Метод стрельбы для решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Метод стрельбы для решения краевых задач для ОДУ



Аннотация

При исследовании многих прикладных и теоретических задач современного естествознания и при инженерных расчетах часто требуется разыскивать решение дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным краевым условиям. Современная вычислительная техника и накопленный вычислительный опыт позволяют приближенно рассчитывать решения больших и сложных задач для дифференциальных уравнений. Особую важность при численных расчетах имеет гарантированная точность вычисленного решения. Она зависит от точности используемой ЭВМ и влияния на решение неизбежных ошибок входных данных и ошибок округления.

Существуют мощные пакеты, позволяющие решать как аналитически, так и численно многие задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Уверенному использованию таких пакетов помогают знания вычислительных методов решения ОДУ и их особенностей. Встречаются также задачи, для которых требуется модифицировать старые или создавать новые методы и алгоритмы.

Наиболее распространенные методы решения краевых задач для ОДУ можно разделить на три группы: методы сведения к задаче Коши; конечно - разностные методы; проекционные и вариационные методы.

В данной работе я хочу рассмотреть методы сведения краевой задачи к задаче Коши и алгоритмы их реализации на ПЭВМ. Суть всех таких алгоритмов одинакова, поэтому их можно называть методами стрельбы (или пристрелки), несмотря на то, что иногда в литературе так называются только некоторые из них. Следует, отметить, что даже корректно поставленная задача может быть неустойчивой при численном решении, т.е. малые ошибки при вводе данных и неизбежные ошибки округления могут привести к большой погрешности результата.



Введение

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) называется уравнение вида:

f( x, y, y`, y``,. . . , y) = 0 ,

где порядок старшей производной к называется порядком ОДУ. ОДУ имеет бесконечно множество решений. Для отыскания конкретного решения требуются дополнительные условия. Эти условия могут быть двух типов:

- Задача Коши с начальными условиями(НУ). Дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной. Например, при x=a заданы значения функции y0, и возможно некоторые производные искомой функции y0`, y0`` и т.д.

- Краевая задача - задача с граничными условиями(ГУ). Дополнительные условия задаются при двух (или более) значениях независимой переменной. Например, x=a задано значение функции ya , при x=b - значение yb.

Методы решения задачи Коши:

- Аппроксимация рядом Тейлора

- Методы Рунге-Кутты

- Методы прогноза и коррекции

Нулевым приближением всех методов решения задачи Коши является метод Эйлера.

Методы решения краевой задачи:

- Методы стрельбы (пристрелки)

- Проекционные методы

- Метод конечных разностей

Далее остановимся более подробно именно на методе стрельбы.



Метод стрельбы

Метод стрельбы состоит в сведении краевой задачи к задаче Коши, для решения которой существует много приближенных методов, позволяющих получать результат с гарантированной точностью.

Такое сведение состоит в отыскании значений p₁,... ,р_т, при которых решение (x,pi,...,р_т) задачи Коши

u_i(а) = p_i , і = 1,...,m, а? х? b

совпадает с решением краевой задачи (6). Очевидно, при таких значениях p_{i ,} i = 1,2,...,т, должны выполняться краевые условия

, (8)

,

Искомые p_{i ,} i = 1,2,...,т можно разыскивать следующим образом. Сначала из системы k уравнений (в общем случае нелинейных, трансцендентных)

находят (т -- к) параметрическое семейство решений (оно существует, так как предполагается, что краевая задача корректно поставлена). Пусть, для простоты изложения, семейство решений можно записать в виде

.

(9) ,



где p_{i ,} i = k+1,...,т -- пока произвольные постоянные (параметры).

Решение задачи Коши

. (10)

,

является также решением краевой задачи (6), если

, (11)

Система (т -- к) уравнений (11) для вычисления (т -- к) неизвестных параметров p_{i ,} i = k+1,...,т называется уравнениями "сшивания". Численное решение таких уравнений разыскивается обычно методом Ньютона.

Аналогично можно поступить, если найти к-- параметрическое семейство решений системы (т--к) уравнений относительно т неизвестных

,

которое можно записать в виде

. (12)

,

где p_{i ,} i = 1,...,k - пока произвольные постоянные. Тогда решение

(х,р₁,... ,p_k) задачи Коши

. (13)

,

будет решением краевой задачи (6), если p_{i ,} i = 1,...,k удовлетворяют уравнениям сшивания

(14)

Как правило, легче численно решать систему уравнений небольшого порядка, поэтому выбор уравнений сшивания (11) или (14) зависит от того, что больше k или (т -- k). Заметим, что для повышения точности расчета иногда разумно выбрать некоторую точку , на отрезке а ? x ? s вычислить решение задачи (10) и на отрезке s ? х ? b вычислить решение задачи (13), а затем "сшить" их в точке s. В этом случае получится система уравнений сшивания

(15)

которая будет иметь максимальный порядок т. Но, если у системы дифференциальных уравнений задачи (6) есть быстро растущие решения, то разумный выбор внутри отрезка [а,b] точки s (вообще говоря, трудная задача) позволит найти значения с меньшей погрешностью.

