Элементы дифференциальной геометрии поверхностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

15

Элементы дифференциальной геометрии поверхностей

Поверхность может быть задана параметрическим векторным параметрическим уравнением

или, эквивалентно, системой параметрических уравнений в координатной форме

.

переход от векторного уравнения к системе координатных уравнений -разложение по базису ,что в случае ортонормированного базиса можно осуществить последовательно умножая векторное уравнение скалярно на базисные векторы . Обратный переход осуществляется умножением координатных уравнений на соответствующие базисные векторы и суммированием полученных векторных равенств.

Точка параметрически заданной поверхности называется неособой, если касательные векторы к координатным линиям на поверхности неколлинеарны: в неособой точке

В координатной форме это условие представимо в виде

или, иными словами,

Поверхность может быть задана явно как график числовой функции двух числовых аргументов, скажем,

Явно заданная поверхность состоит из неособых точек.

Поверхность может быть задана неявно как множество точек удовлетворяющих уравнению вида

Точка неявно заданной поверхности называется неособой ,если в этой точке вектор градиента ненулевой:

Или, иными словами,

В окрестности неособой точки все три способа задания поверхности- параметрический ,явный и неявный- эквивалентны.

Представление явного уравнения в виде системы параметрических уравнений в координатной форме

где первые два уравнения просто сообщают об отождествлении параметров с первыми двумя координатами, показывает, что явное задание это частный случай параметрического.

Запишем систему координатных параметрических уравнений, соответствующих явному заданию поверхности в векторной форме

Этим доказано, сделанное ранее утверждение о том, что явно заданная поверхность состоит из неособых точек.

Обратно, если поверхность задана параметрически, то предположим для определенности, что максимальный ранг матрицы , построенной из координат векторов ,касательных к координатным линиям на поверхности (условие неособости рассматриваемой точки) реализуется на первых двух столбцах:

По теореме об обратной функции это позволяет разрешить первые два уравнения из системы координатных параметрических уравнений

заменив их эквивалентными

где правые части имеют тот же класс гладкости, что и правые части исходных уравнений.

Подстановка этих выражений в третье из системы координатных параметрических уравнений дает

где функция имеет тот же класс гладкости, что и правые части исходных координатных параметрических уравнений.

Т.о. в окрестности неособой точки параметрический и явный способы задания поверхности действительно эквивалентны .

Уравнение

задающее поверхность явно, всегда можно записать в виде неявного уравнения полагая

Поскольку при этом

,

то заданная так неявно поверхность, как и исходная, заданная явно, состоит из особых точек .

Обратно, если поверхность задана неявно, то предположим для определенности, что максимальный ранг матрицы ,построенной из координат вектора градиента образованного производными левой части уравнения поверхности по базисным векторам (условие неособости рассматриваемой точки) реализуется на последней координате

.

По теореме об обратной функции это позволяет разрешить неявное уравнение, заменив его в некоторой окрестности рассматриваемой точки эквивалентным явным уравнением

того же класса гладкости.

Элементарная поверхность - фигура, каждая точка которой имеет окрестность , такую что часть фигуры, содержащаяся в этой окрестности, является элементарной поверхностью.

Параметризация поверхности

где вектор-функция является по меньшей мере непрерывной функцией своих аргументов - вещественных параметров , которые пробегают двумерное множество D, представляющее собой некоторую область (открытое связное множество) на плоскости , и называются гауссовыми координатами на поверхности.

Записывая векторное параметрическое уравнение поверхности

В окрестности заданной неособой точки, отвечающей значениям параметров , с точностью до величин выше первого порядка малости по вектору приращений параметров , получим уравнение плоскости

Соприкасающийся параболоид, параметризованный переменными с вершиной в рассматриваемой точке поверхности

Расстояние от точки на поверхности до параболоида до касательной плоскости более высокого порядка малости, чем квадрат расстояния от рассматриваемой точки поверхности до точки касания:

Форма гладкой поверхности в окрестности неособой точки в первом приближении (с точностью до величин более высокого порядка, чем расстояние до рассматриваемой точки) воспроизводится касательной плоскостью, а во втором приближении (с точностью до величин выше, чем второго порядка по перпендикуляру к касательной плоскости относительно расстояния до рассматриваемой точки) касательным параболоидом. В зависимости от формы последнего , точки поверхности подразделяются на эллиптические, гиперболические, параболические о точки уплощения.

Проекция на касательную плоскость сечения касательного параболоида плоскостями параллельными касательной и удаленными от неё на расстояние 1/2 ? индикатриса кривизны. В координатах уравнение индикатрисы

В точках уплощения индикатриса не существует; в параболических точках состоит из пары параллельных прямых.

