Линейные преобразования и матрицы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

Впервые в математике такое понятие как матрица появилось в середине 19 века в работах Гамильтона, Сильвестра. Современное обозначение - две вертикальные черточки - ввел А. Кэли (1841).

Матричный язык, обозначения и матричные вычисления широко используются в различных областях современной математики и её приложений. Матрицы являются основным математическим аппаратом линейной алгебры, используются в математическом анализе при интегрировании систем дифференциальных уравнений.

В математике матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m = n , матрица называется квадратной, а число m = n -- ее порядком.

Матрицы также нашли своё применение в программировании. Они широко используются старшеклассниками с углубленным изучением математики на практических занятиях, студентами для закрепления темы “Двумерные массивы” и т.д. Современные средства вычислительной техники и ЭВМ позволяют существенным образом повысить эффективность деятельности инженеров при решении различных задач.

Задачами по данной теме являлись:

1) Исследование теоретической части по следующим аспектам:

*линейное преобразование

*матрица линейного преобразования

*определитель линейного преобразования

*вырожденное и невырожденное линейное преобразование

*произведение матриц

2) Практическая часть: решение примеров по некоторым из аспектов.

Линейное преобразование

линейное преобразование матрица число

Линейное преобразование переменных x₁, x₂, ..., x_n -- замена этих переменных на новые x"₁, x'₂, ..., x"_n, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам:

x₁ = a₁₁x'₁ + a₁₂x'₂ + ... + a_nnx'_n + b₁,

x₂ = a₂₁x'₁ + a₂₂x'₂ + ... + a_2nx'_n + b₂,

x_n = a_n1x'₁ + _an2x'₂ + ... + a_nnx'_n + b_n,

здесь a_ij и b_i (i, j = 1,2, ..., n) -- произвольные числовые коэффициенты. Если b₁, b₂,..., b_n все равны нулю, то линейное преобразование переменных называют однородным.

Простейшим примером линейного преобразования переменных могут служить формулы преобразования прямоугольных координат на плоскости

х = x" cos a - y" sin a + a,

у = x" sin a + y" cos a + b.

Если определитель D = Ѕa_ij Ѕ, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю, то можно и новые переменные x"₁, x"₂, ..., x"_n линейно выразить через старые. Например, для формул преобразования прямоугольных координат

x' =x cos a + ysin a + a₁

y' = -x sin a + cos a + b₁

где a₁ = - a cos a - b sin a, b₂ = a sin a - b cos (. Другими примерами линейных преобразований переменных могут служить преобразования аффинных и однородных проективных координат, замена переменных при преобразовании квадратичных форм и т. п.

Линейное преобразование векторов (или линейное преобразование векторного пространства) называют закон, по которому вектору х из n-мерного пространства ставят в соответствие новый вектор x", координаты которого линейно и однородно выражаются через координаты вектора х:

x'₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... +a_1nx_n

x'₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... +a_2nx_n

x'_n = a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... +a_nnx_n,

или коротко

x" = Ax.

Например, операция проектирования на одну из координатных плоскостей (пусть на плоскость хОу) будет линейным преобразованием трёхмерного векторного пространства: каждому вектору а с координатами х, у, z сопоставляется новый вектор b, координаты x", y"., z" которого выражаются через х, у, z следующим образом : x" = х, y" = у, z" = 0. Пример линейного преобразования плоскости -- поворот её на угол a вокруг начала координат.

,

составленную из коэффициентов линейное преобразования А, называют его матрицей. Матрицами приведённых выше линейными преобразованиями проектирования и поворота будут соответственно

 и .

Линейное преобразование векторного пространства можно определить (как обычно поступают) без использования системы координат: соответствие х®у = Ax называют линейным преобразованием, если выполняются условия А(х + у) = Ax + Ау и A(ax) = aА(х) для любых векторов х и у и любого числа a. В разных системах координат одному и тому же линейному преобразованию будут соответствовать разные матрицы и, следовательно, разные формулы для преобразования координат.

