Перестановки членов условно сходящихся векторных рядов
Числовые и векторные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды. Векторные, векторные метрические и нормированные пространства. Абсолютно сходящиеся ряды в банаховых пространствах. Формулировка теоремы Штейница и схема ее доказательства.
| Рубрика | Математика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.04.2011 |
| Размер файла | 459,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
56
Дипломная работа
По теме: “Перестановки членов условно сходящихся векторных рядов”
Содержание
- Введение
- Глава 1. Числовые ряды и векторные ряды
- §1.1 Основные факты об абсолютно и условно сходящихся числовых рядах
- § 1.2 Векторные, векторные метрические и нормированные пространства. Абсолютно сходящиеся ряды в банаховых пространствах
- §1.3 Лемма Штейница. Некоторые оценки константы Штейница
- Глава 2. Условно сходящиеся ряды в конечномерных нормированных пространствах
- § 2.1 Формулировка теоремы Штейница и схема ее доказательства
- § 2.2 Доказательство теоремы Штейница
- § 2.3 Задача "станков"
- Заключение
- Библиография
Введение
Одной из основных учебных тем в курсе классического математического анализа является тема "Числовые ряды". На их основе позже изучаются функциональные ряды, степенные ряды, разложение функций в степенные ряды, приближенные вычисления и т.д. Для числовых рядов знаменитое правило "от перестановки мест слагаемых сумма не меняется" не всегда выполняется. Более точно: если числовой ряд сходится абсолютно, то по-прежнему при любой перестановке членов этого ряда сумма остается той же самой. А вот если ряд сходится не абсолютно, то есть сходится условно, то ситуация меняется самым кардинальным образом. А именно: знаменитая теорема Римана утверждает, что в таком случае произвольно переставляя члены условно сходящегося ряда в ответе можно получить любое наперед заданное число, или . Более кратко: область сходимости перестановок условно сходящегося числового ряда есть вся числовая прямая. Настоящая дипломная работа посвящена изучению вопроса о том, как выглядит возможный аналог теоремы Римана для рядов, составленных из векторов некоторого фиксированного нормированного пространства.
Работа состоит из двух глав и приложений. В приложениях в табличном виде представлена информация о порядке характера изучения темы "Числовые ряды" в различных учебниках. Следует отметить, что изложение теоремы Римана для векторных рядов практически отсутствует на русском языке.
В первой главе представлены стандартные учебные сведения о числовых рядах (§1.1) и их аналоги в векторных пространствах (§1.2). Центральным в главе является §1.3, в нем приводится доказательство знаменитой леммы Штейница, которая в двумерном случае выглядит следующим образом: Существует константа такая, что для любой замкнутой ломаной, проходящей через начало координат, длины звеньев который не больше единицы, найдется перестановка ее звеньев, для которой все частичные суммы, полученные после перестановки, по длине не превосходят . Наименьшее удовлетворяющее этой лемме называется константой Штейница. Сам Штейниц доказал что в качестве можно выбрать . В 1978 году было доказано что можно взять равной 2. В 1990 году было показано что и . В 1998 было доказано что для евклидовой плоскости в качестве можно взять . Вопрос о точном вычислении константы Штейница оказался очень сложным до сих пор не известно точное значение константы Штейница для трехмерного евклидова пространства.
В главе 2 доказана теорема Штейница для условно сходящихся рядов в евклидовой плоскости. Оказывается, что область сходимости всех перестановок произвольного условно сходящегося ряда является либо некоторой прямой, либо всей плоскостью. Для мерного пространства область сходимости такого ряда всегда есть некоторое аффинное подпространство. В параграфе 2.1 изложена схема доказательства, в котором основным является "двойственный" взгляд на элементы евклидовой плоскости: с одной стороны это просто точки, а с другой наличие скалярного произведения позволяет интерпретировать эти точки как линейные функционалы. В параграфе 2.2 представлено само доказательство теоремы Штейница, которое самым существенным образом использует лемму Штейница.
В заключительном параграфе представлены некоторые приложения.
числовой векторный ряд сходящийся
Глава 1. Числовые ряды и векторные ряды
§1.1 Основные факты об абсолютно и условно сходящихся числовых рядах
Основные определения
Пусть дана числовая последовательность , и фиксирован порядок ее суммирования. Выражение, имеющее вид суммы бесконечного числа слагаемых
(1)
называется числовым рядом. Так же ряд обозначается символом или . Данные записи удобнее чем запись (1).
Числа называются членами ряда, а член с произвольным номером - общим членом ряда.
Суммы конечного числа членов ряда
называются частичными суммами ряда (1). Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм
(2)
Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (2) сходится к какому-нибудь числу , которое в этом случае называется суммой ряда (1). Символически это записывается так:
или .
Следует понимать, что символом может обозначаться и сам ряд и его сумма.
Если же последовательность частичных сумм (2) расходится (т.е. не сходится), то ряд (1) называется расходящимся.
Действия над рядами
Теорема 1. Изменение конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость или расходимость.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда изменения состоят в отбрасывании
первых членов ряда. Пусть ряд
(4)
сходится и имеет сумму , т.е. . Обозначим через сумму отброшенных членов ряда (4), а через сумму первых членов ряда
(5)
Тогда
, (6)
где - некоторое число, не зависящее от n. Из равенства (6) следует , т.е. последовательность частичных сумм ряда (5) имеет предел, что означает сходимость ряда (5).
Пусть теперь ряд (5) сходится и имеет сумму , т.е. . Тогда из (6) следует , что означает сходимость ряда (4).
Теорема 2. Если ряд сходится и его сумма равна S, то и ряд , где с - некоторое число, также сходится, и его сумма равна cS.
Доказательство. Пусть - частичная сумма ряда , а - частичная сумма ряда . Тогда
.
Отсюда, переходя к пределу при , получаем , т.е. последовательность частичных сумм ряда сходится к cS. Следовательно, .
Теорема 3. Если ряд и сходятся и их суммы соответственно равны S и , то и ряд сходится и его сумма равна .
