Размещено на http://www.allbest.ru/

Ростов-на-Дону

2009 год

Содержание:

• Введение
• 1. Теоретическая часть
• 1.1 Комплексные числа
• 1.1.1 Понятие комплексного числа
• 1.1.2 Действия над комплексными числами
• 1.1.3 Операция сопряжения
• 1.1.4 Модуль комплексного числа. Тождество для двух квадратов.
• 1.1.5 Деление комплексных чисел
• 1.2 Кватернионы
• 1.2.1 Определение кватернионов
• 1.2.2 Сопряжение кватернионов
• 1.2.3 Выполнимость деления в системе кватернионов
• 1.2.4 Модуль произведения
• 1.3 Гиперкомплексные числа
• 1.3.1 Коммутативные, ассоциативные системы, системы с делением
• 1.4 Процедура удвоения. Октавы
• 1.4.1 Другой подход к определению кватернионов
• 1.4.2 Удвоение гиперкомплексной системы. Определение октав
• 1.4.3 Сопряжение в системе октав. Модуль октавы.
• 1.4.4 Модуль произведения октав
• 1.4.5 Неассоциативность октав. Свойство альтернативности. Октавы - системы с делением
• 2. Практическая часть
• Заключение
• Список использованных источников


Введение

В элементарной алгебре наряду с действительными числами рассматривается и более широкая система комплексных чисел. Причина, заставляющая рассматривать, комплексные числа, связана с решением квадратных уравнений. Дело в том, что некоторые квадратные уравнения, например,

, (1)

нельзя решить, ограничиваясь только действительными числами (не существует такого действительного числа , чтобы а² было равно --1).

История комплексных чисел начинается с XVI века. Итальянские математики Джироламо Кардано и Рафаэль Бомбелли, решая квадратные уравнения, ввели в рассмотрение символ --формальное решение уравнения (1), а также выражения -- формальные решения уравнений

.

Выражения более общего вида можно рассматривать тогда как формальные решения уравнений

(2)

Впоследствии выражения стали называться «мнимыми», а затем «комплексными» числами и записываться (символ i для обозначения ввел Л. Эйлер в XVIII в.). Этих чисел оказывается уже достаточно для решения любого квадратного уравнения (если дискриминант квадратного уравнения неотрицателен, то, как известно, корни такого уравнения -- действительные, числа, если же дискриминант отрицателен, то уравнение обязательно приводится к виду (2))

В последующем комплексные числа нашли широкое применение не только в самой математике, но и в физике, механике и других областях естествознания. Именно это обстоятельство послужило причиной поиска новых систем чисел, которые, являясь обобщением действительных и комплексных чисел, обладают если не всеми, то хотя бы частью основных свойств последних. Так возникли системы двойных и дуальных чисел, кватернионов, октав, чисел Клиффорда, Грассмана и др. Cистему гиперкомплексных чисел, имевших вид , где , построил в 1843 г. ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их "кватернионами". В основе построения указанных и других систем чисел лежат разные методы, среди которых особое место занимают процедуры удвоения. В данной работе рассматривается одна такая процедура и пример системы чисел, получаемой с помощью этой процедуры. Однако не все системы чисел можно получить с помощью той или иной процедуры удвоения. Так, система гиперкомплексных чисел ранга n может быть получена таким путем, только если n - степень двойки.



1. Теоретическая часть

1.1 Комплексные числа

1.1.1 Понятие комплексного числа

Комплексным числом называется выражение вида

,

где а и b -- действительные числа, а символу i приписывается свойство . Заметим, что среди комплексных чисел содержатся, в частности, все действительные числа (они получаются при b= 0), а также все «чисто мнимые» числа bi (они получаются при а = 0).

Обозначая для краткости комплексное число одной буквой z, будем дальше писать

z = .

Число а называется действительной частью, а число -- мнимой частью комплексного числа z; сам символ i называют «мнимой единицей». Название «мнимая» не следует понимать буквально; оно сохранилось с тех времен (XVI--XVII вв.), когда комплексные числа считались чем-то нереальным и были окружены ореолом глубокой таинственности. Для теперешней математики комплексные числа -- вещь совершенно естественная (не более «мнимая», чем сами действительные числа).