К линейным преобразованиям относятся, в частности, нулевое линейное преобразование О, переводящее все векторы в 0 (нулевой вектор) : Ox = 0 и единичное линейное преобразование Е, оставляющее все векторы без изменения: Ex = х; этим Л. и. в любой системе координат соответствуют нулевая и единичная матрицы.

Для линейного преобразования векторного пространства естественным образом определяются операции сложения и умножения: суммой двух линейных преобразований А и В называют линейное преобразование С, переводящее любой вектор х в вектор Cx = Ax + Вх; произведением линейных преобразований А и В называют результат их последовательного применения: С = AB, если Cx = А(Вх).

В силу этих определений совокупность всех линейных преобразований векторного пространства образует кольцо. Матрица суммы (произведения) линейных преобразований равна сумме (произведению) матриц линейных преобразований слагаемых (сомножителей); при этом существен порядок множителей, так как произведение Л. и., как и матриц, не обладает свойством коммутативности. Линейное преобразование можно также умножать на числа: если линейное преобразование А переводит вектор х в вектор у = Ax, то aА переводит х в aу. Примеры операций над линейными преобразованиями: 1) Пусть А и В означают операции проектирования па оси Ox и Оу в трёхмерном пространстве; А + В будет проектированием на плоскость хОу, а AB = 0. 2) А и В -- повороты плоскости вокруг начала координат на углы j и ; AB будет поворотом на угол j + . 3) Произведение единичного линейного преобразования Е на число a будет преобразованием подобия с коэффициентом растяжения (или сжатия) a.

Линейное преобразование В называют обратным к линейному преобразованию А (и обозначают А^-1), если BA = Е (или AB = Е). Если линейное преобразование А переводило вектор х в вектор у, то линейное преобразование А^-1 переводит у обратно в х. Линейное преобразование, обладающее обратным, называют невырожденным; такие линейные преобразования характеризуются также тем, что определитель их матрицы не равен нулю. Некоторые классы линейных преобразований заслуживают особого упоминания. Обобщением поворотов двумерных и трёхмерных евклидовых пространств являются ортогональные (или унитарные -- в комплексных пространствах) линейные преобразования. Ортогональные линейные преобразования не изменяют длин векторов (а следовательно, и углов между ними). Матрицы этих линейных преобразований в ортонормированной системе координат также называются ортогональными (унитарными). Квадратная матрица A, для которой A^-1 = A^T называется ортогональной матрицей.

Основные свойства ортогональной матрицы:

Модуль определителя ортогональной матрицы равен единице.

Сумма квадратов элементов любого столбца ортогональной матрицы равна единице.

Сумма произведений элементов любого столбца ортогональной матрицы на соответствующие элементы другого столбца равна нулю.

Сумма произведений элементов любой строки ортогональной матрицы на соответствующие элементы другой строки равна нулю.

Симметрическим (эрмитовым, или самосопряжённым, -- в комплексном пространстве) линейным преобразованием называют такое линейное преобразование, матрица которого симметрическая: a_ij = a_ji (или (a_ij = _ij). Симметрические линейные преобразования осуществляют растяжение пространства с разными коэффициентами по неск. взаимно ортогональным направлениям. С симметрическими линейными преобразованиями связана теория квадратичных форм (или эрмитовых форм в комплексном пространстве). Приведённое выше определение линейного преобразования в векторном пространстве, не использующее координатную систему, без всяких изменений распространяется и на бесконечномерные (в частности, функциональные) пространства. Линейное преобразование в бесконечномерных пространствах принято называть линейными операторами.

Матрица линейного преобразования

Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом , ,…,  задано линейное преобразование А. Тогда векторы А ,А ,…,А - также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

A = a₁₁ + a₂₁ +…+ a_n1

A = a₁₂ + a₂₂ +…+ a_n2

A = a_n1 + a_n2 +…+ a_nn

Тогда матрица А =  называется матрицей линейного преобразования А.

Если в пространстве L взять вектор = x₁ + x₂ +…+ x_n , то A ? L.

, где

……………………………..

Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе , ,…, .

В матричном виде:

, А ,

Пример. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде:

x = x + y

y = y + z

z = z + x

x = 1x + 1y + 0z

y = 0x + 1y + 1z

z = 1x + 0y + 1z

A =

На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.