Доказательство. Пусть и - частичные суммы рядов и , а - частичная сумма ряда . Тогда
Отсюда, переходя к пределу при , получаем , т.е. последовательность частичных сумм ряда сходится к . Следовательно
.
Теорема 4 (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд сходится, то его общий член стремиться к нулю, т.е. .
Доказательство. По условию ряд сходится. Обозначим через S его сумму. Рассмотрим частные суммы ряда и . Отсюда . Т.к. и при ,
то
.
Условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда.
Пример: Пусть дан гармонический ряд .
,
но ряд является расходящимся.
Расходимость гармонического ряда следует или из интегрального признака сходимости или из элементарного неравенства:
Достаточные условия сходимости рядов
Теорема 5 (Критерий сходимости). Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.
Доказательство. Необходимость. Пусть ряд сходится. Это значит, что последовательность его частичных сумм имеет предел. И поэтому является ограниченной как всякая сходящаяся последовательность.
Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм ряда ограничена. Т.к. ряд с неотрицательными членами, то его частичные суммы образуют не убывающую последовательность: . По теореме Вейерштрасса монотонная ограниченная последовательность сходится, т.е. сходится ряд .
Теорема 6 (Признак сравнения). Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех n выполняется неравенство . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Доказательство. Обозначим через и соответственно частичные суммы рядов и . Из неравенства следует, что (7)
Если ряд сходится, то по теореме 5 (необходимость) последовательность его частичных сумм ограничена. Но тогда , откуда по той же теореме 5 (достаточность) следует, что ряд сходится.
По контрапозиции из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Пример: Ряд сходится, т.к. сходится ряд из членов геометрической прогрессии , а члены данного ряда не больше соответствующих членов ряда сходящейся геометрической прогрессии: .
Пример: Если , то ряд расходится, поскольку его члены не меньше членов гармонического ряда , а гармонический ряд расходится.
Теорема 7 (Признак Даламбера). Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел . Тогда а) при ряд сходится; b) при ряд расходится.
Доказательство.
a) Пусть и . Докажем, что ряд сходится. По определению предела числовой последовательности для любого существует номер N такой, что при выполняется неравенство . Отсюда следует, что . (8)
Т.к. , то можно взять настолько малым, что будет выполнено неравенство . Полагая , на основании правого из неравенств (8) имеем , или для n=N, N+1, N+2, … Придавая n эти значения, из последнего неравенства получаем
т.е. члены ряда (9)
меньше соответствующих членов ряда, составленного из элементов геометрической прогрессии:
(10)
Т.к. , то ряд (10) сходится. Тогда согласно признаку сравнения ряд (9) также сходится. Но ряд (9) получен из данного ряда в результате отбрасывания конечного числа первых членов, следовательно, по теореме 1 ряд сходится.
b) Пусть теперь. Докажем, что ряд расходится. Возьмем настолько малым, чтобы . Тогда при в силу левого из неравенств (8) выполняется неравенство или . Таким образом, члены ряда, начиная с некоторого номера N, возрастают с увеличением их номеров, т.е. общий член ряда не стремится к нулю при . Следовательно, согласно теореме 4, ряд расходится.
Замечание. При ряд может, как сходится, так и расходится. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью признака сравнения или других признаков.
Пример: Ряд сходится, так как
Пример: Ряд расходится, так как
Теорема 8 (Признак Коши). Пусть дан ряд с положительными членами, если
(13)
то при ряд сходится, а при q>1 расходится, и при этом .
Доказательство, как и в случае признака Даламбера получается в сравнении с геометрической прогрессией.
Теоремы 7 и 8 это так называемые признаки сходимости в предельной форме. В некоторых случаях оба признака используют в обобщенном виде.
Действительно, наличие предела в теоремах 7 и 8 на самом деле не существенно, достаточным является наличие оценок сверху
или
при всех достаточно больших .
Критерий Коши (сходимости числового ряда). Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы каждому числу отвечал такой номер , что при неравенство
< (15)
выполняется, для всех натуральных .
Иными словами: сумма любого числа членов ряда, следующих за достаточно далеким, должна быть произвольно мала.
Критерий Коши сходимости числового ряда сразу следует из критерия Коши сходимости числовой последовательности .
Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд составленный из его модулей . Последний ряд символически записывается так:
Если же ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.
Теорема 9. Из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость.
Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов
Пусть дан ряд , имеющий сумму . Переставив в нем члены произвольным образом, мы получим новый ряд:
Каждый член этого ряда совпадает с определенным членом исходного ряда.
Абсолютно сходящийся ряд обладает переместительным свойством, или от перестановки мест слагаемых сумма не меняется.
Теорема 10. Если ряд абсолютно сходится, то ряд полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму , что и исходный ряд.
Доказательство. Проведем в два приема.1) Предположим сначала что ряд - положительный. Рассмотрим произвольную частичную сумму ряда . Так как
то, взяв большим всех номеров , очевидно будем иметь , а следовательно, и подавно
В таком случае будет сходящимся и его сумма не превзойдет :
Но и ряд из получается перестановкой членов, поэтому аналогично:
.
Сопоставляя полученные соотношения, придем к требуемому равенству:
.
2) Пусть теперь будет произвольный абсолютно сходящийся ряд.
Так как сходящийся положительный ряд:
при любой перестановке членов остается сходящимся, то по теореме 9 сохранит свою абсолютную сходимость и ряд .
В случае абсолютной сходимости ряда , его сумма выражается так:
,
Где и есть суммы положительных рядов и , составленных, соответственно, из положительных и абсолютных величин отрицательных членов ряда .
Перестановка членов в ряде вызовет перестановку членов и в этих рядах, но не отразится на их суммах и . Таким образом сумма ряда останется прежней, что и требовалось доказать.
Теорема о произведении абсолютно сходящихся рядов. Если ряды и сходятся абсолютно к и соответственно, то ряд, составленный из расположенных в произвольном порядке всевозможных произведений (i = 1, 2, …, j = 1, 2, …), так же сходится абсолютно и имеет суммой число .
