Использование теоремы Банаха при исследовании интегральных уравнений 2-го рода
Уравнения Фредгольма 1-го и 2-го рода. Конечные и бесконечные пределы интегрирования. Однородное интегральное уравнение Вольтера. Понятие метрического пространства. Принцип сжатых отображений. Теорема Банаха и решение интегральных уравнений 2-го рода.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 22.04.2011 |
| Размер файла | 327,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Математические методы в экономике
Курсовая работа
Использование теоремы Банаха при исследовании интегральных уравнений 2-го рода
Введение
Вполне элементарным и в то же время очень плодотворным приемом для доказательства теорем существования и единственности решения алгебраических, дифференциальных, интегральных и других функциональных уравнений является принцип, сформулированный в 1922 г. С. Банахом.
Этот принцип является функционально - геометрической обработкой идеи Пикара - метода последовательных приближений и носит название принципа сжатых отображений. Большое достоинство этого принципа состоит в том, что он не только гарантирует при определенных условиях однозначную разрешимость уравнения, но и может служить для получения приближенных решений
Цель работы: изучить применение принципа сжатых отображений к интегральным уравнениям 2-го рода как в теории, так и на практике.
1. Необходимые понятия и сведения
1.1 Уравнения Фредгольма
Это один из наиболее важных классов линейных интегральных уравнений. Различают интегральные уравнения Фредгольма1-го и 2-го рода.
Определение. Линейное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода имеет вид:
. (1)
Здесь - неизвестная функция.
Пределы интегрирования , могут быть как конечными, так и бесконечными.
Считаем, что переменная меняется в том же промежутке , по которому совершается интегрирование. В уравнениях Фредгольма ядро и свободный член либо непрерывны (первое - в квадрате , второй - на отрезке ), либо удовлетворяют условиям
, (2)
. (3)
Ядра, удовлетворяющие условию (2), будем называть фредгольмовыми.
Если (точнее, если обращается в нуль почти всюду в ), то интегральное уравнение называется однородным, в противном случае оно называется неоднородным. Определение. Уравнение Фредгольма 1-го рода имеет вид
, (4)
где ядро и функция удовлетворяют сформулированными выше условиями.
Примеры.
1. Уравнение
есть интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода. Здесь ядро и свободный член непрерывны соответственно в квадрате и на отрезке .
2. Уравнение
фредгольмово, так как
,
.
1.2 Уравнения Вольтерра
Определение. Линейным интегральным уравнением Вольтера 2-го рода называется уравнение вида
, . (5)
Здесь - неизвестная функция, ядро и свободный член - известные функции, - числовой параметр.
При уравнение (5) принимает вид
и называется однородным интегральным уравнением Вольтера 2-го рода.
Определение. Уравнением Вольтера 1-го рода называется уравнение вида
, (6)
Уравнением Вольтера можно при некоторых ограничениях рассматривать как частный случай уравнения Фредгольма. Ядро в уравнении (6) по смыслу задачи определено при . Доопределим его при , положив
, .
Тогда уравнение (5) можно рассматривать как частный случай уравнения Фредгольма с ядром , определенным следующим образом (рис. 1):
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 1.
В выделенной половине квадрата ядро совпадает с ядром , а во второй половине тождественно равно нулю. При таком определении ядра интегральное уравнение Фредгольма
тождественно с уравнением Вольтера (5).
Это простое замечание позволяет переносить результаты, полученные для уравнений Фредгольма, на уравнения Вольтера, как на частный случай фредгольмовых уравнений.
1.3 Метрические пространства
Определение. Множество называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов , поставлено в соответствие неотрицательное действительное число , называемое расстоянием между элементами и и удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам метрики):
1) (аксиома тождества);
2) (аксиома симметрии);
3) (аксиома треугольника).
Элементы метрического пространства так же называются точками этого пространства.
Пример. Пусть - множество всех непрерывных функций, заданных на отрезке . Введем метрику, полагая
.