Определение: Если вектор переводится в вектор  линейным преобразованием с матрицей А, а вектор  в вектор  линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор  в вектор (оно называется произведением составляющих преобразований).

С = ВА

Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор в вектор  и линейное преобразование В, переводящее вектор  в вектор . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор  в вектор .

С = ВА

Т.е.

Примечание: Если А= 0, то преобразование вырожденное, т.е., например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую.

Определитель линейного преобразования

Пусть дана таблица из 4 чисел

Это матрица. Она имеет две строки и два столбца, т.е. размер матрицы (2х2). Числа, составляющие эту матрицу, обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, а второй -- номер столбца, в которой стоит данное число. Например, а₁₂ означает число, стоящее в первой строке и втором столбце; а₂₁ - число, стоящее во второй строке и первом столбце. Числа а₁₁, а₁₂, а_21, а₂₂ будем называть элементами матрицы.

Определителем второго порядка (соответствующим данной матрице) называется число



Свойства определителей второго порядка:

1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.

2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину

3. Определитель с двумя одинаковыми строками и столбцами равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя; если все элементы какой-то строки или столбца равны 0, то и определитель равен 0.

5. Если к элементам какой либо строки (или столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменит своей величины.

Последнее свойство применяется для получения в какой-либо строке (столбце) определителя строки (столбца), в которой все элементы, кроме одного, равны нулю. Так как разложить определитель можно по любой строке или столбцу, то при разложении по полученной в результате линейной комбинации строке, определитель равен произведению ненулевого элемента этой строки на его алгебраическое дополнение (взятое с соответствующим знаком).

Все эти свойства легко доказываются проверкой, например:

Пример: Вычислим определитель матрицы



Решение:

Рассмотрим теперь матрицу размера 3 х 3, то есть имеющую 3 строки и 3 столбца.

Ее определителем (третьего порядка) называют число

(2)

Эта формула дает разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки. Обратите внимание,а₁₁ - это элемент, стоящий в первой строке и первом столбце. Он умножается на определитель второго порядка, который получится, если мы из нашего определителя третьего порядка вычеркнем первую строку и первый столбец. Такой определитель второго порядка, соответствующий данному элементу (а₁₁) называется минором (М₁₁). Так, минор, соответствующий элементу а₁₂ есть определитель

Он получается, если вычеркнуть строку 1 и столбец 2. Аналогично М₁₃ получится вычеркиванием первой строки и третьего столбца.

Видим, что формулу (2) можно записать так



То есть определитель равен сумме попарных произведений элементов первой строки на соответствующие миноры, причем минор, соответствующий а₁₂ берется со знаком `-` .

Пример: Вычислить определитель

Решение:

Все свойства определителей второго порядка остаются справедливыми для определителей третьего порядка и доказываются так же: непосредственной проверкой.

Аналогично формуле (2), дающей разложение определителя по элементам первой строки, можно получить разложение определителя по элементам любой строки или столбца.

Обозначим А_{i k} алгебраическое дополнение элемента a_{i k} (i - номер строки, k - номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент). По определению

A_{i k}=(-1)^i+kM_ik

Например: A₁₂=(-1)¹⁺²M₁₂=(-1)³ M₁₂= - M₁₂

Легко видеть, что формулы для вычисления определителей будут выглядеть следующим образом:

Разложение определителя по строкам Разложение определителя по столбцам

Аналогично определяются определители четвертого порядка. Для них также справедливы свойства определителей и их также можно раскладывать по строкам или столбцам.

Вырожденное (особенное) и невырожденное (неособенное) линейное преобразование

Линейное преобразование Y = A · X называется невырожденным, если det A ? 0 и вырожденным, если det A=0.

Рассмотрим невырожденное преобразование Y = A · X. Так как det A ? 0, то существует матрица A-1 - обратная к матрице А.

Линейное преобразование Y=A-1·X называется обратным по отношению к Y = AX. Произведение прямого и обратного преобразований называется тождественным преобразованием. Его матрица равна А-1·А=Е. Тождественное преобразование Y = E · X преобразует всякий вектор в себя.