Доказательство. Пусть (1) ряд, составленный из взятых в некотором порядке произведений . Рассмотрим положительные ряды
(2) (3)
(4)
Первый и второй ряды сходятся по условию; обозначим их суммы соответственно и . Докажем сходимость ряда (4). С этой целью рассмотрим его частичную сумму
.
Каждое есть произведение некоторого на некоторое . Пусть, например,
, , …, .
Обозначим через наибольшее из чисел . Тогда,
(частные суммы рядов (2) и (3) не убывают при росте и, следовательно, не превосходят своих пределов). То есть при любом
.
Так как при этом величина не убывает с возрастанием , то она имеет конечный предел. Это означает, что ряд (4) сходится, то есть ряд (1) сходится абсолютно. Остается доказать равенство
.
Так как ряд (1) - абсолютно сходящийся, то его сумма не зависит от порядка членов, и можно расположить их любым удобным образом. С этой целью рассмотрим следующую таблицу, составленную из всевозможных произведений , то есть содержащую все члены ряда (1):
|
… |
|||||
|
… |
|||||
|
… |
|||||
|
… |
|||||
|
… |
… |
… |
… |
… |
Нужный нам порядок членов ряда (1) схематически указан здесь стрелками. Таким образом, не изменяя суммы ряда (1), мы можем переписать его следующим образом:
() () (5)
Мы можем так же каждую группу членов посчитать за один член (члены сходящегося ряда можно группировать). Но тогда -я частичная сумма ряда (5) равна величине
и будет, следовательно иметь пределом число .
Перестановки условно сходящихся рядов
Условно сходящиеся ряды переместительным свойством не обладают: в любом таком ряде надлежащей перестановкой можно изменить его сумму или вовсе нарушить сходимость.
Пример (ряд Лейбница): Рассмотрим знакочередующийся ряд:
у него расходится ряд, составленный из положительных членов
и ряд, составленный из отрицательных членов
возьмем произвольное число . Возьмем первую по счету частичную сумму ряда , которая превосходит . После этого выпишем первую по счету сумму ряда такую, что . Далее будем поочередно добавлять положительные и отрицательные члены ряда, в итоге получим перестановку исходного ряда Лейбница, которая сходится к числу .
Приведенное рассуждение по существу использует лишь расходимость рядов и , и оказывается верным для произвольного условно сходящегося ряда.
Предположим, что ряд сходится, но не абсолютно. Из сходимости следует, что =0. Что касается рядов и , то очевидно,
=0 и =0 (*)
но в данном случае они расходятся.
Действительно, имеют место равенства , . Если и означают число положительных и отрицательных членов ряда . Подчеркнем, что из трех номеров , , один может быть выбран произвольно, а другие два подбираются по нему. Из сходимости одного из рядов или , ввиду , вытекла бы с необходимостью и сходимость другого, а сходимость обоих, ввиду , имела бы сходимость ряда - вопреки предположению.
Теорема Римана. Если ряд условно сходится, то какое бы ни взять наперед число (конечное или бесконечное), можно так переставить члены ряда, чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именно .
Доказательство. Пусть для начала конечное. Заметим прежде всего, что из расходимости рядов и , в силу теоремы 1, вытекает, что и все их остатки также будут расходящимися, так что в любом из этих рядов, начиная с любого места, можно набрать столько членов, чтобы сумма превзошла любое число.
Пользуясь этим замечанием, мы следующим образом произведем перестановку членов ряда .
Сначала возьмем столько положительных членов ряда (в той последовательности, в которой они расположены), чтобы их сумма превзошла
: .
Вслед за ними выпишем отрицательные члены (в той последовательности, в которой они расположены), взяв их столько, чтобы общая сумма стала меньше
: .
После этого снова поместим положительные члены (из числа оставшихся) так, чтобы было
Затем наберем столько отрицательных членов (из числа оставшихся), чтобы было и т.д. Процесс этот мы мыслим продолженным до бесконечности, очевидно каждый член этого ряда , и при том со своим знаком, встретится на определенном месте.
Если всякий раз, выписывая члены и , набирать их не больше чем необходимо для осуществления требуемого неравенства, то уклонение от числа в ту или другую сторону не превзойдет по абсолютной величине последнего написанного члена. Тогда из (*) ясно, что ряд
имеет своей суммой . В силу того, что сходящийся ряд обладает сочетательным свойством, это останется верным и после раскрытия скобок.
Если , то, взяв последовательность возрастающих до бесконечности чисел i, можно было бы набор положительных чисел подчинить требованию, чтобы суммы последовательно становились больше 1, 2, 3 и т.д., а из отрицательных членов помещать лишь по одному после каждой группы положительных. Таким путем составился бы ряд имеющий в сумме +. Аналогично можно получить ряд с суммой . [15]
Установленный результат подчеркивает тот факт, что условная сходимость осуществляется лишь благодаря взаимному погашению положительных и отрицательных членов, и поэтому существенно зависит от порядка, в котором они следуют один за другим, между тем, как абсолютная сходимость основана на быстроте убывания этих членов - и от порядка их не зависит.
§ 1.2 Векторные, векторные метрические и нормированные пространства. Абсолютно сходящиеся ряды в банаховых пространствах
Можно ли рассматривать ряды не только на числовой прямой?
Ответ: можно, но для этого на множестве должны быть заданы некоторые дополнительные структуры:
1) Необходима операция сложения.
В этом случае множество , в которой предполагается суммирование должно быть группой относительно операции сложения. И тогда можно рассматривать частичные суммы ряда
,
,
…
,
…
2) Понятие предела последовательности. Оно необходимо для того чтобы имело смысл говорить о сумме ряда .
Как правило, понятие предела последовательности рассматривается в метрических пространствах. Тогда можно будет говорить об окрестностях, а следовательно и о пределах последовательностей, функций и т.д.
Эти две структуры должны быть согласованы между собой. Это значит, во множестве должно быть введено расстояние (метрика) согласованное с суммой (операция сложения непрерывна относительно метрики) и переход к противоположному элементу.
