Систематизация применения фрактала в моделировании

Размещено на http://www.allbest.ru/

9

Министерство образования и науки Украины

Харьковский национальный аэрокосмический университет

им Н.Е. Жуковского “ХАИ”

Курсовой проект

На тему:

«Систематизация применения фрактала в моделировании»

Оглавление

фрактал самоподобие соразмерность

Введение

1. Определения понятия фрактал

1.1 Определение фрактальной размерности

1.2 Свойство самоподобия

2. Фракталы

2.1 Канторово множество и его обобщение

2.2 Снежинка и кривая Коха

2.3 Ковры Серпинского

2.4 Кривая Пеано

2.5 Кривая Госпера

2.6 Дракон Хартера-Хейтуэя

Список используемой литературы

Введение

Сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных систем. Геометрия встречающихся в природе объектов самых различных размеров - от атомных масштабов до Вселенной - занимает центральное место в моделях, которые мы строим в различных областях естествознания. Фракталы - подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Термин относится к некоторой статичной геометрической конфигурации, такой как мгновенный снимок водопада. Фракталы сейчас очень интересные объекты. Интерес к ним вызван удивительными геометрическими узорами, которые можно получить на компьютере, исследуя свойства фракталов, как математических объектов. В последнее время появилось много публикаций связанных с понятием фрактала, которое впервые было введено Бенуа Мандельбротом. Так же, дано строгое математическое определение понятия фрактала, но потом возникли обобщения этого понятия и поэтому на данный момент нет строгого и полного определения фрактала. Целью данной работы является исследование фракталов как математических объектов, изучение их особенностей и основных свойств, таких как самоподобие. Следуя Бенуа Мандельброту, мы принимаем точку зрения, согласно которой фракталы должны определяться в терминах фрактальной (дробной) размерности. Отсюда и происхождение слова фрактал.

Понятие дробной размерности представляет собой сложную концепцию, которая излагается в несколько этапов. Прямая - это одномерный объект, а плоскость - двумерный. Если хорошенько перекрутив прямую и плоскость, можно повысить размерность полученной конфигурации; при этом новая размерность обычно будет дробной в некотором смысле, который нам предстоит уточнить. Связь дробной размерности и самоподобия состоит в том, что с помощью самоподобия можно сконструировать множество дробной размерности наиболее простым образом.

1. Определения понятия фрактал

Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше его топологической размерности.

Это определение в свою очередь требует определений терминов множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича (D) и топологическая размерность (DT), которая всегда равна целому числу. Для наших целей мы предпочитаем весьма нестрогие определения этих терминов и наглядные иллюстрации (с использованием простых примеров), а не более строгое, но формальное изложение тех же понятий. Мандельброт сузил свое предварительное определение, предложив заменить его следующим: Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.

Строгого и полного определения фракталов пока не существует. Дело в том, что первое определение при всей правильности и точности слишком ограничительно. Оно исключает многие фракталы, встречающиеся в физике. Второе определение содержит существенный отличительный признак, фрактал выглядит одинаково, в каком бы масштабе его ни наблюдать.

Таким образом, можно обобщить понятие фрактала до следующего:

Фрактал (лат. fractus - измельченный, дробный) - термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, строго большую топологической.

Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает каким-либо из перечисленных ниже свойств:

1. Обладает нетривиальной структурой на всех шкалах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведет к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.

2. Является самоподобной или приближенно самоподобной.

3. Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

4. Может быть построена при помощи рекурсивной процедуры(в которой имеется обращение к самой себе).