Невырожденное преобразование устанавливает взаимно-однозначное соответствие между векторами пространства и их образами. Действительно, каждому вектору Х соответствует единственный образ Y = AX, и наоборот, всякому образу Y соответствует единственный прообраз X = A-1Y. Вырожденное преобразование этим свойством не обладает, т.к. для него не существует обратного преобразования.

Произведение матриц

Произведением матрицы размеров на матрицу размеров называется матрица размеров , элементы которой вычисляются по формуле

где , .

Во-первых, в этом определении нужно обратить внимание на то, что важен порядок сомножителей, нужно знать, какой сомножитель первый, а какой -- второй.

Во-вторых, нужно отметить, что произведение определено только в том случае, если число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго. Если это условие не выполняется, то произведение не определено.

В-третьих, размеры результата умножения определяются следующим образом: число строк результата равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов результата равно числу столбцов второго сомножителя.

Правило вычисления элементов произведения можно сформулировать следующим образом.

Для того, чтобы вычислить элемент произведения, стоящий в -ой строке и -ом столбце, нужно взять -ую строку первого сомножителя и -ый столбец второго сомножителя, попарно перемножить их элементы, стоящие на одинаковых местах, и результаты сложить.

Пример. Даны матрицы , . Найдите произведения и .

Решение. Рассмотрим произведение . Число столбцов в первом сомножителе (А) равно 3, число строк во втором сомножителе (В) тоже равно 3. Числа совпали, следовательно, произведение определено.

Результатом умножения будет матрица , , у которой строк столько, сколько их в первом сомножителе, то есть 3, а столбцов столько, сколько их во втором сомножителе, то есть 2. Итак, матрица имеет размеры 3Ч2.

Находим элемент. В его вычислении участвует первая строка ( 1 2 -1 ) первого сомножителя (А) и первый столбец второго сомножителя (В):

Находим элемент. В его вычислении участвует первая строка ( 1 2 -1 ) первого сомножителя (А) и второй столбец второго сомножителя (В):

Все элементы первой строки матрицы вычислены. Находим элемент. В его вычислении участвует вторая строка ( 3 4 0 )первого сомножителя (А)и первый столбец второго сомножителя (В):

Находим элемент. В его вычислении участвует вторая строка ( 3 4 0 )первого сомножителя (А) и второй столбец второго сомножителя (В) :

Вычислены все элементы второй строки матрицы . Аналогично находим элементы третьей строки:

Итак, .

Рассмотрим произведение . Число столбцов в первом сомножителе (В) равно 2, число строк во втором сомножителе (А) равно 3. Числа не совпали, следовательно, произведение не определено.

Ответ: , произведение не определено.

Пример. Найти произведения матриц AB и BA, если

и

Решение: Имеем

Модель межотраслевого баланса В. Леонтьева

Важным инструментом прогнозирования является разработанный В.Леонтьевым межотраслевой равновесный баланс, позволяющий анализировать экономику, как национальную, так и отдельных регионов и на основе этого вырабатывать адекватные меры.

При анализе структурных взаимосвязей в национальной экономике в системе национального счетоводства используется балансовый метод, получивший названия «затраты-выпуск». В его основе лежит идея о том, что описание экономической системы можно осуществлять путём редукции процессов и продуктов, т.е. выражения через другие процессы и продукты. Таблица затраты - выпуск Василия Леонтьева впервые была опубликована в работе "Структура американской экономики в 1919-1929 гг. В 60--70-х годах метод «затраты-выпуск» и анализ межотраслевых балансов получили всеобщее признание в мировой экономической науке и стали обычными в статистической практике.

В зависимости от цели исследования экономику можно изучать в различных разрезах - от уровня национальной экономики до уровня отдельных фирм и потребителей. Целью построения модели Леонтьева является анализ перетока товаров между отраслями экономики, обеспечивающего такое функционирование производственного сектора, когда объем выпуска соответствует суммарному (т.е. производственному и конечному) спросу на товары.

Межотраслевой баланс в рамках единой модели объединяет балансы отраслей материального производства, баланс совокупного общественного продукта, балансы национальных доходов и расходов населения. Выделяют два важнейших соотношения, отражающих сущность межотраслевого баланса и являющиеся основой его экономико-математической модели.

