Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования РФ

ЕГУ им. Бунина

Курсовая работа

по дисциплине: «Математический анализ»

на тему:

«Гиперболические функции

и их применение»

Елец 2009

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Понятие функции

2. Гиперболические функции

Понятие гиперболических функций

Свойства гиперболических функций

Обратные гиперболические функции

3. Применение гиперболических функций

Применение гиперболических функций при вычислении интегралов

Применение гиперболических функций в теории относительности

Гиперболические функции в компьютерных программах

Заключение

Список литературы

Введение

Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы. Винсент Риккати (итал. Vincenzo de Riccati; 11 января 1707, Кастель-Франко -- 17 января 1775, Тревизо) -- итальянский математик, иностранный почётный член Петербургской Академии Наук с 17 января 1760 года. Известен как создатель гиперболических функций. Отец Винсента Якопо Франческо Риккати (в честь которого названо уравнение Риккати) был одним из крупных итальянских математиков того времени. Винсент Риккати унаследовал интересы отца в области дифференциальных уравнений, которые естественно возникали при решении геометрических задач. Это привело его к изучению конических сечений в декартовых координатах и к заинтересованности в изучении гиперболы Начало математического анализа: Учеб.-метод. пособие / Авт.-сост.: А.Я. Алеева, Ю.Ю. Громов, О.Г. Иванова, А.В. Лагутин. - Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2001. С. 193..

Современная математика рассматривает гиперболические функции, как пары экспоненциальной функции, но Риккати исследовал их свойства, используя только геометрические свойства гиперболы хІ -- yІ = 1 или 2xy = 1. Он использовал геометрические методы, хотя он был знаком с работами Эйлера, предшествовавших выходу книги Риккати.

Над гиперболическими функциями Риккати работал вместе с Джироламо Саладини. Риккати не только рассмотрел эти новые функции, но и на основе связанных с ними интегральных формул и с помощью геометрических методов получил интегральную формулу для тригонометрических функций. Его книга «Institutiones» признана как первый обширный трактат по интегральному исчислению. Работы Эйлера и Ламберта изданы позже. Саладини и Риккати также рассматривали другие геометрические проблемы, в том числе трактрису, строфоиду. Риккати применял для гиперболических функций обозначения и в дальнейшем в обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой.

Цель данной работы - изучить гиперболические функции и их применение.

В задачи работы входит изучение следующих вопросов:

1. Раскрыть понятие о гиперболических функциях.

2. Изучить основные свойства и графики гиперболических функций.

3. Раскрыть обратные гиперболические функции и их графики; основные тождества.

4. Рассмотреть производные гиперболических функций.

5. Изучить разложение гиперболических функций в ряды Маклорена.

6. Рассмотреть использование гиперболических функций при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений.

1. Понятие функции

Даже при поверхностном взгляде видно, что все вокруг нас находится в постоянном изменении. Меняются температура и влажность воздуха, атмосферное давление, сила ветра, скорость движения машин и т.д. Меняется -- это значит, что при измерениях одной и той же величины в разное время и в разных местах будут получаться разные числа.

Постоянные (не меняющиеся) величины встречаются чрезвычайно редко. Примером постоянной может служить отношение длины окружности, к ее диаметру: какую окружность ни взять, это отношение равно р. Другой пример -- сумма углов в треугольнике: какой треугольник ни взять, сумма его углов равна двум прямым. Еще пример -- произведение давления газа в цилиндре с поршнем на объем газа: оно тоже не меняется, но здесь уже нужна оговорка -- температура при этом должна, быть постоянной, а газ -- идеальным Рудин У. Основы математического анализа: Пер. с англ. В.П. Хавина. - Изд. 2-е, стереотип. - М.: Мир, 2006. С. 221..

В математическом анализе изучаются переменные величины. При этом для потребностей практики особенно важно изучать изменение переменных величин в их взаимосвязи. Например, для разных окружностей их радиус R и длина С различны -- это переменные величины. Но для одной и той же окружности они между собой жестко связаны: если радиус R известен, то длина С этим вполне определена (как известно из школьного курса, С = 2рR , но сейчас это не главное). С изменением радиуса R будет вполне определенным образом меняться и длина окружности С. Про такую связь между переменными величинами принято говорить, что С есть функция от R, a R -- аргумент этой функции. Записывают это так: С = f(R) или С = C(R) и т.п.

