Диференціальні рівняння першого порядку, не розв’язанні відносно похідної

Размещено на http://www.allbest.ru/

Диференціальні рівняння першого порядку, не розв'язанні відносно похідної

1. Основні поняття і означення, теорема про достатні умови існування і єдності розв'язку

Диференціальне рівняння першого порядку, не розв'язані відносно похідної має вигляд

(1)

Найбільш часто зустрічаються диференціальні рівняння першого порядку -ої степені.

Означення 1. Функція , визначена і

(2)

неперервнодиференційовна на називається розв'язком Д.Р. (1), якщо вона після підстановки перетворює Д.Р. (1) в

тотожність

Означення 2. Будемо говорити, що рівняння визначає розв'язок Д.Р.(5.1) в нормальній формі, якщо воно визначає як функцію і вона являється розв'язком Д.Р.(5.1).

Означення 3. Рівняння , ,, визначає розв'язок Д.Р.(1) в параметричній формі, якщо

Криві на ел., які відповідають розв'язкам, будемо називати

Задача Коші - задача знаходження розв'язків, які задовольняють умови .

Означення 4. Говорять, що задача Коші для Д.Р.(1) з початковими умовами має єдиний розв'язок, якщо через в достатньо малому околі її проходить стільки , скільки напрямків поля визначає Д.Р. в цій точці. В противному - не єдиний розв'язок.

Теорема 1. (про існування і єдність розв'язку задачі Коші).

Якщо функція задовольняє наступним умовам:

а) Являється визначеною і неперервною разом зі своїми ЧП в деякому замкненому околі т.;

б);

в);

то Д.Р.(1) має єдиний розв'язок , визначений і неперервно диференційований в околі т , задовольняючий умови і такий, що

> Без доведення <

Припустимо, що розв'язуючи Д.Р.(1) відносно , ми знайдемо дійсні розв'язки

(3)

де визначені в обл. так, що маємо Д.Р. першого порядку, розв'язаних відносно . Припустимо, що в точці , напрямок поля, визначений кожним Д.Р. (3), різний. Так що різних рівнянь не можуть дотикатися друг друга на .

Нехай кожне Д.Р. (3) на має загальний інтеграл

(4)

Означення 5. Сукупність інтегралів (4) будемо називати загальним інтегралом Д.Р. (5.1) в обл. .

Інколи замість співвідношення (4) записують

(5)

Якщо поле на не задовольняє сказаному вище, тобто існує хоча б одна точка , в якій значення хоча б двох функцій співпали, то відповідачі Д.Р. дотикаються друг друга в точці . Тому крім Д.Р. (3), будуть ще склеєні . Всі вони будуть входити в (4) або (5).

В загальному випадку Д.Р. (1) не удається розв'язати відносно в елементарних функціях. В цих випадках шукають однопараметричне сімейство в вигляді

(6)

яке називається загальним інтегралом Д.Р. (1).

Якщо сімейство задано в вигляді

(7)

то воно називається загальним розв'язком Д.Р. (1)

Зауважимо, що в (6) можуть входити і розв'язки Д.Р. виду (3), коли -комплексні. Ми таких Д.Р. не будемо розглядати, тому відповідні їм розв'язки треба виключати.

Сімейство , заданих в параметричному вигляді

(8)

будемо називати загальними розв'язками Д.Р. в параметричній формі.

Означення 6. Розв'язок Д.Р. (1) будемо називати частинним розв'язком, якщо в кожній його точці задача Коші має єдиний розв'язок.

Означення 7. Розв'язок називається особливим розв'язком, якщо в кожній його точці порушується єдинність розв'язку задачі Коші.

Аналогічно Д.Р., розв'язаним відносно , Д.Р. (1) може мати розв'язки, які являються ні частинними, ні особливими.

Аналіз частинних і особливих розв'язків для цих рівнянь більш складний. Зауважимо, що в випадку (3) розв'язок буде особливим, якщо буде особливим хоча б для одного з Д.Р. (3).

Приклад 1.

(9)

З (9) маємо:

Тоді - загальний інтеграл.

або . Цей загальний інтеграл є накладенням сімейств двох (мал. 1).



мал. 1.

Розв'язок задачі Коші для Д.Р. (9) в кожній точці площини являється єдиним. В точці ми маємо два напрямки поля:; І через цю точку проходить два

, якщо (11)

і , якщо .

Розв'язки (10),(11) - частинні розв'язки. Особливих розв'язків немає.

2. Знаходження кривих, підозрілих на особливий розв'язок

Припустимо, що Д.Р. (1) представлено в формі (3). При досліджені на особливий розв'язок рівнянь виду (3) ми прийшли до висновку, що ці розв'язки можливі на тих кривих, на яких являється необмеженою. Але в переході від Д.Р. (1) до рівнянь (3) є недоцільність при визначені особливих розв'язків, так як .

Дійсно, припустимо, що _____ похідні , тоді

, звідки (12).

Припустимо, що , тоді буде необмеженою при умові

(13)

Таким чином, криві, підозрілі на особливий розв'язок будуть визначатися з системи

(14)

Розв'язок системи (14)

=0 (15)

дискримінанта крива. Якщо вона задовольняє Д.Р. (1) і в кожній точці порушується єдність, то це буде особливий розв'язок.

Приклад 2.

(16)

, (17)

 Співвідношення (17) - дискримінанта крива рівняння (16). А на ній ми маємо не два а один напрямок поля . В той же час - через неї може проходити не одна .

3. Загальний метод введення параметра

Розглянемо Д.Р. (1). Припустимо, що воно допускає параметризацію

(18)

Так, що при всіх значеннях параметрів і .

