Вектори та їхні властивості

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вектори та їхні властивості

План

1. Напрямлені відрізки

2. Поняття вектора. Операції над векторами

3. Лінійна залежність векторів

4. Розмірність простору. Поняття базису

5. Системи координат. Поняття орієнтації

1. Напрямлені відрізки

Напрямлені відрізки і їхня рівність

Одним з основних понять геометрії є поняття відрізка - множини точок прямої, що містить дані точки і , а також точки цієї прямої, що знаходяться між ними. Кінці відрізка - точки і - абсолютно рівноправні. Тому кожну з цих точок можна вибрати в якості першої, отже, відрізки і як множини точок збігаються:

. (1.1)

Однак, у різних додатках геометрії виникає необхідність визначати, який з кінців відрізка є першим, а який - другим. Такі відрізки, у яких є початок і кінець, мають не тільки певну довжину, але також задають деякий напрямок. Тому для них прийнята назва напрямлені відрізки. При позначенні напрямлених відрізків першою позначають точку - початок відрізка, а другою - точку, що є кінцем відрізка. Так, напрямлений відрізок починається в точці і закінчується в точці . Звідси випливає головна відмінність звичайних відрізків від напрямлених відрізків - це залежність від порядку точок: напрямлений відрізок не дорівнює напрямленому відрізкові :

, (1.2)

принаймні тому, що точка у одного з них є кінцем відрізка, а другого - началом відрізка, а точка - навпаки.

Найпростішим прикладом напрямлених відрізків, зокрема у фізиці, є переміщення матеріальної точки. Для цієї величини природним чином уводиться поняття початку спрямованого відрізка - точки, в якій рух почався, і кінця спрямованого відрізка - точки, в якій рух закінчився. Крім того, переміщення має основні дві характеристики напрямлених відрізків - напрямок і відстань. Ці ж властивості є і у багатьох інших фізичних величин - сили, прискорення і т.д. Тому їх теж можна навести як приклад напрямлених відрізків.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1.1. Від відрізка до напрямлених відрізків. Аналогії з переміщенням і силою

Приклад переміщення дозволяє наочно ввести поняття рівності напрямлених відрізків. Коли говорять, що два тіла зробили однакове переміщення, то мають на увазі, що вони перемістилися в однаковому напрямку і на однакову відстань. Використання поняття „однаковий напрямок” вимагає введення поняття однонапрямлених напрямлених відрізків. Це можна зробити різними способами. Зокрема, відрізки і будемо вважати однонапрямленими, якщо вони паралельні (), а кінці відрізків (точки і ) лежать з одного боку від прямої, що з'єднує початки відрізків (пряма ). Якщо кінці паралельних відрізків виявилися з різних боків відносно прямої, що з'єднує початки відрізків, то такі напрямлені відрізки називаються протилежно напрямленими: . Взаємний напрям відрізків і у випадку, коли точки , , і належать одній прямій, розглянуто у додатку 1 до підручника.

Тепер можна дати визначення рівності напрямлених відрізків. Будемо називати напрямлені відрізки рівними, якщо їхні довжини і напрямки збігаються:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Наведене визначення рівності напрямлених відрізків не є єдиним. Користуючись властивостями паралелограма, можна дати ще кілька визначень рівності напрямлених відрізків. Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні і паралельні, то напрямлені відрізки, побудовані на цих сторонах, будуть однакові:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Властивість діагоналей паралелограма, точка перетину яких поділяє їх навпіл, також може використовуватися при визначенні рівності напрямлених відрізків:

Размещено на http://www.allbest.ru/

З кожного з цих визначень випливає одна чудова властивість рівності напрямлених відрізків, що надалі допоможе нам доводити велику кількість теорем.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ця властивість, а також визначення для наочності показані на рис.1.2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1.2. Рівність напрямлених відрізків

Додавання напрямлених відрізків

Поняття переміщення послужить нам ще раз для введення однієї з важливих операцій, яку можна робити з напрямленими відрізками, - операції додавання.

Представимо, що матеріальна точка здійснює два послідовні переміщення. Спочатку - із точки в точку , потім - із точки в точку .