Аналогично, площадь круга S есть функция от его радиуса R (аргумента этой функции): S = g(R) или S == S(R) и т.п. То, что это иная функция, нежели C(R) , отмечено в записи -- эта функция обозначена другой буквой. Также и давление р в цилиндре с поршнем есть функция от объема V, занимаемого газом (V -- аргумент этой функции):

р = F(V) или р = p(V) и т.п.

Основное на что надо обратить внимание во всех этих примерах, состоит в том, что каждому значению аргумента соответствует (по некоторому закону) определенное значение функции. При этом не существенно, знаем мы формулу, описывающую эту зависимость, или нет. Например, давление в комнате меняется со временем, т.е. давление р есть функция времени t: р = p(t). Однако вряд ли кто может написать формулу для этой зависимости.

Итак, мы подошли к определению понятия числовой функции -- основного понятия математического анализа Казимиров Н.И. Математический анализ. Конспект лекций для специальности "Физика". - Петрозаводск, 2002. С. 195..

Определение 1. Если каждому числу х из множества чисел D поставлено в соответствие единственное число у, то говорят, что на множестве D задана функция f . Число у называют значением функции f в точке X и пишут у = f(x), х -- аргумент этой функции, а множество D -- область определения этой функции.

Обычно говорят проще -- переменная у есть функция от переменной х, или задана функция у = f{x), или просто f(x). Вместо буквы f можно пользоваться любой другой буквой и писать: задана функция у = у(х) или у = а{х) и т.п. При этом обозначения выбираются так, чтобы в данном рассуждении разные функции обозначались по-разному, а одна и та же функция обозначалась одним и тем же способом.

В приведенных выше примерах с длиной окружности C(R) и площадью круга S{R) областью _{определения} этих функций будет множество D всех положительных действительных чисел. В примере с давлением газа в цилиндре с поршнем аргумент V не может быть отрицательным, нулем и больше объема v₀ цилиндра, т.е. областью определения этой функции будет множество D всех действительных чисел V , удовлетворяющих неравенству 0 < V  V₀.

Выше мы рассматривали переменную у, как функцию от одной переменной х. На практике переменная у часто зависит от нескольких переменных х₁, х₂,...,х_n. Тогда у называют функцией от n переменных х₁, х₂,...,х_n  -- аргументов этой функции и записывают это так: у = f{ х₁, х₂,...,х_n.), у = у(х₁, х₂,...,х_n.) и т.п.

Первое знакомство с анализом начинается с изучения более простых функций от одного аргумента.

Области определения функций могут быть устроены весьма сложно. Из них принято выделять простейшие множества -- промежутки. Напомним основное определение.

Определение 2. Отрезок [a, b] (а и b --действительные числа, а <b) есть множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих неравенству а  х  b. Числа а и b называют концами отрезка (соответственно левым и правым). Все действительные числа х, удовлетворяющие неравенству, а<х<b называют внутренними точками отрезка [a,b] и их множество называется интервалом (a,b) (или ) Бесов О.В. Методические указания по математическому анализу. Курс лекций по математическому анализу (для студентов 1-го курса). - М.: МФТИ, 2004. С. 179..

Название «отрезок» связано с изображением действительных чисел точками прямой. Вспомним, что каждое действительное число изображается точкой на координатной прямой и каждая точка координатной прямой изображает некоторое действительное число, так что в дальнейшем мы не будем различать действительные числа и точки на координатной прямой: говоря «число»- представляем себе соответствующую точку и, говоря «точка»- представляем себе соответствующее число.

Возьмем два числа а и b (а < b) -- это точки на прямой. Отрезок (как его принято понимать в геометрии) с концами а и b состоит из точек прямой, расположенных между точками а и b (концами этого отрезка) и самих этих точек а и b . Если точка (число) х лежит на отрезке, то она или расположена между точками а и b, и тогда а < х < b , или совпадает с концом а, и тогда х = а, или совпадает с концом b , и тогда х = b.

Переходим к функциям. В определении функции ничего не сказано о том, как устанавливается соответствие между числами х и у . В зависимости от того, как задано это соответствие, различаются три основных способа задания функции: табличный, аналитический (при помощи формул) и графический (при помощи чертежа). Разберем табличный способ задания функции, его достоинства и недостатки.

