2

ІДЗ №3

Список літератури

1. Означення подвійного інтеграла

кратний інтеграл циліндричний координата

Нехай функція визначена в обмеженій замкнутій області площини . Розіб'ємо область довільним чином на елементарних областей, площі котрих, як і самі області, позначатимемо . У кожній елементарній області виберемо довільну точку .

Інтегральною сумою для функції по області називається сума вигляду:

. (1)

Діаметром замкнутої обмеженої області називається найбільша відстань між двома точками межі цієї області.

Подвійним інтегралом від функції по області називається границя інтегральної суми (1) за умови, що найбільший із діаметрів , прямує до нуля:

.

Подвійний інтеграл позначають так:

.

2. Основні властивості подвійних інтегралів

1. .

2. , де с - const.

3. Якщо область складається із двох областей і , які не мають спільних точок, то.

4. Якщо дві функції в області задовольняють нерівність , то .

5. Якщо функція в області , то .

6. .

3. Обчислення подвійного інтеграла

Область називається правильною в напрямі осі (осі ), якщо будь-яка пряма, яка проходить через внутрішню точку області , паралельно осі (осі ), перетинає межу області у двох точках і .

Якщо область правильна в напрямі осі і проектується на вісь у відрізок , то її межа розбивається на 2 лінії: , яка задається рівнянням , і , рівняння якої . Тоді область задається системою нерівностей: .

При такому заданні області подвійний інтеграл по цій області обчислюється за формулою:

(1.2).

Інтеграл називається повторним або двократним. Інтеграл називається внутрішнім інтегралом. У ньому інтегрування ведеться по змінній , а - const. Отже

.

Якщо область є правильною в напрямі осі , то її можна задати нерівностями: .

Тоді подвійний інтеграл по області обчислюється за формулою:

(1.3).

Інтеграл називається повторним або двократним.

Інтеграл називається внутрішнім інтегралом. В ньому інтегрування ведеться по змінній , а const. Отже, маємо:

.

Якщо область правильна у напрямі осі та осі , то справедливі формули (1.2) і (1.3).

Якщо порівняти формули (1.2) і (1.3), то маємо:

(1.4).

Перехід від лівої частини формули (1.4), до правої і навпаки називається зміною порядку інтегрування.

4. Перехід до полярних координат

Прямокутні декартові координати , і полярні координати , зв'язані відношенням:

.

Якобіан .

Тоді формула переходу до полярних координат набуває вигляду:

.

де область задана в декартовій системі координат , а - відповідна їй область в полярній системі координат.

5. Обчислення площ плоских фігур

Площа плоскої фігури обчислюється за формулою:

.

У випадку полярної системи координат

.

6. Обчислення об'єму циліндричного тіла

Об'єм циліндричного тіла, обмеженого зверху неперервною поверхнею , знизу площиною і з боків циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі , а напрямною є контур, що обмежує область , обчислюється за формулою

.

Якщо обчислення ведеться у полярних координатах, то

.

Це є геометричним змістом подвійного інтеграла.

7. Означення потрійного інтеграла

Нехай функція визначена в замкненій обмеженій області тривимірного простору . Розіб'ємо область на довільних частинних областей , які не мають спільних внутрішніх точок. Об'єми областей позначимо позначимо , їх діаметри - . Діаметром області називається довжина найбільшої хорди, яка з'єднує дві точки межі області . Візьмемо довільну точку , і знайдемо значення функції у точці .

Вираз вигляду називається інтегральною сумою для функції по області . Позначимо через максимальний із діаметрів областей , тобто , .

Якщо існує границя інтегральної суми за умови, що , тобто , яка не залежить від способу розбиття області а елементарні області та від вибору точок , то ця границя називається потрійним інтегралом від функції по області . Потрійний інтеграл позначається так:

.

8. Обчислення потрійного інтеграла

Означення. Якщо будь-яка пряма, яка проходить через внутрішню точку області паралельно осі , перетинає границю області у двох точках, а проекція на площину є правильною областю , то область називається правильною у напрямі осі . Аналогічно вводиться означення правильної області у напрямах осей і .

Нехай область обмежена знизу і зверху поверхнями і відповідно, а з боків циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні . Позначимо проекцію області на площину через .

Припустимо, що кожна пряма, яка паралельна осі і проходить через внутрішню точку області , перетинає область у точках і . Точку назвемо точкою входу в область , а - точкою виходу із області , їхні аплікати позначимо відповідно і . Тоді , і для будь-якої неперервної в області функції має місце формула:

. (1.5)

Тобто, щоб обчислити потрійний інтеграл, спочатку треба обчислити інтеграл по змінній , вважаючи, що змінні і сталі. Інтеграл називають внутрішнім інтегралом, бо

. (1.6)

Права частина формули (1.6) є подвійним інтегралом по області із підінтегральною функцією . Таким чином, формула (1.6) дає змогу звести потрійний інтеграл до подвійного.

Якщо область , наприклад, обмежена , , а , при чому і неперервні в області , а область задана відповідно так: , то переходячи від подвійного інтеграла у формулі (1.6) до повторного, одержимо формулу:

. (1.7)

Формула (1.7) зводить обчислення потрійного інтеграла до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів. Порядок інтегрування у формулі (1.7) може бути й іншим, тобто змінні , і за певних умов можна міняти місцями.

9. Перехід до циліндричних координат у потрійному інтегралі

Циліндричні і декартові координати пов'язані відношенням:

.

Потрійний інтеграл у циліндричних координатах має вигляд:

,

- задана на в декартовій ординат, - у полярній.

10. Перехід до сферичних координат у просторі

Сферичні координати , і декартові координати пов'язані відношенням:

.