Объект который подчиняется всем выше сказанным свойствам называется фрактальным

1.1 Определение понятия фрактальной размерности

Фракталы, можно рассматривать как множества точек, вложенные в пространство. Например, множество точек, образующих линию в обычном евклидовом пространстве, имеет топологическую размерность DT = 1 и размерность Хаусдорфа - Безиковича D = 1. Евклидова размерность пространства равна Е -- 3. Так как для линии D = DT линия, согласно определению Мандельброта, не фрактальна, что подтверждает разумность определения. Аналогично множество точек, образующих поверхность в пространстве с Е = 3, имеет топологическую размерность Dr = 2 и D -- 2. Мы видим, что и обычная поверхность не фрактальна независимо от того, насколько она сложна. Наконец, шар, или полная сфера, имеет D = 3 и DT = Центральное место в определении размерности Хаусдорфа - Безиковича и, следовательно, фрактальной размерности D занимает понятие расстояния между точками в пространстве.

Размерность Хаусдорфа -- естественный способ определять размерность множества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть.

Определение: Пусть Щ -- ограниченное множество в метрическом пространстве X.

е - покрытия: Пусть б>0. Не более чем счетный набор подмножеств пространства X будем называть е - покрытием множества Щ, если выполнены следующие два свойства:

1)

2) для любого диаметр щi меньше е.

б-мера Хаусдорфа

Пусть б > 0. Пусть -- покрытие множества Щ. Определим следующую функцию, в некотором смысле измеряющую «размер» этого покрытия: Обозначим через «минимальный размер» е -покрытия множества Щ: , где инфимум берется по всем е -покрытиям множества Щ. Очевидно, что функция убывает по е. Следовательно, у нее есть конечный или бесконечный предел при Величина называется б-мерой Хаусдорфа множества Щ

Свойства б-меры Хаусдорфа

- б-мера Хаусдорфа является борелевской мерой на X.

- с точностью до умножения на коэффициент: 1-мера Хаусдорфа для гладких кривых совпадает с их длиной; 2-мера Хаусдорфа для гладких поверхностей совпадает с их площадью; d- мера Хаусдорфа множеств в совпадает с их d-мерным объемом.

- убывает по б. Более того для любого множества Щ существует критическое значение б0, такое, что:

- = 0 для всех б > б0

- для всех б < б0

Значение может быть нулевым, конечным или бесконечным.

Определение размерности Хаусдорфа

Размерностью Хаусдорфа множества Щ называется число б0 из предыдущего пункта.

Свойства размерности Хаусдорфа

- Размерность Хаусдорфа любого множества не превосходит нижней и верхней размерностей Минковского.

- Размерность Хаусдорфа не более чем счетного объединения множеств равна макcимуму из их размерностей. В частности, добавление счетного множества к любому множеству не меняет его размерности.

- Для самоподобных множеств размерность Хаусдорфа может быть вычислена явно. Неформально говоря, если множество разбивается на n частей, подобных исходному множеству с коэффициентами , то его размерность s является решением уравнения . Например, размерность множества Кантора равна ln2 / ln3 (разбивается на две части, коэффициент подобия 1/3), а размерность треугольника Серпинского -- ln3 / ln2 (разбивается на 3 части, коэффициент подобия 1/2).

1.2 Свойство самоподобия

Прямая - особое множество точек в пространстве: при любом изменении масштаба мы получим то же самое множество точек. Кроме того, произведя над прямой параллельный перенос, мы снова получим то же самое множество точек. Прямая инвариантна относительно параллельного переноса и изменения масштаба, можно сказать, что прямая самоподобна. Уточним наше утверждение. Зададим точки в пространстве их декартовыми координатами х = {х1, х2, х3). Прямая, проходящая через точку х0 в направлении а = (а1, а2, аъ), есть множество точек Y, определяемое соотношением: х = х0 + ta, -- оо < t < + ?. Параметр t здесь любое действительное число. Если изменить масштаб длины в одно и то же число раз г для всех компонент радиус-вектора х, точки х отобразятся в новые точки х' = rx = {rxt, rx2, гх3), и мы получим новое множество точек r(ц), определяемое соотношением

Здесь снова любое действительное число. Если сдвинуть новое множество точек , подвергнув все его точки параллельному переносу на величину (1 -- г)х0, то в результате мы получим исходное множество точек Y: прямая инвариантна относительно изменения масштаба длины. Прямая инвариантна и относительно параллельного переноса х->х + а-л, где л-любое действительное число.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

2. Фракталы

2.1 Канторово множество и его обобщение

Множество Кантора -- нигде не плотное несчетное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.

