Интерполяция
Интерполяционная формула Лагранжа. Определение производных функции. Оценка остаточного члена. Исчисление корня уравнения с помощью обратного интерполирования. Построение интерполяционного многочлена Ньютона. Сущность вычислительных методов алгебры.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.04.2011 |
| Размер файла | 105,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задание 1. Функция задана таблицей
лагранж интерполирование алгебра многочлен
1) Воспользовавшись интерполяционной формулой Лагранжа, найти .
2) С какой точностью можно вычислить по формуле Лагранжа по известным значениям функции, приведенным в таблице.
|
х |
0,02 |
0,08 |
0,12 |
0,17 |
0,23 |
0,3 |
|
|
у |
1,023 |
1,096 |
1,147 |
1,215 |
1,301 |
1,410 |
Для упрощения вычисления полагаем . Тогда значение новой переменной , соответствующие узлам интерполирования, будут
|
t |
0,2 |
0,8 |
1,2 |
1,7 |
2,3 |
3 |
|
|
у |
1,023 |
1,096 |
1,147 |
1,215 |
1,301 |
1,410 |
Тогда, значению х = 0,087 соответствует значение t = 0,87
1) Воспользуемся инвариантностью лагранжевых коэффициентов и вместо вычислим .
Для удобства воспользуемся таблицей:
|
i |
|||||||||
|
0 |
… |
||||||||
|
1 |
… |
||||||||
|
... |
…… |
…… |
…… |
… |
….. |
………………….. |
…. |
…. |
|
|
n |
.. |
||||||||
Тогда интерполяционная формула Лагранжа компактно запишется в виде:
, где .
Имеем:
|
i |
||||||||||
|
0 |
0,67 |
-0,6 |
-1 |
-1,5 |
-2,1 |
-2,8 |
-3,5456 |
1,023 |
-0,29 |
|
|
1 |
0,6 |
0,07 |
-0,4 |
-0,9 |
-1,5 |
-2,2 |
0,0499 |
1,096 |
21,97 |
|
|
2 |
1 |
0,4 |
-0,33 |
-0,5 |
-1,1 |
-1,8 |
0,13068 |
1,147 |
8,78 |
|
|
3 |
1,5 |
0,9 |
0,5 |
-0,83 |
-0,6 |
-1,3 |
-0,437 |
1,215 |
-2,78 |
|
|
4 |
2,1 |
1,5 |
1,1 |
0,6 |
-1,43 |
-0,7 |
2,08108 |
1,301 |
0,63 |
|
|
5 |
2,8 |
2,2 |
1,8 |
1,3 |
0,7 |
-2,13 |
-21,492 |
1,41 |
-0,07 |
|
Тогда, значение функции в точке
2) Найденный многочлен имеет вид:
Или:
а) Исходя из количества неизвестных значений функции заданных в таблице, определим n = 5 и подставим его значение в формулу:
.
б) Последовательно находим производные функции f(t) до 6 -го порядка включительно.
Так как найденная функция имеет пятую степень, то очевидно, что производная 6-го порядка равна нулю и соответственно,
Задание 2. Функция задана таблицей
Найти значениепользуясь интерполяционной формулой Ньютона. Оценить остаточный член.
|
х |
0,180 |
0,185 |
0,190 |
0,195 |
0,200 |
0,205 |
|
|
у |
5,615 |
5,467 |
5,326 |
5,193 |
5,066 |
4,946 |
1. Находим .
2. Для удобства вычислений составим таблицу
3. Найдем , где подставим .
4. Воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона
и подставим все найденные значения в формулу.
5. Оценим остаточный член, воспользовавшись формулой
где с - некоторая внутренняя точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы и точку .
1. Находим
2. Составим таблицу разностей:
|
0,18 |
5,615 |
|||||
|
0,185 |
5,467 |
-0,148 |
||||
|
0,19 |
5,326 |
-0,141 |
0,007 |
|||
|
0,195 |
5,193 |
-0,133 |
0,008 |
0,001 |
||
|
0,2 |
5,066 |
-0,127 |
0,006 |
-0,002 |
-0,003 |
|
|
0,205 |
4,946 |
-0,12 |
0,007 |
0,001 |
0,003 |
3. Найдем , где подставим :
4. Подставим все найденные значения в интерполяционную формулу Ньютона.