, .
Чаще всего, ряды и их суммы рассматривают в векторных нормированных пространствах, в которых расстояние определено через норму .
Ряды в векторном пространстве
Практически все основные понятия теории числовых рядов изложенные в первой главе можно перенести на случай рядов в нормированном векторном пространстве.
Множество называется векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо:
1. Каждой паре элементов и из отвечает элемент из , называемый суммой и , причём:
? сложение коммутативно;
? сложение ассоциативно;
? существует единственный нулевой элемент 0 (для любого из );
? для каждого элемента из существует единственный противоположный элемент.
2. Каждой паре и , где ? число, а элемент из , отвечает элемент , называемый произведением и , причём:
? умножение на число ассоциативно:;
? для любого элемента из .
3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями:
? умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;
? умножение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел.
Нормой в векторном пространстве называется отображение, которое каждому элементу ставит в соответствие неотрицательное число , таким образом, что при этом выполняются аксиомы:
1) для любого , ? нулевой элемент.
2) для любого и любого числа .
3) , для любых .
То векторное пространство вместе с определенной в нем нормой называется нормированным пространством.
Рядом элементов нормированного пространства называется выражение, имеющее вид суммы бесконечного числа слагаемых, принадлежащих пространству :
(1)
Так же ряд обозначается символом . Выражение (1) не является суммой в настоящем смысле, так как сложение элементов нормированного векторного пространства определено лишь для конечного числа слагаемых.
Частичными суммами ряда называют суммы конечного числа первых членов ряда.
Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится по норме пространства. Предел последовательности частичных сумм называется суммой ряда: . Если написано , то имеется в виду, что ряд сходится к , то есть:
.
Многие теоремы о числовых рядах практически дословно переносятся на случай рядов в нормированных пространствах, см. след стр.
Сходимость ряда в нормированном пространстве чаще всего выводят из фундаментальности последовательности его частичных сумм (критерий Коши). Не во всяком метрическом пространстве из фундаментальности следует сходимость. Такой переход гарантировано верен, только если пространство является полным.
Нормированное пространство является полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится. Полное нормированное пространство называется банаховым.
Всюду далее, если не оговорено противное, ряды будут рассматриваться в банаховых пространствах.
Теорема (необходимое условие сходимости ряда).
Если ряд сходится, то его общий член стремиться к нулю, т.е. .
Теорема (о сумме двух сходящихся рядов).
Сумма двух сходящихся рядов есть сходящийся ряд.
Доказательство. Пусть ряды и сходятся и их суммы соответственно равны и . Будем доказывать, что ряд сходится и его сумма равна .
.
Теорема (об умножении сходящегося ряда на константу).
Если ряд сходится и его сумма равна , то и ряд , где - некоторая константа, также сходится, и его сумма равна .
Остатком сходящегося ряда называется вектор . Остаток это сумма ряда .
С ростом остаток стремится к нулю. Так же остатком называют не сумму ряда , а сам ряд .
Отрезком ряда называется сумма конечного числа членов ряда, взятых подряд: . Так же отрезком называют и само множество .
Теорема (критерий Коши сходимости ряда).
Ряд элементов банахова пространства сходится в том и только том случае, если стремится к нулю последовательность его отрезков: , то есть
.
Доказательство. Пусть ряд сходится: при . Тогда , таким образом условие Коши выполнено.
Пусть , то есть условие Коши выполнено. Оно означает, что частичные суммы образуют последовательность Коши (фундаментальную последовательность). Так как пространство полно, то каждая фундаментальная последовательность в нем сходится, значит и данная последовательность сходится, что и требовалось доказать.
Доказательство критерия Коши аналогично доказательству в случае числовых рядов, только вместо знака модуля используется знак нормы и используется неравенство треугольника (аксиома 3) нормы).
Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится числовой ряд составленный из модулей его членов: .
Ряд является рядом из неотрицательных чисел.
Теорема (об абсолютной сходимости).
Пусть ряд абсолютно сходится, тогда это сходящийся ряд.
Доказательство. Так как , то по критерию Коши . По неравенству треугольника . Значит . Согласно критерию Коши, ряд сходится, что и требовалось доказать.
Ряд называется безусловно сходящимся, если он сходится при любой перестановке своих членов.
Ряд называется условно сходящимся, если он сходится но не безусловно.
Из первой главы известно, что числовой ряд сходится безусловно тогда и только тогда, когда он сходится абсолютно. Из предыдущей теоремы следует, что в одну сторону эта связь сохраняется и в общем случае: из абсолютной сходимости следует безусловная. В другую же сторону связь разрушается:
Пусть , , где ненулевая координата стоит на -ом месте. Тогда ряд при любой перестановке его членов сходится к элементу , но не сходится абсолютно, так как . [4]
Из сказанного выше следует, что многие свойства векторных рядов аналогичны соответствующим свойствам числовых рядов. Особенно интересным в теории векторных рядов является аналог теоремы Римана.
§1.3 Лемма Штейница. Некоторые оценки константы Штейница
Лемма Штейница. Существует такая константа , что любое сколь угодно большое, но конечное множество векторов в , длина которых не превосходит , а сумма равна 0, можно упорядочить так, чтобы длина суммы первых векторов для любого не превышала .
Аналогичное утверждение верно и в одномерном случае. Более того константу можно считать равной 1.
Действительно, пусть имеется конечный набор ненулевых чисел , сумма которых равна и каждое из которых по модулю не превосходит .
1) На первое место поставим произвольное положительное число при прохождении набора слева на право. Возможны два случая:
а) следующее по счету положительное число в сумме с первым не превосходит . Тогда поставим его вторым слагаемым.
б) в противном случае в качестве второго слагаемого выберем первое по счету отрицательное число и так далее.
Если чисел уже выбраны так, что частичные суммы не превосходят , то следующее число всегда можно выбрать так, чтобы остаться в предела промежутка
Таким образом .
Для доказательства Леммы Штейница для плоскости понадобится доказать еще две леммы.