кватернион комплексный число



1.1.2 Действия над комплексными числами

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел естественно определить следующим образом:

(определяя умножение, мы учли тот факт, что ).

Отметим попутно, что если в равенстве, определяющем умножение комплексных чисел, положить , то получим правило умножения действительного числа на комплексное:

а (с + di) = ас + adi.

Нетрудно проверить, что законы, которым подчиняются определенные выше операции над комплексными числами, те же самые, что и законы действий над действительными числами. Сложение обладает переместительным и сочетательным свойствами:

,

то же самое относится к умножению:

наконец, справедлив распределительный закон, устанавливающий связь между этими двумя действиями:

(3)

1.1.3 Операция сопряжения

Каждому комплексному числу z = можно сопоставить другое комплексное число которое называется сопряженным к и обозначается . Таким образом, по определению,

.

Легко убедиться, что справедливы формулы

И

_,

иначе говоря, сопряженное к сумме равно сумме сопряженных и сопряженное к произведению равно произведению сопряженных.

Складывая и перемножая числа и , находим

и

т. е. сумма и произведение сопряженных комплексных чисел всегда являются действительными числами.

1.1.4 Модуль комплексного числа. Тождество для двух квадратов

Неотрицательное действительное число называется модулем комплексного числа z и обозначается :

Итак,

.

Пусть и -- два комплексных числа. Имеем

следовательно,

(4)

или

(5)

Таким образом, модуль произведения равен произведению модулей. Это -- чрезвычайно важное свойство комплексных чисел - свойство нормированности. Если

,

то

,

и равенство (4), записанное справа налево, принимает вид

() ()=

Допуская некоторую расплывчатость формулировки, его можно прочитать так: произведение суммы двух квадратов на сумму двух квадратов есть снова сумма двух квадратов.

1.1.5 Деление комплексных чисел

Пусть и -- два комплексных числа, причем . Частное от деления z' на z есть, по определению, решение уравнения

(6)

Умножив обе части уравнения на , получим или

если теперь умножить обе части на действительное число . то будем иметь

1.2 Кватернионы

Рассмотрим числа вида

где -- произвольные действительные числа, a i и j -- некоторые символы. В качестве правила сложения для чисел такого вида принимают

что же касается правила умножения, то над ним приходится задуматься.

Требованиями естественного характера, которые предъявляются к новому умножению, являются:

1) Произведение действительного числа на произвольное должно равняться .

2) Должно выполняться равенство

где а и b -- произвольные действительные числа.

3) Должен выполняться распределительный закон как в форме

,

так и в форме

.

Придумать закон умножения, удовлетворяющий всем перечисленным требованиям, не составляет труда. Можно, например, принять

при таком правиле умножения выполняются даже переместительный и сочетательный законы , но определенно отсутствует возможность деления. Например, нельзя разделить 1 на i: уравнение

не имеет решения.

И это не случайно. Можно показать, что при любом правиле умножения чисел удовлетворяющем условиям 1), 2), 3), найдется хотя бы одна пара чисел , (причем ) таких, что нельзя разделить на . Таким образом, из чисел вида построить систему с делением невозможно.

Однако оказывается, что если присоединить еще один символ k и рассмотреть числа вида

, (1)

то можно получить систему с делением. Говоря более точно, можно так ввести умножение для чисел (1), чтобы, "помимо требований 1), 2), 3), выполнялось еще и обратное для умножения действие -- деление. Наиболее интересным примером такой системы являются кватернионы («четверные» числа).

1.2.1 Определение кватернионов

Числа вида

, (1)

называются кватернионами с законом сложения

и весьма своеобразным законом умножения. Чтобы описать этот закон, достаточно указать, чему равны всевозможные парные произведения чисел .



Положим, по определению,

«Таблицу умножения» иллюстрирует рис. 1, на котором кватернионы изображены тремя точками окружности, расположенными по

направлению движения часовой стрелки. Произведение любых двух чисел из тройки равно третьему, если движение от первого множителя ко второму происходит по часовой стрелке, и равно третьему со знаком минус, если движение происходит против часовой стрелки. Переместительное свойство умножения здесь не выполняется: произведение зависит от порядка сомножителей.

