Связь линейной алгебры с физикой

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Связь линейной алгебры с физикой

Введение

Трудно представить себе образование современного физика без знания и владения основными методами линейной алгебры. Линейной алгебре посвящена обширная литература, имеются прекрасно написанные учебники и задачники. Вместе с тем ощущается недостаток пособий, помогающих студентам выработать навыки решения задач по различным разделам линейной алгебры.

Назначение указаний мы видим в том, чтобы активизировать самостоятельную работу студентов при изучении курса линейной алгебры, помочь активному и неформальному усвоению этого предмета.

Материал указаний разбит на четыре параграфа. В параграфе «Основные понятия и теоремы» приводятся без доказательства основные теоретические сведения (определения, теоремы, формулы), необходимые для решения задач. В параграфе «Контрольные вопросы и задания» содержатся вопросы по теории и простые задачи, решение которых не связано с большими вычислениями, но которые хорошо иллюстрируют то или иное теоретическое положение. Назначение параграфа - дать возможность студенту самому проконтролировать усвоение основных понятий. Предполагается, конечно, что основная работа над теоретическим материалом с проработкой доказательств теорем ведется по учебнику или конспекту лекций. В параграфе «Примеры решения задач» представлены решение типичных задач по изучаемой теме. Назначение параграфа «Задачи и упражнения для самостоятельной работы» отражено в его названии. Из этого раздела подбираются задачи для решения на практических занятиях, для домашних заданий по заданному разделу.

§ 1. Основные понятия и теоремы

Def: Множество V называется линейным (векторным) пространством над числовым полем K, если на множестве V корректно^**) Операция называется корректной на множестве М, если результатом этой операции является элемент множества М.⁾ заданы две операции: одна внутренняя, в дальнейшем именуемая сложением (обозначается или +), другая - внешняя над полем K, в дальнейшем именуемая умножением на скаляр (обозначается ? или ^.), удовлетворяющие аксиомам:

А.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

В. ? х

1) 1K; 1 ? x = x 2) ? (? x) = ()? x.

С. Эти операции связаны соотношениями:

??? x;

?= ??y

Если поле K это R (поле вещественных чисел), то V называется вещественным линейным пространством. Если же поле K это С (поле комплексных чисел), то V называется комплексным линейным пространством.

Элементы линейного (векторного) пространства называются векторами.

Если множество и 1) , 2) ?, то множество W называется подпространством линейного пространства V.

Вектор называется линейной комбинацией векторов е₁, е₂, … , е_k.

Множество всевозможных линейных комбинаций векторов называется линейной оболочкой этих векторов и обозначается ?.

Если ?, то система векторов называется полной в пространстве V.

Система векторов называется линейно-независимой, если тогда и только тогда, когда .

В линейном пространстве V система векторов называется базисом пространства V, если система является:

а) минимальной полной в V или

б) максимальной линейно-независимой в V или

в) полной линейно-независимой в V.

Количество векторов в базисе называется размерностью пространства V и обозначается dim V.

Если в пространстве V задан базис , то такие, что . Такое представление называется разложением вектора х по базису , а числа - координатами вектора х в базисе .

Два линейных пространства V и V называются изоморфными, если между их элементами установлено взаимно-однозначное соответствие , причем такое, что: если и , то и б ? x - б ? x'.

Линейные пространства V и V изоморфны тогда и только тогда, когда dim V = dim V .

Пусть L₁ и L₂ - подпространства V. Тогда суммой L и пересечением N этих подпространств называются:

;

Сумма и пересечение подпространств есть подпространство.

Формула Грасмана: .

линейный алгебра физика неформальный усвоение

Сумма L = L₁ + L₂ подпространств называется прямой суммой (и обозначается ), если представление единственно .

Если L - подпространство V и х₀V, то множество М { x | x = х₀?y, yL} называется линейным многообразием в V. Базис и размерность подпространства L называются базисом и размерностью линейного многообразия М, а вектор х₀V называется вектором сдвига.

Если х₀L (и только в этом случае) М является подпространством пространства V и при этом L М.

Def: Линейное пространство V над числовым полем K называется алгеброй если на нем корректно введена еще одна операция ( или ) такая, что:

со свойствами:

?(? x)( ? y);

;

.

Матрицей порядка n m называется прямоугольная таблица:

.

Здесь (числовое поле) и называются элементами матрицы А. Другое обозначение матричных элементов матрицы А: (А)_ij.

Def: Матрица А, для которой а_ij = a_ji называется симметрической, а а_ij = - a_ji называется кососимметрической (антисимметрической).

Любая квадратная матрица может быть однозначно разложена в сумму симметрической и кососимметрической матриц.

Операции над матрицами:

Умножение на скаляр из поля K: (А)_ij = (А_ij);

Сложение матриц одного порядка: (А + В)_ij = (А)_ij + (В)_ij;

Умножение матриц А_{n x m} ^. В_{m x k}. (Вводится только для матриц у которых количество столбцов у 1^ой матрицы совпадает с количеством строк у 2^ой матрицы): . Это правило в обиходе называют: строка на столбец;

Транспонирование матрицы: ;

Операция комплексного сопряжения (для матриц с комплексными элементами): ;

Операция эрмитового сопряжения (для матриц с комплексными элементами, обозначается ^* или ⁺ ): .

