Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

РЕФЕРАТ

на тему:

"Матрицы, определители, системы линейных уравнений"

Москва 2008

Введение

Матрицы, определители, системы линейных уравнений - очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. Поэтому первая часть моего реферата посвящена теме матриц и определителей. В ней я рассматривала различные действия над матрицами, свойства определителей, а так же некоторые другие теоретические вопросы. Во второй части непосредственно рассматриваются системы линейных уравнений и некоторые методы их решения: правило Крамера, метод Гаусса, а так же теорема Кронекера - Капелли. И в той и в другой главах приведены примеры, которые составляют практическую часть моего реферата.

Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т.е. системы m уравнений 1 ой степени с n неизвестными:

a₁₁x₁ + … + a_1n x_n = b₁;

a₂₁x₁ + … + a_2n x_n = b₂;

………………………………

a_m1x₁+ … + a_mnx_n = b_m.

Здесь x₁, …, x_n - неизвестные, а коэффициенты записаны так, что индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить свойства матриц и определителей а также различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике. Для достижения целей данной работы необходимо выполнить следующие задачи: исследовать литературу по темам матриц, определителей и систем линейных уравнений; изучить современное состояние данного вопроса; отобрать и классифицировать исследуемый материал; а также провести практическую часть работы.

1. Матрицы и действия над ними

1.1 Основные понятия

Матрица размерами m Ч n - совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, например (обозначим за А)

2 5 2

А= 3 10 7 - матрица.

6 -3 -4

Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. В общем виде матрицы:

а₁₁ a₁₂ … a_1n

a₂₁ a₂₂ … a_2n

M = a₃₁ a₃₂ … a_3n

a_m1 a_m2 … a_mn

они обозначаются буквами с двумя индексами: 1 ый индекс указывает номер строки, а 2 ой - номер столбца, в которых содержится этот элемент.

Если m = n, то матрица называется квадратной, а число строк (или столбцов) - её порядком.

Две матрицы, имеющие одинаковое количество строк и столбцов, называются матрицами одинакового типа. Две матрицы А = [a_ij] и В = [b_ij] одинакового типа называются равными, если a_ij = b_ij при всех i и j.

Матрица, состоящая из одной строки (одного столбца), называется матрицей-строкой (матрицей-столбцом), а матрица, у которой все элементы а_ij = 0, - нулевой или нуль матрицей.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов, составляют главную диагональ, а элементы квадратной

матрицы порядка n, сумма индексов каждого из которых равна n+1, -

побочную диагональ.

Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы называется следом матрицы. Квадратные матрицы, у которых все элементы вне главной диагонали равны нулю, называются диагональными (обозначается Е):

1 0 … 0

Е = 0 1 … 0

………………

0 0 … 1

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, называется треугольной:

a₁₁ а₁₂ … а_1n b₁₁ 0 … 0

А = 0 а₂₂ … а_2n; B = b₂₁ b₂₂ … 0

……………… ………………

0 0 … a_nn b_n1 b_n2 … b_nn

Диагональная матрица является частным случаем треугольной. Преобразование элементов квадратной матрицы, состоящее в замене строк соответствующими столбцами, называется транспонированием матрицы. Таким образом, если

a₁₁ a₁₂ … a_1n

A = a₂₁ a₂₂ … a_2n;

a_n1 a_n2 … a_nn

то

a₁₁ a₂₁ … a_n1

A^T = a₁₂ a₂₂ … a_n2.

………………

a_1n a_2n … a_nn

Определитель n-го порядка матрицы

а₁₁ а₁₂ … а_1n

А = а₂₁ а₂₂ … а_2n

…………….…

а_n1 а _n2 … а_nn

есть число

а₁₁ а₁₂ … а_1n

? = а₂₁ а₂₂ … а_2n = ? (-1)^{I(k, k, …, k)} a_1k a_2k … a_nk

……………… (k₁, k₂, …, k_n)

а_n1 а_n2 … а_nn

Здесь суммирование распространяется на всевозможные перестановки индексов элементов а_ij, т.е. на всевозможные перестановки (k₁, k₂, …, k_n). Числа а_ij называют элементами определителя.

