Методы решения систем линейных уравнений

Размещено на http://www. аllbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Системы линейных уравнений

2. Методы решения систем линейных уравнений

2.1 Метод Гаусса (метод последовательного исключения)

2.2 Решение СЛУ по правилу Крамера

2.3 Матричный метод решения СЛУ

2.4 Критерий совместности Кронекера- Капелли

2.5 Графическое решение СЛУ

Решение задач

Список литературы

система линейного уравнения

ВВЕДЕНИЕ

Одной из важнейших и наиболее распространённых задач вычислительной математики является задача решения систем линейных алгебраических уравнений. К ним часто приходят при исследовании самых различных проблем науки и техники, в частности, приближенное решение дифференциальных уравнений обыкновенных и в частных производных сводится к решению алгебраических систем. Число неизвестных n может достигать нескольких десятков, сотен и даже тысяч. К решению систем линейных уравнений сводятся такие группы задач:

- задачи механики (статические, теплотехнические);

- задачи из геодезии, связанные с построением карт на основании данных геодезической съемки;

- системы линейных уравнений - основной аппарат при нахождении значений коэффициентов в эмпирических формулах;

- задачи приближенного решения уравнений, имеющих большое распространение в высшей математике;

- системы линейных уравнений широко используются в области физики и смежных с ней наук: теории относительности, атомной физике, при составлении прогнозов погоды и т.д.

Перечисленные задачи не исчерпывают всех случаев использования систем линейных уравнений, но обнаруживают, насколько часто приходится сталкиваться при решении задач математики и естествознания с необходимостью исследовать и точно или приближенно решить систему линейных уравнений.

В данной работе рассматриваются методы решения систем линейных уравнений (СЛУ). Приведены задачи, решения которых производились согласно приведенным в работе методам.

1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системы линейных уравнений (СЛУ) различаются по числу уравнений и числу неизвестных. Прежде всего, нужно отметить, что совсем не обязательно, чтобы число уравнений m совпадало с числом неизвестных n, как это иногда ошибочно заключают из курса элементарной алгебры. Наряду с системами, в которых выполняется равенство m=n, возможны системы, в которых может иметь место любое из неравенств m>n или m<n. В том частном случае, когда имеет место равенство m=n, это общее значение называется порядком системы. В средней школе основное внимание уделялось системам второго и третьего порядков, в данной работе наряду с такими системами рассмотрены системы более высоких порядков, произвольного порядка n, и системы, в которых m?n.

Системы с небольшим конкретным числом неизвестных (2,3,4 и т.д.) записываются, как в элементарной алгебре - последними буквами латинского алфавита (x,y,z,u,v,w); коэффициенты при неизвестных и свободные члены - первыми буквами того же алфавита (a,b,c,d,e), причем каждой из них присваиваются указатели или индексы, показывающие номер уравнения, в которое входит этот коэффициент или свободный член. Так, системы второго и третьего порядков записываются в виде:

Размещено на http://www. аllbest.ru/

(1)

Размещено на http://www. аllbest.ru/

(2)

В случае систем с произвольным числом неизвестных n такая система обозначений становится неудобной, так как трудно с помощью букв выразить, что число неизвестных равно точно n, какие именно неизвестное занимает в уравнении первое, второе и т.д. место. В этом случае удобнее применить двухиндексную систему обозначений, принятую в высшей алгебре. Неизвестные обозначаются одной и той же буквой (обычно x), которой присваивается индекс, указывающий номер неизвестной в уравнениях системы. Свободные члены обозначаются одной и той же буквой с индексом, который должен указать номер уравнения, в которое входит соответствующий свободный член. Наконец, коэффициенты при неизвестных также обозначаются одной и той же буквой (a,b,c) с двумя индексами, из которых первый должен указать на номер уравнения, а второй - на номер неизвестного, при котором находится данный коэффициент. В соответствии с этими условиями система произвольного порядка n записывается в общем виде так:

Размещено на http://www. аllbest.ru/

(3)

а система m уравнений с n неизвестными:

Размещено на http://www. аllbest.ru/

(4)

Решением СЛУ называется такая совокупность значений неизвестных, входящих в данную систему, которая, будучи подставлена вместо неизвестных в уравнения системы обращает каждое из них в числовое равенство (или тождество, если уравнения содержат буквенные выражения, которые считаются неизвестными). Необходимо при этом помнить, что хотя в совокупность значений неизвестных, дающую решение системы, входит столько чисел (выражений), сколько имеется неизвестных (n?2), но такая совокупность принимается за одно решение; так, например, система чисел x=2, y=-1, z=4 является решением , при том одним, системы

Размещено на http://www. аllbest.ru/

Другим решением этой системы будет система чисел x=3, y=3,z=-7.

Очень важна классификация систем по количеству имеющихся у них решений. Из элементарной алгебры уже известно, что система может иметь более одного решения, но может также не иметь ни одного решения. Так как других случаев вообще не может быть, то приходим к такой классификации систем по количеству решений:

- системы, имеющие одно и только одно решение; такие системы называются определенными;

- системы, не имеющие одно и только одно решение; такие системы называются противоречивыми или несовместными;

- системы, имеющие более одного решения; такие системы называются неопределенными. Любая неопределенная система имеет бесконечно много решений.

Системы определенные и неопределенные носят также общее название совместных систем. Любая совместная система имеет, по крайней мере, одно решение.

Для практического применения наиболее важны определенные системы. Но если СЛУ не является определенной, то этому могут быть две причины: либо она вообще не имеет решений, либо она имеет более одного решения.

Две системы называются равносильными или эквивалентными, если любое решение первой системы является также решением второй системы и, обратно, всякое решение второй системы будет также решением первой системы.

Если в системе все свободные члены равны нулю, то система называется однородной. Особенность такой системы состоит в том, что она всегда совместна, так как ей безусловно удовлетворяет решение, состоящее из нулевых значений неизвестных. Это очевидное решение кратко называют нулевым. Если однородная система - определенная, то нулевое решение является единственным ее решением, если же однородная система - неопределенная, то она наряду с нулевым содержит также, по крайней мере, еще одно ненулевое решение (т.е. такое решение, которое имеет в своем составе хотя бы одно число, отличное от нуля). На практике, как правило, представляют интерес именно ненулевые решения однородных систем.

Пусть в каждом уравнении системы выделили то неизвестное, номер которого совпадает с номером уравнения в системе (например, в системе (2) х в первом уравнении, у - во втором, z - в третьем). Выделенные неизвестные называются диагональными неизвестными, а стоящие перед ними коэффициенты - диагональными коэффициентами.

Так, например, в СЛУ (3) диагональными будут коэффициенты, у которых оба индекса совпадают (а₁₁, а₂₂,…, а_nn).

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛУ

2.1 МЕТОД ГАУССА (МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕНОГО ИСКЛЮЧЕНИЯ)

Наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной.

Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений [1].

Рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

(5)

Для определенности положим, что коэффициент отличен от нуля. Если это не так, то поменяем строки местами или сделаем перенумерацию переменных. Преобразуем систему (5), исключая переменную из всех уравнений, кроме первого. Для этого обе части первого уравнения умножим на и вычтем из соответствующих частей второго уравнения, затем обе части первого уравнения умножим на и вычтем из соответствующих частей третьего уравнения и т.д. В результате придем к новой СЛУ с n неизвестными (6), которая является эквивалентной данной, то есть они или обе несовместны или же обе совместны и обладают одними и теми же решениями.

(6)

Считаем, что среди этих уравнений нет таких, все коэффициенты левых частей которых равны нулю, эти уравнения будем исключать, если , в противном случае система несовместна.

Далее первое уравнение не трогаем, и начинаем работать со вторым. Если коэффициент 0, то начинаем выполнять преобразования, аналогичные предыдущим, в противном случае поменяем строки местами или сделаем перенумерацию переменных. Преобразуем (6), вычитая из обеих частей третьего уравнения и из каждого следующего уравнения обе части второго уравнения, умноженные на числа: соответственно. Этим мы исключим неизвестную из всех уравнений кроме первых двух. В результате получаем систему (7), эквивалентную системе (6), а, следовательно, и системе (5).