Направление в рассматриваемой точке поверхности называется главным (асимптотическим), если оно совпадает с направлением оси (асимптоты) индикатрисы.

Вторая квадратичная форма поверхности? это проекция второго дифференциала радиуса-вектора текущей точки поверхности на нормаль к поверхности:

Квадратичные формы, первую

,

положительно определенную, и вторую

можно одновременно привести к диагональному виду . Для этого, по матрицам

Теорема Виета

полная или гауссова кривизна

средняя кривизна поверхности

главные радиусы кривизны

После привидения к диагональному виду

Поверхности с ?поверхности постоянной кривизны; когда это сферы, когда , это псевдосферы ? поверхности вращения, трактрисами

при вращении вокруг оси абсцисс. Для псевдосферы ?псевдорадиус.

Трактрису описывает конец материального стержня длины ,движущегося под действием силы, направленной вдоль стержня, при условии, что конец свободен, но не отрывается о земли.

Если направить координатные оси в касательной плоскости по главным направлениям, то

(конечное условие могут потребовать изменения масштаба вдоль соответствующих осей), т.ч.

где ?главные кривизны , то обозначая

тоже не дает ничего.

Бонне: две квадратичные формы, из которых одна положительно определена, удовлетворяющих условиям Гаусса-Петерсона-Майнарди-Кодацци определяют поверхность, для которой они являются первой и второй квадратичными формами соответственно, с точностью до положения в пространстве.

Тензор (кривизны) Римана

След тензора кривизны (Римана)?тензор Риччи

След тензора Риччи ?скалярная кривизна

В тензоре кривизны два первых и два последних индекса ,если они расположены на одном уровне , не могут быть одинаковыми ,т.к. при их перестановке тензор меняет знак.

В случае двумерной поверхности единственный независимый компонент тензора кривизны

Для скалярной кривизны имеем

Нет двумерной гравитации, т.к. в двух измерениях (берем псевдо евклидову метрику)

В криволинейном интеграле второго рода часто обозначают

Где

Общая формула Стокса ?формула Ньютона-Лейбница-Грина-Остроградского-Гаусса-Стокса-Пуанкаре

где -дифференциальная ()-форма, -внешний дифференциал формы, -многообразие (можно цепь ) размерности с краем -многообразием(соответственно цепью ) размерности .

Формула Ньютона-Лейбница:криволинейный интеграл второго рода вдоль кусочно-гладкой ориентированной кривой с началом в точке и концом в точке от градиента числового поля ,непрерывно дифференцируемого на этой кривой, равен разности значений поля в конечной и в начальной точках

Функция называется непрерывно дифференцируемой на кривой ,если она непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности носителя этой кривой.

То же самое, записанное в координатной форме , криволинейный интеграл второго рода вдоль кусочно-гладкой ориентированной кривой с началом в точке и концом в точке от дифференциала непрерывно дифференцируемой на этой кривой функции, равен разности её значений в конечной и начальной точках:

где вместо многоточия можно подставить тензорнозначную ф-ю непрерывно дифференцируемую на кривой , т.е. в некоторой окрестности этой кривой . неособая точка градиент лейбниц стокс

Геометрическое определение градиента: проекция на фиксированный орт градиента в точке скалярной ф-и ,непрерывно дифференцируемой в некоторой окрестности точки ,равная пределу отношения разности значения этой ф-ии на концах произвольного отрезка прямой, проходящего вдоль направления орта через точку и содержащегося в указанной окрестности, к длине этого отрезка когда диаметр отрезка стремится к нулю

Формула Остроградскрго-Гаусса: интеграл по объёму ,ограниченному замкнутой кусочно-гладкой ориентируемой поверхностью, от дивергенции векторного поля, непрерывно дифференцируемого на замыкании этого объёма, т.е. на объеме вместе с краем, равен потоку поля через поверхность, ограничивающую объём, и ориентированную внешней нормалью

Геометрическое определение дивергенции

Формула Стокса: поток ротора векторного поля через кусочно-гладкую ориентированную поверхность с кусочно-гладким краем ,ориентированным так , что с конца ориентирующего вектора нормали к поверхности обход края в положительном направлении выглядит происходящим против часовой стрелки ,равен циркуляции этого вектора по краю поверхности

предполагается, что компоненты поля и их производные ,встречающиеся в роторе , непрерывны на поверхности вместе с краем , т.е. в некоторой окрестности этого множества .

В координатной записи формулы Стокса, для сокращения записи, знак внешнего умножения часто подразумевают, но не пишут.

Размещено на Allbest.ru