Нетрудно понять, что по операциям 1), 2) и 3) множество квадратных матриц (т.е. матриц порядка n x n) для заданного n образуют алгебру.

§ 2. Контрольные вопросы и задания

Сформулируйте определение линейного пространства и приведите примеры линейных пространств.

Чем отличается вещественное линейное пространство от комплексного? Приведите примеры этих пространств.

Могут ли в линейном пространстве существовать а) два нулевых элемента; б) два элемента противоположных некоторому элементу х? Ответ обоснуйте.

Дайте определение подпространства линейного пространства.

Является ли подпространством линейного пространства V само V?

Докажите, что множество, содержащее только нулевой элемент , является подпространством, причем наименьшим среди подпространств линейного пространства V.

Дайте определение линейной зависимости и линейной независимости элементов линейного пространства.

Являются ли линейно зависимыми элементы линейного пространства V: а) х и 2х; б) х₁, х₂, … , х_n, ? Ответ обоснуйте.

Дайте определение базиса линейного пространства.

Что такое координаты элемента линейного пространства в данном базисе?

Может ли базис содержать нулевой элемент? Ответ обоснуйте.

Дайте определение размерности линейного пространства.

Сколько базисов имеется в n-мерном линейном пространстве?

Что означают слова «между элементами двух множеств установлено взаимно однозначное соответствие»?

Какие линейные пространства называются изоморфными?

Могут ли линейное пространство и его подпространство, не совпадающее со всем пространством, быть изоморфными?

Приведите примеры трех линейных пространств, изоморфных линейному пространству векторов на плоскости.

§ 3. Примеры решения задач

Задача 1. Является ли линейным пространством множество R⁺ (вещественных положительных чисел), если операции на нем введены следующим образом: 1) х, у R⁺ x ? y ? x ^. y; 2) R, х R⁺ ? x ? x.

Здесь в правой части равенств стоят обычные операции умножения и возведения в степень вещественных чисел. Если является линейным пространством, то указать его базис и размерность.

Решение. Обе операции корректны в множестве положительных чисел, так как произведение вещественных положительных чисел и возведение положительного числа в любую вещественную степень дают положительное число. Проверим свойства этих операций:

А. 1) x ? y ? x ^. y = y ^. x ? y ? x.

2) (x ? y ? z) ? (x ^. y) ^. z = x ^. (y ^. z) ? x ? (y ? z).

3) и = 1 x ? и ? x ^. 1 = x.

4) ?хR⁺ y R⁺ у = 1/х | x ? y ? x ^. 1/х ? 1 ? и.

В. 1) 1R 1 ? х ? х¹ = х.

2) ? ( ? х) ? (х) = х ? ( ^. ) ? х.

С. 1) ( + ) ? х ? х ⁺ = х ^. х ? ? х ? ? х.

2) ? (х ? у) ? (х ^. у) = х ^. х ? ? х ? ? у.

В данных выкладках знаками ^. и + обозначены операции в R. Все свойства операций, необходимые для того, чтобы множество R⁺ было линейным пространством выполнены. Следовательно, R⁺ с так введенными операциями есть линейное пространство.

Возьмем х₀ - любое вещественное положительное число (х₀ 1). Тогда ?уR⁺ у = ? х₀ т.е. у является линейной комбинацией х₀. Таким образом, построенное линейное пространство имеет размерность 1 и базисом может служить любое положительное число 1.

При этом log_х0у является координатой вектора у в базисе { х₀}.

Задача 2. Дана однородная система m линейных уравнений с n неизвестными х₁, х₂, …, х_n

.

Доказать, что множество всех решений этой системы является подпространством линейного пространства V_n.

Решение. Решение системы будем записывать в виде х(х₁, х₂, …, х_n). Запишем исходную систему уравнений в виде: .

Пусть и - два решения исходной системы. Рассмотрим вектор х и подставим его в систему . Тем самым доказано, что сумма решений однородной системы линейных уравнений является решением той же системы.

Пусть - решение системы. Рассмотрим вектор и подставим в систему. Получим: , т.е. любое решение системы, умноженное на скаляр, также есть решением той же системы. Следовательно множество решений исходной системы образует линейное подпространство в пространстве V_n векторов вида х(х₁, х₂, …, х_n).

Задача 3. Найти базис и размерность пространства полиномов степени не выше четырех и удовлетворяющих условию: Р(3) = Р(2) = 0.

Решение.

Используя теорему Безу и тот факт, что х = 3 и х = 2 являются корнями многочлена, представим многочлен Р₄(х) в виде:

Р₄ (х) = (х - 2) Р₃( х) = (х - 2)(х - 3) Р₂(х) = (х - 2)(х - 3)(а₀ + а₁х + а₂х²) =

= а₀(х - 2)(х - 3) + а₁х(х - 2)(х - 3) + а₂х²(х - 2)(х - 3)

Из этой формулы следует, что любой полином из рассматриваемого множества является элементом линейной оболочки: ?{(х-2)(х-3), х(х-2)(х-3), х²(х-2)(х - 3)}. Следовательно, система {(х-2)(х-3), х(х-2)(х-3), х²(х-2)(х - 3)} является полной в рассматриваемом множестве полиномов.