Умножение произвольных кватернионов производится с помощью приведенной выше таблицы и с учетом требований 1) --3). Пусть

.

По правилу умножения суммы на сумму (вытекающему из 3)), имеем

Мы получили сумму 16 слагаемых. Преобразуя каждое из них с помощью требований 1), 2) и таблицы умножения (например, , приходим к результату:

. (3)

Для умножения кватернионов выполняется сочетательный закон:

.

1.2.2 Сопряжение кватернионов

По аналогии с комплексными числами введем такое определение. Пусть дан кватернион

.

Сопряженным ему называется кватернион

. (4)

Очевидно, что сумма сопряженных кватернионов есть число действительное. Но и произведение также является действительным числом, что сразу же следует из формулы (3) для умножения:

. (5)

Продолжая аналогию с комплексными числами, назовем число

модулем кватерниона q и условимся обозначать его . Тогда последнее равенство перепишется так:

-- в точности та же формула, что для комплексных чисел.

Замечание. Если q' есть «чисто мнимый» кватернион,

то из формулы (5) следует

.

Обратно, если квадрат некоторого кватерниона есть действительное число, меньшее или равное нулю, то этот кватернион -- чисто мнимый). Таким образом, кватернионы , и только они, могут быть охарактеризованы условием, что их квадраты представляют собой действительные числа . Учитывая это, можно дать другое описание операции сопряжения: для произвольного кватерниона q берется его единственное представление в виде а + q' где q' -- кватернион, квадрат которого есть действительное число , тогда

Непосредственная проверка показывает, что операция сопряжения обладает такими свойствами:

(6)

(сопряженное к сумме равно сумме сопряженных) и

(7)

(сопряженное к произведению равно произведению сопряженных, взятых в обратном порядке). Такие же равенства справедливы и в случае комплексных чисел; нужно только иметь в виду, что для комплексных чисел вместо можно писать (ибо произведение не зависит от порядка сомножителей), в то время как для кватернионов не равно .

1.2.3 Выполнимость деления в системе кватернионов

Для комплексных чисел частным от деления на называется решение уравнения . Но для кватернионов произведение зависит от порядка сомножителей, поэтому вместо одного уравнения нужно рассматривать два:

(8)

и

(8')

Соответственно этому решение первого уравнения будем называть левым частным от деления на и обозначать , а решение второго -- правым частным (в случае комплексных чисел, оба частных, очевидно, совпадают).

Чтобы решить уравнения (8) и (8'), применим тот же самый прием, что и в случае комплексных чисел. Умножим обе части уравнения (8) слева сначала на а затем на . Получим

Непосредственной подстановкой в уравнение (8) убеждаемся, что это выражение действительно является решением. Таким образом,

Аналогично находится :

Итак, мы установили два наиболее важных свойства системы кватернионов:

1) для умножения кватернионов справедлив сочетательный закон;

2) кватернионы -- система с делением.

1.2.4 Модуль произведения

Еще одно важное свойство кватернионов состоит в том, что модуль произведения равен произведению модулей. Доказательство в точности такое же, как и в случае комплексных чисел; в нем используется формула и свойство сочетательности для умножения кватернионов.. Вот это доказательство:

.

1.3 Гиперкомплексные числа

Рассмотренные нами комплексные и кватернионы охватываются более общим понятием гиперкомплексной (сверхкомплексной) системы чисел.

Зафиксируем натуральное число п и рассмотрим выражения вида

, (1)

где -- произвольные действительные числа, -- некоторые символы («мнимые единицы»). Условимся, что равенство двух таких выражений:

означает, по определению, что

.

Для сокращенной записи выражений (1) будем пользоваться латинскими буквами a, b, c, u, v, w,..., делая исключение только для выражений вида

которые иногда будут обозначаться просто .

Сложение и вычитание определяются формулами

а умножение вводится следующим образом.