Табличный способ задания функции состоит в том, что для каждого значения аргумента х (из области определения функции) рядом выписывается соответствующее значение у, -- получается таблица. Например:

Х	1,3	1,4	1.5	1,6	1,7
У	2,78	2,96	3,31	3,85	4,63

 

(при этом конечно, все х из области определения функции выписать нельзя, и поэтому такое задание функции весьма неполно). Из приведенной таблицы легко себе представить, как ведет себя функция. Пусть, например, х -- это время, а у -- это температура. Ясно, что температура со временем повышается, причем, чем дальше, тем быстрее, и в определенные моменты времени известны точные значения температуры. Это достоинство табличного способа. Но вот совершенно неизвестно, определена ли эта функция при х = 1,37? А если определена, то чему равен у при х = 1,37? Таким образом, при табличном способе задания функции почти ничего не известно об области определения этой функции. Для ответа на этот вопрос нужна, помимо этой таблицы, дополнительная информация Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.: Наука, 2004. С. 238..

Допустим теперь, что нам известно дополнительно, что функция определена для всех промежуточных значений х. Но как она там изменяется? В приведенном примере как будет изменяться при х, меняющемся от 1,3 до 1,4, какая здесь будет таблица?

Такая:

Х	1,30	1,32	1,34	1,36	1,38	1,40
У	2,78	2,81	2,84	2,88	2,92	2,96

Или такая:

X	1,30	1,32	1,34	1,36	1,38	1,40
У	1,78	2,95	2,37	2,62	2,74	2,96

 

В первом случае ясно, что нагревание идет постепенно, «нормально». А во втором случае с прибором творится что-то странное, явно «что-то не то». Но по первоначальной таблице, ничего не зная о том, откуда эта таблица взялась, выбрать из этих двух возможностей одну, соответствующую действительности, невозможно: оба случая равноправны. В этом большой недостаток табличного задания функций.

Однако в ряде случаев это единственный способ экспериментального изучения окружающих нас закономерностей. В самом деле, что делается, когда ставят опыт? С точки зрения математика здесь изучается зависимость между определенными переменными, другими словами, изучается некоторая функция. При опыте ведутся записи, в простейшем случае отмечается время (аргумент функции) и записывается показание прибора (соответствующее значение функции), т.е. функция задается таблицей. А задача исследователя состоит в том, чтобы по полученной таблице изучить эту функцию.

Экономические параметры, описывающие деятельность экономических субъектов, подвержены изменению их числовых значений во времени. В то же время отметим, что исследованием пределов бесконечно малых приращений функций занимаются такие разделы математики, как дифференциальное и интегральное исчисление. Таким образом, представив изменения числовых значений экономических параметров в виде суммы бесконечно малых функциональных приращений, можно использовать в экономических исследования математический инструментарий дифференциального исчисления.

2. Гиперболические функции.

2.1 Понятие гиперболических функций

Гиперболимческие фумнкции -- семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями Аксёнов А.П. Математический анализ. Интегралы, зависящие от параметра. Двойные интегралы. Криволинейные интегралы. Учебное пособие. - СПб.: Изд-во "НЕСТОР", 2000. С. 163..

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

гиперболический синус:

(в зарубежной литературе обозначается sinhx)

гиперболический косинус:

(в зарубежной литературе обозначается coshx)

гиперболический тангенс:

(в зарубежной литературе обозначается tanhx).

гиперболический котангенс:

,

Иногда также определяются гиперболические секанс и косеканс:

,

.

Ввиду соотношения гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы x₂ ? y₂ = 1 (, ). При этом аргумент t = 2S, где S -- площадь криволинейного треугольника, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси OX, и «?» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

2.2 Свойства гиперболических функций

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа: Пер. с англ. В 2-х частях. / Под ред. Ф.В. Широкова. - М., 2003. С. 122..

.

.

Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.

Функция Гудермана, названная в честь Кристофа Гудермана (1798 - 1852), связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел. Она определяется как

При этом

.

Имеют место также следующие тождества:

Обратная функция к функции Гудермана

Производные функции Гудермана и обратной функции Гудермана Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I: Учеб. для вузов. - 7-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. С. 202.:

Важные тождества

Чётность:

Формулы сложения:

Формулы двойного угла:

Формулы понижения степени

Производные:

Интегралы:

Разложение в степенные ряды.

Графики гиперболических функций даны на рис. 1.

Рисунок 1.