Проверим линейную независимость указанной системы:

(а₀ + а₁х + а₂х²)(х - 2)(х - 3) = и т.е. (х - 2)(х - 3) (а₀ + а₁х + а₂х²) ? 0.

Отсюда следует, что

При х = 0 а₀ = 0;

При х = 1 а₁ + а₂ = 0;

При х = -1 - а₁ + а₂ = 0

Решением полученной системы уравнений является а₀ = а₁ = а₂ = 0. Таким образом, система функций {(х-2)(х - 3), х(х - 2)(х - 3), х²(х - 2)(х - 3)} - линейно независима. Итак, множество полиномов степени не выше 4 и удовлетворяющих условиям задачи, образует линейное пространство размерности 3 и с базисом {(х-2)(х - 3), х(х - 2)(х - 3), х²(х - 2)(х - 3)}.

Задача 4. Линейно независима ли система векторов: а₁(1, 2, 3, 4),

а₂(0, 1. 0, 1), а₃(1, - 1, 1, - 1), а₄(4, 1, 6, 3)? Найти эту зависимость.

Решение. Рассмотрим равенство ₁а₁ + ₂а₂ + ₃а₃ + ₄а₄ = . Перейдем в этом равенстве к покоординатной записи. Имеем систему линейных уравнений:

.

Проверим, имеет ли эта система ненулевое решение. Решая данную систему, имеем:

3₁ + ₃ + 6₄ = 2₁ + (₁ + ₃ + 4₄) + 2₄ = 0 ₁ = - ₄ - ₄ + ₃ + 4₄ = 0 ₃ = - 3₄; - 4₄ + ₂ + 3₄ + 3₄ = 0 ₂ = - 2₄.

Следовательно: - ₄а₁ -2₄а₂ - 3₄а₃ + ₄а₄ = 0 и система имеет ненулевое решение. Если ₄ = 1, то а₄ = а₁ + 2 а₂ +3 а₃.

Исходная система векторов линейно зависима.

Задача 5. Доказать, что функции cosx, cos2x, cos3x (x[0, 2]) линейно независимы в пространстве функций непрерывных на [0, 2].

Решение. Допустим, что данные функции линейно зависимы. Тогда существует их линейная комбинация, равная нулевому элементу, т.е. тождественно равная нулю: cosx + cos2x + cos3x 0, причем хотя бы один из коэффициентов , и не равен нулю. Продифференцировав это тождество два раза, а затем четыре раза, приходим к тождествам: cosx + 4cos2x + 9cos3x 0, cosx + 16cos2x + 81cos3x 0. Положив во всех трех тождествах х = 0, получим однородную систему линейных уравнений относительно коэффициентов , и

.

Эта система имеет только нулевое решение = = = 0. Получили противоречие с тем, что хотя бы один из коэффициентов , и отличен от нуля. Следовательно, данные функции линейно независимы.

Задача 6. Найти базис и размерность линейной оболочки ?(а₁, а₂, а₃), где а₁(1, 2, 3), а₂(3, 0, - 1), а₃(- 1, 10, 17).

Решение. 1) Рассмотрим линейную комбинацию а₁, а₂, а₃ и приравняем ее к и: а₁ + а₂ + а₃ = и; (1, 2, 3)+(3, 0, - 1) + г(- 1, 10, 17) = (0, 0, 0)

.

Из 2-ого уравнения системы получим, что = - 5г; подставляя значение в 1-ое уравнение системы, имеем: - 5г + 3- г = 0 т.е. = 2г; тогда: -5га₁ + 3а₂ - га₃ = 0 т.е. а₃ = 5а₁ - 2а₂. Так как а₃ является линейной комбинацией а₁ и а₂, то система {а₁, а₂, а₃} и система {а₁, а₂} будут одновременно линейно зависимы или линейно независимы.

2) Рассмотрим линейную комбинацию

а₁ + ва₂ = и (1, 2, 3) + (3, 0, -1) = и, т.е.

 = = 0.

В силу того, что система уравнений и имеет только нулевые решения, заключаем, что векторы а₁ и а₂ линейно независимы. Следовательно dim?(a₁, a₂, a₃)=2, а ее базисом может служить, например, система {а₁, а₂}.

Задача 7. Найти все матрицы перестановочные с матрицей

.

Решение. Матрицу перестановочную с А будем искать из равенства:

.

Перемножая матрицы в правой и левой частях равенства, получаем систему линейных уравнений:

.

Учитывая это, заключаем, что искомая матрица имеет вид:

,

где , , произвольные вещественные числа. Из этой записи видно, что множество всех матриц перестановочных с исходной образуют линейное пространство размерности 3 и с базисом:

.

Задача 8. Найти координаты вектора х(4, 7, 4) в базисе {a₁, a₂, a₃}, где a₁(2, 3, 1), a₂(1, - 1, 0), a₃(0, 2, 1).