Задается «таблица умножения», т. е. указывается, чему равны всевозможные произведения

где и -- любые номера от 1 до п (всего таких произведений имеется, очевидно, ). Каждое произведение должно представлять собой снова выражение вида (1), т. е.

, (2)

где -- некоторые действительные числа. Любой комбинации номеров , отвечает, конечно, свой набор коэффициентов , чтобы подчеркнуть зависимость этих коэффициентов от , мы запишем вместо тогда (2) заменится, быть может, более громоздким, но зато охватывающим сразу все случаи равенством

. (3)

Набор чисел и задает собой таблицу умножения (всего этих чисел должно быть числу для каждой комбинации ).

Например, в случае комплексных чисел таблица умножения состоит из единственного равенства

.

В случае кватернионов таблица содержит девять равенств и может быть записана следующим образом:

	i	j	k
i	-1	k	-j
j	-k	-1	i
k	j	-i	-1



Понятно, что каждая клетка заменяет одно из равенств (3) таблицы умножения: например,

После того как задана таблица умножения, мы определяем произведение

по обычному правилу умножения суммы на сумму (каждое слагаемое первой суммы умножаем на каждое слагаемое второй и результаты суммируем), причем произведения вида переписываем как и заменяем по формуле (3); затем приводим подобные члены. В итоге получается снова некоторое выражение вида (1).

Множество всех выражений вида (1), в котором операции сложения и умножения введены как указано выше, называется гиперкомплексной системой размерности , а сами выражения (1) называются гиперкомплексными числами. Как следует из приведенного выше описания, гиперкомплексная система данной размерности полностью определяется своей таблицей умножения.

Отметим некоторые свойства операции умножения, справедливые в любой гиперкомплексной системе.

1) Умножение действительного числа , рассматриваемого как гиперкомплексное число на произвольное число сводится к умножению всех коэффициентов на a:



и

В частности,

,

где -- любое гиперкомплексное число.

2) Если и -- гиперкомплексные числа, то

,

где а и b -- произвольные действительные числа.

3) Справедливы оба варианта (левый и правый) распределительного закона:

Свойства 1), 2), 3) очевидным образом следуют из самой процедуры умножения.

1.3.1 Коммутативные, ассоциативные системы, системы с делением

В противоположность указанным выше свойствам другие свойства операции умножения, такие, как



(переместительный закон)

и

(сочетательный закон)

выполняются не в каждой гиперкомплексной системе. Если для любых двух чисел и , принадлежащих данной гиперкомплексной системе, справедливо равенство

,

то такая система называется коммутативной.

В современной математике вместо слов «переместительность» и «сочетательность» приняты имеющие соответственно тот же смысл термины «коммутативность» и «ассоциативность».

Рассмотренная ранее система комплексных чисел является коммутативной, а система кватернионов не коммутативна.

В случае, когда для любых трех чисел из данной гиперкомплексной системы выполняется равенство

,

система называется ассоциативной.

Системы комплексных чисел, а также кватернионов являются ассоциативными. Простой пример неассоциативной системы дают числа вида с таблицей умножения

В этом случае .

Согласно определению гиперкомплексных чисел, над ними можно производить действия сложения, вычитания и умножения. Что касается деления, то оно возможно для очень немногих гиперкомплексных систем. Впрочем, здесь следует точно сказать, что подразумевается под возможностью деления.

Говорят, что данная гиперкомплексная система есть система с делением (или что в ней возможно деление), если каждое из уравнений

и

имеет, решение, и притом единственное, при любых , где . Решение первого уравнения называется левым частным от деления на , решение второго -- правым частным. Левое и правое частные не совпадают.

Примерами систем с делением являются комплексные числа и кватернионы. Размерность первой из этих систем равна 2, размерность второй равна 4. Удивительный факт: гиперкомплексные системы с делением могут иметь только размерности 2, 4 и 8. Отсюда видно, что в общей массе гиперкомплексных систем системы с делением встречаются весьма редко. В частности, гиперкомплексная система, состоящая из чисел вида с любой таблицей умножения (размерность такой системы равна 3), является системой без деления.

1.4 Процедура удвоения. Октавы

Октавами называют одну из систем гиперкомплексных чисел.

