Нечіткі множини

Размещено на http://www.allbest.ru/

НЕЧІТКІ МНОЖИНИ

теорія нечіткий множина логічний вивід

У 1965 р. американський математик Л. Заде опублікував статтю за назвою «Fuzzy sets», що перекладається як «Нечіткі множини». У статті дане нове визначення поняття множини, призначеної для опису і дослідження складних, «погано визначених», «нечітких» систем. У цих системах поряд зі строгими, об'єктивними, кількісними даними і результатами присутні неоднозначні суб'єктивні, якісні дані.

Нечіткість - це така властивість об'єктів або явищ, коли не виконується відношення еквівалентності: об'єкт одночасно може певною мірою належати даній множин, або не належати їй. Невизначеність такого типу описується за допомогою функції належності; значення цієї функції виражає ступінь упевненості, з якою ми відносимо даний об'єкт до зазначеної множини. Сама множина є не обумовленою однозначно і називається нечіткою множиною.

Новий математичний апарат, що ґрунтується на нечітких множинах, використовується для опису властивостей нечітких систем. Викладемо основні поняття теорії нечітких множин.

Нечітка множина складається з невизначеного числа елементів : ознаки, за якими елементи включаються в нечітку множину, не дозволяють однозначно відокремити всі елементи, що їй належать, від елементів, що їй не належать. З нечіткими множинами тісно зв'язане поняття лінгвістичної змінної, уперше введене Л. Заде.

Лінгвістична змінна - це змінна, яка визначається сукупністю вербальних (тобто словесних) характеристик якоїсь властивості. Сформулюємо більш строге визначення цього поняття.

Лінгвістична змінна, згідно Заде, визначається наступним чином:

,

де

- назва лінгвістичної змінної,

- терм-множина її лінгвістичних значень - назв нечітких змінних,

- носій: універсальна множина, яка містить усі можливі результати спостережень або вимірювань, що стосуються досліджуваного об'єкту чи процесу та є областю визначення всіх нечітких змінних,

- синтаксичне правило, яке породжує терми множини Т та включає операції над ними;

- семантичне правило, з використанням якого для кожної нечіткої змінної формується нечітка множина, що є підмножиною носія .

Стосовно нечітких множин, кількісною мірою, що визначає належність елемента множині А є функція належності . Вважається, що для кожного елемента можна задати число , , що виражає ступінь належності цього елемента до нечіткої множини . Якщо , то елемент «чітко» не належить множині А, якщо - «чітко» їй належать. Якщо набуває значення або 0, або 1, то множина , як прийнято говорити, є «чіткою» (класичною) множиною. Характерною ознакою нечіткості множини є наявність хоча б одного елемента з функцією належності, відмінною від 0 або 1. Наведемо визначення нечіткої множини.

Нечітка підмножина множини - це сукупність пар виду (тобто ), де - значення лінгвістичної змінної, - функція, що набуває значення з проміжку [0, 1], .

Функція інтерпретується як ступінь належності елемента множині . Множину - називають ще базовою шкалою лінгвістичної змінної. Функція належності може бути задана аналітично або таблично. Розглянемо найпростіші приклади використання нечітких множин та способи визначення функції належності.

Розглянемо лінгвістичну змінну Вік. Носієм, або базовою шкалою цієї змінної є множина дійсних чисел від 0 до 110 років. Ця змінна може мати, наприклад, такі лінгвістичні значення або терми: дитячий, юнацький, молодий, середній, похилого віку, старий. Ці значення утворюють терм-множину

={ дитячий, юнацький, молодий, старий }.

У якості процедури , що породжує нові терми множини оберемо процедуру з використанням сполучень «і», «або» та модифікаторів «дуже», «не», «трохи» та інших. Наприклад: «дуже старий», «не старий і не молодий». Тоді - це процедура, за якою визначають нечіткі множини, наприклад, - «дуже молодий», - «молодий» тощо.