(7)

Система (7) содержит уравнений, где т.к. некоторые уравнения могли быть отброшенными.

Данные преобразования выполняем до тех пор, пока не получим СЛУ (8):

Размещено на http://www. аllbest.ru/

(8)

где

В этом случае система совместна, определена при не определена при

Если то (8) имеет вид:

(9)

Система (9) называется системой треугольного (ступенчатого) вида. Она обладает единственным решением, для нахождения которого необходимо из последнего уравнения найти , затем, двигаясь вверх по уравнениям системы определить значения остальных переменных, подставляя уже найденные переменные. Таким образом, система (9), а значит и эквивалентная ей (5) совместны и определены.

Если , то говорят, что система (8) имеет трапециидальный вид и для нее существует бесчисленное множество решений. Чтобы найти общее решение данной системы неизвестные , двигаясь по системе (8) снизу вверх, выражаем через переменные.

называются параметрами или свободными неизвестными. Придавая параметрам различные числовые значения, получим множество частных решений системы.

Данный метод применим к ОСЛУ. Однородная система всегда совместна, так как обладает нулевым решением (0,0 0). Если число неизвестных больше числа уравнений, то система неопределенна.

Рассмотренный метод также называют методом последовательного исключения неизвестных.

2.2 Решение слу по правилу Крамера

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.

Свойства определителей состоят в следующем [1]:

1. Величина определителя не изменится при его транспонировании (перемене мест строк и столбцов).

2. Знак определителя изменится на противоположный, если поменять местами два его параллельных ряда.

3. Определитель, два параллельных ряда которого совпадает, равен нулю.

4. Определитель равен сумме произведений элементов любого ряда определителя на их алгебраические дополнения.

5. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одного ряда, можно вынести за знак определителя.

6. Если определитель ? имеет ряд, составленный из нулей, то ? =0.

7. Если элементы какого- либо ряда определителя ? можно представить в виде суммы, то ? также можно представить в виде суммы определителей.

8. Сумма произведений элементов какого- либо ряда определителя на алгебраические дополнения, отвечающие элементам другого параллельного ряда, равна нулю.

9. Величина определителя не изменится, если к элементам любого ряда прибавить элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило) Крамера

Если определитель системы Д ? 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁, 2-ое уравнение - на A₂₁ и 3-е - на A₃₁:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца .

Далее рассмотрим коэффициенты при x₂:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство:

.

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Д ? 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

2.3 МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СЛУ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными [2]:

Рассмотрим матрицу системы

и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A•X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ? 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A^-1, обратную матрице A: .

Поскольку A^-1A = E и E•X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A^-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A^-1B.

2.4 КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ КРОНЕКЕРА - КАПЕЛЛИ

Система совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы [3].

Пусть дана система уравнений:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +... + a_1n x_n = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +... + a_2n x_n = b₂,

... ... ... ...

a_m1 x₁ + a_m1 x₂ +... + a_mn x_n = b_m. (10)

Здесь а_ij и b_i (i = ; j = ) - заданные, а x_j - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (10) в виде:

AX = B, (11)

где A = (а_ij ) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (10), которая называется матрицей системы, X = (x₁, x₂,..., x_n )^T,

B = (b₁, b₂,..., b_m )^T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных x_j и из свободных членов b_i.

Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c₁, c₂,..., c_n ) называется решением системы (10), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x₁, x₂,..., x_n каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c₁, c₂,..., c_n )^T такой, что AC ? ?B.

Система (10) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.

Матрица ,

образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Вопрос о совместности системы (10) решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера - Капелли

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и? ЇA совпадают, т.е. r(A) = r( Ї?A) = r.

Для множества m решений системы (5.1) имеются три возможности:

1. m = Ш ?(в этом случае система несовместна);

2. m состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной ).