Во-первых, рассматривая схему баланса по столбцам, делают вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и её условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли:

Хi = ?хij +Zj; j=1,..n. (1.1)

Данное соотношение (1.1) отражает стоимостной состав продукции всех отраслей материальной сферы.

Во-вторых, рассматривая схему по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих её продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

Xi = ?xij + Yj; i=1,..n. (1.2)

Формула (1.2) описывает систему из n уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.

Просуммировав по отраслям уравнения (1.1), в результате получим:

?Xj = ??xij + ?Zj

При этом аналогичное суммирование уравнений (1.2) даст следующее:

?Xi = ??xij + ?Yi

Заметим, что левые части равенств равны, так как представляют собой весь валовый общественный продукт. Первые слагаемые правых частей этих равенств также равны. Следовательно, должно соблюдаться соотношение:

?Zj = ?Yi (1.3)

это уравнение показывает, что в межотраслевом балансе соблюдается важнейший принцип единства материального и стоимостного состава национального дохода.

Основу информационного обеспечения балансовых моделей в экономике составляет матрица коэффициентов затрат ресурсов по конкретным направлениям их использования. В модели межотраслевого баланса такую роль играет так называемая технологическая таблица - таблица межотраслевого баланса, составленная из коэффициентов прямых затрат на производство единицы продукции в натуральном выражении. Предполагается, что для производства единицы продукции j-той отрасли требуется определённое количество затрат промежуточной продукции i-той отрасли, равное aij. Оно не зависит от объёма производства в отрасли и является довольно стабильной величиной во времени. Величины aij называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:

aij = xij / Xj , (i,j = 1, 2,...,n) (2.1)

Итак, коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-той отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-той отрасли.

С учётом формулы (2.1) систему уравнений баланса можно переписать в виде:

Хi = (ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn) + Yi ,

(i = 1, 2,...,n), или

Xi= ?aijXj+Yi (2.3)

если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А, вектор-столбец валовой продукции X и вектор-столбец конечной продукции Y:

|| x1 || || a11 a12 ... a1n || || y1 ||

|| x2 || || a21 a22 ... a2n || || y2 ||

X = || ... ||, A = || ... ... ... ... || , Y = || ... || ,

|| xn || || a1n a2n ... ann || || yn ||

то система уравнений (2.3) в матричной форме примет вид:

X=AX+Y (2.4)

данное уравнение, где A - постоянная технологическая матрица и называется моделью Леонтьева. Интерпретируя выражение AX как затраты, эту систему часто называют моделью "затраты-выпуск”.

С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:

· задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Хi), можно определить объёмы конечной продукции каждой отрасли (Yi):

Y= (E-A)X, (2.5)

(при этом E обозначает единичную матрицу n-го порядка).

· задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):

X=(E-A) Y, (2.6)

(при этом (E-A )-1 обозначает матрицу, обратную (E-A)).

· для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объёмы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объёмы валовой продукции вторых, в этом варианте расчёта удобнее пользоваться не матричной формой модели (2.4), а системой линейных уравнений (2.3).

Итак, основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Переписав матричное уравнение в виде:

(E - A) X = Y,

можно сделать следующие выводы:

Если матрица (E - A) невырожденная (т.е. если ее определитель не равен нулю), тогда имеем:

X = (E - A) -1 Y.

Обозначим обратную матрицу В= (E - A)-1

Эта матрица В = (E - A)-1 называется матрицей полных затрат. В матричной форме уравнение (2.6) теперь запишется как:

X=BY (2.7)

Элементы матрицы В будем обозначать через bij, тогда из матричного уравнения (2.7) для любой i-той отрасли можно получить следующее соотношение:

Xi =?biYj, I=1…n

В отличие от коэффициентов прямых затрат aij коэффициенты bij называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы В = (bij), будем задаваться единичными векторами конечного продукта:

|| 1 || || 0 || || 0 ||

|| 0 || || 1 || || 0 ||

Y1 = ||... ||, Y2 = ||....||,..., Yn = ||... || .

|| 0 || || 0 || || 1 ||

Тогда соответствующие векторы валового выпуска будут:

||s11|| ||s12|| ||s1n||

||s21|| ||s22|| ||sn2||

Y1 = ||.. .||, Y2 =||... ||, ..., Yn = ||... ||.

||sn1|| ||sn2|| ||snn||

Следовательно, каждый элемент bij матрицы B есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли.