Визначимо нечітку множину для лінгвістичної або нечіткої змінної «дитячий»: нехай їй відповідає вік що не перевищує, наприклад 10-15 років. Побудуємо відповідну функцію належності. Найпростіше визначити її наступним чином:

У нашому випадку , а тоді

,

а графік цієї функції буде мати вид такий як показано на рис. 4.1.

Рисунок 4.1 - Функція належності нечіткої множини «дитячий»

Аналогічним чином побудуємо функцію належності для терму «юнацький». Це нечітка змінна, що має наступне семантичне значення: якщо вік близько 18 років, то це юнацький вік. У цьому випадку функцію належності визначимо за формулою

.

Визначимо коефіцієнти , , , тоді

Графік цієї функції наведено на рис. 4.2.

Рисунок 4.2 - Функція належності множини „юнацький”

Подібним чином будуються функції належності і для інших термів лінгвістичної змінної „Вік”.

Розглянемо табличний спосіб завдання функції належності. Розглянемо нечітку множину для терму «трохи». Для цього необхідно з базової шкали, множини натуральних чисел , виділити деяку нечітку підмножину чисел , що відповідають нашому суб'єктивному уявленню про це поняття. Задамо функцію належності множини у вигляді таблиці.

Х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0,0	0,1	0,6	0,8	1,0	1,0	0,9	0,7	0,2	0

Значення функції належності можна інтерпретувати в такий спосіб: число 2 на 10% належить множині , або на 10% відсотків відповідає інтуїтивному поняттю «трохи».

Розглянемо аналітичне визначення функції належності за допомогою неперервної функції. Припустимо, що з множини дійсних чисел необхідно виділити нечітку підмножину , що відповідає інтуїтивному поняттю «близько 50». Очевидно, що у цьому випадку функція належності повинна прямувати до одиниці при , і до нуля - при . Тому для задання скористаємося формулою аналогічною для щільності ймовірності нормального розподілу

.

Тут - середнє значення випадкової величини, а - дисперсія. Будемо вважати, що поняттю «близько 50» приблизно відповідають числа з діапазону (45,55). Тоді, щоб побудувати функцію належності оберемо = 50, а = 4,5. У результаті отримаємо формулу

.

На рис. 4.3 наведений графік .

Рисунок 4.3 - Функція належності множини близько 50

Для функції належності нечіткої множини терму «старий» (позначимо цю множину С) лінгвістичної змінної «Вік» скористаємося наступною функцією:

Тут змінна - це параметр, що враховує суб'єктивність оцінки віку («розмитості» нечіткої множини): чим більший цей параметр тим більше «розмитою» буде множина (рис. 4.4).

Рисунок 4.4 - Функція належності нечіткої множини «старий»

Найбільш складним у теорії нечітких множин є визначення функції належності. Ще й досі не існує достатньо строгої та формалізованої процедури, використовуючи яку можна було б побудувати функцію належності довільної нечіткої множини. Поки що можна виділити два підходи, стосовно визначення функції належності, та окреслити їх границі.

Перший - прямий підхід застосовується у тому випадку, коли характеристики об'єкту або явища, для яких необхідно побудувати нечітку множину можуть бути виміряні в абсолютній чи відносній шкалі. Прикладом такого підходу є нечіткі множини та їх функції належності, що розглядалися вище. У цьому випадку експерт сам задає значення функції належності для елементів нечіткої множини.

Другий - непрямий, застосовується у випадку, коли характеристики об'єкту або явища, для яких необхідно побудувати нечітку множину можуть бути виміряні в порядковій шкалі чи в шкалі найменувань. У цьому випадку для визначення функції належності залучається група експертів. Кожен експерт шляхом попарних порівнянь визначає значення функції належності для елементів нечіткої множини. Остаточно функція належності встановлюється як узгоджене рішення експертів, шляхом спеціальної обробки їх висновків.

ОПЕРАЦІЇ НАД НЕЧІТКИМИ МНОЖИНАМИ

Порожня нечітка множина визначається як така, для якої ,.

Рівність двох нечітких множин і визначається в такий спосіб. Дві нечітких множини і рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхні функції належності для усіх . Це твердження можна записати в більш компактному вигляді:

Включення нечіткої множини в множину визначається в такий спосіб: ,

Наприклад, нечітка множина довгожителів є підмножиною старих людей.