Лемма 1. Пусть - начало ломаной в с конечным числом звеньев и максимальной длиной звена , а - ее конец (рис.1). Тогда можно так переставить звенья этой ломаной, чтобы расстояние от любой вершины полученной ломаной до прямой не превышало .
Доказательство. Спроектируем ломаную на прямую перпендикулярную прямой . Тогда точки и перейдут в какую-то точку на этой прямой, примем ее за 0. Выберем упорядочение полученной одномерной ломаной как описано в лемме Штейница для одномерного случая. Тогда соответствующая полученной перестановка в и будет искомой. То есть расстояние от любой из вершин ломаной до прямой не будет превышать максимальную длину звена (рис.2).
Лемма 2. Пусть, как и в лемме 1 расстояние от всех вершин ломаной до прямой меньше и дополнительно . Тогда можно так переставить звенья этой ломаной, что некоторый начальный кусок полученной после перестановки ломаной от до некоторой вершины удовлетворяет двум условиям:
1) ;
2) расстояния от вершин ломаной, расположенных между и , до отрезка не превосходят .
Доказательство. Выберем часть исходной ломаной, начинающуюся в вершине и заканчивающуюся в вершине , следующим образом:
Рис.3.
1) расстояние от до и от до не превосходит
2) проекции на прямую всех вершин ломаной между и лежат на отрезке
Занумеруем вершины ломаной в порядке движения от к . Будем считать, что точка лежит "выше" точки на прямой . Выделим множество вершин, проекции которых лежат выше . В нем имеется вершина с наибольшим номером. Проекция следующей за ней вершины будет уже лежать ниже точки . Эта вершина и будет вершиной . При этом расстояние от ее проекции до точки меньше (так как предыдущая вершина лежит выше точки ) и расстояние от до ее проекции меньше . Следовательно, расстояние от до вершины меньше . Аналогично определим точку , выбирая вершину, предыдущую той, которая имеет наименьший номер среди лежащих ниже . Условие гарантирует, что .
Если переставить выделенную часть ломаной в точку , то ее конец будет находиться на расстоянии не больше от вершины . Расстояние до отрезка при такой увеличится не более чем на (рис.4).
Последовательное применение лемм 1 и 2 к некоторой ломаной, расстояние между началом и концом которой превосходит , дает такую перестановку вершин, что в ломаной, полученной в результате перестановки, есть непустая правильная часть - такой начальный кусок ломаной, который удовлетворяет утверждению леммы 2.
Доказательство (леммы Штейница). Так как сумма векторов равна 0, то частичные суммы являются вершинами замкнутой ломаной с длинами звеньев не более . Без ограничения общности далее считаем, что и что начальная вершина ломаной совпадает с началом координат. Докажем, что .
Занумеруем вершины ломаной в порядке обхода. Опишем перестановку звеньев ломаной, которая будет удовлетворять лемме Штейница. Выберем в ломаной вершину с наименьшим номером, для которой (1)
(если такой вершины не найдется, то все вершины лежат в - окрестности точки ). Звенья, стоящие до , оставим без изменения. В оставшейся части ломаной переставим звенья так, чтобы выделить правильную часть, которая заканчивается в вершине . Будем продолжать выделение правильных частей из остатка ломаной. Если на каком-то шаге получаем вершину такую, что , то продолжаем ломаную произвольными звеньями до тех пор, пока не получим вершину , удовлетворяющую (1).
Из леммы 2 следует, что расстояние от любой вершины, полученной в результате такого процесса, до точки не превосходит
. [8]
Замечание. Часто лемму Штейница используют в следующем виде: Пусть в двумерном нормированном пространстве задано конечное множество векторов , сумму которых мы обозначим через . Тогда можно так переставить элементы этого множества, чтобы для любого натурального выполнялось неравенство
,
где соответствующая перестановка множества индексов.
Если убрать из левой части данного неравенства второе слагаемое, то мы получим более удобное для нас неравенство
.
Константа Штейница и ее оценки.
Константой Штейница называется наименьшее число , удовлетворяющее условию леммы Штейница
.
Доказанную выше лемму можно теперь переформулировать так: . Вопрос о точном вычислении константы Штейница даже для евклидовой плоскости оказался весьма сложным.
В 1980 году новосибирский математик В.С. Севастьянов доказал, что . В 1991 году польский математик В. Банащик доказал, что . Следовательно для евклидовой плоскости . [13] Уже для трехмерного евклидового пространства вопрос о точном значении константы Штейница является открытым до сих пор.
Метод Севастьянова позволяет дать следующую оценку константы Штейница мерного евклидова пространства: . [13]
Покажем, как работает метод Севастьянова для евклидовой плоскости. [13]
Теорема. .
Доказательство. Фиксируем - нечетное число. Основной результат получится при . Рассмотрим набор, состоящий из следующих векторов единичного круга:
1) .
2) Все векторов равны одному и тому же вектору , .
3) Все векторов равны вектору , который симметричен вектору относительно оси абсцисс .
Сначала покажем, что сумма всех этих векторов равна 0. .
Теперь покажем, что при произвольной перестановке построенных векторов хотя бы одна из частичных сумм полученных после перестановки будет сколь угодно близка по норме к числу .
Пусть произвольная перестановка индексов .
(*)
Если вектор после перестановки оказался на одном из “дальних” мест , то возьмем первые слагаемых суммы (*). В противном случае возьмем первые слагаемых суммы (*). В любом случае в выбранной частичной сумме содержится ровно слагаемых типа 2) или 3). Координата по оси абсцисс у такой суммы равна , так как и у вектора и у вектора первая координата равна , а всего векторов равных или первому или второму вектору у нас , таким образом, первая координата равна . В случае попадания вектора в эту частичную сумму мы имеем к абсциссе, в противном не имеем. Следовательно, абсцисса равна . Ордината такой суммы равна , где некоторое нечетное число, так как у нас - нечетное число слагаемых с ординатой равной либо , либо . Значит квадрат длины построенной частичной суммы равен
.