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной, а матрица с определителем, равным нулю - вырожденной.

Определитель обладает некоторыми свойствами. Перечислим их:

1. При транспонировании матрицы её определитель не изменяется.

2. Если все элементы некоторой строки определителя состоят из нулей, определитель равен нулю.

3. От перестановки двух строк определитель меняет знак.

Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя, или, если все элементы некоторой строки определителя умножить на одно и тоже число, то определитель умножается на это число.

Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, те же, что и у данного определителя; i-я строка определителя состоит из первых слагаемых элементов i-й строки данного определителя, а i-я строка другого - из вторых слагаемых элементов i-й строки.

Определитель не изменяется, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.

1.2 Действия над матрицами

Основные операции, которые производятся над матрицами, - сложение, вычитание, умножение, а также умножение матрицы на число. Указанные операции являются основными операциями алгебры матриц - теории, играющей весьма важную роль в различных разделах математики и естествознания.

Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров называется матрица того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Операция нахождения суммы матриц называется сложением матриц и распространяется на случай конечного числа матриц одинаковы размеров.

Операция нахождения разности двух матриц называется вычитанием матриц. Проверкой можно убедиться, что операция сложения матриц удовлетворяет следующим свойствам:

А + В = В + А; (коммутативность)

А + (В + С) = (А + В) + С; (ассоциативность)

А + О = А.

Здесь А, В, С - произвольные матрицы одинаковых размеров; О - нулевая матрица того же размера.

Произведением матрицы А = [а_ij] на число л называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением их на число л.

Операция нахождения произведения матрицы на число называется умножением матрицы на число. Матрица - А = -1А называется противоположной матрице А. Проверкой можно убедиться, что операция умножения матрицы на число удовлетворяет следующим свойствам:

1А = А;

(л + м) А = лА + мБ;

л (А + В) = лБ+ лВ;

4) л(мА) = (лм) А;

5) А + (-А) = О.

Здесь А, В - произвольные матрицы; м, л - произвольные числа; О - нулевая матрица.

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

В этом случае произведением матрицы А на матрицу В, которые заданы в определенном порядке (А - 1 ая, В - 2 ая), является матрица С, элемент которой с_ij определяется по следующему правилу:

c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + … + a_inb_nj = ? ⁿ _{б = 1} a_iбb_бj,

где i = 1,2, …, m; j = 1, 2, …, k.

Для получения элемента с_ij матрицы произведения С = АВ нужно элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Число строк матрицы С = АВ равно числу строк матрицы А, а число столбцов - числу столбцов матрицы В.

Операция нахождения произведения двух матриц называется умножением матриц.

Сравнив правые части выражений (2) и (3), убедимся, что АВ ? ВА.

Матрицы А и В, для которых АВ = ВА, называются перестановочными. Проверкой можно показать, что умножение матриц удовлетворяет следующим свойствам:

А(ВС) = (АВ) С; (ассоциативность)

л(АВ) = (лА) В = А(лВ);

А (В + С) = АВ + АС. (дистрибутивность)

Здесь А, В, С - матрицы соответствующих определению умножения матриц размеров; л - произвольное число.

Операция умножения двух прямоугольных матриц распространяется на случай, когда число столбцов в 1-ом множителе равно числу строк во 2-ом, в остальных случаях произведение не определяется. А также, если матрицы А и В - квадратные одного и того же порядка, то умножение матриц всегда выполнимо при любом порядке следования сомножителей.

2. Определители

2.1 Понятие определителя

Прежде всего, необходимо запомнить, что определители существуют только для матриц квадратного вида, ибо для матриц другого типа не существует определителей. В теории систем линейных уравнений и в некоторых других вопросах удобно использовать понятие определителя, или детерминанта.