Нечітка множина називається номінальною тоді і тільки тоді, коли , у протилежному випадку - субнормальною. Непорожні субнормальні множини можна нормалізувати, тобто перетворити їх на номінальну нечітку множину, розділивши на .

Наприклад, нечітка множина старих людей - номінальна множина, тому що точна верхня грань її функції належності дорівнює одиниці:

Розглянемо основні операції на нечітких множинах. Частина цих операцій позначається точно так само як і у випадку класичних, чітких множин. Крім цього операціям на нечітких множинах приписується лінгвістичне тлумачення.

Об'єднання нечітких множин .

Об'єднанням нечітких множин і називається множина функція належності якої дорівнює . Цій операції відповідає висловлення . Це висловлення розкриває лінгвістичний сенс даної операції стосовно нечітких множин. Наприклад, об'єднанням множин «Близько 50» і «Близько 57» буде множина «Близько 50 або 57». Графік функції належності цієї множини приведений на рис. 4.5.

Рисунок 4.5 - Функція належності нечіткої множини «Біля 50 або біля 57»

Перетинання нечітких множин.

Перетинанням нечітких множин і називається множина функція належності якої дорівнює . Цій операції відповідає висловлення «A і B », що розкриває її лінгвістичний сенс. Наприклад, для множин «Старий» і «Немолодий» перетинанням буде множина «Не старий і не молодий». Графік функції цієї множини показаний на рис. 4.6.

Рисунок 4.6 - Функція належності нечіткої множини «Не старий і не молодий»

Відзначимо, що оскільки функція належності даної множини набуває значення менше одиниці, то вона є субнормальною. Для даної множини . Розділивши на це число, перетворимо дану множину у номінальну. На рис 4.7. приведений графік функції належності нормалізованої множини.

Рисунок 4.7 - Нормалізована множина

Доповнення.

Доповненням нечіткої множини до множини називається множина функція належності якої дорівнює . Лінгвістичний сенс цієї операції визначається висловленням «». Наприклад, для множини «Старий» доповненням є множина «Нестарий». Графік функції належності цієї множини приведений на рис. 4.8.

Рисунок 4.8 - Нормалізована множина

Концентрація.

Для нечіткої множини концентрацією є множина функція належності якої визначається зі співвідношення .

Лінгвістичний сенс цієї операції полягає в наступному. Наприклад, для лінгвістичної змінної «старий», концентрація відповідає висловленню «дуже старий». На рис. 4.9 приведені графіки функцій належності нечіткої множини «старий» та її концентрація «дуже старий».

Рисунок 4.9 - Функції належності нечітких множин «старий» та «дуже старий»

Розмивання.

Розмиванням нечіткої множини називається множина функція належності якої визначається зі співвідношення .

Лінгвістичний сенс цієї операції - «не дуже». Наприклад, для лінгвістичної змінної «старий» розмивання - це «не дуже старий». На рис. 4.10 приведені графіки функцій належності для нечітких множин «старий» та її розмивання «не дуже старий».

Рисунок 4.10 - Функції належності нечітких множин «старий» та «не дуже старий»

Останні дві операції можуть бути використані тільки до нечітких множин.

На нечітких множинах визначають також операції алгебраїчних добутку та суми. При цьому алгебраїчним добутком нечітких множин та називають множину функція належності якої визначається за формулою

,

а алгебраїчна сума - це множина з функцією належності

.

Операція алгебраїчного добутку дає змогу визначити поняття ступеню нечіткої множини , функція належності якої дорівнює .

Нехай нечіткі підмножини базових множин , відповідно, тоді декартовим (прямим) добутком підмножин будемо називати підмножину множини з функцією належності

.

Декартів або прямий добуток нечітких множин використовується для визначення відношень на нечітких множинах.

