Исследование кривых и поверхностей второго порядка
Общая теория кривых второго порядка. Определение зависимости типа кривой от параметра с помощью инвариантов. Определение эксцентриситета, фокусов, директрис, асимптот данной кривой второго порядка. Построение и исследование поверхности второго порядка.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 22.04.2011 |
| Размер файла | 674,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1
Международный университет природы, общества и человека «Дубна»
кафедра высшей и прикладной математики
кафедра системного анализа и управления
Курсовая работа по линейной алгебре
и аналитической геометрии
на тему:
«Исследование кривых и поверхностей второго порядка»
выполнил: студент группы 1202 Пелеванюк И.С.
руководители: доцент Казача Г.С.
доцент Шевцов В.Ф.
Дубна, 2008
Оглавление
- Введение
- Постановка задачи
- 1. Общая теория кривых второго порядка
- 1.1 Кривые второго порядка
- 1.2 Классификация кривых второго порядка
- 2. Исследование кривой второго порядка
- 2.1 Определение зависимости типа кривой от параметра с помощью инвариантов
- 2.2 Построение кривых при различных значениях параметра
- 2.3 Приведение уравнения кривой при в = 0 к каноническому виду
- 2.4 Определение эксцентриситета, фокусов, директрис, асимптот данной кривой второго порядка
- 2.5 Построение кривой второго порядка в общей и канонической системах координат
- 3.Общая теория поверхностей второго порядка
- 3.1 Поверхности второго порядка
- 3.2 Исследование формы поверхности второго порядка методом сечения плоскостями
- 4.Исследование поверхности второго порядка
- 4.1 Приведение уравнения поверхности к каноническому виду
- 4.2 Исследование формы поверхности методом сечений плоскостями
- 4.3 Построение поверхности в канонической системе координат
- Вывод
- Список используемой литературы
Введение
Постановка задачи
Задание 1. Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром :
Определить зависимость типа кривой от параметра в с помощью инвариантов.
Построить кривые всех возможных типов для данного уравнения с параметром.
Привести уравнение кривой при в = 0 к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
Найти фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка.
Построить кривую в канонической и общей системах координат.
Задание 2. Для данного уравнения поверхности второго порядка:
.
1. Привести уравнение поверхности к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
2. Исследовать форму поверхности методом сечений и построить полученные сечения.
3. Построить поверхность в канонической системе координат.
1.Общая теория кривых второго порядка
1.1 Кривые второго порядка
Пусть кривая Г задана в декартовой прямоугольной системе координат xOy уравнением:
. (1.1)
Если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то кривую Г называют кривой второго порядка.
Теорема 1. Для произвольной кривой второго порядка существует такая декартова прямоугольная система координат XO'Y, что в этой системе кривая Г имеет уравнение одного из следующих канонических видов:
1) , а b > 0 -- эллипс;
2) -- мнимый эллипс;
3) -- две мнимые пересекающиеся прямые;
4) -- гипербола;
5) -- две пересекающиеся прямые;
6) -- парабола;
7) -- две параллельные прямые;
8) -- две мнимые параллельные прямые;
9) -- две совпадающие прямые.
В этих уравнениях a, b, p -- положительные параметры.
Систему координат XO'Y назовем канонической системой координат, а систему координат xOy -- общей системой координат.
Функция называется квадратичной формой, соответствующей уравнению (1.1).
,(1.2)
.(1.3)
(1.4)
Значения не меняются при переходе от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой, полученной в результате поворота осей координат и переноса начала координат, то есть являются инвариантами кривой Г относительно поворота осей координат и переноса начала.
1.2 Классификация кривых второго порядка
В зависимости от значения инварианта принята следующая классификация кривых второго порядка.
Есликривая второго порядка Г называется кривой эллиптического типа.
Если кривая второго порядка Г называется кривой параболического типа.
Есликривая второго порядка Г называется кривой гиперболического типа.
Кривая второго порядка Г называется центральной, если .
Кривые эллиптического и гиперболического типа являются центральными кривыми.
Центром кривой второго порядка Г называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой кривой расположены симметрично парами. Точка является центром кривой второго порядка, определяемой уравнением (1.1), в том и только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнениям:
(1.5)
Определитель этой системы равен . Если , то система имеет единственное решение. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам:
, .(1.6)
Классификация кривых второго порядка в зависимости от инвариантов:
1) эллипс -- ;
2) мнимый эллипс -- ;
3) две мнимые пересекающиеся прямые (точка) -- ;
4) гипербола -- ;
5) две пересекающиеся прямые -- ;
6) парабола -- ;
7) две параллельные прямые -- ;
8) две мнимые параллельные прямые -- ;
9) две совпадающие прямые -- .