Решение. Пусть х = a₁ + a₂ + a₃. Тогда, переходя к координатной записи, получим:

= 1, = 2, = 3.

Таким образом х = а₁ + 2а₂ + 3а₃. Это значит, что вектор х в базисе {a₁, a₂, a₃} имеет координаты х(1, 2, 3).

Задача 9. Найти базис и размерность L₁ + L₂ и L₁ ? L₂, где L₁ = ?{a₁(2, 1, -1), a₂(3, 5, 4), a₃(1, -3, -6)}, а L₂ = ?{b₁(-1, 1, 2), b₂(6, 5, 1), b₃(7, 4, - 1)}.

Решение. 1) Выясним, является ли система {a₁, a₂, a₃} линейно независимой. Из равенства a₁ + a₂ + a₃ = следует, что

.

Тогда =- 2, = 1, = 1. Следовательно, -2a₁ + a₂+ a₃ = a₃ = 2 a₁ - a₂. Из этого вытекает, что ?{a₁, a₂, a₃} = ?{a₁, a₂} dim ?{a₁, a₂} = 2.

2) Выясним, является ли система {b₁, b₂, b₃} линейно независимой. Из равенства b₁ + b₂ + b₃ = следует, что

.

Тогда = -1, = 3, =1. Следовательно, - b₁ + 3b₂ +b₃ = b₃ = b₁ - 3b₂. Из этого вытекает, что ?{b₁, b₂, b₃} = ?{b₁, b₂} dim ?{b₁, b₂} = 2.

3) Найдем векторы принадлежащие L₁ ? L₂. Если х L₁ ? L₂ то х = а₁ + а₂ = b₁ + b₂. Последнее равенство эквивалентно системе

.

Из решения системы следует, что = , = 2, = . То есть 2а₁ + а₂ = = b₁ + b₂ = ^.(3, 5, 1). Следовательно, L₁ ? L₂ = ?{3, 5, 1}.

Тогда dim L₁ ? L₂ = 1; dim (L₁ + L₂) = dim L₁ + dim L₂ - dim L₁ ? L₂ = 3.

Базисом L₁ + L₂ может служить, например, система векторов {а₁, а₂, b₁}.

§ 4. Задачи и упражнения для самостоятельной работы

1. Показать, что множество всех полиномов от х степени не выше n с числовыми коэффициентами является линейным пространством относительно обычных операций сложения многочленов и умножения многочлена на число.

2. Будет ли линейным пространством с обычными операциями множество многочленов от х степени равной n?

Нет. Например, для многочленов 3^ей степени

и сумма будет многочленом 2^ой степени

3. Образует ли множество радиус-векторов на плоскости, концы которых находятся в первой четверти, линейное пространство (с обычными операциями)?

Нет. Например, умножение элемента данного множества на < 0 выводит за пределы этого множества

4. Образуют ли линейное пространство все полиномы от х степени не выше 5, у которых коэффициент при х³ равен 0? Да.

5. Образуют ли линейное пространство все полиномы от х степени не выше 5, у которых коэффициент при х³ равен 1? Нет.

6. Образуют ли линейное пространство функции f(x), которые на [a, b] удовлетворяют условию: . Да.

7. Образуют ли линейное пространство все непрерывные функции такие, что: а) f(1) = 0; б) f(1) = 1? а) да; б) нет.

8. Образуют ли линейное пространство все дифференцируемые функции y(x), для которых y(0) = y(0)? Да.

9. Образуют ли линейное пространство все векторы A_n (x = (₁, ₂, …, _n)) у которых: а) ₁ = 2₂ ; б) ₁ = 2₂ +1? а) да; б) нет.

10. Образуют ли линейное пространство все решения уравнения: а) ; б) ? а) да; б) нет.

11. Образует ли вещественное линейное пространство множество R⁺, если х ? у ? tg(arctgx + arctgy) и ? х ? tg(arctgx). нет.

12. Доказать, что в пространстве непрерывных на [a, b] функций, функции линейно независимы, если различные вещественные числа.

13. Доказать, что если система линейно независима, то любая ее подсистема также линейно независима.

14. Пусть векторы линейно независимы. Доказать, что векторы также линейно независимы.

15. Доказать, что если векторы линейно независимы, а векторы линейно зависимы, то вектор y есть линейная комбинация векторов .

16. Доказать, что если линейно независимы и вектор y не может быть представлен как линейная комбинация , то система линейно независимая.

17. Выполнить действия над матрицами:

а) ; б) ;

в);

г) ;

д) .

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

18. Разложить матрицы в сумму симметрической S и кососимметрической А:

а) ; б) ; в) .

а) ;; б) ;

; в) ; .

19. Найти:

а) ; б) .

а) ; б) .

20. Найти произведение матриц:

а) ; б) .

а) ; б) .

21. Найти произведение матриц:

а) ; б) ; в) ;

г) ;

д) .

а) ; б) 4; в) ; г) ; д) .

22. Вычислить произведение матриц:

а) ; б) ;

в) ; г) .

а) ; б) ; в) ; г) .