Повне переміщення з точки в точку можна назвати сумою переміщень з у і з у , практично в тому значенні, у якому ми називаємо сумою результат додавання двох чисел. Продовжуючи цю аналогію і на напрямлені відрізки, уведемо поняття суми напрямлених відрізків:

. (1.3)

У цьому визначенні важливим є те, що кінець першого відрізка збігається з початком другого відрізка , а сумарний відрізок виходить з початку першого відрізка і закінчується у кінці другого відрізка. Тобто, сума напрямлених відрізків є результатом послідовного «додавання» одного відрізка до іншого. З геометричної побудови (див. рис. 3) видно, що результат додавання двох напрямлених відрізків і є третьою стороною трикутника, побудованого на доданках як на сторонах. Таке правило побудови суми напрямлених відрізків називається правило трикутника, і виникло воно з визначення (1.3). У той же час, очевидно, що відрізок напрямлений по діагоналі паралелограма , побудованого на відрізках і як на суміжних сторонах. Цей спосіб обчислення суми двох напрямлених відрізків називається правило паралелограма. Воно має глибокі фізичні аналогії і виникло при обчисленні сумарної сили, діючої на тіло.

Поняття суми відрізків допоможе нам далі навчитися множити напрямлені відрізки на числа.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1.3. Додавання напрямлених відрізків і множення їх на числа

Добуток напрямлених відрізків на число. Нульовий напрямлений відрізок

Давайте тепер складемо два однакові напрямлені відрізки. З одного боку, результат буде зрозумілий, тому що ми уже визначили поняття додавання. Результуючий напрямлений відрізок буде мати той же напрямок, що і початкові відрізки, а по довжині буде в два рази більше. З іншого боку, додавання двох однакових величин нагадує нам множення на число 2. Тому цілком логічним виглядає наступний запис, що ми будемо розглядати як визначення:

вектор відрізок простір базис координата

, якщо . (1.4)

Як уже було сказано, по напрямку відрізок колінеарний відрізкові , а по довжині - у два рази більше: . Ці співвідношення можна узагальнити для добутку спрямованого відрізка на будь-яке позитивне число в такий спосіб:

. (1.5)

Тепер складемо відрізок і відрізок . Ми одержимо спрямований відрізок, що починається і закінчується в одній і тій же точці . Якщо використовувати поняття переміщень, це відповідає ситуації, коли тіло нікуди не перемістилося, або, іншими словами, зробило нульове переміщення. Таке трактування допомагає нам ввести поняття нульових напрямлених відрізків, що у повній відповідності з правилами додавання векторів (1.3) задаються в такий спосіб:

. (1.6)

Нульовому напрямленому відрізкові серед інших відрізків відведена така ж роль, як і нуль у множині дійсних чисел. Для нас найбільш важливим з цих властивостей є використання нуля для визначення протилежних величин. Нагадаємо, що, наприклад, від'ємне число визначається як число, протилежне числу 4, тобто як число, що у сумі з числом 4 дає нуль:

.

Зробимо аналогічно і з напрямленими відрізками. Напрямлений відрізок зі співвідношення (1.6) будемо називати відрізком, протилежним відрізкові , тому що він у сумі з відрізком дає нульовий вектор.

Далі, діючи в повній аналогії з множиною дійсних чисел, запровадимо, по-перше, зручний запис для протилежних векторів:

, (1.7)

а по-друге, використовуємо цей запис для визначення добутку напрямлених відрізків на від'ємні числа:

. (1.8)

Це визначення остаточно дозволяє нам увести поняття множення напрямленого відрізка на будь-яке дійсне число:

. (1.9)

Очевидно, що це визначення може бути записане і так:

 .

Недоліки визначень операцій із напрямленими відрізками

Давайте розглянемо два напрямлені відрізки, і , що мають однаковий напрямок, а довжина в два рази більша, ніж довжина . Ці напрямлені відрізки задають однаковий напрямок, а задає в два рази більша відстань, ніж . Але чи можна в цьому випадку стверджувати, що

?

Таке ж питання виникає, якщо ми захочемо застосувати правило паралелограма при додаванні двох відрізків, які не виходять з однієї точки, або застосувати правило трикутника при додаванні двох відрізків, коли другий відрізок не виходить з кінця першого.

Для подолання цих труднощів можна запропонувати такий вихід. Нехай якийсь відрізок, наприклад, , дорівнює подвоєному відрізкові : і, крім того, якийсь відрізок дорівнює . У цій ситуації ми можемо постулювати (або прийняти по визначенню), що напрямлений відрізок також дорівнює подвоєному відрізкові . Такий постулат, з одного боку, цілком природний, тому що нагадує ланцюжок рівностей:

, .