2.Исследование кривой второго порядка
2.1 Определение зависимости типа кривой от параметра с помощью инвариантов
Для уравнения данной кривой второго порядка
(2.1)
имеем:
Вычислим инварианты кривой по формулам:
Узнаем как изменяются инварианты в зависимости от в:
Зная как изменяются инварианты в зависимости от в можно составить таблицу, в которой отображаются знаки всех инвариантов:
|
в |
(-?;) |
(;) |
(;17) |
17 |
(17;+?) |
|||
|
I1 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
0 |
- |
|
|
I2 |
+ |
0 |
- |
- |
- |
- |
- |
|
|
I3 |
- |
- |
- |
0 |
+ |
+ |
+ |
Используя эту таблицу можно, в соответствии с классификацией кривых второго порядка, узнать как изменяется кривая в зависимости от в:
1. При , I2>0 , I1 I3<0 , следовательно при данных значениях в кривая является эллипсом. (Рис. 1)
2. При , I2=0 , I3?0 , следовательно при данном значении в кривая является параболой. (Рис. 2)
3. При (;) , I2<0 , I3?0 , следовательно при данных значениях в кривая является гиперболой. (Рис. 3)
4. При , I2<0 , I3=0 , следовательно при данном значении в кривая является двумя пересекающимися прямыми. (Рис. 4)
5. При, I2<0 , I3?0 , следовательно при данных значениях в кривая является гиперболой. (Рис. 5)
Используя полученные результаты, построим таблицу зависимости типа кривой от значения параметра в.
Значениепараметра |
(-?;) |
(;) |
||||
|
Тип кривой |
Эллипс |
Парабола |
Гипербола |
Две пересекающиеся прямые |
Гипербола |
кривая поверхность порядок
2.2 Построение кривых при различных значениях параметра
Рис. 1. Кривая при Рис. 2. Кривая при
Рис. 3. Кривая при Рис. 4. Кривая при
Рис. 5. Кривая при
2.3 Приведение уравнения кривой при в = 0 к каноническому виду
(2.2)
Для уравнения кривой второго порядка (2.1) имеем:
Из таблицы зависимости типа кривой от значения параметра в видно , что при в=0 кривая второго порядка является гиперболой.
Совершим параллельный перенос начала координат в точку При этом координаты x, y произвольной точки M плоскости в системе координат xOy и координаты x', y' в новой системе координат x'O'y' связаны соотношениями
(2.3)
Подставляя выражения (2.3) в уравнение (2.2), получим:
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим:
(2.4)
В уравнении (2.4) коэффициенты при x' и y' приравняем нулю. Получим систему уравнений относительно x0, y0
которая определяет координаты центра исходной кривой. Т.к. x0 =4, y0 = 2 -- решение данной системы, то точка O'(4, 2) -- центр данной кривой. Подставим найденные значения x0, y0 в уравнение (2.4). В новой системе координат x'O'y' в уравнении (2.4) коэффициенты при x' и y' равны нулю и уравнение примет вид
(2.5)
Так как то дальнейшее упрощение уравнения (2.5) достигается при помощи поворота осей координат на угол . При повороте осей координат на угол координаты x', y' произвольной точки M плоскости в системе координат x'O'y' и координаты X, Y в новой системе координат XO'Y связаны соотношениями
(2.6)
Подставляя (2.6) в уравнение кривой (2.5), получим
Раскроем скобки:
Приводя подобные члены, получим уравнение
(2.7)
Выберем такой угол , что в уравнении (2.7) коэффициент при произведении XY равен нулю:
(2.8)
Разделим правую и левую части уравнения (2.8) почленно на . Мы можем это сделать, так как , потому что если (то есть ), то при подстановке в уравнение (2.8) получим, что и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству . Получим уравнение
(2.9)
Решая уравнение (2.9), получим
Выберем Получим:
Подставляя эти значения в уравнение (2.7), получим:
соответственно, уравнение :
-- это каноническое уравнение исходной гиперболы (см. рис. 6).