НЕЧІТКІ ВІДНОШЕННЯ

Нечіткі відношення мають фундаментальне значення в аналізі нечітких систем. Методи нечітких відношень широко використовуються в теорії нечітких автоматів, при моделюванні складних систем при розробці автоматизованих систем прийняття рішень тощо. Простим прикладом нечіткого відношення, що дуже часто зустрічається є нечіткі відношення: набагато більше, набагато менше та приблизно дорівнює.

Як і у випадку «чітких» множин нечітке відношення визначається як підмножина прямого (декартового) добутку нечітких множин

з функцією належності

.

Таке відношення називається -арним. Значення функції належності - ступінь виконання відношення. Оскільки найбільш поширеними є бінарні відношення, то у подальшому будемо розглядати тільки їх.

Бінарне відношення визначається наступним чином

, .

Розглянемо для прикладу бінарне відношення: . Задамо спочатку функцію належності цього відношення у матричному вигляді на дискретній множині .

Графічне представлення функції належності цього відношення наведено на рис. 4.11.

Рисунок 4.11 - Функція належності відношення

Розглянемо ще одне відношення, що дуже часто зустрічається, а саме «приблизно дорівнює» - .

Задамо функцію належності цього відношення у вигляді таблиці (табл. 4.1).

Таблиця 4.1 - Значення функції належності відношення

y  x	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0
1	1,00	0,90	0,80	0,70	0,60	0,50	0,40	0,30	0,20	0,10	0,00
1,1	0,90	1,00	0,90	0,80	0,70	0,60	0,50	0,40	0,30	0,20	0,10
1,2	0,80	0,90	1,00	0,90	0,80	0,70	0,60	0,50	0,40	0,30	0,20
1,3	0,70	0,80	0,90	1,00	0,90	0,80	0,70	0,60	0,50	0,40	0,30
1,4	0,60	0,70	0,80	0,90	1,00	0,90	0,80	0,70	0,60	0,50	0,40
1,5	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	1,00	0,90	0,80	0,70	0,60	0,50
1,6	0,40	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	1,00	0,90	0,80	0,70	0,60
1,7	0,30	0,40	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	1,00	0,90	0,80	0,70
1,8	0,20	0,30	0,40	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	1,00	0,90	0,80
1,9	0,10	0,20	0,30	0,40	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	1,00	0,90
2	0,00	0,10	0,20	0,30	0,40	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	1,00

Як і звичайні відношення нечіткі відношення можуть задовольняти наступним властивостям:

– рефлексивність, якщо ;

– симетричність, якщо ;

– асиметричність, якщо з умови виходить, що ;

– транзитивність .

Наприклад, нечітке відношення еквівалентності (приблизно дорівнює) є рефлексивним та симетричним, а - асиметричне.

Оберненим відношенням до відношення є відношення таке, що виконується рівність . Наприклад, відношення є оберненим до відношення .

Нечіткі відносини, як і звичайні, можуть підрозділятися на відношення еквівалентності, порядку, подібності і домінування в залежності від того, яким із приведених нижче властивостей вони задовольняють.

Відношення називається:

– відношенням подібності, якщо воно рефлексивне і симетричне;

– відношенням еквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне;

– відношенням нестрогого порядку, якщо воно є рефлексивним і транзитивним.

Перераховані відношення використовуються в нечітких системах для рішення таких, практично важливих задач, як угрупування (кластеризація, таксономія) та упорядкування. Розглянемо ці задачі.

Задача угрупування

Нехай на якійсь скінченій множині задане відношення подібності, тобто для будь-яких двох об'єктів заданий ступінь їхньої близькості, подібності. Необхідно розбити множину на групи об'єктів, близьких між собою. Ця задача зустрічається при класифікації мінералів, матеріалів за їхніми властивостями, систематиці біологічних організмів (видів), визначенні психологічної сумісності колективів.

Процедура угрупування полягає в наступному. Відношення подібності перетворюють у відношення еквівалентності, шляхом транзитивного замикання. Транзитивне замикання - це операція, за допомогою якої для заданого відношення одержують найменше транзитивне відношення з функцією належності

яке включає відношення .

Побудувавши для відношення подібності транзитивне замикання, здійснюють розбивку множини на класи еквівалентності з використанням заданого для кожного класу порогу близькості . До одного класу відносять об'єкти , для яких .