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках z = iр(n + 1 / 2), где n -- целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек z = iрn, вычеты его в этих полюсах также равны единице Казимиров Н.И. Математический анализ. Конспект лекций для специальности "Физика". - Петрозаводск, 2002. С. 192..

2.3 Обратные гиперболические функции и их графики

1. Ареасинус y = arshx = ln (x+ ); D(f) = R, E(f) = R. Бесов О.В. Методические указания по математическому анализу. Курс лекций по математическому анализу (для студентов 1-го курса). - М.: МФТИ, 2004. С. 185.

Функция нечетная, строго возрастает (рис. 2).

Рисунок 2

2. Ареакосинус

y = archx = ln (x+ ); D(f) = [1, + ), E(f) = [0, + ).

Функция строго возрастает (рис.3).

Рисунок 3

3. Ареатангенс y = arthx = ; D(f) = (-1, 1), E(f) = R.

Функция нечётная, строго возрастает (рис. 4).

Рисунок 4

4. Ареакотангенс y = arcthx = ; D(f) = R\[-1, 1], E(f) = R\{0}.

Функция нечётная, строго убывает (рис. 5) на интервалах (- , -1) и (1, + ).

Рисунок 5

3.Применение гиперболических функций.

3.1 Применение гиперболических функций при вычислении

интегралов

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Шесть основных гиперболических функций определяются следующим образом:

   

   

   

Наиболее важные формулы дифференцирования и интегрирования гиперболических функций имеют вид:

   

   

   

   

   

   

Приведем еще несколько полезных соотношений:

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки .

Пример 1

Вычислить интеграл .

Решение.

Сделаем подстановку u = 2 + 3sh x, du = 3ch xdx. Тогда . Следовательно, интеграл равен

Пример 2

Вычислить интеграл .

Решение.

Поскольку , и, следовательно, , интеграл можно переписать в виде

Делая замену u = ch x, du = sh xdx, получаем

Пример 3

Вычислить .

Решение.

Используем интегрирование по частям: . Пусть . Тогда . В результате находим интеграл

Пример 4

Вычислить интеграл .

Решение.

Так как , то интеграл равен

Пример 5

Найти интеграл .

Решение.

По определению, . Подставляя это в интеграл, получаем

Пример 6

Найти интеграл .

Решение.

По определению, и . Следовательно,

Сделаем замену u = e ^x, du = e ^xdx и вычислим искомый интеграл.

Пример 7

Вычислить интеграл .

Решение.

Подставив формулы и , получаем

Пример 8

Вычислить интеграл .

Решение.

Интегрируем по частям. Полагаем

Интеграл принимает вид

Применим интегрирование по частям еще раз. Теперь полагаем

Получаем

Решая полученное уравнение относительно , находим ответ

3.2 Применение гиперболических функций в теории

Относительности

Матрицы вида описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

Из «Начал» Евклида к нам пришла геометрическая задача «о делении отрезка в крайнем и среднем отношении». В современной науке эта задача известна как задача о «золотом сечении» геометрического отрезка. Решение этой задачи сводится к решению следующего алгебраического уравнения:

x2 = x + 1.	(1)

Квадратное уравнение (1) имеет два корня. Его положительный корень называется золотой пропорцией, золотым средним или золотым отношением.

Из (1) вытекает следующее замечательное свойство золотой пропорции:

t n = t n-1 + t n-2 = t ґ t n-1>	(2)

где n принимает значение из множества: 0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

С золотой пропорцией тесно связаны две числовые последовательности - числа Фибоначчи

F_n = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …} (3)

которые задаются рекуррентным соотношением

F_n = F_n-1 + F_n-2 (4)

при начальных условиях:

F₁ = F₂ = 1, (5)

и числа Люка

L_n = {1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, …}, (6)

которые задаются рекуррентным соотношением

L_n = L_n-1 + L_n-2 (7)

при начальных условиях:

L₁ = 1; L₂ = 3 (8)

Числа Фибоначчи и Люка могут быть расширены в сторону отрицательных значений индекса n (Табл. 1).