Використовуючи (18) і співвідношення ми з Д.Р. (1) завжди зможемо привести до Д.Р., яке розв'язане Відносно похідної.

Тому

Візьмемо, наприклад, за незалежну змінну, - за залежну, тоді прийдемо до Д.Р.

(19)

Якщо

 (20)

загальний розв'язок Д.Р. (19), то загальний розв'язок Д.Р. (1) можна отримати в параметричній формі.

(21)

Розглянемо деякі частинні випадки:

А. Д.Р., розв'язані відносно шуканої функції.

Це рівняння має вигляд

(22)

За параметри і можна взяти і . Позначимо , тоді

(23)

Маємо

Звідки

(24)

Нехай - загальний розв'язок Д.Р. (24), тоді - загальний розв'язок Д.Р. (22).

Д.Р. (24) може мати особливий розв'язок , тоді Д.Р. (22) може мати особливий розв'язок .

Б. Випадок, коли Д.Р. розв'язане відносно незалежної змінної.

Це рівняння має вигляд

(25)

Інтегрується воно аналогічно Д.Р. (22). Покладемо . Тоді

Використовуючи співвідношення , отримаємо

(26)

Якщо - загальний інтеграл Д.Р. (26), то

(27)

загальний інтеграл Д.Р. (25).

Якщо - особливий розв'язок Д.Р.(26), то - може бути особливим розв'язком Д.Р. (25).

Розглянемо тепер більш прості випадки, коли рівняння можна про інтегрувати.

В. Рівняння Лагранжа.

Це рівняння має вигляд

(28)

Воно інтегрується в квадратурах. Покладемо . Тоді

(29)

З (29) маємо

(30)

Д.Р. (30) лінійне по

(31)

Нехай - розв'язок Д.Р. (31). Тоді загальний розв'язок рівняння Лагранжа запишемо в параметричній формі

(32)

Особливі розв'язки можуть бути там, де

(33)

Тобто

(34),

де - корені рівняння (33)розв'язок (34) може бути частинним або особливим.

Г. Рівняння Клеро.

Це рівняння - частинний випадок рівняння Лагранжа, коли .

(35)

Покладемо , тоді

(36)

Використовуючи , отримаємо

(37)

Рівняння (37) розпадається на два

(38)

Перше рівняння дає , підставляючи яке в (35) будемо мати загальний розв'язок

(39)

Друге - , разом з (5.35) утворює параметричні роз в'язкі

 (40)

Розв'язок (40) являється особливим, так як він співпадає з _______. Дійсно

Звідки

(41)

Дискримінанта крива (41) співпадає з розв'язком (40).

Приклад 3.

Розв'язати рівняння Лагранжа.

Покладемо . Маємо ,

,

Отримали лінійне рівняння

Його розв'язок

(42)

 (43)

загальний розв'язок нашого рівняння в параметричній формі. Або, виключаючи :

(44)

Знайдемо ті розв'язки, яким відповідають

Перший розв'язок - особливий, другий - частинний.

Приклад 4.

Це рівняння Клеро. Його загальний розв'язок -

Запишемо дискримінантну криву

Звідки - особливий розв'язок, так як через цей розв'язок проходить ще розв'язок, який міститься в загальному при .

4. Неповні рівняння

а). Д.Р. які містять тільки похідну.

Це рівняння вигляду

(45)

Рівняння (45) може мати скінчену або нескінчену кількість дійсних розв'язків. диференціальний рівняння параметр

(46)

де - деякі числа, задовільняючі функцію .

Інтегруємо (46)

(47)

Так як то

(48)

загальний інтеграл Д.Р. (45). Таким чином при таких припущеннях Д.Р. (45) є системою прямих ліній, які можна записати у вигляді (48). При цьому в (48) можуть входити комплексні розв'язки Д.Р.

Приклад 5.

Розв'язати .

Згідно (48) - загальний інтеграл. Однак у нього крім дійсного розв'язку , входять розв'язки комплексного Д.Р.

б) Д.Р., які не містять шуканої функції мають вигляд

(49)

Якщо (49) можна розв'язати відносно похідної

(50)

То

(51)

являється загальним інтегралом Д.Р. (49).

Якщо ж розв'язати відносно не можна, а допускається параметризація

(52)

Тобто

 (53)

Тоді загальний розв'язок знаходять в параметричній формі

(54)

Якщо Д.Р. (49) має вигляд

(55)

тоді це рівняння легко параметризується .В частинному випадку . Загальний розв'язок запишеться в формі

(56)

Приклад 6.

Зайти загальний розв'язок рівняння .

Вводимо параметризацію .

, ,

Маємо

Загальний розв'язок в параметричній формі.

в) Д.Р., які не містять незалежної змінної.

Це рівняння вигляду

(57)

Якщо рівняння (57) розв'язане відносно , тобто

(58)

То

(59)

Являється загальним інтегралом Д.Р. (57). Особливими розв'язками можуть бути криві , де - корені рівняння (або ).

Якщо Д.Р. (57) не можна розв'язати відносно , але воно допускає параметризацію

(60)

То

(61)

Загальний розв'язок Д.Р. (57) в параметричній формі.

Приклад 7.

Розв'язати . Введемо параметризацію .

Звідки

загальний розв'язок нашого рівняння.

г) Узагальнено однорідні рівняння.

Д.Р. назвемо узагальнено однорідним, якщо ліва частина являється однорідною функцією аргументів , яким відповідають величини -го, -го і виміру, тобто

(62)

Зробимо заміну

(63)

де - нова незалежна змінна, - нова шукана функція. Маємо

тобто . З іншої сторони

(64)

Підставимо (63),(64) в Д.Р. (1)

отримане рівняння

(65)

не містить незалежної змінної .

Размещено на Allbest.ru