2.2 Вычисление определителей

Рассмотрим какую-либо четверку чисел, записанных в виде матрицы по два в строках и по два столбцах, Определителем или детерминантом, составленным из чисел этой таблицы, называется число ad-bc.Такой определитель называется определителем второго порядка, поскольку для его составления взята таблица из двух строк и двух столбцов. Числа, из которых составлен определитель, называются его элементами; при этом говорят, что элементы a и d составляют главную диагональ определителя, а элементы b и c его побочную диагональ. Видно, что определитель равен разности произведений пар элементов, стоящих на его главной и побочной диагоналях. Определитель третьего и любого другого порядка находится примерно также, а именно: Допустим, что у нас есть квадратная матрица . Определителем следующей матрицы является такое выражение: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31. Как вы видите он просчитывается довольно легко, если запомнить определенную последовательность. С положительным знаком идут главная диагональ и образующиеся из элементов треугольники, имеющие параллельную главной диагонали сторону, в данном случае это треугольники a12a23a31, a13a21a32.

С отрицательным знаком идут побочная диагональ и треугольники ей параллельные, т.е. a11a23a32, a12a21a33. Таким образом находятся определители любого порядка. Но бывают случаи, когда и этот метод становится довольно сложным, например, когда элементов в матрице очень много, и для того, чтобы сосчитать определитель нужно затратить уйму времени и внимания.

Существует более легкий способ вычисления определителя n-ого порядка, где n2. Договоримся называть минором любого элемента Aij матрицы n-ого порядка определитель, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы в результате вычеркивания i-й строки и j-ого столбца (той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij). Минор элемента Aij будем обозначать символом . В этом обозначении верхний индекс обозначает номер строки, нижний - номер столбца, ф черта над M означает, что указанные строка и столбец вычеркиваются. Определителем порядка n, соответствующим матрице, назовем число, равное и обозначаемое символом .

Теорема 1.1 Каков бы ни был номер строки i (i =1, 2…, n), для определителя n-ого порядка справедлива формула

= det A =

называемая разложением этого определителя по i-й строке. Подчеркнем, что в этой формуле показатель степени, в которую возводится число (-1), равен сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij.

Теорема 1.2 Каков бы ни был номер столбца j (j =1, 2…, n), для определителя n-го порядка справедлива формула

= det A =

называемая разложением этого определителя по j-ому столбцу.

2.3 Основные свойства определителей

У определителей также есть свойства, с помощью которых задача их вычисления становится более легкой. Итак, ниже устанавливается ряд свойств, которыми обладает произвольный определитель n-го порядка.

1. Свойство равноправности строк и столбцов. Транспонированием любой матрицы или определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате транспонирования матрицы A получается матрица, называется матрица, называемая транспонированной по отношению к матрице A и обозначается символом A.

Первое свойство определителя формулируется так: при транспонировании величина определителя сохраняется, т.е. = .

2. Свойство антисимметрии при перестановке двух строк (или двух столбцов). При перестановке местами двух строк (или двух столбцов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный. Для определителя второго порядка это свойство проверяется элементарно (из формулы вычисления определителя второго порядка сразу вытекает, что определители отличаются лишь знаком).

3. Линейное свойство определителя. Будем говорить, что некоторая строка (a) является линейной комбинацией двух других строк (b и c) с коэффициентами и . Линейное свойство можно сформулировать так: если в определителе n-го порядка некоторая i-я строка является линейной комбинацией двух строк с коэффициентами и , то = + , где

- определитель, у которого i-я строка равна одной из двух строк линейной комбинации, а все остальные строки те же, что и у , а - определитель, у которого i-я строка равна второй из двух строк, а все остальные строки те же, что и у .

Эти три свойства являются основными свойствами определителя, вскрывающими его природу. Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех основных свойств.

Следствие 1. Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.

Следствие 2. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число a равносильно умножению определителя на это число a. Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя можно вынести за знак этого определителя.

Следствие 3. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Следствие 4. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Следствие 5. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умножение на произвольный множитель , то величина определителя не изменяется. Следствие 5, как и линейное свойство, допускает более общую формулировку, которую я приведу для строк: если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы строки, являющейся линейной комбинацией нескольких других строк этого определителя (с какими угодно коэффициентами), то величина определителя не изменится. Следствие 5 широко применяется при конкретном вычислении определителей.