2.4 Определение эксцентриситета, фокусов, директрис, асимптот данной кривой второго порядка
1. Найдем фокусы. Для того чтобы найти фокусы гиперболы воспользуемся следующими формулами: F1(-c, 0), F2(c, 0), где
Следовательно, фокусы имеют вид:
2. Найдем эксцентриситет. Эксцентриситетом гиперболы называется величина
3. Найдем директрисы:
4. Найдем асимптоты по формуле:
2.5 Построение кривой второго порядка в общей и канонической системах координат
Рис.6. Кривая в канонической системе координат
Рис.7. Кривая в общей системе координат
3.Общая теория поверхностей второго порядка
3.1 Поверхности второго порядка
Поверхностью второго порядка S называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:
(3.1)
где, по крайней мере, один из коэффициентов отличен от нуля.
Уравнение (4.1) называют общим уравнением поверхности второго порядка S, а систему координат Oxyz называют общей системой координат.
Теорема: Для произвольной поверхности S, заданной общим уравнением (3.1), существует такая декартова прямоугольная система координат O'XYZ что в этой системе поверхность S задана уравнением одного из следующих канонических видов:
1) -- эллипсоид,
2) -- мнимый эллипсоид,
3) -- однополостный гиперболоид,
4) -- двуполостный гиперболоид,
5) -- конус,
6) -- мнимый конус (точка),
7) -- эллиптический параболоид,
8) -- гиперболический параболоид,
9) -- эллиптический цилиндр,
10) -- мнимый эллиптический цилиндр,
11) -- две мнимые пересекающиеся плоскости (ось O'Z),
12) -- гиперболический цилиндр,
13) -- две пересекающиеся плоскости,
14) -- параболический цилиндр,
15) -- две параллельные плоскости,
16) -- две мнимые параллельные плоскости,
17) -- две совпадающие плоскости (плоскость XOZ).
В вышеперечисленных уравнениях a, b, c, p -- положительные параметры. Систему координат O'XYZ называют канонической.
3.2 Исследование формы поверхности второго порядка методом сечения плоскостями
Если дано каноническое уравнение поверхности S, то представление о поверхности можно получить по форме линий пересечения ее плоскостями:
Z = h -- параллельными координатной плоскости XO'Y,
X = h -- параллельными координатной плоскости YO'Z,
Y = h -- параллельными координатной плоскости XO'Z.
Уравнения проекций линий пересечения поверхности S c этими плоскостями на соответствующие координатные плоскости получаются в результате подстановки в каноническое уравнение поверхности S Z = h, X = h, Y = h соответственно.
4. Исследование поверхности второго порядка
Дано уравнение поверхности второго порядка:
S:
4.1 Приведение уравнения поверхности к каноническому виду
Положим:
.(4.1)
Уравнение (4.1) каноническое.
4.2 Исследование формы поверхности методом сечений плоскостями
Каноническое уравнение поверхности (4.1) задает однополостный гиперболоид.
1. Рассмотрим линии полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями Z = h (h = const). Эти линии определяются системой уравнений:
(4.2)
Следовательно, -- уравнение проекций линий на плоскость XO'Y.
Запишем полученное уравнение в виде:
(4.3)
Уравнение (4.3) определяет семейство эллипсов с центром в точках и вершинами в точках и . Действительные оси эллипсов параллельны осям O'X и O'Y.
Полуоси эллипсов : и увеличиваются с увеличением h.
При различных значениях h получим семейство соответствующих эллипсов:
Если h < 0, то уравнение (4.3) не меняет вида .
Используя полученные данные, построим «карту» (см. рис.8).
Рис. 8. Сечения плоскостями, параллельными XO'Y
Рассмотрим линии полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями Y = h. Эти линии определяются системой уравнений:
Следовательно, уравнение проекций линий на плоскость YO'Z имеет вид:
(4.4)
Запишем уравнение (4.4) в виде:
(4.5)
Уравнение (4.5) определяет семейство гипербол в плоскостях Y = h (h -- любое действительное число) с фокусами в точках и , полуосями и .
При получим семейство соответствующих гипербол:
При уравнение (4.4) определяет две пересекающиеся прямые.
При запишем:
(4.6)
Уравнение (4.6) определяет семейство гипербол, которые повёрнуты на относительно осей координат.
Используя полученные данные, построим «карту» (см. рис.9).
Рис. 9. Сечения плоскостями, параллельными XO'Z
Рассмотрим линии , полученные в сечениях однополостного гиперболоида плоскостями Z = h. Эти линии определяются системой уравнений:
Следовательно, уравнения проекций линий на плоскость YO'Z имеют вид
(4.7)
Запишем уравнение (4.5) в виде:
(4.8)
Уравнения (4.8) -- это уравнения гипербол в плоскостях (h -- любое действительное число), с фокусами в точках и , полуосями и .