З іншого боку, цей постулат не очевидний, тому що він не застосовний до таких простих аналогій для напрямлених відрізків, як переміщення (які складаються, якщо відбуваються послідовно) і сили (які складаються, якщо прикладені до однієї матеріальної точки).

Таким чином, ми повинні відмовитися від простих аналогій - переміщень і сил - для того, щоб перейти до таких більш абстрактних понять, як напрямлені відрізки. Таке узагальнення нагадує одне із знайомих математичних узагальнень, коли ми від додавань певних об'єктів переходимо до додавання натуральних чисел.

Однак після такого узагальнення, результатом операцій є не якийсь певний напрямлений відрізок, а всі рівні між собою відрізки, кожний з яких (або хоча б один із яких) є результатом цієї операції. Тобто, якщо

і , то .

Причиною цього є те, що ми в поняття рівності відрізків заклали тільки збіг їхніх довжин і напрямків, а не вимагали, щоб рівні відрізки виходили з однієї точки. Бачимо, що якщо ми цікавимося тільки відстанню і напрямком, то конкретний напрямлений відрізок з таким напрямком і довжиною, як математичний об'єкт, несе зайву інформацію, а саме з якої точки він виходить. Будь-який інший рівний йому напрямлений відрізок задає той же напрямок і має таку ж довжину, і він у цьому смислі нітрохи не гірше першого відрізка. Більш того, з кожної точки простору можна побудувати направлений відрізок, що дорівнює вихідному відрізкові, і кожний з цих відрізків буде задавати ті ж напрямок і відстань, але при цьому кожен з них буде нести і зайву інформацію про свою початкову точку.

Тоді як математичний об'єкт, що задає тільки лише напрямок і відстань (і не «прив'язаний» до якоїсь точки простору) можна узяти всю цю множину рівних між собою напрямлених відрізків.

Ця множина, звичайно, є досить абстрактним поняттям, її навіть не можна намалювати або вимірити, як напрямлений відрізок, але при цьому вона є корисним і важливим математичним поняттям. Така множина рівних між собою напрямлених відрізків називається вектор, і вивченню властивостей векторів ми присвятимо першу частину курсу аналітичної геометрії.

На закінчення розділу для освоєння лінійних операцій над напрямленими відрізками спробуйте розв'язати таку задачу.

Задача 1.1. Уявіть напрямлений відрізок, що з'єднує будь-які дві точки на рисунку у вигляді лінійної комбінації відрізків і , які зазначені на рисунку. Наприклад: .

Спробуйте одержати загальну формулу для довільного напрямленого відрізка:

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1.4. До задачі 1.1

2. Поняття вектора. Операції над векторами

Визначення вектора

У попередньому розділі ми намагалися ввести таку математичну величину, яка б визначала деякий напрямок і зсув у цьому напрямку. Напрямлені відрізки не підійшли для цього, тому що вони залежать ще і від точок, від яких відкладені. Тому ми об'єднали всі рівні між собою напрямлені відрізки в одну множину. Оскільки як початкові точки для цих відрізків були узяті всі точки простору, то жодна з них не виявилася виділеною, і, отже, така множина цілком може вважатися об'єктом, який визначає тільки напрямок і відстань. Така множина була названа вектором.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вектори надалі будуть позначатися маленькими жирними буквами, і визначення вектора може бути записане в наступному вигляді:

, де (2.1)

Запис позначає, що вектор складений із напрямлених відрізків, рівних . Але оскільки ці напрямлені відрізки рівні між собою, то вони визначають той самий вектор. Тобто, той же вектор може бути записаний у наступному вигляді: , якщо . Зв'язок вектора з визначальним його напрямленим відрізком нижче ми будемо записувати у спрощеному вигляді:

. (2.2)

Такий запис позначає, що вектор складається з напрямлених відрізків, рівних . У той же час, ми будемо часто застосовувати в деякому смислі і протилежний запис:

. (2.3)

Ця рівність позначає, що напрямлений відрізок - це відкладений від точки відрізок, що належить векторові як множині напрямлених відрізків.

Оскільки нульові напрямлені відрізки теж можуть бути об'єднані в одну множину рівних між собою нульових напрямлених відрізків, то вони теж складають деякий вектор. Такий вектор називають нульовий вектор, і позначається він у такий спосіб:

. (2.4)

Оскільки вектор складається з рівних напрямлених відрізків, то ті властивості, що однакові в цих відрізках, можуть бути перенесені на вектор і можуть бути названі властивостями цього вектора. До таких властивостей відносяться рівність напрямлених відрізків, їхня довжина і напрямок.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.1. Визначення вектора

Рівність векторів

Ми ввели нове поняття - вектор, і тепер вивчимо, які властивості є у цих об'єктів, як їх можна між собою порівнювати і які операції над ними можна робити.