Так как нечетно, то и поэтому квадрат длины построенной суммы больше или равен . Переход к пределу при получаем, что таким образом построенная частичная сумма по длине будет сколь угодно близко приближаться к числу . Поэтому .
В случае мерного пространства метод Севастьянова будет выглядеть следующим образом: аналогично фиксируем - нечетное число, и рассмотрим набор, состоящий из векторов единичного мерного шара:
1) .
2) Все векторов равны одному и тому же вектору .
3) Все векторов равны вектору , который симметричен вектору относительно оси абсцисс .
Тогда . Пусть произвольная перестановка индексов .
(*)
После перестановки возьмем первые слагаемых суммы (*), где количество тех векторов из , которые попали в первые членов суммы (*). Тогда в выбранной частичной сумме содержится ровно слагаемых типа 2) или 3).
Из рассуждений, аналогичных двумерному случаю, первые координат полученной частичной суммы будут равны , а последняя будет равна , где нечетное число и значит его квадрат больше 0, таким образом:
.
Тогда .
Значит . [13]
Глава 2. Условно сходящиеся ряды в конечномерных нормированных пространствах
§ 2.1 Формулировка теоремы Штейница и схема ее доказательства
Вектор можно рассматривать как:
1) Просто вектор , то есть как точку из пространства .
2) А можно рассматривать вектор , как отображение , которое каждому вектору ставит в соответствие скалярное произведение , то есть .
Пусть , . Тогда .
Геометрический смысл: каждому вектору в соответствие ставится его проекция на ось .
Начиная с этого момента, знак вектора над элементами опустим, для упрощения записи. Если какой-то элемент не будет являться вектором, то будем это специально оговаривать.
Пусть - ряд в нормированном векторном пространстве . Областью сумм этого ряда называется множество - совокупность тех , что при некоторой перестановке ряд сходится к .
Тогда если , то теорема Римана (§1.1) утверждает, что для любого условно сходящегося ряда в . Позже В.М. Кадец показал, что такой эффект возможен в любом банаховом пространстве. [4]
Для произвольного бесконечномерного пространства может не быть линейным множеством, может не быть связным множеством и вообще выглядеть достаточно необычно. Например, результаты П.А. Корнилова показывают, что в гильбертовом пространстве возможны случаи, когда может быть арифметической прогрессией, а иногда и состоять ровно из двух точек [6,7].
Т. е если , то ничего "хорошего" утверждать про не возможно. Остается случай . Здесь имеет место следующая теорема.
Теорема Штейница.
Область сумм условно сходящегося ряда является аффинным подпространством пространства , т.е. является параллельным сдвигом некоторого линейного подпространства на некоторый вектор.
Сначала объясним более точно, как выглядит ответ в теореме Штейница.
Пусть - сумма условно сходящегося ряда. Определим некоторое множество векторов следующим образом.
числовой ряд - сходится абсолютно. Назовем множеством функционалов сходимости ряда .
Теорема (о множестве функционалов сходимости).
- непустое линейное подпространство .
Доказательство.
1) , так как , т.е. этот ряд сходится абсолютно.
2) , то .
Действительно
, , .
3) , то . Пусть ряд сходится к элементу , тогда ряд будет абсолютно сходиться к элементу .
¦
Рассмотрим множество всех векторов, которые ортогональны всем векторам из .
. Назовем его ортогональным дополнение. Из курса линейной алгебры хорошо известно, что так же линейное подпространство, которое пересекается с только в начале координат и любой вектор из однозначно раскладывается в сумму двух векторов из и .
Тогда ответ в теореме Штейница формулируется следующим образом:
Область сумм условно сходящегося ряда есть сумма и суммы этого ряда. Если ряд условно сходится, и , то .
Другими словами получается сдвигом линейного подпространства на вектор .
Рассмотрим простейший пример:
Пусть и все векторы лежат на оси , ряд - условно сходится. Тогда - все векторы на оси , а - все векторы на оси . Так как , то совпадет с осью . Следовательно теорема Римана о числовых условно сходящихся рядах действительно есть частный случай теоремы Штейница.
Для доказательства теоремы Штейница для условно сходящегося ряда нужно доказать, что , то есть нужно доказать два включения: и . Первое доказывается просто:
, тогда
.
Таким образом ряд абсолютно сходится к элементу . Тогда и перестановка данного ряда так же абсолютно сходится к элементу .
. ¦
§ 2.2 Доказательство теоремы Штейница
Лемма о многограннике. Пусть - многогранник в , заданный системой линейных неравенств:
где и - линейные функционалы. Пусть - вершина многогранника и . Тогда количество элементов во множестве не меньше, чем . Другими словами, количество граней, сходящихся в данной вершине многогранника, не меньше, чем размерность многогранника.
Доказательство. Допустим противное. Тогда система линейных уравнений
содержит меньше уравнений, чем неизвестных (координат вектора ) и, следовательно, имеет нетривиальное решение . При достаточно малом векторы принадлежат . Мы пришли к противоречию с тем, что - вершина многогранника.
Лемма об округлении коэффициентов. Пусть конечное подмножество мерного нормированного пространства, набор числовых коэффициентов, , и . Тогда найдется набор коэффициентов , или (набор округленных коэффициентов), для которого выполняется неравенство
.
Доказательство. Если , то достаточно положить при и при . Рассмотрим случай . Введем вспомогательное пространство коэффициентов и рассмотрим многогранник в , задаваемый системой неравенств , и равенств , где - это координаты вектора, принадлежащего многограннику. Так как многогранник не пуст и ограничен, то существует вершина многогранника . Заметим, что векторное равенство - это система из скалярных равенств. Значит, по предыдущей лемме, среди координат точки есть равных нулю или единице. Теперь определим числа следующим образом: если или , то , если , то , если же , то . Имеем
.
Так как чисел равны нулю, а остальные не превосходят , то
.
Определим множества и следующим образом:
.
Элементы множества будем называть частными суммами. Понятно, что , и что - выпуклое множество. Через обозначим замыкание множества .
Лемма 3. Пусть произвольное банахово пространство, условно сходящийся ряд в . Тогда множество с каждым своим элементом содержит и .