3. m состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (10) имеет бесчисленное множество решений.

Система имеет единственное решение только в том случае, когда r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (m ??n); если m>n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0<r<n, то система является неопределенной.

2.5 ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СЛУ

Выше были рассмотрены наиболее распространенные способы решения СЛУ с помощью вычислений. Интересно также остановиться хотя бы на одном способе графического решения СЛУ, который можно было бы применить к системам любого порядка [4].

В курсе элементарной алгебры изучается один способ графического исследования и решения СЛУ второго порядка, который можно применить к системам с двумя неизвестными независимо от числа уравнений. По этому способу мы строим прямые, соответствующие уравнениям системы. Эти прямые могут:

- пересекаться в единственной точке. Система определенная, решением служит совокупность координат точки пересечения;

- не иметь ни одной общей точки для всех прямых (в случае двух прямых это имеет место при их параллельности). Система несовместна;

- иметь бесконечно много общих для всех прямых точек (если прямые сливаются). Система - неопределенная, совокупность координат любой общей точки всех прямых даст решение системы.

К сожалению, этот удобный и наглядный способ исследования и решения систем не может быть применен к системам уравнений, содержащих более двух неизвестных, т.к. на плоскости нет геометрического образа, который соответствовал бы уравнению с числом неизвестных n?3.

Далее будет приведен способ графического решения СЛУ, пригодный для решения систем любого порядка.

Данный способ графически осуществляет последовательное исключение неизвестных и решение системы треугольной формы.

Так как коэффициенты при неизвестных могут быть как положительными, так и отрицательными, то при их графическом построении числа с противоположными знаками будут откладываться в противоположных направлениях. Положительные числа буту откладываться либо вправо (при горизонтальном положении прямой), либо вверх (при вертикальном положении прямой). Первый коэффициент в уравнении будет считаться положительным (этого можно всегда добиться путем умножения обеих частей уравнения на -1).

1. Пусть требуется исключить одно из неизвестных системы второго порядка вида (1). Коэффициенты при неизвестных мы вправе считать отличными от нуля, т.к. в противном случае система уже имела бы треугольную форму. Мы также будем считать, что а₁>0 и a₂>0.

Выполним такое построение (рис.1): проведем произвольно две параллельные прямые l₁ и l₂, затем выберем на каждой из них начальные точки (соответственно О₁ и О₂) так, чтобы соединяющая их прямая была перпендикулярна к l₁ и l_2. Приняв некоторый отрезок О₁Е за единицу масштаба, отложим на прямой l₁, начиная от точки О₁, последовательно отрезки О₁А₁=а₁, А₁В₁=b₁, B₁D₁=d₁, а на прямой l₂, начиная от точки О₂ - отрезки О₂А₂=а₂, А₂В₂=b₂, B₂D₂=d₂, при этом необходимо учитывать знаки коэффициентов и свободных членов, как выше условлено.

На рис.1 принято, что d₁<0 и b₂<0, а остальные значения положительны. Точки А₁ и А₂, В₁ и В₂, D₁ и D₂ соединим прямыми. Проведем параллельно l₁ (l₂) прямую l и обозначим точки пересечения l с прямыми О₁О₂, А₁А₂, В₁В₂ и D₁D₂ соответственно через О, А, В и D, а числа, измеряющие отрезки ОА, АВ, BD, через a,b,d.

2. Пусть требуется привести к треугольной форме систему третьего порядка вида (2). Выполним построение, аналогичное предыдущему (рис.2): проведем произвольно три параллельные прямые l₁,l₂,l₃ и на каждой из них выберем начальные точки (соответственно О₁, О₂, О₃) так, чтобы они лежали на одной прямой, перпендикулярной к l₁. Выбрав еще единицу масштаба - отрезок О₁Е, отложим на l₁ последовательно отрезки О₁А₁=а₁, А₁В₁=b₁, В₁С₁=с₁, С1D1=d1, на прямой l2 - отрезки О2А2=а2, А2В2=b2, В2С2=с2, С2D2=d2, на прямой l₃- отрезки О₃А₃=а₃, А₃В₃=b₃, B₃С₃=с₃, С₃D₃=d₃. Точки, обозначенные одинаковыми буквами, соединим попарно прямыми (например, В₁ с В₂, В₂ с В₃, В₁ с В₃; на рис. 2 показаны не все прямые).