Таблица 1. «Расширенные» числа Фибоначчи и Люка

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Fn	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55
F-n	0	1	-1	2	-3	5	-8	13	-21	34	-55
Ln	2	1	3	4	7	11	18	29	47	76	123
L-n	2	-1	3	-4	7	-11	18	-29	47	-76	123

Как следует из табл.1, «расширенные» числа Фибоначчи и Люка обладают рядом интересных математических свойств. В частности, для нечетных n=2k+1 члены последовательностей F_n и F_-n совпадают, то есть, F_2k+1 = F_-2k-1, а для четных n=2k они являются противоположными по знаку, то есть, F_2k= -F_-2k. Для чисел Люка L_n - все наоборот, то есть,

L_2k = L_-2k; L_2k+1 = -L_-2k-1.

Пожалуй, наиболее важным результатом «Теории чисел Фибоначчи» являются формулы, выведенные в XIXв. известным французским математиком Бине. Эти формулы, называемые формулами Бине, связывают числа Фибоначчи F_n и числа Люка L_n с золотой пропорцией .

Формулы Бине для чисел Фибоначчи:

, (9)

Формулы Бине для чисел Люка:

. (10)

где дискретная переменная k принимает значения из множества: 0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

Сравнение формул Бине (9), (10) с классическими гиперболическими функциями

, (11)

. (12)

показывает, что формулы Бине по своей структуре подобны гиперболическим функциям (11), (12). Это наблюдение и лежит в основе нового класса гиперболических функций, введенного в [4]. Для этого дискретная переменная k в формулах (9), (10) была заменена непрерывной переменной x, которая принимает значения из множества действительных чисел. В результате были получены следующие непрерывные функции, названные гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка [4]:

Гиперболический синус Фибоначчи

. (13)

Гиперболический косинус Фибоначчи

(14)

.

Гиперболический синус Люка

. (15)

Гиперболический косинус Люка

. (16)

Связь между числами Фибоначчи F_n и числами Люка L_n и гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка (13)-(16) задается следующими соотношениями:

sF(k) = F_2k; cF(k) = F_2k+1; sL(k) = L_2k+1; cL(k) = L_2k, (17)

где k= 0; ±1; ±2; ±3,....

Сравним теперь гиперболические функции Фибоначчи и Люка (13)-(16) с классическими гиперболическими функциями (11), (12). Легко увидеть, что, в отличие от классических гиперболических функций (11), (12), график косинуса Фибоначчи (14) асимметричен относительно оси y, а график синуса Люка (15) асимметричен относительно начала координат. Это ограничивает область эффективного приложения нового класса гиперболических функций, задаваемых (13)-(16).

Симметричный гиперболический синус Фибоначчи

. (18)

Симметричный гиперболический косинус Фибоначчи

. (19)

Симметричный гиперболический синус Люка

. (20)

Симметричный гиперболический косинус Люка

. (21)

Числа Фибоначчи и Люка связаны с введенными выше симметричными гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка следующими соотношениями:

;. (22)

На Рис. 1 и 2 приведены графики введенных выше функций (18)-(21).

Рисунок 1. Симметричные гиперболические функции Фибоначчи	Рисунок 2. Симметричные гиперболические функции Люка

Как следует из рис. 1 и 2, графики функций (18)-(21) являются симметричными и подобны графикам классических гиперболических функций (11), (12). Заметим, что в точке x=0 симметричный косинус Фибоначчи cFs(x) принимает значение , а симметричный косинус Люка cLs(x) в этой точке принимает значение cLs(0) = 2. Важно подчеркнуть, то числа Фибоначчи F_n с четными индексами (n = 0, ± 2, ± 4, ± 6, …) «вписываются» в симметричный синус Фибоначчи sFs(x) в дискретных точках x = 0, ± 2, ± 4, ± 6, …, а числа Фибоначчи F_n с нечетными индексами (n = ± 1, ± 3, ± 5, …) «вписываются» в симметричный косинус Фибоначчи cFs(x) в дискретных точках x = ± 1, ± 3, ± 5 …. С другой стороны, числа Люка с четными индексами «вписываются» в симметричный косинус Люка cLs(x) в дискретных точках x = 0, ± 2, ± 4, ± 6 …, а числа Люка с нечетными индексами «вписываются» в симметричный синус Люка sLs(x) в дискретных точках x = ± 1, ± 3, ± 5 ….

Введенные выше симметричные гиперболические функции Фибоначчи и Люка связаны с классическими гиперболическими функциями (11) и (12) следующими простыми соотношениями:

; ;

; .

Симметричные гиперболические функции Фибоначчи и Люка связаны между собой следующими соотношениями:

; .