Задача упорядкування

Нехай на якійсь скінченій множині об'єктів задане відношення порядку, тобто для кожної пари об'єктів заданий ступінь переваги одного в порівнянні з іншим. Необхідно упорядкувати об'єкти - вказати спочатку «найкращий», потім той, що йде за ним і т.д. Задачі упорядкування найбільше широко використовуються в автоматизованих системах підтримки прийняття рішень, а також виникають, наприклад, при виборі найбільш кращого проектного варіанта. Попарне порівняння варіантів і вибір з них більш кращого здійснюється групою експертів. Звичайно, що їхні оцінки ступеня переваги варіантів утворюють нечітке відношення порядку. Нехай у результаті по парного порівняння експертами трьох проектних варіантів думки експертів розподілилися в такий спосіб: три експерти вважають що варіант переважніше ніж ( ), а один експерт вважає, що . Відобразимо результати опитування в таблиці

	0	3	4
	1	0	2
	5	8	0

Для того щоб упорядкувати варіанти за ступенем переваги, спираючись на оцінки експертів, необхідно скористатися так званою функцією корисності, у вигляді

.

Обчислимо функцію корисності для кожного варіанта

Таким чином, одержимо, що найбільш кращим є варіант , потім і . Слід зазначити, що у випадку великої кількості варіантів необхідно скористатися більш ефективними методами, розробленими в межах теорії розпізнавання образів і штучного інтелекту.

Над нечіткими відношеннями виконуються наступні операції.

Об'єднанням нечітких відношень та , позначається або , є нечітке відношення функція належності якого визначається зі співвідношення .

Перетином нечітких відношень та , позначається або , є нечітке відношення функція належності якого визначається зі співвідношення .

Композиція двох нечітких відношень та , позначається , заданих на з функціями належності та визначена тоді і тільки тоді коли існує таке для якого одночасно виконуються відношення та з функцією належності . Таке визначення композиції називають максимінною композицією. Використовується також мінімаксне визначення композиції, у цьому випадку функція належності визначається за формулою .

Розглянемо на прикладах ці два визначення композиції нечітких відношень та , функції належності яких задані в табличному виді

, .

Визначимо функцію належності максимінної композиції цих відношень. Згідно визначення максимінної композиції, перший елемент її функції належності знаходимо зі співвідношення

,

аналогічно

,

,

.

Тоді

.

У випадку мінімаксної композиції функція належності буде мати вигляд

.

Моделі нечітких систем, як і у класичному випадку, будуються з використанням поняття нечіткого відношення.

Аналогічно звичайним системам, модель «чорної скриньки» нечіткої системи визначається як нечітке відношення між множинами входів і виходів , а саме

Якщо множини значень входів і виходів системи скінчені, то для опису математичної моделі системи можна скористатися матрицями відносин, або сукупністю правил, що по заданих входах визначають вихід системи. Ці правила можуть мати вигляд «ЯКЩО ... ТO ...» і називаються продукціями. Наприклад, «ЯКЩО ТО ». Продукції записують у більш компактному вигляді, у такий спосіб . Тут , взагалі, деяке складене нечітке висловлення, що може приймати, наприклад, значення: «істино» або «хибно». Така форма опису зв'язків між входами і виходами системи особливо зручна, коли елементами множини входів і виходів системи є лінгвістичні змінні.

НЕЧІТКИЙ ЛОГІЧНИЙ ВИСНОВОК

Механізм нечітких висновків, що використовується у різного роду експертних і керуючих системах у своїй основі має базу знань, яка формується фахівцями предметної області у вигляді сукупності нечітких предикатних правил типу:

: якщо , тоді ,

: якщо , тоді ,

------------------------------------

: якщо x є , тоді ,

де x - вхідна змінна (ім'я для відомих значень даних), y - змінна висновку (ім'я для значення даних, що буде обчислене); - нечіткі множини з функціями ; - нечіткі множини функції належності яких встановлюються в залежності від передумови так, що . Тут - конкретне (чітке) значення вхідної змінної. Приклад подібного правила: Якщо x - низько, то y - високо.