3. Системы линейных уравнений

3.1 Основные понятия

В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1n x_n = b₁;

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2n x_n = b₂; (4)

……………………………………

a_m1x₁+ a_m2x₂ + …+ a_mnx_n = b_m;

где х₁, х₂, …, х_n - неизвестные, значения которых подлежат нахождению. Как видно из структуры системы (2.1), в общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы. Числа а₁₁, а₁₂, …, а_mn называются коэффициентами системы, а b₁, b₂, …, b_m - её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы а_ij (i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n) и свободные члены b_i (i=1, 2,…, m) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов а_ij соответствует номеру уравнения, а второй индекс - номеру неизвестной х_i, при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена b_i соответствует номеру уравнения, в которое входит b_i.

Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений. Решением системы уравнений (4) называется всякая совокупность чисел б₁, б₂, б_n, которая будучи поставлена в систему (4) на место неизвестных х₁, х₂, …, х_n, обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет по крайней мере два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

3.2 Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1n x_n = b₁;

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2n x_n = b₂; (5)

……………………………………

a_n1x₁ + a_n2x₂ + …+ a_nnx_n = b_n;

Рассмотрим случай, когда ? ? 0. Докажем, что в этом случае система (5) является определенной, т.е. имеет одно единственное решение. Как и ранее, через Аij будем обозначать алгебраическое дополнение элемента аij в определителе ?.

Умножим каждое уравнение системы (5) на алгебраические дополнения элементов i-го столбца определителя ?, т.е. первое уравнение умножим на А_1i, второе - на А_2i и т.д., наконец, последнее уравнение - на А_ni, а затем все полученные уравнения системы сложим. В результате будем иметь

(a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1ix_i + …+ a_1nx_n) A_1i + (a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2ix_i +

+ …+ a_2nx_n) A_2i + …+ (a_n1x₁ + a_n2x₂ + …+ a_nix_i + …+ a_nx_nn) A_ni = b₁A_1i + b₂A_2i + …+ b_nA_ni

или, сгруппировав члены относительно известных x₁, x₂, …, x_n, получим

(a₁₁A_1i + a₂₁A_2i + …+ a_n1A_ni) x₁ + … +

+ (a_1iA_1i + a_2iA_2i + …+ a_niA_ni) x_i + … +

+ (a_1nA_1i + a_2nA_2i + …+ a_nnA_ni) x_n =

= b₁A_1i + b₂A_2i + …+ b_nA_ni. (6)

Коэффициент при неизвестной х_i равен определителю ?, а коэффициенты при всех других неизвестных равны нулю. Свободный член уравнения (6) отличается от коэффициента при х₁ тем, что коэффициенты а_1i, а_2i, …, а_ni заменены свободными членами b₁, b₂, …, b_n уравнения (5). Следовательно, выражение b₁A_1i + b₂A_2i + …+ b_nA_ni есть определитель i-го порядка, отличающийся от определителя только i-м столбцом, который заменен столбцом свободных членов. Обозначив этот определитель ?x_i, будем иметь

a₁₁ a₁₂ … b₁ … a_1n

?x_i = a₂₁ a₂₂ … b₂ … a_2n.

………………………………

a_n1 a_n2 … b_n … a_nn

Таким образом, уравнение (15) можно записать в виде

?х =?x_i, (7)

откуда при ? ? 0

Рассмотренный метод решения системы уравнений называется правилом Крамера, а формулы (8) - формулами Крамера.

3.3 Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в нее уравнения являются линейными однородными уравнениями.

Однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + …+ а_1nх_n = 0;

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + …+ а_2nх_n = 0; (9)

…………………………………

а_n1х₁ + а_n2х₂ + …+ а_nnх_n = 0.

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что однородная система линейных уравнений (9) имеет нулевое решение:

х₁ = 0, х₂ = 0,…, х_п = 0.