23. Вычислить произведения матриц:

а) ; б) ;

в) ;

г) .

а) ; б) ; в) ; г) .

24. Пусть ; ; . Проверить, что . .

25. Даны матрицы:;

. Найти .

; ; ; ;

.

26. Для заданных пар матриц проверить выполняется ли равенство: :

а) ; б) ; в)

. а) да; б) нет; в) нет.

27. Показать, что для матрицы А: :

а) ; б) ; в) .

28. Если , то . Вычислить , если:

а) ; ;

б) ; ;

в) ; ;

г) ; .

а) ; б) ;; в) ; г).

29. Проверить, что для матриц Паули: , . Справедливы следующие соотношения:

а) ;

б) ;

в) ; г) .

30. Показать, что все матрицы перестановочные с матрицей: имеют вид: , где - произвольные числа.

31. Найти все матрицы перестановочные с матрицей:

а) ; б) ; в) .

а) ; б) ; в) .

32. Для матриц и найти: а) ; б) .

а) ; б) .

33. Выяснить, образует ли данное линейное множество функций на произвольном отрезке [a, b] линейное пространство относительно обычных операций сложения и умножения на число:

а) множество С_{[a, b]} функций непрерывных на [a, b];

б) множество С¹_{[a, b]} функций непрерывно дифференцируемых на [a, b];

в) множество R_{[a, b]} функций интегрируемых по Риману на [a, b];

г) множество функций, ограниченных на [a, b];

д) множество функций таких, что ;

е) множество функций неотрицательных на [a, b];

ж) множество функций таких, что ;

з) множество функций таких, что ;

и) множество функций таких, что ;

к) множество функций, монотонно возрастающих на [a, b];

л) множество функций, монотонных на [a, b].

а) да; б) да; в) да; г) да; д) нет; е) нет; ж) да; з) нет; и) нет; к) нет; л) нет.

34. Выяснить, является ли подпространством данное множество векторов в n-мерном арифметическом пространстве и если является, то найти его размерность:

а) множество векторов, у которых первая координата равна 0;

б) множество векторов, у которых все координаты равны между

собой;

в) множество векторов сумма координат которых равна 0;

г) множество векторов сумма координат которых равна 1;

д) множество векторов плоскости параллельных данной прямой;

е) множество векторов трехмерного пространства, перпендикулярных

данной прямой;

ж) множество векторов плоскости с модулем, не превышающем

единицу;

з) множество векторов плоскости, образующих угол с данной

прямой.

а) да, n -1; б) да, 1; в) да, n-1; г) нет; д) да, 1; е) да, 2; ж) нет; з) при = 0 и = /2 - да, 1;

при (0, = /2) - нет.

35. Является ли линейным подпространством соответствующего линейного пространства каждая из соответствующих совокупностей векторов:

а) все векторы n-мерного пространства с целыми координатами;

б) все векторы плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей

координат Ох или Оу;

в) все векторы начала и концы которых лежат на данной прямой;

г) все векторы трехмерного пространства, концы которых не лежат на

данной прямой.

а) нет; б) нет; в) да; г) нет.

36. Доказать, что следующие системы векторов образуют линейные подпространства, и найти их базис и размерность:

а) все n-мерные векторы, у которых первая и последняя координаты

равны между собой;

б) все n-мерные векторы у которых координаты с четными номерами

равны нулю;

в) все n-мерные векторы, у которых координаты с четными номерами

равны между собой;

г) все n-мерные векторы вида , где и - лю-

бые числа.

а) n-1; (1, 0, … , 0, 1), (0, 1, 0, … , 0), (0, 0, 1, 0, … , 0), (0, 0, … , 0, 1, 0); б) [(n+1)/2];

(1, 0, 0, , … , 0), (0, 0, 1, 0, … , 0), (0, 0, 0, 0, 1, 0, … , 0)…; в) [(n+1)/2]+1; (0, 1, 0, 1, 0,1, …),

(1, 0, 0, … , 0), (0, 0, 1, 0, … , 0), (0, 0, 0, 0, 1, 0,… , 0)…; г) 2; (1, 0, 1, 0, 1, … ),

(0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, … ).

37. Выяснить, является ли данное множество квадратных матриц порядка n линейным подпространством в пространстве всех квадратных матриц порядка n и, если является, то найти его размерность:

а) множество матриц с нулевой первой строкой;

б) множество диагональных матриц;

в) множество верхних треугольных матриц;

г) множество симметрических матриц;

д) множество кососимметрических матриц.

а) да, n(n-1); б) да, n; в) да, n(n+1)/2; г) да, n(n+1)/2; д) да, n(n-1)/2

38. Установить, являются ли следующие совокупности векторов подпространствами:

а) совокупность всех векторов n-мерного пространства (n 2), у которых, по крайней мере, одна из первых двух координат равна нулю;

б) совокупность всех векторов n-мерного пространства, у которых первые две координаты и удовлетворяют уравнению: ;

в) совокупность всех векторов n-мерного пространства, у которых первые две координаты удовлетворяют уравнению: ;

г) все векторы плоскости, концы которых лежать на одной прямой, а начало совпадает с началом координат;

д) все векторы, являющиеся линейными комбинациями данных векторов из .