Проверим выполнение аксиом метрики. Ясно, что и . Так же очевидно, что . Проверим выполнение аксиомы треугольника. Для любого имеем
. (7)
Поскольку неравенство (7) верно для , то и
,
что доказывает справедливость аксиомы треугольника.
Множество всех непрерывных функций, заданных на отрезке , в котором метрика введена указанным образом, называется пространством непрерывных функций и обозначается .
Определение. Последовательность элементов метрического пространства называется сходящейся в себе или фундаментальной последовательностью, если для любого числа найдется номер такой, что
при .
Если последовательность сходится к пределу , то она фундаментальна.
В самом деле, пусть . Тогда для любого найдется номер такой, что
при .
Отсюда
при ,
а это означает, согласно определению, что последовательность - фундаментальная.
Однако существуют и такие метрические пространства, в которых имеются последовательности, сходящиеся в себе, но не сходящиеся ни к какому пределу (в этом пространстве).
Определение. Если в метрическом пространстве каждая фундаментальная последовательность сходится к некоторому пределу, являющемуся элементом того же пространства, то пространство называется полным. Так, пространство непрерывных на отрезке функций с метрикой
есть полное пространство.
В самом деле, пусть последовательность , где (), и пусть
, т.е. ,
.
Это означает, что для последовательности выполняется критерий Коши равномерной сходимости на . Пусть - предел последовательности . Как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций, эта функция так же непрерывна на . Таким образом, и . Следовательно, пространство полно.
1.4 Принцип сжатых отображений
Пусть и - метрические пространства, - некоторое множество в пространстве .
Определение. Если каждой точке по некоторому закону, поставлена в соответствие определенная точка , то говорят, что на множестве задан оператор со значениями в пространстве , и пишут
.
Определение. Множество называют областью определения оператора ; называют аргументом оператора . Каждую точку такую, что , называют образом соответствующей точки . Относительно оператора говорят, что он устанавливает отображение множества в пространство :
.
Если совокупность значений оператора совпадает со всем , то говорят, что оператор отображает на пространство .
Примеры.
1. Пусть - пространство функций , непрерывных на отрезке . Каждой функции поставим в соответствие функцию
,
где - заданная, непрерывная в квадрате функция. Этим мы определим на интегральный оператор
,
который, как будет показано ниже, переводит пространство в себя.
2. Обозначим через совокупность функций , определенных в и бесконечно дифференцируемых в этом интервале. Каждой функции поставим в соответствие ее производную . Этим мы определим оператор дифференцирования , действующий из в .
2. Теорема Банаха и интегральные уравнения 2-го рода
2.1 «Малая» теорема Банаха
«Малая» теорема Банаха. Пусть в полном метрическом пространстве дан оператор , переводящий элементы пространства снова в элементы этого пространства, т.е.
.
Пусть, кроме того, для всех , из
, (8)
где и не зависит от ,.
Тогда существует одна и только одна точка такая, что
.
Оператор , обладающий свойством (8), называется оператором сжатия, а точку такую, что , называется неподвижной точкой оператора .
Вообще, оператор может и не иметь неподвижных точек. Простейший пример - оператор сдвига в . В условиях теоремы Банаха неподвижная точка существует, и притом только одна.
Доказательство. Возьмем произвольный фиксированный элемент и положим
, , …, , … .
Покажем, что последовательность фундаментальная. Для этого заметим, что
,
,
…………………………………………..
,
…………………………………………..
Далее,
. (9)
Так как по условию , то
,
откуда в свою очередь следует, что при и любом .
Значит, последовательность сходится в себе (фундаментальная). В силу полноты пространства существует элемент , являющийся пределом этой последовательности,
.
Докажем, что .
В самом деле,
.
Так как , то для любого при достаточно большом
, .
Следовательно,
.
Так как произвольно, то отсюда следует, что , т.е. , что и требовалось доказать.
Докажем единственность неподвижной точки у оператора сжатия.
Предположим, что существует два элемента , такие, что
, .
Тогда
.
Если допустить, что , то из предыдущего следует, что . Но это противоречит условию . Значит, наше допущение, что , неверно и .