3. Графическое решение системы треугольной формы. Решение одного уравнения с одним неизвестным.

Пусть требуется графически решить уравнение:

а₁х=d.

Допустим, что задача уже решена и отрезок х уже известен. По сомножителям а₁ (а₁>0) и х можно построить произведение а₁х таким образом (рис.3): на прямой L отмечаем начальную точку О и точки Е и А₁ так, чтобы ЕО=1 ОА₁=а₁. Перпендикулярно к L проводим прямые ОМ и А₁Е; на ОМ откладываем отрезок ОF₁=x, точку F₁ соединяем с Е и проводим ОG₁||EF₁. В результате этого построения мы получим отрезок A₁G₁=a₁x. Действительно, из подобных треугольников EOF₁ и OA₁G₁ устанавливаем:

OF₁:EO=A₁G₁:OA₁,

x :1=A₁G₁:a₁,

A₁G₁=a₁x.

Но заданное уравнение показывает, что a₁x=d₁, где d₁ известно. Отсюда легко получаем способ построения решения уравнения a₁x=d₁. Строим, как указано выше, прямую L, точки О, Е, А₁, прямые ОМ, А₁N и откладываем на A₁N отрезок А₁G₁=d₁; затем соединяем точки G₁ с О и проводим EF₁||OG₁. По доказанному отрезок OF₁ будет выражать неизвестное х.

4. Пусть требуется решить систему второго порядка треугольной формы:

а₁х =d₁,

a₂x+b₂y=d₂.

Пользуясь указанным в п.3 построением, мы найдем отрезок, равный х, являющийся решением первого уравнения системы. Предполагая временно, что известен также отрезок у, покажем, как строится отрезок, выражающий левую часть второго уравнения системы (рис.4).

Построим произвольно прямую L, на ней отметим точки О (произвольно), Е (ЕО=1), А₂ (ОА₂=а₂), В₂ (А₂В₂=b₂); затем перпендикулярно к L проведем прямые ОМ, А₂N и B₂P; на ОМ построим точки F₁ (OF₁=x) и F₂ (OF₂=y) и соединим их с точкой E. После этого проведем OG₂||EF₁ и G₂H₂||EF₂. Убедимся в том, что отрезок В₂Н₂ выражает сумму a₂x+b₂y. Действительно, проведя еще G₂K₂||L и пользуясь подобием треугольников

?EOF₁ ?OA₂G₂ и ?EOF₂ ?G₂K₂H₂,

Мы найдем:

OF₁ :EO = A₂G₂ : OA₂ , x : 1=A₂G₂ : a₂, A₂G₂=a₂x,

OF₂ : EO = K₂H₂ : G₂K₂ , y : 1=K₂H₂ : b₂

(G₂K₂=A₁B₂=b₂), K₂H₂=b₂y

и окончательно

B₂H₂=B₂K₂+K₂H₂=A₂G₂+K₂H₂=a₂x+b₂y.

Но по условию a₂x+b₂y=d₂, т.е. отрезок B₂H₂ должен выражать число d₂. Отсюда легко получить способ построения отрезка y, который мы ранее предполагали известным; после построения прямой L, точек О, Е, А₂, В₂, прямых ОМ, А₂N, В₂Р, точки F₁ и прямых EF₁, OG₂,как показано выше, мы откладываем на прямой В₂Р отрезок В₂Р₂=d₂, соединяем H₂ с G₂ и проводим EF₂||G₂H₂. Отрезок ОF₂, как это следует из приведенного доказательства, будет выражать второе неизвестное у.