Способ построения этого множества следующий. Берется отрезок прямой единичной длины. Затем он делится на три равные части, и вынимается средний отрезок. Это первый шаг итерационной процедуры. На втором шаге подобной процедуре деления на три равные части и последующего удаления середины подвергается каждый из двух оставшихся отрезков. Так продолжая до бесконечности, получим множество Кантора.

Проведем построение более формально на множестве. Берем отрезок единичной длины C0 = [0, 1]. Удаляем из него открытый интервал (1/3, 2/3), получая C1 = [0, 1/3] U [2/3, 1]. На следующем и всех остальных шагах вы выкидываем среднюю треть (не включая концы) всех отрезков текущего уровня. Т.о. на втором шаге мы имеем C2 = [0, 1/9] U [2/9, 1/3] U [2/3, 7/9] U [8/9, 1]. Предельное множество C, которое представляет собой пересечение множеств Сn, n = 0,1,2..., и представляет собой пыль Кантора. Вычислим теперь фрактальную размерность этого множества. Очевидно, что на n-м шаге нашего построения мы имеем 2n отрезков длиной 1/3n каждый. Предел l ® 0 соответствует пределу n ® Ґ. Поэтому фрактальная размерность равна D = lim(ln(2n) / ln(3n)) = ln2 / ln3 = 0.6309.... Она меньше Евклидовой размерности пространства (d = 1) в котором распологается это множество (т.е. его длина равна 0) но все-таки отлична от нуля, т.е. больше топологической размерности элементов (точек) этого множества, следовательно теперь можно, используя определение фрактала, смело утверждать, что это множество - фрактал.

По математической терминологии данный объект предстявляет собой несчетное множество точек, обладающее мощностью континуума. Чтобы доказать это сначала рассмотрим арифметические свойства пыли Кантора. Так как отрезки делятся на три части будем использовать троичную систему счисления. Точки отрезка [0, 1] будем записывать в виде троичной дроби:

x = 0,b1b2b3 ... где bn О {0, 1, 2}.

Эту дробь можно представить в следующем виде:

x = b1 / 3 + b2 / 9 + b3 / 27 + ... + bn / 3n + ...

На первом шаге удаляются 1/3 < x < 2/3 или числа у которых b1 = 1, а остаются точки 0 ? x ? 1/3 и 2/3 ? x ? 1, При этом 0 ? x ? 1/3 можно записать в виде дроби с b1 = 0, а если 2/3 ? x ? 1, то можно записать в виде дроби с b1 = 2. и в том и другом случае b1 № 1. Число 1/3 также включается, т.к. помимо записи 0.1000... его можно записать в виде 0.02222.... Аналогично число 1 представимо в виде 0.2222.... Рассуждая и дальше таким образом, мы увидим, что исключаются все числа в записи которых присутствует 1. Сделаем вывод: в канторовом множестве содержатся те и только те точки, которые могут быть представлены в виде троичной дроби, у которой ни одно из bn № 1. Это и есть арифметическое свойство пыли Кантора.

Вернемся к доказательству того, что множество Кантора имеет мощность континуума. Для этого необходимо установить взаимно однозначное соответствие между точками из множества Кантора и точками отрезка [0, 1]. Будем представлять все точки отрезка [0, 1] в виде двоичной дроби, а точки пыли Кантора в виде троичной дроби. Для избежание двусмысленности в случае когда точка имеет два представления, мы будем всегда выбирать то, которое заканчивается всеми единицами в двоичном виде и всеми двойками в троичном. Ранее было замечено, что точка попадает в множество Кантора тогда и только тогда, когда в ее троичном представлении присутствуют только нули и двойки, поэтому искомое соответствие осуществляется заменой всех двоек в троичном представлении на единицы. Описанная процедура и определяет взаимно однозначное соответствие между множеством Кантора и отрезком [0, 1].