Замечание: Пусть любое конечное подмножество членов ряда , а произвольный элемент пространства . Заключение леммы 3 справедливо, если вместо взять .
Докажем теперь вторую часть теоремы Штейница, то есть что
.
Доказательство будет существенно сложнее, чем доказательство первой части в предыдущем параграфе. Сначала мы покажем, что для любого элемента найдется перестановка исходного ряда и такая последовательность индексов , что , то есть, что к сходится лишь некоторая подпоследовательность частичных сумм переставленного ряда. После этого мы построим “исправленную" перестановку , для которой ряд будет, уже по настоящему, сходится к элементу .
Рассмотрим множество . Оно содержит , и значит, согласно лемме 3, содержит и (). Зададимся последовательностью чисел .
Приблизим элемент элементом :
,
приблизим далее в соответствии с леммой об округлении коэффициентов элементом :
,
где равны нулю или единице. Выделим множество тех , в последней сумме, для которых и, если туда не попал , присоединим его. Полученное множество обозначим , а сумму попавших в него элементов через .
Таким образом
.
Рассмотрим теперь множество . Оно содержит и, значит, по замечанию к лемме 3 . Приблизим элементом : . Приблизим далее элементом из :
,
где равны нулю или единице. Присоединим к множество тех из последней суммы, для которых и, если ни в , ни среди присоединенных элементов нет , то присоединим и его. Полученное множество обозначим , а сумму его элементов обозначим . Имеем теперь
.
Продолжая это построение неограниченно, получим последовательность конечных множеств
.
Если выписать подряд члены множеств , то согласно полученным оценкам мы построим требуемое упорядочение ряда.
Перейдем ко второй части доказательства. Мы имеем ряд (для удобства обозначим его ), общий член которого стремится к нулю (в силу сходимости исходного, еще не переставленного, ряда), и некоторая последовательность его частичных сумм сходится к :
.
Из последнего соотношения следует, что
.
Применим к каждому из множеств лемму Штейница, и полученную перестановку всего ряда обозначим .
Сначала переставим .
.
Все частичные суммы левой части этого равенства
.
Затем переставим
Все частичные суммы левой части этого равенства
. И т.д.
Продолжая начатый процесс имеем следующие соотношения:
,
и для любого
.
Пусть произвольное натуральное число, , и таково, что . Тогда
.
Следовательно . Значит ряд и сумма этого ряда равна . Таким образом .
Замечание: Из теоремы Штейница следует, что область сумм условно сходящегося ряда в конечномерном пространстве не может состоять из одной точки.
§ 2.3 Задача "станков"
На станках требуется обработать партию из деталей. Каждая деталь проходит обработку сначала на первом станке, потом на втором и т.д. Каждый станок обрабатывает детали в одном и том же порядке. Обработка детали на станке начинается сразу после того, как:
1) Деталь обработана на станке ;
2) Деталь обработана на станке .
Нужно так упорядочить множество деталей, чтобы суммарное время обработки было наименьшим . Известно время обработки детали на станке .
Выражение суммарного времени обработки через длительности при данном упорядочении множества деталей (согласно так называемой "теореме о критическом пути") задается формулой: , (1)
где максимум берется по всевозможным наборам индексов
.
Из рассмотрения формулы (1) непосредственно вытекает следующая оценка снизу числа :
. (2)
То есть суммарное время обработки явно больше чем максимальное время обработки всех деталей на одном из станков.
Поскольку левая часть не зависит от того, в каком порядке берутся детали, неравенство (2) дает оценку снизу и для наименьшего времени обработки .
Введем в рассмотрение мерное нормированное пространство , элементами которого будут векторы , а норма определится формулой
.
Иначе говоря, . Детали с номером сопоставим вектор .
Теорема о множестве деталей. Множество деталей может быть упорядочено так, чтобы суммарное время их обработки удовлетворяло неравенству
. (3)
Доказательство. Искомую перестановку возьмем из леммы Штейница, в том виде, в котором она указана в замечании (стр.24). С целью некоторого упрощения выкладок будем считать, что единичная перестановка . Тогда из неравенства, сформулированного в замечании нетрудно получить, что
где
для любых , а отсюда, в свою очередь, что
,
константа Штейница (4)
Каждое слагаемое в формуле (1) оценим согласно (4):
.
Сложив их по получим требуемую оценку:
.
Сопоставляя (4) и (3), получаем двустороннюю оценку
.
Окончательный вывод: погрешность, которая получается при замене минимального времени обработки временем , оценивается сверху константой зависящей от количества станков, времени обработки на них деталей, но не зависит от числа деталей:
.
Заключение
Ряды различной природы - числовые, функциональные, векторные - широко используются во многих разделах математики в качестве инструмента приближения одних математических объектов другими.
В современных курсах математического анализа ряды рассматриваются как обобщение понятия суммы конечного числа элементов, и простейшие свойства суммы переносятся на бесконечные ряды. Но всем известное правило: “от перестановки мест слагаемых сумма не меняется” выполняется только для абсолютно сходящихся рядов. Для условно сходящихся числовых рядов вопрос об области сумм перестановок ряда решил Б. Риман. Для случая произвольного конечномерного пространства ответ на вопрос об области сумм перестановок условно сходящегося векторного ряда дал Е. Штейниц. В настоящей дипломной работе была рассмотрена теорема Штейница адаптированная под случай произвольного двухмерного пространства, доказательство которой существенным образом использовало лемму Штейница и оценки константы Штейница, которые также рассмотрены в настоящем дипломе. И были получены следующие результаты: константа Штейница для случая плоскости равна . А область сумм перестановок условно сходящегося векторного ряда принадлежащего некоторому конечномерному пространству есть аффинное подпространство данного пространства, то есть является параллельным сдвигом линейного подпространства на некоторый вектор. Таким образом, в двухмерном случае область сумм перестановок условно сходящегося векторного ряда есть либо вся плоскость, либо некоторая прямая.