Так же, как для комплексных чисел и кватернионов, для октав определены не только сложение, вычитание и умножение, но и деление.

Как показывает само название «октавы» (восьмерные числа), это -- выражения, состоящие из восьми членов. Для записи таких выражений необходимо иметь 7 «мнимых единиц» Итак, октавы -- это выражения вида

где -- произвольные действительные числа.

Опишем процедуру, которая позволяет весьма естественным путем строить октавы, исходя из кватернионов. Мы назовем эту процедуру удвоением и определим октавы как «удвоенные» кватернионы. Процедура удвоения имеет отношение не только к октавам: кватернионы получаются удвоением комплексных чисел и, в свою очередь, комплексные числа получаются удвоением действительных чисел.

1.4.1 Другой подход к определению кватернионов

Произвольный кватернион

можно представить, пользуясь тем, что , в виде

Или

,

где .

Пусть наряду с задан еще один кватернион

.

Перемножив и , получим

(1)

Поскольку , то т. е.

.

Кроме того, легко проверить, что любые два элемента и вида перестановочны:

.

Исходя из этих свойств, можно переписать второе и третье слагаемые в правой части (1) соответственно в виде и , а вместо четвертого слагаемого написать , или . Следовательно,

. (2)

Обращаясь к представлению кватерниона в виде , отметим один важный момент. Поскольку , то все кватернионы , в частности, и можно трактовать как комплексные числа. Значит, кватернионы можно определить как выражения вида где -- произвольные комплексные числа, -- некоторый символ, причем закон умножения таких выражений задается формулой (2).



1.4.2 Удвоение гиперкомплексной системы. Определение октав

Пусть задана гиперкомплексная система , состоящая из чисел вида

с некоторым законом умножения.

Условимся называть элемент

сопряженным к .

Удвоением системы называется новая гиперкомплексная система размерности вдвое большей (чем ), которая строится следующим образом. Ее элементы представляют собой выражения вида

, (3)

где , -- произвольные элементы из -- некоторый символ. Сложение элементов из производится естественным образом:

, (4)

а умножение определяется по формуле

(5)

(черта обозначает сопряжение в ).

Числа из должны были бы иметь вид

(6)

однако (3) более короткая запись. Дело в том, что каждому выражению (6) можно сопоставить два элемента исходной гиперкомплексной системы:

,

а значит, и выражение (3) (оно является как бы «кодом» гиперкомплексного числа (6)); и обратно, разумеется, если задано выражение вида (6), то по нему можно составить (3). Краткая запись (3) по сравнению с (6) имеет существенное преимущество: вместо того, чтобы задавать умножение в с помощью таблицы, можно записать его в обозримой форме (5). Конечно, из формулы (5) можно извлечь таблицу умножения «мнимых единиц»

Итак, процедура удвоения определена. Примером может служить переход от комплексных чисел к кватернионам: система кватернионов есть удвоение системы комплексных чисел. Легко также проверить, что комплексные числа получаются удвоением действительных.

Определение октав может быть сформулировано теперь в нескольких словах: система октав есть удвоение системы кватернионов. Все свойства системы октав получаются, естественно, из данного определения.

1.4.3 Сопряжение в системе октав. Модуль октавы.

Пусть

(9)

-- произвольная октава. Октаву



будем называть сопряженной к u.

Если вместо (9) воспользоваться более короткой записью

где

,

то для сопряженной октавы получится выражение

.

Вычислим теперь, чему равно произведение произвольной октавы и на сопряженную октаву . Это произведение, как и в случае комплексных чисел или кватернионов, равно действительному числу (т. е. октаве вида ).

Имеем

.

Учитывая, что для кватернионов , находим отсюда

. (10)

Квадратный корень из выражения называется модулем или нормой октавы и и обозначается . Заметим, что для октавы и, заданной в форме (9), квадрат ее модуля равен

. (11)

Таким образом, по определению модуля имеем

(12)

к этому равенству можно добавить другое:

вытекающее из того факта, что квадрат модуля октавы u совпадает с квадратом модуля сопряженной октавы (и то и другое равно (11)).