или
5. Для оценки остаточного члена в интерполяционную формулу Ньютона подставим
и получим формулу
Примем за точку
Находим значение
Тогда,
Таким образом, остаточный член .
Задание 3. С помощью обратного интерполирования найти корень уравнения , лежащий на отрезке с точностью до
Решение:
1. Составим таблицу значений с шагом .
|
х |
0,2 |
0,22 |
0,24 |
0,26 |
0,28 |
0,3 |
|
|
у |
0,029299 |
-0,01464 |
-0,05802 |
-0,10087 |
-0,14316 |
-0,18493 |
Как видно из таблицы функция меняет свой знак при переходе от точки к точке . Следовательно, в этом промежутке имеется корень уравнения. Полагая и , и воспользуясь интерполяционной формулой Ньютона, найдем значение для которого С помощью формулы Ньютона
находим:
1) ;
2) ;
3) Составим таблицу разностей:
|
0,2 |
0,029299 |
|||
|
0,22 |
-0,01464 |
0,02 |
||
|
0,24 |
-0,05802 |
0,02 |
0 |
Подставим в формулу полученные значения и находим:
соответственно с точностью до
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Метод решения задачи, при котором коэффициенты a[i], определяются непосредственным решением системы - метод неопределенных коэффициентов. Интерполяционная формула Ньютона и ее варианты. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа по заданной функции.
лабораторная работа [147,4 K], добавлен 16.11.2015Понятие интерполяционного многочлена Лагранжа как многочлена минимальной степени, порядок его построения. Решение и оценка остаточного члена. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции, квадратного трехчлена и других элементарных функций.
курсовая работа [141,5 K], добавлен 23.07.2011Интерполяция с помощью полинома Ньютона исходных данных. Значение интерполяционного полинома в заданной точке. Уточнение значения корня на заданном интервале тремя итерациями и поиск погрешности вычисления. Методы треугольников, трапеций и Симпсона.
контрольная работа [225,2 K], добавлен 06.06.2011Построение приближающей функции, используя исходные данные, с помощью методов Лагранжа, Ньютона и Эйткена (простая и упрощенная форма реализации). Алгоритм вычисления интерполяционного многочлена. Сравнение результатов реализации методов в среде Mathcad.
курсовая работа [299,3 K], добавлен 30.04.2011Интерполяционная схема Эйткина. Связь конечных разностей и производных. Распространение ошибки исходных данных при вычислении конечные разности. Свойства разделенной разности. Интерполяционная формула Ньютона для не равноотстоящих узлов. Полином Лагранжа.
лекция [92,3 K], добавлен 06.03.2009Построение массива конечных разностей. Выполнение экстраполяции. Вычисление приближенной функции с помощью многочлена Лагранжа. Определение значения функции с помощью формул Ньютона. Квадратичная сплайн-интерполяция. Среднеквадратичная аппроксимация.
контрольная работа [1004,9 K], добавлен 01.12.2009Доказательство существования и единственности интерполяционного многочлена Лагранжа. Понятие лагранжевых коэффициентов. Способы задания наклонов интерполяционного кубического сплайна, его использование для аппроксимации функций на больших промежутках.
презентация [251,7 K], добавлен 29.10.2013В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций. Формула Лагранжа. Интерполирование по схеме Эйткена. Интерполяционные формулы Ньютона для равноотстоящих узлов. Формула Ньютона с разделенными разностями. Интерполяция сплайнами.
контрольная работа [131,6 K], добавлен 05.01.2011Особенности решения линейных и нелинейных уравнений. Характеристика и практическое применение и различных методов при решении уравнений. Сущность многочлена Лагранжа и обратного интерполирования. Сравнение численного дифференцирования и интегрирования.
курсовая работа [799,6 K], добавлен 20.01.2010Применение первой и второй интерполяционной формул Ньютона. Нахождение значений функции в точках, не являющимися табличными. Bспользование формулы Ньютона для не равностоящих точек. Нахождение значения функции с помощью интерполяционной схемы Эйткена.
лабораторная работа [481,0 K], добавлен 14.10.2013