Таким образом, однородная система линейных уравнений (9) всегда совместна. Поэтому важно выяснить, при каких условиях она является определенной. Покажем, что однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель ее равен нулю. В самом деле, пусть = 0. Так как однородная система уравнений (9) является частным случаем неоднородной системы, то к ней применимо правило Крамера. Но для однородной системы все x_i = 0, так как каждый из этих определителей содержит столбец из нулей (b_i = 0). Поэтому система, равносильная системе (7), будет иметь вид

_x1= 0, _x2=0;…,_xn= 0

Из этой системы следует, что однородная система (9) имеет единственное нулевое решение, если Д 0; если же = 0, то из условий (7) следует, что она имеет бесчисленное множество решений.

3.4 Метод Гаусса, решения общей системы линейных уравнений

система уравнение матрица гаусс

Практическое значение правила Крамера для решения системы n линейных уравнений с п неизвестными невелико, так как при его применении приходится вычислять п +1 определителей n-го порядка: , _x1, _x2, …,x_n. Более удобным является так называемый метод Гаусса. Он применим и в более общем случае системы линейных уравнений, т.е. когда число уравнений не совпадает с числом неизвестных.

Итак, пусть дана система, содержащая m линейных уравнений с п неизвестными:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + …+ а_1nх_n = b₁;

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + …+ а_2nх_n = b₂; (10)

……………………………………

а_m1х₁ + а_m2х₂ + …+ а_mnх_n = b_m

Требуется найти все решения системы уравнений (10). Будем производить над системой элементарные преобразования: исключение из системы уравнения вида

0х₁ + 0х₂ + …+ 0х_n = 0 (11)

и прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число .

Очевидно, что если мы проделаем над уравнениями системы (10) любое из приведенных выше преобразований, то получим систему, равносильную исходной. При необходимости систему (10) будем подвергать еще одному виду преобразований - перенумерации переменных и уравнений. Идея этого преобразования заключается в следующем. Если, например, возникает необходимость, чтобы в каком-то уравнении системы (например, в k - м) неизвестная x₁ стояла на первом месте, то в результате перенумерации соответствующее уравнение запишется в виде

a_kix₁ +… + a_k2x₂ + … + a_k1x_i+… + a_knx_n = b_k,

т.е. вместо прежней неизвестной х_i мы будем писать х₁, а вместо x₁ - х_i.

Метод Гаусса решения системы (10) заключается в последовательном исключении переменных.

Если среди уравнений системы есть хотя бы одно уравнение вида

0x_l + 0x₂+… + 0x_n= b_, (12)

причем b 0, то совершенно очевидно, что ни одна система значений х₁, х₂…, х_п не удовлетворяет этому уравнению, а следовательно, и системе в целом, поэтому система несовместна.

Пусть теперь система (10) не содержит уравнений вида (11) или (12). Это значит, что в каждом уравнении системы хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Пусть a₁₁0 (в противном случае, применив элементарные преобразования, мы сможем добиться, чтобы первый коэффициент первого уравнения был отличен от нуля). Оставив первое уравнение без изменения, исключим из всех уравнений системы (10), начиная со второго, неизвестную х₁. Для этого из второго уравнения вычтем первое, умноженное на a₂₁/a₁₁, затем из третьего уравнения вычтем также первое, но уже умноженное на a₃₁/a₁₁, и так до последнего уравнения. В результате этих преобразований мы получим равносильную систему

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nх_n = b_1;

а?₂₂х₂ + …+ а?_2nх_n = b?_2;

………………………… (13)

а?_m2х₂ + …+ а?_mnх_n = b?_m

Заметим, что в системе (13) число уравнений может быть и меньше m, так как среди них могут оказаться уравнения вида (11), которые, как мы условились ранее, можно отбросить.

Пусть а₂₂ 0. Применим те же самые рассуждения и исключим из последних п - 2 уравнений системы (12) неизвестную х₂ путем вычитания из третьего уравнения второго, умноженного на a?₃₂/a?_22, из четвертого уравнения - второго, умноженного на a?₃₄/a?₂₂ и т.д. В результате получим систему

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ + …+ а_1nх_n = b_1;

а?₂₂х₂ + а?₂₃х₃ + …+ а?_2nх_n = b?_2;

а??₃₃х₃ + …+ а?₃х_n = b?_3;

……………………………

а?_m3х₃ + … +а?_mnх_n = b?_m.