2.2 Снежинки и кривая Коха

Кривая Коха

Снежинки Коха

Для построения снежинки Коха выполним следующие операции. Рассмотрим в качестве нулевой итерации равносторонний треугольник.

Затем каждую из сторон этого треугольника разделим на три равные части, уберем среднюю часть и в середине достроим равносторонний треугольник так, как изображено на рис. На следующем шаге такой же процедуре деления на три равные части и достраивания равностороннего треугольника подвергается каждая из сторон новой фигуры, и так до бесконечности. В результате возникает симметричная, похожая на снежинку, бесконечно изломанная кривая, которая представляет собой самоподобное множество, называемое снежинкой Коха. Она была так названа в честь шведского математика Helge von Koch, который впервые описал ее в 1904. Отличительной ее особенностью является то, что она, будучи замкнутой, тем не менее, нигде себя не пересекает, поскольку достраиваемые треугольники каждый раз достаточно малы и никогда не "сталкиваются" друг с другом.

Подсчитаем ее фрактальную размерность. Возьмем в качестве длины стороны исходного треугольника l = 1, то фрагмент будет состоять из четырех отрезков, каждой длины 1/3 и, следовательно, общей длины 4/3. На следующем шаге получаем ломаную, состоящую из 16 отрезков и имеющую общую длину 16/9 или и т. д. От сюда следует, что фрактальная размерность равна

Эта величина больше единицы (топологической размерности линии), но меньше Евклидовой размерности плоскости, d = 2, на которой расположена кривая. Обратим внимание на то, что кривая, получаемая в результате n-й итерации при любом конечном n, называется предфракталом, и лишь при n, стремящемся к бесконечности, кривая Коха становится фракталом. Таким образом, снежинка Коха представляет собой линию бесконечной длины, ограничивающую конечную площадь. Используя определение фрактала, смело утверждать, что это множество - фрактал.

2.3 Ковры Серпинского

Салфетка Серпинского

Регулярный фрактал называемый салфеткой Серпинского получается последовательным вырезанием центральных равносторонних треугольников так, как показано на рис.

В результате получается "дырявая" фигура, состоящая из бесконечного числа изолированных точек. Фрактальная размерность салфетки Серпинского подсчитывается по формуле

Здесь на нулевом шаге мы имеем один равносторонний треугольник
с длиной стороны l = 1, а на следующем -- три равносторонних треугольника со сторонами l' = 1/2. Поэтому L = 1, N(l) = 1, а l' = 1/2,N(l') = 3. Салфетка имеет нулевую площадь, поскольку нетрудно проверить, что в процессе ее построения была исключена площадь, в точности равная площади исходного треугольника. Об этом же говорит и значение фрактальной размерности D < 2, которая меньше размерности плоскости, на которой находится этот объект. Фрактальная размерность больше топологической размерности. Используя определение фрактала, смело утверждать, что это множество - фрактал.

Ковер Серпинского

Аналогично салфетке Серпинского можно построить квадратный ковер Серпинского, который является двумерным аналогом канторовского множества исключенных средних третей. Рецепт его создания состоит в следующем. Вначале берется квадрат с длиной стороны, равной единице. Затем каждая из сторон квадрата делится на три равные части, а весь квадрат, соответственно, на девять одинаковых квадратиков со стороной, равной 1/3. Из полученной фигуры вырезается центральный квадрат. Затем такой же процедуре подвергается каждый из 8 оставшихся квадратиков и т. д.

В результате получается дырявый квадратный ковер Серпинского со значением фрактальной размерности.

Он также представляет собой пример идеального самоподобного фрактала. Его фрактальная размерность, однако, больше, чем у салфетки Серпинского, т.е. он является в каком-то смысле менее дырявым. Ковер имеет нулевую площадь, поскольку нетрудно проверить, что в процессе его построения была исключена площадь, в точности равная площади исходного квадрата. Об этом же говорит и значение фрактальной размерности D < 2, которая меньше размерности плоскости, на которой находится этот объект. Фрактальная размерность больше топологической размерности. Используя определение фрактала, смело утверждать, что это множество - фрактал.