Переходя в формуле (9) к пределу при , получаем оценку ошибки -го приближения:
. (10)
Одновременно (10) служит и оценкой скорости сходимости.
Замечание 1. Построение последовательных приближений , сходящихся к неподвижной точке , можно производить, исходя из любого элемента . Выбор элемента будет сказываться лишь на быстроте сходимости к своему пределу.
Замечание 2. Условие
()
нельзя, вообще говоря, заменить на более слабое
. (*)
В самом деле, пусть - множество действительных чисел с естественной метрикой и пусть
.
Нетрудно видеть, что неподвижных точек у оператора нет: уравнение , определяющее неподвижные точки оператора , в данном случае принимает вид
и решений не имеет.
Вместе с тем, используя теорему Лагранжа, получаем
,
т.е. условие (*) выполняется.
2.2 Применение к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода
Применим принцип сжатых отображений для доказательства существования и единственности решения неоднородного линейного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода, уравнение имеет вид (1). Предположим, что ядро непрерывно в замкнутом квадрате и, следовательно, ограничено в нем: . Предположим также, что . Будем искать решение уравнения (1) в классе функций, непрерывных на .
Определение. Решением интегрального уравнения (1) называется функция , которая, будучи подставлена в уравнение (1), обращает его в тождество по на :
. (11)
Очевидно, что при уравнение (1) имеет единственное непрерывное решение .
Покажем, что уравнение (1) однозначно разрешимо и при всех , достаточно малых по абсолютной величине. Будем рассматривать правую часть уравнения (1) как оператор , определенный в пространстве ,
. (12)
Всякую функцию оператор переводит в некоторую, вообще говоря, в другую, функцию , определенную на том же отрезке . И вопрос о существовании решения интегрального уравнения (1) тем самым сводится к вопросу о наличии неподвижной точки у оператора , т.е. такой функции , которая оператором переводится в себя: .
Покажем, что оператор , определенный формулой (12), действует из полного пространства опять в , т.е. что если , где , то и .
Действительно, пусть - произвольная точка отрезка и пусть - любое, лишь бы . Имеем
. (13)
Возьмем любое . По условию , и потому такое, что
при . (14)
Пусть, далее,
.
Ядро непрерывно в замкнутом квадрате и, значит, равномерно непрерывно в . Поэтому для выбранного найдется такое, что
(15)
при и любом .
Возьмем . Тогда при таких, что , будут одновременно выполняться неравенства (14) и (15) и в силу неравенства (13) получим, что
,
что и доказывает непрерывность функции в любой точке отрезка . Итак,
.
Выясним теперь, при каких условиях оператор будет сжимающим. Имеем
. (16)
Вспоминая, что , неравенству (16) придадим следующий вид:
,
откуда видно, что при оператор будет оператором сжатия.
Из принципа сжатых отображений заключаем, что для всякого такого, что
,
уравнение Фредгольма (1) с непрерывным ядром и непрерывным свободным членом имеет единственное непрерывное решение.
Последовательные приближения , …, , … к этому решению определяются из соотношений
(), (17)
где в качестве можно взять любую непрерывную на функцию.
2.3 Применение к интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода
Рассмотрим интегральное уравнение Вольтера 2-го рода, которое имеет вид (5). Выше отмечалось, что это уравнение можно рассматривать как частный случай уравнения Фредгольма, доопределив ядро равенством
при .
Однако, в отличие от уравнений Фредгольма, к уравнениям Вольтера принцип сжатых отображений (точнее, одно его обобщение) применим при всех значениях . Введем предварительно следующее понятие.
Определение. Пусть и - метрические пространства. Оператор , отображающий множество в пространство , называется непрерывным в точке , если для любого существует такое , что для всех , удовлетворяющих условию
уравнение теорема банах интегральный
,
имеет место неравенство
,
здесь , - расстояния между элементами пространств и соответственно.
Определение. Оператор называется просто непрерывным, если он непрерывен в каждой точке того множества, на котором он задан.
Пусть оператор действует из в . Возьмем любой элемент . Тогда будет опять принадлежать пространству и к нему снова можно применить оператор :
.