Наведемо більш детальне пояснення. Знання експерта відображає нечітке причинне відношення передумови й висновку, тому його можна назвати нечітким відношенням і позначити через R:

де «» називають нечіткою імплікацією.

Відношення R можна розглядати як нечітку підмножину декартового добутку повної множини передумов X і висновків Y. Таким чином, процес одержання (нечіткого) результату висновку з використанням даного спостереження і знання можна подати у вигляді формули

де «» - композиція нечітких відношень.

Як операцію композиції, так і операцію імплікації в алгебрі нечітких множин можна реалізовувати по-різному (при цьому, природно, буде відрізнятися й підсумковий одержуваний результат), але в кожному разі загальний логічний висновок здійснюється за наступні чотири етапи:

1. Нечіткість (введення нечіткості, фазифікація). Функції належності, які визначені на вхідних змінних , застосовуються до їхніх фактичних значень для визначення ступеня належності нечіткій множині, або, що теж саме, ступеню істинності кожної передумови кожного правила. При цьому заданому значенню ставиться у відповідність значення , яке називають значенням ступеню істиності.

2. Логічний висновок. Використовуючи значення та нечіткі множини висновків для всіх правил виділяють підмножини рівня , функція належності яких визначається наступним способом . При цьому говорять, що у якості логічного висновку використовується операція mіn (МІНІМУМ). Крім цієї операції у якості логічного висновку може використовуватись і операція prod (ДОБУТОК), згідно з якою функція належності підмножини визначається із співвідношення .

3. Композиція. Всі нечіткі підмножини , об'єднуються разом, щоб сформувати одну нечітку підмножину з функцією належності . При цьому говорять, що якості композиції використовується операція max (МАКСИМУМ). У якості композиції нечітких висновків використовується також і операція sum (СУМА): з функцією належності

.

4. На закінчення (додатково) може виконуватись операція приведення до чіткості (дефазифікація), яка використовується, коли необхідно перетворити композицію нечітких висновків у чітке число. Існує значна кількість різних методів приведення до чіткості, деякі з них будуть розглянуті нижче.

Приклад. Нехай якась система описується наступними нечіткими правилами:

: якщо , тоді ,

: якщо , тоді ,

: якщо , тоді ,

де x, y і z - імена вхідних змінних, - ім'я змінної висновку, а A, B, C, D, E, F - нечіткі множини з функції належності, що мають вигляд, як на рис 4.12.

Рисунок 4.12 - Ілюстрація до процедури логічного висновку

Нехай вхідні змінні набули певних (чітких) значень , і . Відповідно до наведених етапів, на етапі 1 для даних значень, з використанням функцій належності нечітких множин A, B, C, визначають ступені істинності , і для передумов кожного із трьох наведених правил (див. рис. 4.12).

На етапі 2 виконується "відсікання" функцій належності висновків з правил (тобто D, E, F) на рівнях , і (графіки відповідних функцій належності - залиті сірим кольором).

На етапі 3 розглядаються усічені на другому етапі функції належності, і виконується їхнє об'єднання з використанням операції max, у результаті чого отримують комбіновану нечітку підмножину, що описується функцією належності , яка відповідає логічному висновку для вихідної змінної .

Нарешті, на 4-му етапі - при необхідності - отримують чітке значення вихідної змінної, наприклад, із застосуванням центроїдного методу: чітке значення вихідної змінної визначається як центр ваги для кривої , тобто

Розглянемо наступні найбільш часто використовувані модифікації алгоритму нечіткого висновку, вважаючи для простоти, що базу знань складають два нечіткі правила:

: якщо та , тоді ,

: якщо та , тоді ,

де x та y - імена вхідних змінних, z - ім'я змінної висновку, , , , , , - нечіткі множини з заданими функціями належності; при цьому чітке значення необхідно визначити на основі наведеної інформації й чітких значень і .

Алгоритм Mamdanі. Даний алгоритм відповідає розглянутому прикладу й рис. 4.12. У розглянутій ситуації він математично може бути описаний у такий спосіб.