3.3. Рекуррентные свойства симметричных гиперболических функций Фибоначчи и Люка

Симметричные гиперболические функции Фибоначчи и Люка (18)-(21) являются «непрерывным» обобщением чисел Фибоначчи и Люка и, следовательно, они обладают рекуррентными свойствами. С другой стороны, они подобны классическим гиперболическим функциям (11) и (12) и, следовательно, они обладают гиперболическими свойствами.

Некоторые из «рекуррентных свойств» функций (18)-(21) приведены в табл. 2.

Таблица 2. Рекуррентные свойства симметричных гиперболических функций Фибоначчи и Люка

Тождества для чисел Фибоначчи и Люка	Тождества для симметричных гиперболических функций Фибоначчи и Люка
Fn+2 = Fn+1+Fn	sFs(x+2) = cFs(x+1) + sFs(x)	cFs(x+2) = sFs(x+1) + cFs(x)
Fn 2 -- Fn+1 Fn-1 = (-1)n+1	[sFs(x)]2 -- cFs(x+1) сFs(x-1) = -1	[cFs(x)]2 -- sFs(x+1) sFs(x-1) = 1
Ln+2 = Ln+1 + Ln	sLs(x+2) = cLs(x+1) + sLs(x)	cLs(x+2) = sLs(x+1) + cLs(x)
Ln2 -- 2(-1)n = L2n	[sLs(x)]2 + 2 = cLs(2x)	[cLs(x)]2 -- 2 = cLs(2x)
Fn+1 + Fn-1 = Ln	cFs(x+1) + cFs(x-1) = cLs(x)	sFs(x+1) + sFs(x-1) = sLs(x)
Fn + Ln = 2Fn+1	cFs(x) + sLs(x) = 2sFs(x+1)	sFs(x)+ i>cLs(x) = 2cFs(x+1)

Например, знаменитая «формула Кассини»

F_n ² -- F_n+1 F_n-1 = (-1)ⁿ⁺¹, (23)

которая представляет собой одно из важнейших тождеств, связывающих три соседних числа Фибоначчи, в терминах симметричных гиперболических функций Фибоначчи представляется в виде двух «непрерывных» тождеств:

[sFs(x)]² -- cFs(x+1) сFs(x-1) = -1 (24)

[cFs(x)]² -- sFs(x+1) sFs(x-1) = 1, (25)

которые можно рассматривать как обобщение «формулы Кассини» (23) на непрерывную область.

В 2004 г. опубликована сенсационная статья космологического характера. На основе экспериментальных данных, полученных в 2003 с помощью NASA's Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) в статье выдвинута новая гипотеза о структуре Вселенной. В соответствии с этой гипотезой геометрия Вселенной является гиперболической, а Вселенная по своей форме напоминает горн или трубу с расширяющимся раструбом.

На основе данных полученных немецкими астрофизиками авторы высказывают следующее предположение:

Вселенная имеет «шофароподобную» топологию (Рис.3).

На рис. 3 приведено изображение гиперболического пространства с «шофароподбной» топологией.

Рисунок 3. «Шофароподобная» топология

Золотое сечение, и связанные с ним числа Фибоначчи, отображают гармонию Вселенной, как единение частей в целом. С другой стороны было показано, что рекуррентные последовательности Фибоначчи порождают новый класс гиперболических функций обладающих не только всеми свойствами классических гиперболических функций, но и рекуррентными свойствами.

Этот синтез гармонии, рекурсии и гиперболических функций, авторы назвали золотым гиперболическом подходом.

Из Предположения 1 вытекает актуальность использования золотого гиперболического подхода для современной физики и космологии.

В последние десятилетия «Теория чисел Фибоначчи» дополнилась новыми математическими результатами. Одним из них является теория матрицы специального типа, названной Q-матрицей. Последняя представляет собой простейшую квадратную матрицу размером 2ґ 2 следующего вида:

(26)

Заметим, что детерминант Q-матрицы равен -1, то есть,

Det Q = -1. (27)

Но какое отношение имеет Q-матрица к числам Фибоначчи? Чтобы отвечать на этот вопрос, необходимо возвести Q-матрицу в n-ю степень. Тогда мы получим:

(28)

где F_n-1, F_n, F_n+1 числа Фибоначчи.

Используя (27), легко доказать, что детерминант матрицы (28) задается выражением:

Det Qⁿ = (-1)ⁿ, (29)

где n - целое число.