Оператор, состоящий в последовательном применении дважды оператора , будем обозначать символом и называть квадратом оператора .
Аналогично, определяются операторы , и вообще любая целая положительная степень оператора .
Теорема. Пусть - такое непрерывное отображение полного метрического пространства в себя, что отображение при некотором является сжатым. Тогда уравнение имеет , и притом единственное, решение.
Доказательство. Обратимся к интегральному уравнению (5). Будем предполагать, что и что ядро непрерывно в замкнутом треугольнике
Введем оператор , определив его формулой
. (18)
Нетрудно установить, что
.
Покажем, что - непрерывный оператор.
Пусть , - любые две функции из . Тогда
. (19)
Здесь
.
Из оценки (19) получаем, что
,
так что
.
Возьмем любое . Тогда при из условия будем иметь
.
Согласно определению, это и означает, что оператор , определенный формулой (18), есть непрерывный оператор из в .
Далее находим
и, вообще,
. (20)
Неравенство (20) верно для любого , и, значит,
. (21)
При любом значении число можно выбрать настолько большим, что
.
Следовательно, оператор будет сжимающим при достаточно большом . Таким образом, оператор имеет единственную неподвижную точку и, значит, уравнение Вольтера (5) при любом имеет, и притом единственное, решение. Это решение может быть найдено методом последовательных приближений, которые сходятся по схеме
, (),
где в качестве можно взять любую функцию из .
3. Конкретные интегральные уравнения
1. Решить интегральное уравнение
.
Решение. Ядро непрерывно в квадрате , причем
.
Далее, , , , так что , и условие , обеспечивающее сжатость отображения, здесь выполнено. Поэтому заданное интегральное уравнение может быть решено методом последовательных приближений. Положим . Тогда, согласно (17),
,
,
,
…………………………………………..
.
.
2. Решить интегральное уравнение
.
Решение. В данном случае и () непрерывны и, значит, уравнение имеет единственное решение.
Будем его искать методом последовательных приближений. Положим . Тогда получим
.
Далее,
,
,
………………………………………
.
Ясно, что
.
3. Решить уравнение Фредгольма 2-го рода:
.
Решение. , , , , отсюда . Зададим нулевым приближением .
.
.
.
Не трудно увидеть, что
.
Отсюда .
4. Решить интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с точностью :
.
Решение. Проверим сжимаемость оператора. Так как
,
учтем, что , тогда
.
Очевидно, что функция будет иметь наибольшее значение при . Так как функция рассматривается на отрезке , то максимум будет достигаться при . Таким образом и
.
Зададимся нулевым приближением .
, .
Так как продолжаем итерации.
** .,
.
Ответ: .
5. Решить интегральное уравнение Вольтера 2-го рода. Интервал , с точностью :
.
Решение. Зададимся нулевым приближением , тогда
,
.
Тогда продолжаем итерации
.
.
Подставляя в исходное выражение, получаем
.
Найдем расстояние:
.
Следовательно, продолжаем итерации:
.
Пользуясь результатами предыдущих итераций будем иметь:
.
,
.
Возвращаясь к подстановке
,
.
Найдем расстояние:
.
Продолжаем итерации
.
Воспользовавшись результатами предыдущих итераций, будем иметь:
.
,
,
.
Получаем:
.
Возьмем следующий интеграл
.
.
Таким образом
.
Найдем интеграл
.
Возвращаясь к подстановке , получим:
.
Тогда
.
Найдем расстояние
.
Ответ:
.
Заключение
Принцип сжатых отображений можно применять к доказательству существования и единственности решения для уравнений различных типов (дифференциальных, интегральных, алгебраических, трансцендентных, СЛАУ). Помимо доказательства существования и единственности решения , принцип сжатых отображений дает и фактический метод приближенного нахождения этого решения.
Укажем основные результаты данной работы:
· Было дано определение принципа сжатых отображений и некоторые его примеры.
· Так же было рассмотрено применение принципа сжатых отображений относительно интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода, а также относительно интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода.