2.4 Кривая Пеано

Существуют, однако, фракталы, которые плотно заполняют

пространство, в котором они находятся, так что их фрактальная размерность D = d. Одним из примеров такого рода являются кривые Пеано. Первая из них была найдена Пеано в 1890 г. Начальным (инициирующим) элементом здесь можно выбрать единичный квадрат, каждая из сторон которого на следующем шаге заменяется генератором, показанным на рис.

Он состоит из 9 отрезков длины 1/3, соединенных под прямым углом друг к другу. Цифры показывают способ обхода данной кривой. При такой геометрии неизбежны две точки самоконтакта 2-6 и 5-9. В результате исходный квадрат преобразуется так. как показано на рис.

Затем каждый из отрезков образовавшейся фигуры длиной в 1/3
преобразуется подобным же образом, и так до бесконечности. В результате возникает самоподобная непрерывная кривая, плотно заполняющая квадратную область с площадью, равной 2. Ее фрактальная размерность равна

2.5 Кривая Госпера

Существуют, однако, и кривые Пеано, в которых, в отличие от предыдущего случая, отсутствуют точки самоконтакта (так называемые самоизбегаюшие кривые). Одним из примеров такого рода является кривая Госпера. Инициатором для нее является отрезок единичной длины, а генератор показан на рис.

Он состоит из 7 отрезков длиной 1/ каждый (поэтому фрактальная размерность этой кривой тоже равна 2). Пунктиром показана треугольная решетка, служащая своеобразной образующей для этого генератора.

Следующие три шага процесса построения показаны на рис.

Интересной отличительной особенностью кривой Госпера является то, что граница области, называемой "островом Госпера", которую она заполняет в пределе бесконечного числа шагов, сама является фрактальной с нецелочисленной размерностью

.

Такие острова можно использовать для непрерывного покрытия плоскости, так как можно показать, что они идеально стыкуются друг с другом. Более того, семь таких островов, состыкованных вместе (один в центре и шесть вокруг него), образуют снова остров Госпера в три раза большего размера. Заметим, что подобным свойством из правильных многоугольников обладает только квадрат.

2.6 Дракон Хартера-Хейтуэя

И наконец, приведем пример кривой Пеано. для которой область, которую она заполняет на плоскости, имеет весьма причудливую форму. Это так называемый дракон Хартера-Хейтуэя. Первые 4 шага его построения изображены на рис.

Как следует из рисунка, каждый из отрезков прямой на следующем шаге заменяется на два отрезка, образующих боковые стороны равнобедренного прямоугольного треугольника, для которого исходный отрезок являлся бы гипотенузой. В результате отрезок как бы прогибается под прямым углом. Направление прогиба чередуется. Первый отрезок прогибается вправо (по ходу движения слева направо), второй -- влево, третий -- опять вправо и т.д. Для удобства восприятия на каждом рисунке пунктиром показана конфигурация предыдущего шага. Таким образом, после каждого шага число имеющихся отрезков удваивается, а длина каждого соответственно уменьшается в раз. Поэтому фрактальная размерность образующейся в результате (после бесконечного числа шагов) кривой равна 2, т.е. кривая заметает собой конечную площадь. О форме образующейся необычной фигуры можно получить представление из рис., где изображены 12-е и 16-е "поколения" дракона.

Дракон представляет собой своеобразную гирлянду в форме двухсторонней правой спирали, состоящую из подобных друг другу спиралевидных звеньев, непрерывно уменьшающихся в размерах от центра к периферии.

Список используемой литературы

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. -- М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.

2. Федер Е. Фракталы. -- М: «Мир», 1991.

3. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов -- М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.

4. Божкин С.В., Паршин Д.А. -- Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

Размещено на http://www.allbest.ru/