С другой стороны, детерминант матрицы (28) равен:

Det Qⁿ = F_n-1F_n+1 -- = (-1)ⁿ. (30)

Напомним, что тождество (30), задающее связь трех соседних чисел Фибоначчи, было выведено еще в 17-м веке знаменитым астрономом Кассини; поэтому формула (30) называется также «формулой Кассини». Отсюда вытекает, что Q-матрица выражает одно из наиболее важных свойств чисел Фибоначчи, задаваемое (30), а свойство Q-матрицы, задаваемое (29), можно рассматривать как компактную запись «формулы Кассини»!

Можно использовать идею «фибоначчиевой» Q-матрицы (26) для получения обобщенных матриц Фибоначчи. Существует квадратная матрица специального типа, которую названа Q_p-матрицей:

(31)

где индекс p принимает следующие значения: 0, 1, 2, 3, ….

Заметим, что Q_p-матрица представляет собой квадратную (p+1)ґ (p+1)-матрицу. Она содержит единичную pґ p матрицу, ограниченную последней строкой, состоящей из нулей, и первым столбцом, который состоит из нулей, ограниченных единицами. Для случаев p = 0, 1, 2, 3, 4 Q_p-матрицы имеют следующий вид соответственно:

гиперболический функция уравнение интеграл

Q₀ = (1);  ;  ;

;  .

Основным результатом является доказательство следующего выражения для Q_p-матрицы, возведенной в степень n:

(32)

где р =0, 1, 2, 3, …, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …, а элементами матрицы являются р-числа Фибоначчи, задаваемые рекуррентным соотношением при начальных условиях.

Доказано также, что детерминант матрицы (32) задается следующим выражением:

Det = (-1)^pn, (33)

где p = 0, 1, 2, 3, …; n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

Таким образом, разработана теория квадратных матриц, обладающих уникальным свойством: согласно (33) детерминант любой такой матрицы всегда равен по абсолютной величине 1, а знак единицы зависит от произведения двух целых чисел pґ n (р =0, 1, 2, 3, …, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3). Если это произведение является четным, то детерминант матрицы (32) равен +1, в противном случае детерминант равен -1.

Ясно, что матрицы (33), (32) могут быть использованы для расширения «фибоначчиевых» исследований. При этом выражение (33) можно рассматривать как обобщение «формулы Кассини» (30). Например, для случая р=2 обобщенная «формула Кассини» выглядит следующим образом:

Det= F₂(n+1)[F₂(n-2) F₂(n-2)- F₂(n-1)F₂(n-3)] +

+F₂(n)[F₂(n)F₂(n-3)- F₂(n-1)F₂(n-2)] +

+ F₂(n-1)[F₂(n-1) F₂(n-1)- F₂(n)F₂(n-2)] = 1. (34)

Подобно «формуле Кассини» (32), задающей связь между тремя соседними числами Фибоначчи, формула (34) связывает пять соседних 2-числа Фибоначчи F₂(n-3), F₂(n-2), F₂(n-1), F₂(n) и F₂(n+1) для любого заданного числа n (n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …).

Подчеркнем еще раз, что обобщенных «формул Кассини», подобных (34) и основанных на (33), теоретически бесконечно, причем их столько же, сколько существует натуральных чисел, поскольку р=1, 2, 3,....

Введены так называемые «золотые» матрицы. Представим матрицу (28) в виде двух матриц, задаваемых для четных (n=2k) и нечетных (n=2k+1) значений степени n:

(35)

(36)

Мы можем записать матрицы (35), (36) в терминах симметричных гиперболических функций Фибоначчи (18), (19):

(37)

(38)

где k - дискретная переменная, k=0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

Если теперь заменить дискретную переменную k в матрицах (37), (38) непрерывной переменной x, то мы придем к двум необычным матрицам, которые являются функциями от переменной x:

(39)

(40)

Ясно, что матрицы (39), (40) являются обобщением Q-матрицы (28) на непрерывную область. Они имеют ряд необычных математических свойств. Например, для матрица (39) принимает следующую форму:

(41)

Невозможно вообразить, что означает «корень квадратный из Q-матрицы», но именно такая «фибоначчивая фантазия» вытекает из выражения (41).

Для вычисления детерминантов матриц (39), (40) мы можем воспользоваться свойствами симметричных гиперболических функций Фибоначчи, задаваемыми (24), (25).

