Интеграл действия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Интеграл действия

Океанов Е.Н.

В популярном справочнике по математике [1] раздел «Геометрия в пространстве» аналитической геометрии начинается с определения системы декартовых прямоугольных координат , определяющих пространство. В этом определении физические признаки (например, масса или электрический заряд) отсутствует, что позволяет это пространство полагать пустым в физическом смысле. То есть, это пространство является сугубо математическим (геометрическим, в частности). Если время полагать параметром геометрического пространства, то произвольную точку в этом пространстве в данный момент времени вполне определяет радиус-вектор :

(1)

Полезно рассмотреть одно собственное свойство такого пространства.

Исследованию подлежит интеграл :

(2)

Его легко вычислить непосредственным интегрированием, если преобразовать к виду:

(3)

Метод интегрирования по частям позволяет интеграл (2) привести к виду:

(4)

Сравнение равенств (3) и (4) приводит к уравнению собственного свойства геометрического пространства:

(5)

С учетом общепринятых обозначений:

, , , , , (6)

уравнение (5) принимает вид:

, (7)

где и .

Если геометрические признаки пространства дополнить неким физическим признаком, например, массой , то такое пространство уже можно полагать физическим. Пусть, в частности, в геометрическом пространстве оказывается некое тело с неизменной массой . Такое пространство здесь называется примитивным физическим пространством, в котором все составляющие равенства (5) приобретают множитель и это равенство преобразуется к виду:

(8)

Как известно, механическая сила определяется равенством:

По аналогии с ускорением можно ввести понятие вектора усилия, определив его равенством:

(9)

Тогда уравнение (7) для примитивного физического пространства принимает вид уравнения баланса энергии:

, (10)

где - мгновенное значение работы силы на пути , - мгновенное значение кинетической энергии, - мгновенное значение работы усилия на пути . Представляется очевидным, что уравнение (10) выражает закон сохранения энергии в примитивном физическом пространстве. Здесь уместна пара замечаний.

Замечание 1. В настоящем исследовании работа понимается как мера движения.

Замечание 2. В настоящем исследовании энергия понимается как мера работы.

В соответствии с указанными замечаниями работе силы на пути соответствует так называемая (и вполне привычная) потенциальная энергия. Поэтому вербально закон (10) можно интерпретировать так:

- потенциальная энергия равна сумме кинетической энергии и энергии усилия. Действительно, при условии равенство (10) принимает вид:

(11)

В узком кругу радиоинженеров (выпускников ЛВИМУ им. С.О. Макарова) несколько лет назад такая интерпретация вызвала бурю возмущения, поскольку со школьных лет известна истина: кинетическая энергия равна потенциальной энергии, а их сумма образует так называемую полную энергию. Ничего не поделаешь, школьные стереотипы преодолеваются с трудом, но чаще всего не преодолеваются вовсе. Возникает естественный вопрос - на какой же основе утвердилась упомянутая школьная истина? Ответ на этот вопрос дает знаменитый интеграл действия [2]:

, (12)

который и устанавливает так называемый «принцип наименьшего действия». В этом интеграле - функция Лагранжа, - набор обобщенных координат, - набор обобщенных скоростей, - время. Сущность упомянутого принципа состоит в минимизации этого интеграла. Если бесконечно малые приращения координат обозначить как , а бесконечно малые приращения скоростей - как , то условие минимума действия можно записать в виде:

(13)

При этом в работе утверждается буквально следующее: «Разложение этой разности по степеням и (в подынтегральном выражении) начинается с первого порядка. Необходимым условием минимальности S является обращение в нуль совокупности этих членов…» и далее производится варьирование:

(14)

Вот как выглядит точное разложение по степеням:

, (15)

где - остаточный член разложения (сумма всех членов разложения порядка 2 и более). Следовательно, первая вариация не включает в себя остаточный член и представляет собой приближение с некоторой точностью, например, с точностью до макромира. Такая точность была вполне допустима для времени Лагранжа. Но уже в конце XIX века обозначилась тенденция к проникновению в микромир, что повышало требование к точности не менее, чем на 10 порядков. Это требовало пересмотра всех научных положений, использующих приближение с точностью до макромира, однако никто этим не занимался. Поэтому в указанной работе (а это уже 1969 год!) равенство (14) приводит к системе однородных уравнений:

,

Если бы остаточный член учитывался (то есть, с точностью до микромира), равенство (14) приводило бы к системе неоднородных уравнений:

,

Но тогда потенциальная и кинетическая энергии были бы связаны не так, как предписывает упомянутая школьная истина. Другими словами, анализ интеграла действия с точностью до макромира по источнику [2] является всего лишь частным случаем при неявном условии , скрытым в цитируемой фразе источника. Возможно, как раз тем частным случаем, когда ускорение во времени не изменяется, вследствие чего усилие отсутствует. В параграфе 5 цитируемой работы функция Лагранжа для системы частиц в этом частном случае имеет вид:

а в общем случае должна иметь вид:

,

где - функция, учитывающая влияние нелинейных составляющих упоминаемого разложения. И тогда очевидным условием минимальности действия становится условие , при котором:

макромир координата геометрическое пространство декарт

Но баланс энергии (11) именно такой вид и имеет, откуда можно заключить, что энергия усилия выражает функцию упомянутого остаточного члена разложения:

,

которая и является работой усилия .

Примитивное физическое пространство, в котором здесь рассмотрен интеграл (2), является частным случаем общего физического пространства с массой в виде функции времени. Этот общий случай здесь не рассматривается, так как он заслуживает самостоятельного исследования.

Размещено на Allbest.ru