· Было приведено практическое применение принципа сжатых отображений к решению интегральных уравнений 2-го рода.
Список использованной литературы
1. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: 2003 г.
2. Н. А. Тихонов. Интегральный уравнения. М.: 2000 г.
3. М. Л. Краснов. Интегральные уравнения. М., «Наука», 1975 г.
4. А. Б. Антоневич, Я. В. Радыно. Функциональный анализ и интегральные уравнения. М., изд-во «Университетское», 1984 г.
5. Л. А Фильштинский. Функциональный анализ, метод. указания, 1995 г.
6. Н. Н. Калиткин. Численные методы. М.: «Наука», 1978 г.
7. В. И. Смирнов. Курс высшей математики. Т. 4, 6-е изд. М.: «Наука», 1974 г.
8. В. А. Ильин, Э. Г. Познак. Математический анализ. 5-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001 г.
9. О. А.Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов, Математический анализ, часть 2, М., ”Московский университет”, 1987 г.
10. Б. П. Демидович. Сборник задач по математическому анализу, М., Наука, 1966 г.
11. Л. Д. Кудрявцев. Математический анализ, М., т. 1, 1978 г.
12. А. Н. Сидоров. Элементы теории функции и функционального анализа, М., 2002 г.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Уравнения Фредгольма и их свойства как классический пример интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования, их формы и степени, порядок формирования и решения. Некоторые приложения интегральных уравнений. Общая схема метода квадратур.
курсовая работа [97,2 K], добавлен 25.11.2011Основные виды линейных интегральных уравнений. Метод последовательных приближений, моментов, наименьших квадратов и коллокации. Решение интегральное уравнение методом конечных сумм и методом моментов. Ненулевые решения однородной линейной системы.
контрольная работа [288,4 K], добавлен 23.10.2013Понятие волнового уравнения, описывающего различные виды колебаний. Рассмотрение явной разностной схемы "крест" для решения данной задачи. Нахождение решений на нулевом и первом слоях с помощью начальных условий. Виды и решения интегральных уравнений.
презентация [240,6 K], добавлен 18.04.2013Основные элементы теорий однородных и краевых задач Римана, Гильберта, Нетера. Использование различных способов регуляризации полных особых интегральных уравнений. Некоторые основные свойства особых союзных операторов. Уравнения Фредгольма и Пуанкаре.
курсовая работа [565,3 K], добавлен 17.02.2014Обоснование итерационных методов решения уравнений в свертках, уравнений Винера-Хопфа, с парными ядрами, сингулярных интегральных, интегральных с одним и двумя ядрами. Рассмотрение алгоритмов решения. Анализ учебных программ по данной дисциплине.
дипломная работа [2,2 M], добавлен 27.06.2014Преимущества уравнений Лагранжа и их применение. Классификация связей внутри механической системы. Возможные перемещения механической системы и число степеней свободы. Применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию механической системы.
курсовая работа [530,7 K], добавлен 21.08.2009Уравнения, системы линейных, квадратных и третьей степени уравнений. Уравнения высших степеней сводящиеся к квадратным. Системы уравнений, три переменные. График квадратичной функции, пределы, производные. Интегральное счисление и примеры решения задач.
шпаргалка [129,6 K], добавлен 22.06.2008История развития формул корней квадратных уравнений. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. Решение квадратных уравнений Диофантом. Квадратные уравнения в Индии, в Хорезмии и в Европе XIII - XVII вв. Теорема Виета, современная алгебраическая запись.
контрольная работа [992,3 K], добавлен 27.11.2010Понятие и характерные признаки равносильных уравнений, требования к множеству их решений. Теорема о равносильности уравнений и порядок ее доказательства, значение в современной математике. Порядок и основные этапы нахождения корней уравнения-следствия.
презентация [15,1 K], добавлен 17.03.2011Определение понятия уравнения с параметрами. Принцип решения данных уравнений при общих случаях. Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями. Девять примеров решения уравнений.
реферат [67,0 K], добавлен 09.02.2009
