Математические функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Линейная функция

Свойства линейной функции y = kx при k=0

· Область определения функции - множество R всех действительных чисел.

· Корни - единственный корень x = 0.

· Промежутки постоянного знака зависят от знака параметра k:

k > 0, то y > 0 при x > 0 ; y < 0 при x < 0;

k < 0, то y > 0 при x < 0 ; y < 0 при x > 0.

· Экстремумов нет.

· Монотонность функции:

если k > 0, то y возрастает на всей числовой оси;

если k < 0, то y убывает на всей числовой оси.

· Наибольшего и наименьшего значений нет.

· Область значений - множество R.

· Четность - функция y = kx нечетная.

Степенная функция

К основным свойствам степенной функции y = x ^a при a > 0 относятся:

· Область определения функции - промежуток (0; + ).

· Область значений функции - промежуток (0; +).

· Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).

· Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x₁ < x₂ то a^r₁ < a^r₂ .

К основным свойствам степенной функции y = x ^a при a < 0 относятся:

· Область определения функции - промежуток (0; +).

· Область значений функции - промежуток (0; +).

· Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).

· Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x₁ < x₂ то a^r₁ > a^r₂ .

Справедливы следующие свойства степенной функции:

o x^a₁x^a₂ = x^a₁ ^{+ a}₂

o x^a₁ : x^a₂ = x^a₁ ^{- a}₂

o (x^a₁)^a₂ = x^a₁ ^a₂

o x^a₁ > x^a₂, x > 1, a₁ > a₂

o x^a₁ < x^a₂, 0 < x < 1, a₁ < a₂

Квадратичная функция

Показательная функция

При a > 0, a = 1, определена функция y = a ^x , отличная от постоянной. Эта функция называется показательной функцией с основанием a.

Основные свойства показательной функции y = a ^x при a > 1:

· Область определения функции - вся числовая прямая.

· Область значений функции - промежуток (0;+).

· Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x₁< x_{2 ,} то a^x₁ < a^x₂ .

· При x = 0 значение функции равно 1.

· Если x > 0 , то a ^x > 1 и если x < 0, то 0 < a < 1.

Основные свойства показательной функции y = a ^x при 0 < a < 1:

· Область определения функции - вся числовая прямая.

· Область значений функции - промежуток (0;+).

· Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x₁< x_{2 ,} то a^x₁ > a^x₂ .

· При x = 0 значение функции равно 1.

· Если x > 0 , то 0 < a < 1 и если x < 0, то a ^x > 1.

К общим свойствам показательной функции как при 0 < a < 1, так и при a > 1 относятся:

· a^x₁ a^x₂ = a^x₁^{+ x}₂, для всех x₁ и x_2.

· a?x=(ax)?1=1ax для любого x.

· nax=axn для любого x и любого nNn=1 .

· (ab)^x = a^x b^x для любых a, b > 0; a,b=1 .

· (ba)x=bxax для любых a, b > 0; a,b=1 .

o a^x₁ = a^x₂, то x₁ = x_2.

Логарифмическая функция

Функция y = log_a х (где а > 0, а =1) называется логарифмической.

Построение графиков. График логарифмической функции log_aх можно построить, воспользовавшись тем, что функция log_aх обратна показательной функции y = a^x. Поэтому достаточно построить график функции y = a^x, а затем отобразить его симметртрично относительно прямой у = х.

· дифференцируема

Свойства функции у = log_aх , 0 < a < 1 :

· D(f) = (0;+ );

· не является ни четной, ни нечетной;

· убывает на (0; +);

· не ограничена сверху, не ограничена снизу;

· нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

· непрерывна;

· E(f) = (-;+ );

· выпукла вниз;

· дифференцируема.

Свойства функции у = ln х :

· D(f) = (0; +);

· не является ни четной, ни нечетной;

· возрастает на {0; +);

· не ограничена сверху, не ограничена снизу;

· не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

· непрерывна;

· E(f) = (-;+ );

· выпукла вверх;

· дифференцируема.

Функция синус

y=arcsin(x)

Функция y=sin(x) на промежутке [?р/2;р/2] непрерывна, строго возрастает и имеет множество значений [-1,1],

тогда по теореме о существовании обратной функции для x=sin(y), у?[?р/2;р/2] существует обратная функция, которая называется arcsin.

Свойства:

1. D(arcsin)=[?1;1] 

2. E(arcsin)=[?р/2;р/2] 

3. y=arcsin(x)-- непрерывная функция на D

4. y=arcsin(x)-- строго возрастает на D

5. Г(arcsin) симметричен Г(sin) относительно y=x

6. y=arcsin(x) нечетная на D функция т.е. ((?x?[?1;1])(arcsin(?x)=?arcsin(х))

y=arccos(x)

Функция y=cos(x) непрерывна и строго монотонна убывает на промежутке [0;р], принимая значения из отрезка [-1;1], тогда по теореме о существовании обратной функции дляx=cos(y), y?[0;р] существует обратная функция, которая называется arccos.

Из определения следует

1. cos(arccos(x))=x,2.\arccos (\cos (y))=у,

Свойства:

1. D(arccos)=[?1;1]

2. E(arccos)= [0;р]

3. y=arccos(x)-- непрерывная функция на D

4. y=arccos(x)-- строго убывает на D

5. Г(arccos) симметричен Г(cos) относительно y=x

6. (?x?[?1;1])(arccos(?х)=р ?arccos(х)) , то есть функция arccos(x) не является ни четной, ни нечетной на D.

y=tg(x)

Функция y=tg(x) непрерывна и строго монотонна возрастает на промежутке (?р/2;р/2) , принимая значения (??;+?) , тогда по теореме о существовании обратной функции дляx=tg(y), y?[?2р;2р] существует обратная функция, которая называется arctg.

Из определения следует

1. tg(arctg(x))=x, (??;+?) 

2. arctg(tg(у))=у,?р/2?y?р/2 

Свойства:

1. D(arctg)=(??;+?)

2. E(arctg)=[?2р;2р] 

3. y=arctg(x) -- непрерывная функция на D

4. y=arctg(x) -- строго монотонно возрастает на D

5. Г(arctg) симметричен Г(tg) относительно y=x

6. y=arctg(x) не четная на R функция, т.е. ((?x?R)(arctg(?х)=?arctg(х))) ()

y=ctg(x)

Функция y=ctg(x) непрерывна и строго монотонна убывает на промежутке (0;р), принимая значения (??;+?) , тогда по теореме о существовании обратной функции дляx=ctg(y), у?[0;р] существует обратная функция, которая называется arctg.

Из определения следует

1. ctg(arcctg(x))=x,x?R

2. arcctg(ctg(y))=y,0?y?р 

Свойства:

1. D(arcctg)=R

2. E(arcctg)= [0;р]

3. y=arcctg(x) -- непрерывная функция на D

4. y=arcctg(x) -- строго монотонно убывает на D

5. Г(arсctg) симметричен Г(сtg) относительно y=x

Размещено на Allbest.ru