Следует отметить, что данная тема почти не нашла отражения в учебниках. Тема редко встречается в специальной литературе, оценки константы Штейница были получены из диссертации С.В. Севастьянова. Поэтому тема имеет особую актуальность, но вместе с тем и сложности по подбору литературы.
Библиография
1. Баврин, И.И. Высшая математика [Текст]: Учеб. для студ. естественнонаучных специальностей педагогических вузов / И. И Баврин. - М.: Издательский центр "Академия": Высшая школа, 2000. - 616 с.
2. Воробьев, Н.Н. Теория рядов [Текст]: Учеб. Пособие для вузов / Н.Н. Воробьев. - 5-е изд., стер. - М.: Наука: Гл. ред. физ. - мат. лит., 1986. - 408 с.
3. Иванов, И.А. Главные направления векторных последовательностей и теорема Леви-Штейница / И.А. Иванов // Математическое просвещение. - 2003. - сер.3, вып.7. - С.170-174.
4. Кадец, В.М. Перестановки рядов в пространствах Банаха [Текст] / В.М. Кадец, М.И. Кадец. - Тарту: Типография ТГУ, 1988
5. Камынин, Л.И. Курс математического анализа.Т. II [Текст]: Учебник / Л.И. Камынин. - М.: Изд-во МГУ, 1995. - 624 с.
6. Корнилов, П.А. О линейности множества сумм функционального ряда / П.А. Корнилов // Успехи математических наук. - 1982. - сер.37, №2. - С. 205-206.
7. Корнилов, П.А. О перестановках условно сходящихся функциональных рядов / П.А. Корнилов // Матеем. Сб. - 1980. - сер.113, №4 - С.598-616.
8. Кустарев, А.А. Ограничения конечных векторных сумм и доказательство теоремы Леви-Штейница / А.А. Кустарев // - Математическое просвещение. - 2003. - сер.3, вып.7. - С.165-169.
9. Маркович, Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики [Текст]: Учеб. пособие для вузов / Э.С. Маркович. - Изд.2-е переработ. и доп. - М.: "высш. школа", 1972. - 480 с.
10. Мордкович, А.Г. Математический анализ [Текст]: Учебное пособие / А.Г. Мордкович, А.С. Солодовников. - Переизд. - М.: Вербум-М, 2000. - 416 с.: ил.
11. Никольский, С.М. Курс математического анализа [Текст]: Учебник для вузов / С.М. Никольский. - 5-е изд., перераб. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 592с.
12. Рудин, У. Основы математического анализа [Текст]: Учебник для вузов / У. Рудин. - 4-е изд., стер. - СПб.: Издательство "Лань", 2004. - 320 с.
13. Севастьянов, С.В. Геометрические методы и эффективные алгоритмы в теории расписаний [Текст]: Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук: 01.01.09. - Новосибирск 2000. - 280 с.
14. Сборник задач по математическому анализу. Том 2. Интегралы. Ряды [Текст] _: Учеб. пособие для вузов / Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин.; Под ред.Л.Д. Кудрявцева. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 496с.
15. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Том II [Текст] / Г.М. Фихтенгольц. - Спб.: Издательство "Лань", 1997. - 800 с.
16. Шилов, Г.Е. Математический анализ функции одного переменного части 1 - 2 [Текст] / Г.Е. Шилов. - М.: изд. "Наука" 1969. - 528 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Определение числового ряда, его основные свойства. Ряды геометрической прогрессии. Исследование на сходимость гармонического ряда. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.
лекция [137,2 K], добавлен 27.05.2010Изучение понятия числового ряда и его суммы. Особенности сходящихся и расходящихся рядов. Число e, как сумма ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Алгебраические операции и сходимость. Ряды с неотрицательными членами. Интегральный признак Коши-Маклорена.
методичка [514,1 K], добавлен 26.06.2010Числовой ряд - бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения. Сумма n первых членов ряда. Функция натурального аргумента. Свойства сходящихся и расходящихся рядов. Понятие и формула расчета n-ного остатка. Поиск суммы исходного ряда.
презентация [123,7 K], добавлен 18.09.2013Изучение изменений анализируемых показателей во времени как важнейшая задача статистики. Понятие рядов динамики (временных рядов). Числовые значения того или иного статистического показателя, составляющего ряд динамики. Классификация рядов динамики.
презентация [255,0 K], добавлен 28.11.2013Основное свойство рядов с неотрицательными членами. Необходимое и достаточное условие сходимости. Предельный признак сравнения. Расходящийся гармонический ряд. Ряды с положительными членами; определение конечного предела отношения их общих членов.
презентация [215,8 K], добавлен 18.09.2013Изучение теории поля с помощью векторного анализа. Векторные поля на плоскости и векторные линии. Вращение, вычисление и свойства дивергенции. Свойство аддитивности циркуляции полей. Ротор и его основные свойства. Рассмотрение формул Грина и Стокса.
курсовая работа [649,8 K], добавлен 18.12.2011Топографические и лучевые векторные диаграммы. Анализ и расчет цепей с синусоидальными напряжениями. Закон Ома в комплексной форме. Мощность при гармонических напряжениях и токах. Комплексные алгебраические уравнения, составленные по законам Кирхгофа.
лекция [905,1 K], добавлен 04.09.2014Векторные пространства, скалярное произведение и норма функций, ортогональные системы функций, равенства и тригонометрический ряд Фурье. Сходимость интеграла Фурье, основные сведения теории преобразования. Операционное исчисление, преобразование Лапласа.
учебное пособие [1,2 M], добавлен 23.12.2009Изложение теории поля с помощью векторного анализа и составление пособия. Циркуляция векторного поля. Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции второго порядка. Простейшие векторные поля. Применение теории поля в инженерных задачах.
дипломная работа [190,2 K], добавлен 09.10.2011Математическое описание последовательности чисел Фибоначчи. Представление фрагмента корзины "Гармония Мироздания" как образца формирования числовых рядов. Особенности построения живой спирали "Китовраса", ее практическое применение в древнем мире.
доклад [6,4 M], добавлен 16.01.2011