Следует отметить, что при практическом решении систем графическим способом нет необходимости для каждого неизвестного строить отдельный чертеж. Всю систему треугольной формы можно решить на одном чертеже.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

1. Решение задач методом Гаусса [2]

Задача №1. Решить систему уравнений.

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

Задача №2. Решить систему уравнений.

Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

Задача №3. Решить систему уравнений.

Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий - при x.

Вернемся к системе уравнений.

Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Задача №4. Решить систему уравнений.

x + y - 3z = 2,

3x - 2y + z = - 1,

2x + y - 2z = 0.

Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

~ ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

x + y - 3z = 2,

-5y + 10z = -7,

- 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим
x = - 0,7.

2. Решение задач по правилу Крамера [1,2]

Задача №5. Решить систему уравнений.

Итак, х=1, у=2, z=3.

Задача №6. Решить систему уравнений при различных значениях параметра р.

Система имеет единственное решение, если Д ? 0.

Поэтому .

1. При

2. При p = 30 получаем систему уравнений ,которая не имеет решений.

3. При p = -30 система принимает вид и, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y, y R.

Задача №7. Решить систему уравнений.

x ₁ + x ₂ + x ₃ + x ₄ = 5,

x ₁ + 2x ₂ - x ₃ + 4x ₄ = -2,

2x ₁ - 3x ₂ - x ₃ - 5x ₄ = -2,

3x ₁ + x ₂ +2x ₃ + 11 x ₄ = 0.

Главный определитель этой системы значит, система имеет единственное решение.

Вычислим вспомогательные определители ?_i ( i = ), получающиеся из определителя ? путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при x _i, столбцом из свободных членов:

Отсюда x ₁ = ?₁ / ?= 1, x ₂ = ?₂ / ?= 2, x ₃ = ?₃ / ?= 3, x ₄ = ?₄ / ?= -1, решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1) ^T

3. Решение задач матричным методом [2,3]

Задача №8. Решить систему уравнений.

Найдем матрицу обратную матрице A.

Таким образом, x = 3, y = - 1.

Задача №9. Решить систему уравнений.

Итак, х₁=4,х₂=3,х₃=5.

Задача №10. Решить матричное уравнение ХА+В=С, где

Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения

Найдем матрицу А^-1.

Проверка:

Задача №11. Решить матричное уравнение ХА+В=С, где

Из уравнения получаем

Следовательно,

4. Исследование систем уравнений по критерию совместности [3]

Задача №12. Исследование системы уравнений и решить ее, если она совместна.

5x ₁ - x ₂ + 2x ₃ + x ₄ = 7,

2x ₁ + x ₂ + 4x ₃ - 2x ₄ = 1,

x ₁ - 3x ₂ - 6x ₃ + 5x ₄ = 0.

Выписываем расширенную матрицу системы:

?? .

Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например, минор второго

порядка в левом верхнем углу = 7 ??0; содержащие его миноры третьего порядка равны нулю

Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. r(A) = 2. Для вычисления ранга расширенной матрицы ??A рассмотрим окаймляющий минор

значит, ранг расширенной матрицы r( ??A) = 3. Поскольку r(A) ??r( ??A), то система несовместна.

5. Решение СЛУ графическим методом [4]

Задача №13. Решить графически систему уравнений.

2х+3у+z=5,

4x+5y-3z=1,

x-5y+2z=12.

Приведем систему к треугольному виду графически. Исключение z произведем из первых двух уравнений.

Решение системы дается отрезками OF₁, OF₂, OF₃. Измерение их показывает, что х=3, у=-1, z=2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Высшая математика: Учебник. - Д.: Сталкер, 1997. - 560 с.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов ВТУЗов. В 2-х ч. Ч.I.- 4-е изд., испр. и доп. - М.: Высш. шк., 1986. - 304 с., ил.

3. Куринной Г.Ч. Математика: Справочник. - Харьков: Фолио; М.: ООО «Издательство АСТ», 2000. - 464 с.

4. Маргулис Б.Е. Системы линейных уравнений. - М.: Государственное издательство физико- математической литературы, 1960. - 97 с.

Размещено на аllbest.ru