Если вычислить детерминанты матриц (39), (40), то с учетом (24) и (25), мы придем к весьма необычному математическому тождеству для матриц (38), (39), которое справедливо для любого значения непрерывной переменной x:

Det Q^2x = 1 (42)

Det Q^2x+1 = - 1 (43)

Вновь обращаясь к «формуле Кассини» мы приходим к неожиданному заключению, что необычные тождества (42), (43) являются ни чем иным, как обобщением «формулы Кассини» на непрерывную область!

3.3 Гиперболические функции в компьютерных программах

Гиперболические функции представлены следующим набором:

· sinh -- гиперболический синус;

· cosh -- гиперболический косинус;

· tanh -- гиперболический тангенс;

· sech -- гиперболический секанс;

· csch -- гиперболический косеканс;

· coth -- гиперболический котангенс.

Примеры применения гиперболических функций представлены ниже:

На рис. 4 сверху представлены графики гиперболического синуса, косинуса и тангенса. По ним можно судить о поведении этих функций.

Рис. 4. Графики основных гиперболических и обратных гиперболических функций

В отличие от тригонометрических гиперболические функции не являются периодическими. Функция гиперболического тангенса имеет симметричную кривую с характерными ограничениями. Поэтому она широко используется для моделирования передаточных характеристик нелинейных систем с ограничением выходного параметра при больших значениях входного параметра.

 

Заключение

Первым важным следствием их введение является осознание того, что классические гиперболические функции (12), (13), которые использовались в математике и теоретической физике не являются единственной математической моделью «гиперболических миров». Параллельно с гиперболической геометрией, основанной на классических гиперболических функциях («гиперболическая геометрия Лобачевского», «четырехмерный мир Минковского» и др.). В природе наблюдается и другая гиперболическая геометрия, основанная на гиперболических функциях Фибоначчи и Люка.

Гиперболические функции Фибоначчи и Люка [4-7], лежащие в основе явления филлотаксиса, не являются «выдумкой» математиков-фибоначчистов, а отражают важнейшую математическую закономерность, лежащую в основе геометрии живой природы. В заключение хотелось бы обратить внимание на следующее странное обстоятельство. Можно только удивляться тому факту, что в течение многих столетий математики и физики-теоретики не уделяли должного внимания развитию математического аппарата для моделирования «золотого» гиперболического мира, который существует в реальной действительности. Возможно, причиной этого является тот факт, что «золотой» гиперболический мир имеет большее отношение к биологии и ботанике, чем к физике. Однако, к чести определенной группы физиков-теоретиков, в конце 20-го столетия отношение к Золотому Сечению и числам Фибоначчи, лежащие в основе «золотого» гиперболического мира, в современной теоретической физике начинает быстро изменяться. Работы [30-38] являются свидетельством повышенного интереса к Золотому Сечению и числам Фибоначчи со стороны физиков-теоретиков. Работы Бутусова, Шехтмана (Shechtman), Маулдина (Mauldin), Вильяма (William), Ель Нашие (El Naschie), Владимирова и других показывают, что невозможно вообразить дальнейшее развитие физических и космологических исследований без «Золотого Сечения».

Список литературы

1. Бесов О.В. Методические указания по математическому анализу. Курс лекций по математическому анализу (для студентов 1-го курса). - М.: МФТИ, 2004.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.: Наука, 2004.

3. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I: Учеб. для вузов. - 7-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

4. Казимиров Н.И. Математический анализ. Конспект лекций для специальности "Физика". - Петрозаводск, 2002.

5. Начало математического анализа: Учеб.-метод. пособие / Авт.-сост.: А.Я. Алеева, Ю.Ю. Громов, О.Г. Иванова, А.В. Лагутин. - Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2001

6. Стахов A.П. Обобщенные Золотые Сечения и новый подход к геометрическому определению числа // Украинский математический журнал, 2004, том 56, № 8.

7. Стахов А.П. Формула Кассини // М.: «Академия Тринитаризма», Эл № 77-6567, публ.12542, 01.11.2005.

8. Владимиров Ю.С. Метафизика. - M.: Бином, 2002.

9. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. -- Москва: Наука, 1998г.

10. Шерватов В.Г. Гиперболические функции. Государственное издательство технико - теоретической литературы.М.2003г.

Размещено на Allbest.ru