1. Нечіткість: знаходять ступені істинності для передумов кожного правила: .

2. Нечіткий висновок: знаходять рівні «відсікання» для передумов кожного із правил (з використанням операції МІНІМУМ)

,

,

де через «» позначена операція логічного мінімуму (mіn), потім знаходять «усічені» функції належності

,

.

3. Композиція: з використання операції МАКСИМУМ (max, далі позначуваної як «») виконується об'єднання знайдених усічених функцій, що приводить до одержання підсумкової нечіткої підмножини для змінної виводу з функцією належності

4. Нарешті, приведення до чіткості (для знаходження ) проводиться, наприклад, центроїдним методом.

Алгоритм Tsukamoto. Вихідні посилки - як в алгоритмі Mamdanі, але в цьому випадку передбачається, що функції і є монотонними.

1. Перший етап - такої ж, як в алгоритмі Mamdanі.

2. На другому етапі спочатку знаходять (як в алгоритмі Mamdanі) рівні «відсікання» і , а потім, розв'язуючи рівняння

, ,

чіткі значення ( і ) для кожного з вихідних правил.

3. Визначається чітке значення змінної виводу (як зважене середнє і ):

.

У загальному випадку (дискретний варіант центроїдного методу)

.

Приклад. Нехай , , , , відповідні рівні відсікання:

,

,

і значення , , знайдені в результаті розв'язання рівнянь

, .

При цьому чітке значення змінної виводу (рис. 4.13) .

Рис. 4.13. Ілюстрації до алгоритму Tsukamoto

Спрощений алгоритм нечіткого виводу. Вихідні правила в цьому випадку задаються у вигляді:

: якщо x є та y є , тоді z = ,

: якщо x є та y є , тоді z = ,

де і - деякі звичайні (чіткі) числа.

1. Перший етап - як в алгоритмі Mamdanі.

2. На другому етапі знаходять числа , .

3. На третьому етапі знаходять чітке значення вихідної змінної за формулою

або - у загальному випадку наявності n правил - за формулою

.

Ілюстрація алгоритму наведена на рис. 4.14.

Рис. 4.14. Ілюстрація спрощеного алгоритму нечіткого виводу

МЕТОДИ ПРИВЕДЕННЯ ДО ЧІТКОСТІ

1. Вище вже був розглянутий один з даних методів - центроїдний. Приведемо відповідні формули ще раз. Для неперервного варіанта:

;

для дискретного варіанта:

.

2. Перший максимум (Fіrst-of-Maxіma). Чітка величина змінної виводу визначається як найменше значення, при якому досягається максимум підсумкової нечіткої множини, тобто (рис. 4.15а)

.

3. Середній максимум (Mіddle-of-Maxіma). Чітке значення визначається за формулою

.

де G - підмножина елементів, які максимізують С (рис. 4.15б).

Дискретний варіант (якщо С дискретне):

.

Рис. 4.15. Ілюстрація до методів приведення до чіткості:

а - перший максимум; б - середній максимум

4. Критерій максимуму (Max-Crіterіon). Чітке значення вибирається довільно серед множини елементів, що доставляють максимум С, тобто

.

5. Висотна дефазифікація (Heіght defuzzіncatіon). Елементи області визначення , для яких значення функції належності менше, ніж деякий рівень у розрахунок не приймаються, і чітке значення розраховується за формулою

,

де - нечітка множина -рівня (див. вище).

Контрольні запитання

1. Дайте означення поняття нечіткості.

2. Дайте означення лінгвістичної змінної.

3. Що таке базова шкала лінгвістичної змінної?

4. Які існують підходи щодо визначення функції належності довільної нечіткої множини?

5. Дайте означення основних операцій над нечіткими множинами.

6. Що таке номінальна та субнормальна нечітка множина?

7. Які операції над нечіткими відношеннями Ви знаєте?

8. Які етапи потрібні для виконання логічного виводу?

9. Дайте опис основних алгоритмів нечіткого логічного виводу.

10. Які методи дефазифікації Ви знаєте?

Размещено на http://www.allbest.ru/