а) нет; б) да; в) нет; г) да, если прямая проходит через начало координат; нет, если прямая не проходит через начало координат; д) да.

39. В пространстве полиномов степени не выше 3 является ли подпространством совокупность полиномов, удовлетворяющих условию:

а) ; б) .

Если да, то какова его размерность и базис?

а) да; 3; Базис: 1, (х²-1), (х²-1) х; б) да; 3; Базис: х, х²+1, х³+2

40. В пространстве полиномов степени не выше 3, найти базис и размерность подпространства L полиномов, удовлетворяющих условиям:

а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

a) dim L = 2; ; б) dim L = 2; ;

в) dim L = 2; ; г) dim L = 3; ;

д) dim L = 3; .

41. В пространстве полиномов степени не выше трех является ли подпространством совокупность полиномов, таких, что . Найти базис и размерность этого пространства.

а) да; 2; Базис: (х²-1), (х²-1) х.

42. Доказать, что при любом данное множество функций образует конечномерное линейное пространство, найти размерность и указать базис этого пространства:

а) множество четных полиномов, степени не выше n;

б) множество нечетных полиномов, степени не выше n;

в) множество тригонометрических полиномов порядка не выше n, т.е.

множество функций вида:

;

г) множество четных тригонометрических полиномов порядка не выше n;

д) множество нечетных тригонометрических полиномов порядка не выше n;

е) множество функций вида:

,

где - фиксированное вещественное число.

а) [n/2]+1; базис: 1, х², х⁴, … , х^2[n/2]; б) [(n+1)/2]; базис: х, х³, … , х^2[(n+1)/2]-1; в) 2n+1;

базис: 1, cosx, sinx, … , cosnx, sinnx; г) n+1; базис: 1, cosx, … , cosnx; д) n; базис:

sinx, sin2x, … , sinnx; е) 2n+1; базис: e^x, e^xcosx, e^xsinx,… , e^xcosnx, e^xsinnx.

43. Доказать, что данное множество функций образует бесконечномерное линейное пространство:

а) множество всех полиномов;

б) множество всех тригонометрических полиномов;

в) множество функций непрерывных на некотором отрезке.

44. Выяснить, будут ли данные векторы линейно зависимы или нет:

а) а(1, 3, 1), b(-1, 1, 3), c(-5, -7, 3);

б) а(2, -1, -2), b(6, -3, 1);

в) а(2, -1, 7, 3), b(1, 4, 11, -2), c(3, -6, 3, 8).

а) да; 3а -2b + с = 0; б) нет; в) да; 2а -b - с = 0 .

45. Какие из следующих систем векторов линейно независимы, и найти эту зависимость:

а) а(1, 3), b(2, 6); б) а(1, 3), b(2, 5);

в) а(2, -1, -2), b(6, -3, -6); г) а(2, 5), b(4, 0);

д) а(2, 5), b(4, 10), c(-6, -15);

е) а(1, 2, 3, 4), b(1, 0, 1, 2), c(3, -1, -1, 0), d(1, 2, 0, -5).

а) да; 2а -b = 0; б) нет; в) да; 3а - b = 0; г) нет; д) да; а + b + с = 0; е) нет.

46. Найти линейные зависимости между векторами:

а) (-1, 2i), (3, 2), ) (1- i, -2 - 2i); б)(-1, 2i), (-1, 1), ) (1 + i, 3);

в) (1, - i, 1 + i), (1, 0, 3i), (-1, 2i, -2 + i).

а) а₃ = (-1 + i) а₁; б) ; в) а₃ = -2а₁ + а₂.

47. Найти размерность и базис линейных подпространств натянутых на системы векторов:

а) а₁(1, 0, 0, -1), а₂(2, 1, 1, 0), а₃(1, 1, 1, 1), а₄(1, 2, 3, 4), а₅(0, 1, 2, 3);

б) а₁(1, 1, 1, 1, 0), а₂(1, -1, -1, -1, -1), а₃(2, 2, 0, 0, -1), а₄(1, 1, 5, 5, 2),

а₅(1, -1, -1, 0, 0).

а) 3; базис: а₁, а₂, а₄; б) 3; базис: а₁, а₂, а₅.

48. Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно независимыми или нет:

а) а₁(1, 2, 3), а₂(3, 6, 7); б) а₁(4, -2, 6), а₂(6, -3, 9);

в) а₁(2, -3, 1), а₂(3, -1, 5), а₃(1, -4, 3); г) а₁(5, 4, 3), а₂(3, 3, 2), а₃(8, 1, 3);

д) а₁(4, -5, 2, 6), а₂(2, -2, 1, 3), а₃(6, -3, 3, 9), а₄(4, -1, 5, 6);

е) а₁(1, 0, 0, 2, 5), а₂(0, 1, 0, 3, 4), а₃(0, 0, 1, 4, 7), а₄(2, -3, 4, 11, 12).

а) нет; б) да; в) нет; г) да; д) да; е) нет.

49. Какова размерность пространства решений уравнения:

а) ; б)

а) 1; б) 2.

