Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВАЯ РАБОТА

Интегрирование систем уравнений. Определитель Вронского

Определитель Вронского

Определитель Вронского системы функций , дифференцируемых на промежутке (n-1)-раз -- функция на I, задаваемая определителем следующей матрицы:

;

Также вронскианом называют функцию, заданную определителем более общего вида. А именно, пусть задано n вектор-функций с n компонентами . Тогда определитель будет выглядеть так (обозначу его через ):

;

Вектор-функция -- функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:

1. Одна скалярная переменная -- тогда значения вектор-функции определяют в некоторую кривую;

2. m скалярных переменных -- тогда значения вектор-функции образуют в , вообще говоря, m-мерную поверхность;

3. Векторная переменная -- в этом случае вектор-функцию обычно рассматривают как векторное поле на .

Определитель Вронского применяется для решения дифференциальных уравнений, например для того, чтобы узнать, являются ли найденные решения однородного линейного дифференциального уравнения (либо системы уравнений) линейно независимыми.

Свойства определителя Вронского

1. Если линейно зависимы на интервале , то

2. Если определитель Вронского на интервале отличается от нуля хотя бы в одной точке, то функции являются линейно независимыми. Обратное вообще говоря неверно.

3. Если - решения линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка, то называется вронскианом этого уравнения. Определитель Вронского однородного дифференциального уравнения либо тождественно равен нулю, и это означает, что линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке , что означает линейную независимость функций .

4. Если - решения линейной однородной системы, то либо тождественно равен нулю, и это означает, что линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке , что означает линейную не зависимость функций .

Примеры:

1. Убедимся, что вронскиан линейно-зависимых функций , , равен нулю:

2. Проверим теперь линейную независимость функций , :

;

Есть точки, где вронскиан отличен от нуля (в нашем случае это любая точка, кроме x=0). Поэтому на любом промежутке эти функции будут линейно независимыми.

3. Приведём теперь пример, когда вронскиан всюду равен нулю, но функции всё равно линейно независимы. Зададим две функции:

Обе функции всюду дифференцируемы (в том числе в нуле, где производные обеих функций обращаются в ноль). Убедимся, что вронскиан всюду равен нулю:

Однако эти функции, очевидно, являются линейно-независимыми. Видим, что равенство вронскиана нулю не влечёт за собой линейной зависимости в случае произвольного выбора функций.

Системы линейных дифференциальных уравнений

Определение. Система Дифференциальных Уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.

(1)

Общий вид системы дифференциальных уравнений

(2)

Если задано начальное условие: , (3)

то решение будет единственным при условии, что вектор-функция непрерывна на и коэффициенты матрицы: тоже непрерывные функции.

Введем линейный оператор , тогда (6) можно переписать в виде:

, (4)

если , то операторное уравнение (4) называется однородным и имеет вид:

; (5)

в ином случае оно называется неоднородным.

Так как оператор линейный, то для него выполняются следующие свойства:

1. Если решение однородной системы (5), то будет тоже решением уравнения (5).

2. Если являются решением (5), то тоже решение (5).

Метод вариации постоянной

Пусть - общее решение однородной системы (5). Будем искать решение (4) в следующем виде: , где - неизвестные функции. Подставим решение в (4): , при этом учтем, что - решения (5), то есть . Получаем, - векторное уравнение. Последнее соотношение можно записать в виде n-уравнений с n- неизвестными . При этом на , так как - фундаментальная система решений (5) и, следовательно, мы можем однозначно определить неизвестные функции:

. (6)

. (7)

определитель вронский интегрирование дифференциальный уравнение

И тогда общее решение (4) будет иметь вид: .

Решение примеров

Пример 1.

- неоднородная система (1)

- однородная система (2)

Из первого уравнения находим:

(3)

Подставляем его во второе:

После взятии производной и приведения подобных получаем:

- однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Запишем характеристическое уравнение:

Корни уравнения следующие:

 (4)

Подставляя (4) в (3), найдём :

После взятии производной и приведения подобных получаем:

Мы получили общее решение однородной системы:

(5)

Теперь, в соответствии с методом вариации, полагаем, что и - некоторые функции от аргумента :

Подставляя значения и из системы (5) в неоднородную систему (1), дифференцируя и приведя подобные, получим:

Решая эту систему, получим:

После интегрирования получим:

, (6)

где и - новые постоянные.

Подставляя и из системы (6) в систему (5), получим окончательное решение:

Пример 2.

(1)

Запишем соответствующую однородную систему:

(*)

Выразим из первого уравнения и подставим во второе. Получим:

(2)

Решением этого уравнения является функция

(3)

Подставляем (3) в (2):

- решение однородной системы (*) (4)

Полагая, что и - функции от аргумента и подставляя и из (4) в однородную систему (1), получим:

Выразим из второго уравнения:

Подставим в первое:

Интегрируем:

Аналогично поступаем с :

Получили:

(5)

Подставляя и из (5) в (4), запишем окончательное решение:

Пример 3.

(1)

Запишем соответствующую однородную систему:

 (2)

Решим эту систему:

(3)

Полагая, что и - функции, зависящие от аргумента , подставим и из системы (3) в начальную систему (1). В результате получим:

Решив систему, в результате получим:

(4)

Подставляя и из (4) в систему (3), получим окончательное решение:

Пример 4.

 (1)

Запишем соответствующую однородную систему:

(2)

Решим её:

(3)

Полагая, что и - функции, зависящие от аргумента , подставим и из системы (3) в начальную систему (1). В результате получим:

Решаем, интегрируем, получаем:

(4)

Подставляя и из (4) в систему (3), получим окончательное решение:

Литература

1. А.К. Боярчук, Г.П. Головач, «Дифференциальные уравнения в примерах и задачах»; Эдиториал УРСС, 2001.

2. А.Ф. Филиппов, «Сборник задач по дифференциальным уравнениям»; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

3. В.В. Степанов, «Курс дифференциальных уравнений».

4. А.Н. Тихонов, В.А. Ильин, А.Г. Свешников, «Дифференциальные уравнения», выпуск 7; «Наука», 1980.

5. А.Б. Васильева, Г.Н. Медведев, Н.А. Тихонов, Т.А. Уразгильдина, «Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах»; ФИЗМАТЛИТ, 2003.

6. Н.М. Матвеев, «Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений»; «Высшая школа», 1967.

Размещено на Allbest.ru