При получим семейство соответствующих гипербол:
При уравнение (4.7) определяет две пересекающиеся прямые.
При запишем уравнение (4.7) в виде:
Уравнение (4.6) определяет семейство гипербол, которые повёрнуты на относительно осей координат.
Используя полученные данные, построим «карту» (см. рис.10).
Рис. 10. Сечения плоскостями, параллельными YO'Z
Проанализировав уравнение и результаты исследования методом сечений плоскостями, отметим следующее:
1. уравнение задаёт однополостный гиперболоид.
2. оси O'X , O'Y, O'Z являются осями симметрии поверхности, плоскости O'XZ , O'YZ , O'XZ -- плоскостями симметрии. Центром симметрии у поверхности является точка O(0,0,0);
3. рассекая поверхность горизонтальными плоскостями Z = h, в сечениях получаем эллипсы .
4. рассекая поверхность вертикальными плоскостями X = h и Y = h (h - любое действительное число), в сечениях получаем гиперболы.
Поверхность однополостного гиперболоида бесконечна в направлении всех трех координатных осей. Построим её в канонической системе координат (см. рис. 11).
4.3 Построение поверхности в канонической системе координат
Рис. 11. Поверхность в канонической системе координат
Вывод
Таким образом, из вышеприведенного анализа следует, что, тип кривой второго порядка, заданной алгебраической формой, можно легко определить с помощью поворота осей и параллельного переноса начала координат. Так же из анализа следует, что зная знаки инвариантов, можно полностью определить тип линии второго порядка при различных значениях в, что мы и делаем. Четвёртая часть работы наглядно показывает, что исследование формы поверхности методом сечений плоскостями даёт хорошее представление о поверхности, которую мы исследуем. Данный способ исследования можно применять даже не зная, какая именно поверхность задана уравнением.
Список используемой литературы
1. Бобылева Л. В., Брюхина Л. С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Исследование кривых и поверхностей второго порядка: Учебно-методическое пособие -- Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 2003.
2. Копылова Т. В. Аналитическая геометрия. -- Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1997
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Исследование кривой второго порядка. Определение типа кривой с помощью инвариантов. Приведение к каноническому виду, построение графиков. Исследование поверхности второго порядка. Определение типа поверхности. Анализ формы поверхности методом сечений.
курсовая работа [231,0 K], добавлен 28.06.2009Кривая и формы поверхности второго порядка. Анализ свойств кривых и поверхностей второго порядка. Исследование форм поверхности методом сечений плоскостями, построение линии, полученной в сечениях. Построение поверхности в канонической системе координат.
курсовая работа [132,8 K], добавлен 28.06.2009Общее уравнение кривой второго порядка, преобразование систем координат. Классификация кривых по инвариантам, исследование уравнения кривой второго порядка. Изучение и примеры исследования инвариант поворота и параллельного переноса систем координат.
курсовая работа [654,1 K], добавлен 28.09.2019Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений.
курсовая работа [166,1 K], добавлен 17.05.2011Приведение уравнения к каноническому виду при помощи преобразований параллельного переноса и поворота координатных осей. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситета и асимптот кривой. Построение графика кривой в канонической и общей системах координат.
контрольная работа [133,5 K], добавлен 12.01.2011Исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Инвариантность выражения АС-В2. Классификация линий второго порядка. Уравнения, определяющие эллипс и гиперболу. Директрисы кривых второго порядка.
курсовая работа [132,1 K], добавлен 14.10.2011Роль идей и методов проективной геометрии в математической науке. Закономерности кривых второго порядка и кривых второго класса, основные теоремы Паскаля и Брианшона, описывающие замечательное свойство шестиугольника вписанного в кривую второго порядка.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 04.11.2013Доказательство теоремы единственности для кривых второго порядка. Преимущества и недостатки разных способов доказательства теоремы единственности. Пучок кривых второго порядка. Методы решения теоремы единственности для поверхностей второго порядка.
курсовая работа [302,7 K], добавлен 22.01.2011Метод планирования второго порядка на примере В3-плана. Получение и исследование математической модели объекта в виде полинома второго порядка. Статистический анализ полученного уравнения и построение поверхностей отклика. Расчет коэффициентов регрессии.
курсовая работа [128,4 K], добавлен 18.11.2010Общее уравнение кривой второго порядка. Составление уравнений эллипса, окружности, гиперболы и параболы. Эксцентриситет гиперболы. Фокус и директриса параболы. Преобразование общего уравнения к каноническому виду. Зависимость вида кривой от инвариантов.
презентация [301,4 K], добавлен 10.11.2014