50. Докажите, что следующие системы функций линейно независимы

а) sinx, sin2x, sin3x; б) 1, e^x, e^2x, e^3x.

51. Пусть R⁺ линейное пространство положительных чисел, в котором х ? у ? х ^. у, а ? х ? х. Доказать, что в R⁺ любые х и у линейно зависимы.

52. Выявить линейные зависимости между векторами:

а) (1, 3), (3, 2), (-11, 16);

б) (1, 1, 1, 1),(1, 1, 1, 3), (3,-5, 7, 2), (1,-7, 5,-2);

в) (4, 3, 1), (1, 2, 3), (2, -1, -5);

г) (1, 1, 1, 1), (1, 1, 2, 2), (0, 0, 1, 1), (2, 2, 3, 3).

а) а₃ = 10 а₁ - 7а₂; б) а₄ = а₃ - а₂ - а₁; в) а₃ = а₁ - 2а₂; г) а₃ = а₂ - а₁; а₄ = а₂ + а₁.

53. Векторы e₁, e₂, … , e_n в X заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что e₁, e₂, … , e_n сами образуют базис и найти координаты вектора х в этом базисе:

а) e₁(1, 1, 1), e₂(1, 1, 2), e₃(1, 2, 3), x = (6, 9, 14);

б) e₁(2, 1, -3), e₂(3, 2, -5), e₃(1, -1, 1), x = (6, 2, -7);

в) e₁(1, 2,-1,-2), e₂(2, 3, 0, -1), e₃(1, 2, 1, 4), e₃(1, 3, -1, 0), x=(7, 14, -1, 2);

а) (1, 2, 3); б) (1, 1, 1); в) (0, 2, 1, 2).

54. Найти координаты вектора х в базисе e₁, e₂, e₃: e₁(1. 3. 5), e₂(6, 3, 2), e₃(3, 1, 0), если:

а) х(3, 7, 1); б) х(0, 0, 1); в) х(2, 3, 5).

а) (33, -82, 154); б) (-3, 8, -15); в) (-1, 5, -9).

55. Найти координаты функции в базисе .

56. Линейное пространство полиномов степени не выше n. Показать, что 1, (х-1), (х-1)², … , ), (х-1)ⁿ образуют базис этого пространства. Найти в этом базисе координаты многочлена:

а) 2 + 3х - 5х² + 4х⁵; б) а₀ + а₁х + ^… + а_nхⁿ;

а) (4, 13, 35, 40, 20, 4, 0, 0, …); б) .

57. Найти размерность и базис линейной оболочки системы полиномов: (1 + t)³, t³, 1, t + t².

3; базис: (1 + t)³, t³, 1.

58. Доказать, что матрицы образуют базис в пространстве квадратных матриц 2^го порядка и найти координаты матрицы в этом базисе.

(-1, 2, -1, 1).

59. Доказать, что многочлены 2t + t⁵, t³ - t⁵, t + t³ образуют базис в пространстве нечетных полиномов степени не выще 5 и найти координаты полинома 5t - t³ + 2t⁵ в этом базисе.

( 4, 2, -3).

60. Проверить, что матрицы образуют базис в пространстве квадратных матриц 2^го порядка. Матрицу представить, как линейную комбинацию базисных матриц.

В = 2А₂ + А₃ + 2А₄.

61. Доказать, что пространство квадратных матриц порядка n является прямой суммой подпространства симметрических матриц и подпространства кососимметрических матриц того же порядка.

62. Доказать, что пространство многочленов степени не выше n является прямой суммой четных многочленов степени не выше n и подпространства нечетных многочленов степени не выше n.

63. Доказать, что n-мерное линейное пространство является прямой суммой подпространства векторов. Все координаты которых равны между собой и подпространства векторов сумма координат которых равна нулю.

64. Доказать, что сумма L двух подпространств P и Q тогда и только тогда будет прямой суммой, когда хотя бы один вектор хL однозначно представляется в виде х = y + z, где уP, zQ.

65. Пусть P и Q два линейных подпространства конечномерного линейного пространства V. Доказать, что:

а) dim P + dim Q > n = dim V xV, x , xPQ;

б) dim P + dim Q = dim PQ + 1, то одно из этих подпространств

содержится в другом.

66. Доказать, что для любого линейного подпространства P конечномерного линейного пространства V, существует другое подпространство Q такое, что V = PQ.

67. Найти размерность суммы и размерность пересечения линейных подпространств натянутых на системы векторов {a_i} и {b_i}:

а) а₁(1, 2, 0, 1), а₂(1, 1, 1, 0); b₁(1, 0, 1, 0), b₂(1, 1, 1, 1);

б) а₁(1, 1, 1, 1), а₂(1, -1, 1, -1), а₃(1, 3, 1, 3); b₁(1, 2, 0, 2), b₂(1, 2, 1, 2),

b₃(3, 1, 3, 1).

а) 3; 1; б) 3; 2.