В соответствии с экономическим смыслом задачи значения xi должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях yi и aij.

Необходимо отметить, что прежде чем воспользоваться методом Леонтьева, нужно определить продуктивна ли матрица. Матрица А называется продуктивной, если для любого вектора Y существует решение X уравнения (E - A) X = Y. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит о том, что матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы. Но данное условие является только достаточным.

К необходимым же и достаточным условиям относят следующие (11,241):

1. матрица (E-A) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (E-A) ?0;

2. матричный ряд E + A +AІ+Aі +…=? Aк сходиться, причём его сумма равна обратной матрице (E-A);

Вычислительные аспекты решения задач на основе модели межотраслевого баланса будут продемонстрированы в заключительной главе курсовой работы. Основной объём расчётов по этой модели связан с вычислением матрицы коэффициентов полных материальных затрат.

Рассмотренная выше межотраслевая модель является статической, т.е. такой в которой все зависимости отнесены к одному моменту времени. Такие модели могут разрабатываться лишь для отдельно взятых периодов, причём в рамках данных моделей не устанавливается связь с предшествующими или последующими периодами. Народнохозяйственная динамика отображается, таким образом, рядом независимо рассчитанных моделей, что вносит определённые упрощения и сужает возможности анализа. К числу таких упрощений прежде всего следует отнести то, что в статических межотраслевых моделях не анализируется распределение, использование и производственная эффективность капитальных вложений. Капиталовложения вынесены из сферы производства в сферу конечного использования вместе с предметами потребления и непроизводственными затратами, т.е. включены в конечный продукт.

Заключение

Были выполнены следующие задачи:

Изучение линейного преобразования, а также формул по данной теме;

Изучение матриц линейного преобразования и решение примеров;

Исследование понятия определителя линейного преобразования, а также свойств определителей второго порядка, исследование алгоритма определения определителей второго, третьего и четвертого порядков, а также решение примеров на вычисление определителя;

Рассмотрение линейных преобразований, вырожденных и невырожденных;

Изучение действий над матрицами, в особенности умножения, исследование алгоритма действия и решение примеров.

Основное применение данный математический аппарат нашел в методе межотраслевого баланса В. Леонтьева. Межотраслевой баланс объединяет балансы отраслей материального производства, баланс совокупного общественного продукта, балансы национальных доходов и расходов населения.

В настоящее время в национальной экономике существуют и продолжают возникать сложные проблемы, требующие межотраслевых обоснований. Использование же метода “затраты-выпуск” межотраслевого баланса позволяет не только изучить взаимозависимость между различными отраслями экономики, проявляющуюся во взаимовлиянии цен, объемов производства, капиталовложений и доходов, но и решать следующие задачи:

- прогноз основных макроэкономических показателей (выпуск валового и конечного продукта, чистая продукция, материальные затраты, производственное потребление продукции и др. в разрезе отраслей материального производства) в зависимости от изменения как внешних, так и внутренних факторов;

- прогноз оптовых цен продукции отраслей материального производства, уровня инфляции, стоимости потребительской корзины;

- прогноз уровня безработицы;

- прогноз экологической обстановки и оценка затрат на проведение природоохранных мероприятий;

- оценка эффективности конкретных предложений по размещению производительных сил;

- оценка эффективности межтерриториальных экономических связей;

- и многих других.

Таким образом, на основе моделей В. Леонтьева может быть разработан комплекс моделей функционирования экономики с целью определения рациональных стратегий управления социально-экономическим развитием региона и страны в целом.

Список использованной литературы

Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968;

Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970;

Ефимов Н. В., Розендорн Э. P., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970;

Гранберг А. Г., Василий Леонтьев в мировой и отечественной экономической науке // Вопросы экономики, М., 1999, № 3.

Размещено на Allbest.ru