Метод стрельбы для нормальной системы ОДУ

Метод пристрелки рассматривается для нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Это объясняется тем, что дифференциальное уравнение любого порядка сводится к эквивалентной нормальной системе ОДУ. Как проще всего это сделать покажем на примере двухточечной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения т - ого порядка, разрешенного относительно старшей производной

u^(m) = f(x,u,u',u",...,u^(m-1)), x [а, b] (1)

g_i(и(а),и'(а),и"(а),..., u^(m-1)(а)) = 0, і= 1, 2,..., к; (2)

g_i(u(b),u'(b),u"(b),..., u^(m-1)b)) = 0, і = к + 1, к + 2, ...,m; (2)

где g_i -функции, зависящие от значений решения и(х) и его производных на концах отрезка [а, b]. Замена

u₁(х) = и(х),u₂(х) = и'{х),... ,и_т(х) = u^(m-1)(х)

позволяет записать (1) в виде нормальной системы ОДУ:

и'₁ = u₂

и'₂ = u₃

_…

и'_m-1 = u_m (3)

u'_m=f(x,u₁,u₂,…,u_m)

или в векторном виде

(4)

где вектор-функции имеют размерность т. Краевые условия (2) можно также записать в виде

, і = 1,2,...,к (5)

і = к + 1, к + 2,... ,т. (5)



Первая компонента решения задачи (4)-(5) будет искомым решением краевой задачи (1)-(2).

Аналогично произвольную систему дифференциальных уравнений любого порядка можно заменить эквивалентной нормальной системой уравнений. Это объясняет, почему подавляющее большинство стандартных методов, их алгоритмов и соответствующих программ строятся для систем вида (4).

Вывод алгоритма метода стрельбы на примере первой краевой задачи для ОДУ 2-го порядка

Рассмотрим первую краевую задачу для ОДУ 2-го порядка:

метод стрельба дифференциальное уравнение

Вместо краевой задачи (3.1)-(3.3) рассматривается следующая задача Коши:

в которой интегральная кривая y(x,б) зависит не только от переменной x, но и от параметра б, который называется углом стрельбы.

Рисунок 1. Геометрическая интерпретация метода стрельбы



Он выбирается из условия равенства значения интегральной кривой на правой границе y(b,б) значению y₁ с наперед заданной точностью е (рис. 1):

|y(b,б) - y1|? е (3.7)

Угол пристрелки, удовлетворяющий неравенству (3.7), обозначим через б* . Интегральная кривая, полученная из решения задачи Коши (3.4)-(3.6) с углом, близким к этому значению, в соответствии с неравенством (3.7) и будет решением краевой задачи (3.1)-(3.3) с точностью е.

Таким образом, алгоритм метода стрельбы следующий.

1.Выбирается б₀, например из условия:

2.С этим значением б₀ одним из методов решается задача Коши (3.4)-(3.6) с получением y(x,б₀) и y(b,б₀); если при этом выполняется условие (3.7), то краевая задача (3.1)-(3.3) решена с точностью е.

В противном случае могут быть следующие два варианта:

a. y(b,б0) > y1; тогда угол стрельбы каким-либо способом уменьшается и решается задача Коши (3.4)-(3.6) тем же методом до тех пор, пока не выполнится условие y(b,б1) < y1;

b. y(b,б0) < y1; тогда угол стрельбы каким-либо способом увеличивается и решается задача Коши до тех пор, пока не выполнится условие y(b,б1) > y1.

4.Таким образом, угол стрельбы находится внутри интервала б ? (б₀,б₁), после чего истинное значение б* угла стрельбы определяется методом половинного деления с реализацией следующей цепочки:

a. б_k+1 = (б_k-1 + б_k) / 2;

b. y (x, б_k+1);

c. y (b, б_k+1);



d.анализируется неравенство |y(b, б_k+1) - y1|? е ; если оно выполнено, то б* (б_k + б_k+1) / 2 и y(x,б*) -- истинная интегральная кривая; если неравенство не выполнено, то итерационный процесс повторяется начиная с пункта 4.



Заключение

При выполнении данной курсовой работы были проведены расчет и построение узлов и комбинационных схем. Учитывались основные параметры влияющие на работу цифрового устройства. Был произведен синтез структурной, функциональной и электрической принципиальной схем заданного устройства, выбраны и обоснованы критерии подбора интегральных микросхем, проведена их сравнительная оценка.



Список литературы

1. Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Цифровая схемотехника» на тему «Проектирование цифрового устройства».

2. Шило В.Л. Популярные цифровые микросхемы: справочник, - Москва; металлургия, 1988,-352 с.

3. Орнадский П.П. Автоматические измерения и приборы. - К.; Техника,1990 - 448с.

4. Цифровые и аналоговые интегральные микросхемы: Справочник / С.В.Якубовский, Л.И.Нильсон, В.И.Кулешова и др./ Под ред. С.В.Якубовского.-М.: Радио и связь.



Приложение

1)Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) называется уравнение вида:

f( x, y, y`, y``,. . . , y) = 0 ,

где порядок старшей производной к называется порядком ОДУ. ОДУ имеет бесконечно множество решений. Для отыскания конкретного решения требуются дополнительные условия. Эти условия могут быть двух типов:

2)Задача Коши с начальными условиями(НУ). Дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной. Например, при x=a заданы значения функции y0, и возможно некоторые производные искомой функции y0`, y0`` и т.д.

Методы решения задачи Коши:

- Аппроксимация рядом Тейлора

- Методы Рунге-Кутты

- Методы прогноза и коррекции

Нулевым приближением всех методов решения задачи Коши является метод Эйлера.

3) Краевая задача - задача с граничными условиями(ГУ). Дополнительные условия задаются при двух (или более) значениях независимой переменной. Например, x=a задано значение функции ya , при x=b - значение yb.

Методы решения краевой задачи:

- Методы стрельбы (пристрелки)

- Проекционные методы

- Метод конечных разностей

Размещено на Allbest.ru