68. Найти базисы суммы и пересечения пространств натянутых на системы векторов {a_i} и {b_i}:

а) а₁(1, 2, 1), а₂(1, 1, -1), а₃(1, 3, 3); b₁(2, 3, -1), b₂(1, 2, 2), b₃(1, 1, -3);

б) а₁(1, 1, 0, 0), а₂(0, 1, 1, 0), а₃(0, 0, 1, 1); b₁(1, 1, 1, 1), b₂(1, 0, 1, -1),

b₃(1, 3, 0, -4);

в) а₁(1, 2, 1, -2), а₂(2, 3, 1, 0), а₃(1, 2, 2, -3); b₁(1, 1, 1, 1), b₂(1, 0, 1, -1),

b₃(1, 3, 0, 4);

г) а₁(1, 1, 0, 0), а₂(0, 1, 0, 1), а₃(0, 0, 1, 1); b₁(1, 0, 1, 0), b₂(0, 2, 1, 1),

b₃(1, 2, 1, 2).

а) {а₁, а₂, b₁}; {2а₁ + а₂ = b₁ + b₂ = (3, 5, 1)}; б) {а₁, а₂, а₃, b₂}; {а₁ + а₃ = b₁ = (1, 1, 1, 1)};

в) {а₁, а₂, а₃, b₂}; {b₁ = -2а₁ + а₂ + а₃ ; b₃ = 5а₁ - а₂ - а₃ }; г) {а₁, а₂, а₃, b₂}; {b₁ = а₁ - а₂ + а₃ =

= (1, 0, 1, 0); 2а₁ + 2а₃ = b₁ + b₃ = (2, 2, 2, 2)}.

69. Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств пространства многочленов степени не выше 3, натянутых на системы многочленов:

1 + 2t + t³, 1 + t + t², t - t² + t³ и 1 + t², 1 + 3t + t³, 3t - t² + t³.

сумма: 3; базис: {1 + 2t + t³, 1 + t², 1 + t + t²}; пересечение: 1; базис: {2 + 3t + t² + t³}.

70. а) Доказать, что если в n-мерном комплексном линейном пространстве рассматривать умножение векторов лишь на вещественные числа, то получим 2n-мерное вещественное пространство;

б) В двумерном комплексном арифметическом пространстве рассматривается операция умножения лишь на вещественные числа. Найти базис в полученном вещественном пространстве и координаты вектора (-3 + 2i, -i) в этом базисе.

б) базис: {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)}; (-3 + 2i, -i) = (-3, 2, 0, -1).

71. Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств комплексного n-мерного арифметического пространства, натянутых, на системы векторов {a_i} и {b_j}:

а) n = 3; а₁(1, 2, 3), а₂(1, -2, i), а₃(2, 0, 3 + i); b₁(1, 0, 3i), b₂(1, 4, 3 + i),

b₃(-1, 4, 3 - 4i);

б) n = 3; а₁(1, - i, 1 + i), а₂(1, 0, 3i), а₃(-1, 2i, -2 + i); b₁(1, -2, i),

b₂(2, 1 + i, - i), b₃(-1, 4, 3 - 4i);

в) n = 4; а₁(1, 1, 1, 1), а₂(1, 2, 1, 3 - i), а₃(2, 3, 2, 4 - i), а₄(1, 1, 1, 1 - i);

b₁(0, 1, 0, 3 - i), b₂(0, 2, 0, 5 - 2i, - i), b₃(0, 2 + i, 0, 6 + i), b₃(1, 4+i, 5-i, -2- i).

a) 3; базис: а₁, а₂, b₁; 1; базис: (0, 4,3-i); б) 3; базис: а₁, а₂, b₁;1; базис: (9+10i, 2-16i,-10-3i);

в) 4; базис: а₁, а₂, а₂, b₄; 2; базис: b₁, b₂ .

72. Доказать, что множество многочленов степени не выше n с комплексными коэффициентами можно рассматривать и как комплексное линейное пространство и как вещественное линейное пространство. В обоих случаях найти:

а) базис и размерность;

б) координаты многочлена в найденном базисе

(при n = 2).

a) Комплексное пространство: dim V = n+1, базис: 1, t, t², … tⁿ; Вещественное пространство:

dim V = 2n + 2, базис: 1, i, t, it, … tⁿ, itⁿ ; б) Комплексное пространство: (1-2i, 3+i, -3);

Вещественное пространство: (1, -2, 3, 1, -3, 0).

73. Для заданных матриц А и В найти А^{+ .}В, если:

а) ;

б);

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

е) .

74. Произвести действия с матрицами:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д).

a) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

75. Квадратная матрица с комплексными элементами называется эрмитовой, если ; и называется унитарной, если .

Квадратная матрица с вещественными элементами называется самосопряженной, если ; и называется ортогональной, если .

Для следующих матриц установить какими из указанных выше характеристик они обладают:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) .

a) ортогональная; б) ортогональна и самосопряженная; в) самосопряженная; г) эрмитова;

д) эрмитова; е) ортогональная; ж) ортогональная; з) ортогональная.

76. Найдите n для указанных ниже пространств, если известно, что эти пространства изоморфны пространству V₆:

а) для пространства симметричных nхn - матриц с нулевыми диагональными элементами;