А перехід від сферичних координат до декартових відбувається за формулою:

,

де область - задана на в декартовій системі координат,а - у полярній.

11. Застосування подвійних та потрійних інтегралів до задач механіки і фізики

Обчислення маси плоскої пластинки: Якщо пластинка лежить у площині і має форму замкненої області , в кожній точці якої задана поверхнева густина , то маса пластинки обчислюється за формулою:

.

Якщо матеріальне тіло має об'ємну густину , то маса тіла обчислюється за формулою:

.

Обчислення статичних моментів: статичні моменти плоскої матеріальної пластинки визначаються за формулами:

.

Якщо тіло знаходиться у просторі , то статичні моменти тіла відносно координатних площин знаходяться за формулами:

.

Координати центра маси: координати центра маси матеріальної пластини обчислюються за формулами:

.

У випадку трьохвимірного простору:

ІДЗ №1

1. Представити подвійний інтеграл у вигляді повторного інтеграла із зовнішнім інтегруванням по і зовнішнім інтегруванням по , якщо область D задана вказаними лініями:

Область D зображена на рисунку 1.1, обмежена лініями , .

Рис. 1.1

Виразимо змінну через :

Знайдемо точки перетину ліній і :

- не задовольняє умову.

Отже, маємо:

.

2. Обчислити подвійний інтеграл по області D, обмежений вказаними лініями:

Область D зображена на рисунку 1.2.

Рис. 1.2

Оскільки область D симетрична відносно вісі , то:

.

3. Обчислити подвійний інтеграл, використовуючи полярні координати:

.

Область D зображена на рисунку 1.3.

Рис. 1.3

Перейдемо до полярної системи координат:

, , .

Маємо:

.

4. Обчислити площу плоскої області D, обмеженої заданими лініями:

.

Подана плоска фігура обмежена зверху параболою , а знизу прямою (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Знайдемо точки перетину параболи із лінією:

Якщо , то .

Якщо , то .

Маємо точки перетину заданих ліній: (2;-6), (-2;-6).

Оскільки область D симетрична відносно осі Оу, то маємо:

.

5. За допомогою подвійних інтегралів обчислити в полярних координатах площу плоскої фігури, обмеженої вказаними лініями:

.

Перейдемо до полярної системи координат:

Рис. 1.5

Рівняння лінії у полярних координатах має вигляд: . Оскільки лінія симетрична відносно осі Ox й Оу, то площа плоскої фігури дорівнює:



.

6. Обчислити об'єм тіла, обмеженого заданими поверхнями:

.

Рис. 1.6

Дане тіло обмежено зверху площиною (рис. 1.6), тому його об'єм визначаємо наступним чином:

.

ІДЗ №2

1. Розставити межі інтегрування у потрійному інтегралі , якщо область V обмежена вказаними поверхнями. Накреслити область інтегруваня:

.

Область інтегрування зображена на рисунках 2.1, 2.1а.

Рис. 2.1рис. 2.1а

.

2. Обчислити потрійний інтеграл:

.

Область зображена на рис. 2.2.

.

Рис. 2.2

3. Обчислити потрійний інтеграл за допомогою циліндричних або сферичних координат:

.

На рисунку 2.3 зображена область V та її проекція D на площину .



Рис. 2.3

Виконаємо деякі перетворення рівнянь :

Перейдемо до циліндричних координат :

;

;

.

4. За допомогою потрійного інтеграла обчислити об'єм тіла, обмеженого вказаними лініями:

.

Рис. 2.4

Рівняння визначає зрізаний циліндр, інші поверхні є площинами (рис. 2.4). Отже, маємо:

.

ІДЗ № 3

1. Обчислити масу неоднорідної пластинки D, обмеженої заданими лініями, якщо поверхнева густина в кожній точці :

.

Для обчислення маси плоскої пластини ,поданою поверхневою густиною скористаємось фізичним змістом подвійного інтеграла і формулою , де область інтегрування зображена на рисунку 3.1.

Отже, маса пластинки:

.

Рис. 3.1

2. Обчислити статичний момент однорідної пластини D, обмеженої вказаними лініями, відносно вказаної осі, використавши полярні координати:

.

Рис. 3.2

Перейдемо до полярних координат:

Статичний момент відносно осі даної пластини визначається за формулою . У полярній системі координат область D (рис. 3.2) перетворюється на область . Отже, маємо:

.

3. Обчислити координати центра мас однорідного тіла, що займає область V, обмежену заданими поверхнями:

.

Дане тіло (рис. 3.3 )симетричне відносно осі , тому , .

Рис. 3.3

Перейдемо до циліндричних координат за формулами:

Тоді одержуємо:

Отже, , а центр маси має координати .

Список літератури

1. Тевяшев А. Д., Литвин О. Г., Кривошеєва Г. М. та ін.. Вища математика у прикладах і задачах. Частина 2. - Харків: Фактор-Друк, 2002.

2. Ємець О. О., Недобачій С. І.. Методичні вказівки до виконання курсової роботи з дисципліни «Математичний аналіз» (2-ий курс, 3-ій семестр) для студентів спеціальностей «Прикладна математика», «Інформатика». - Полтава: ПолтНТУ, 2003.

3. Шкіль М. І.. Математичний аналіз: Підручник: у 2 ч. - 3-тє вид., переробл. і допов. - К.: Вища шк.., 2005.

4. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3.

5. Сборник индивидуальных задач по высшей математики: Учеб. Пособие. В 3 ч. Ч.3/Рябушко А. П., Бархатов В. В., Державцев В. В., Юруть И. Е.. - М.:Выс. Шк., 1991.

Размещено на Allbest.ru