1.4.4 Модуль произведения октав

Система октав имеет много общего с системами комплексных чисел и кватернионов. Одним из проявлений этой общности является то важнейшее свойство, что модуль произведения любых двух октав равен произведению модулей этих октав:

(13)

или, что эквивалентно,

. (14)

1.4.5 Неассоциативность октав. Свойство альтернативности.

Октавы - системы с делением

Многие свойства октав сходны со свойствами кватернионов и комплексных чисел, однако, есть и различия. В то время как умножение комплексных чисел и кватернионов обладает ассоциативным, (сочетательным) свойством, для умножения октав ассоциативный закон не выполняется.

Отсутствие ассоциативного закона для октав вовсе не означает, что для любых трех октав будет . Более того, можно доказать, что справедливы следующие две формулы:

(15)

И

(16)

в которых и и v обозначают любые две октавы.

Формулы (15) и (16) можно рассматривать как некий ослабленный вариант ассоциативности. Существует специальное название для систем, в которых справедливы эти формулы; такие, системы называются альтернативными.

Еще одно важное свойство системы октав, сближающее их с комплексными числами и кватернионами, есть возможность деления. Пусть и -- произвольные октавы, причем . Напомним, что левое частное от деления на есть решение уравнения

, (17)

а правое частное -- решение уравнения

. (18)

Поступая точно так же, как в случае кватернионов, получим

Непосредственная проверка (с использованием опять-таки формулы (16')) показывает, что найденное значение х удовлетворяет уравнению (17). Итак, левое частное от деления на равно

Аналогично доказывается, что правое частное равно

при этом нужно воспользоваться формулой (15').

Мы видим, таким образом, что октавы образуют систему с делением.



2. Практическая часть

Пример 1. Даны комплексные числа и . Найти:

a) a) ;

b) ;

c) ;

e) ;

f) .

Решение:

a)

b)

c)

e) ;

f) .

Пример 2. Дан кватернион . Найти:

a) a) ;

b)

c) .

Решение:

a) ;

b)

c)

Пример 3. Найти

Решение:

Пример 4. Найти левые и правые частные от деления на

Решение:

Пример 5. Даны кватернионы . Найти:

a) a) ;

b)

c)

Решение:

a)

b)

c)



Заключение

Из данной курсовой работы «Гиперкомплексные числа» можно узнать, что история комплексных чисел начинается с XVI века , а систему гиперкомплексных чисел, имевших вид , где , построил в 1843 г. ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их "кватернионами".

Мы познакомились со свойствами гиперкомплексных чисел, из которых, например, узнали, что гиперкомплексных чисел существует бесконечное множество. Рассмотрели примеры гиперкомплексных чисел и некоторые другие сведения о них.

Работа над курсовой работой позволила овладеть новыми понятиями. Способствовала расширению кругозора, развитию математической речи и культуры.

Подробное ознакомление с многочисленными пособиями, специальной литературой способствовало не только достижению поставленной цели, но и убеждению в том, что изучение гиперкомплексных чисел и их свойств действительно имеет огромное значение, что системы гиперкомплексных чисел, способы их построения и их формы представления разнообразны и практически неисчерпаемы.

В данной курсовой работе были даны основные определения, приведены выводы некоторых формул.



Список использованных источников

1. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. /И.Л. Кантор, А.С. Солодовников; Главная редакция физико-математической литературы. - М. : Наука, 1973. - 144 стр. с илл.

2. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии. /И.М. Яглом; Главная редакция физико-математической литературы. - М. : Физматгиз, 1963. - 192 стр. с илл.

3. Арнольд В.И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов. /В.И.Арнольд; Издательство Московского центра непрерывного математического образования. - М. : 2002. - 40 стр. с илл.

4. Арнольд В.И. Теоретическая арифметика. /В.И. Арнольд; Государственное учебно-педагогическое издательство. - М. : 1938. - 482 стр. с илл.

5. Каратаев Е.А. Сопряжения в гиперкомплексных алгебрах.- М. 2002.-11 стр.

6. Каратаев Е.А. Гиперкомплексные числа. классификатор. - М. 2000. -44 стр.

Размещено на Allbest.ru