Продолжая этот процесс, систему (10) приведем к равносильной системе вида

c₁₁х₁ + c₁₂х₂ + c₁₃х₃ + …+ c_1kх_k + …+ c_1nх_n = d_1;

c₂₂х₂ + c₂₃х₃ + …+ c_2kх_k + …+ c_2nх_n = d_2;

c₃₃х₃ + …+ c_3kх_k + …+ c_3nх_n = d_3; (14)

………………………………………

c_kkх_k + …+c_knх_n = d_k.

в которой коэффициенты c_11, c_22,…, c_kk отличны от нуля.

Может оказаться, что в процессе преобразования на каком-то шаге в полученной системе окажется уравнение вида (12). В этом случае система (10) не имеет решений. Предположим теперь, что среди уравнений полученной системы нет уравнения вида (12). Тогда для решения системы (10) необходимо решить систему (14), что не составляет особого труда. Рассмотрим два возможных случая.

1. k = n (это частный случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных). Тогда последнее уравнение системы (14) имеет вид с_ппх_п = d_n, откуда х_п = d_n /c_nn. Подставив это значение в предпоследнее уравнение системы (14), имеющее вид

c_n-1n-1x_n-1 + c_n-1nx_n= d_n-1, найдем значение неизвестной x_n-1 и т.д.; наконец, из первого уравнения найдем неизвестную x₁ Таким образом, в случае k = п система уравнений (10) имеет единственное решение.

2. k < n. Тогда из последнего уравнения системы (14), найдем неизвестную x_k, выраженную через неизвестные х_k+1, х_k+2,… x_n:

x_k = (d_kk - c_{k k+1}x_k+1 - … - c_knx_n).

Подставив это значение неизвестной в предпоследнее уравнение системы (14), найдем выражение для неизвестной х_k-1,и т.д.; наконец, подставив значения неизвестных х_k, х_k-1,… x₂ в первое уравнение системы (14), получим выражение для неизвестной x₁. В результате указанная система уравнений (10) приводится к виду

x₁ = d?₁ + c?_{1 k+1}x_k+1 + …+ c?_1nx_n;

x₂ = d?₂ + c?_{2 k+1}x_k+1 + …+ c?_2nx_n; (15)

………………………………………

x_k = d?_k + c?_{k k+1} x_k+1 + …+ c_knx_n.

Неизвестные х_k+1, х_k+2, …, х_п называются свободными. Им можно придать различные значения и затем из системы (10) найти значения неизвестных х_1, х₂, …, х_k. Таким образом, в случае k < п совместная система уравнений (10) имеет бесчисленное множество решений.

Заметим, что если в процессе приведения системы (10) к системе (15) была произведена перенумерация неизвестных, то в системе (15) необходимо вернуться к их первоначальной нумерации.

Заключение

В процессе работы над рефератом я пользовалась научной литературой, сопоставляла и сравнивала различные точки зрения, выделяла главное. Работа раскрывает какие действия можно выполнять над матрицами, какой путь решения систем линейных уравнений наиболее простой и быстрый, а также охватывает теоретические и практические вопросы, приводятся некоторые примеры в тексте.

Тема решения систем линейных уравнений предлагается на вступительных экзаменах в различные математические вузы, на выпускных экзаменах, поэтому умение их решать очень важно.

Реферат может использоваться как учащимися, так и преподавателями в процессе факультативных занятий, как пособие для самостоятельного изучения по теме «Матрицы, определители, системы линейных уравнений», а также в качестве дополнительного материала.

Список литературы

А.А. Дадаян. Алгебра и геометрия./А.А. Дадаян, В.А. Дударенко. Минск: «Вышэйная школа», 2000 г.

Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц (издание третье)./Ф.Р. Гантмахер. Москва: «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1967 г.

Математический энциклопедический словарь. Москва: «Советская энциклопедия», 1989 г.

Д.К. Фаддеев. «Сборник задач по высшей алгебре» / Д.К. Фадеев, И.С. Саминский. Москва: «Наука», 1997 г.

Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., «Высшая математика для экономистов» М.: Юнити. 2003 г.

Размещено на Allbest.ru