Оскільки вектор є множиною, то цілком логічно порівнювати вектори між собою як множини - за елементами. Тобто називати рівними такі вектори, у яких рівні визначальні їхні напрямлені відрізки. Очевидно, що для цього досить порівняти хоча б один із напрямлених відрізків одного вектора з яким-небудь відрізком іншого вектора. Якщо ці відрізки виявляться рівними, то відповідно до визначення вектора кожний із напрямлених відрізків одного вектора буде збігатися з будь-яким напрямленим відрізком іншого вектора. Тоді такі множини будуть еквівалентними, а ці вектори можна назвати рівними між собою. Дамо визначення рівності векторів.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Довжина вектора

Однією з властивостей, загальною для всіх напрямлених відрізків одного вектора, є їхня довжина. Тому перенесення цієї властивості на всю множину виглядає цілком закономірним. У цьому випадку ми можемо, наприклад, замість фрази «Цей вектор складається з напрямлених відрізків довжиною 5 см» сказати: «Цей вектор має довжину 5 см». Довжину вектора будемо позначати таким же значком, як і довжину напрямлених відрізків.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тепер, коли ми узагальнили на вектори таку властивість напрямлених відрізків, як довжина, можна узагальнити на вектори й операції з напрямленими відрізками.

Сума векторів

Незважаючи на те, що вектор є множиною, в якості суми векторів береться не об'єднання множин, що відповідають цим векторам, а використовується узагальнення суми напрямлених відрізків цих векторів. Для початку потрібно довести, що при додаванні рівних відрізків виходять однакові результуючі відрізки. А потім отримані рівні напрямлені відрізки поєднуються в якийсь вектор, що і називають сумою вихідних векторів.

Візьмемо для прикладу два вектори і і з напрямлених відрізків цих векторів складемо суми напрямлених відрізків і . Якщо відрізки і виявляться рівними між собою, то вектор , складений з них, можна буде визначити як суму векторів і . Тепер залишилося тільки переконатися, що .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доведення____________________________________________________

Відповідно до властивості 1:

(T1.1)

. (Т1.2)

З цих співвідношень маємо:

 і . (Т1.3)

Використовуючи ще раз властивість 1, дістаємо:

. (Т1.4)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.2. До теореми 1

_____________________________________________________________

Таким чином, суми рівних напрямлених відрізків рівні між собою і тому цілком можуть бути об'єднані у вектор. Такий вектор називається сумою вихідних векторів.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Множення вектора на число

Узагальнимо на вектори операцію множення на число напрямлених відрізків.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для того, щоб переконатися в можливості такого визначення, необхідно довести, що в результаті добутку кожного з напрямлених відрізків вихідного вектора будуть отримані рівні між собою напрямлені відрізки. Тільки в цьому випадку їх можна буде об'єднати у вектор. Для цього досить довести теорему, яка аналогічна теоремі 1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доведення ___________________________________________________

Розглянемо тільки окремий випадок добутку на позитивне число. Відповідно до визначення добутку напрямленого відрізка на число маємо:

і . (Т2.1)

Далі для напрямків дістаємо:

і . (Т2.2)

Аналогічно для рівності довжин:

і . (Т2.3)

Остаточно із співвідношень (Т2.1) і (Т2.2) і визначення рівності напрямлених відрізків одержуємо:

і . (Т2.3)

Аналогічне доведення і для випадку .

Напрямок вектора. Орт

Рівні напрямлені відрізки, що формують один вектор, крім довжини збігаються ще і за напрямком. Тому напрямок, поряд з довжиною, також міг бути відмітною характеристикою вектора як множини напрямлених відрізків.

На вектори переносять такі властивості напрямлених відрізків, як паралельність (коллінеарність), однакову та протилежну спрямованість. При цьому, для позначення цих властивостей використовують ті ж позначення, наприклад:

і , тоді . (2.5)

Крім того, для векторів використовуються поняття паралельності площині та компланарності, маючи на увазі, що такі якості мають напрямлені відрізки, відповідні даному вектору. Зокрема, компланарними є вектори, якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні одній площині.

Якщо не цікавитися довжиною вектора, то для завдання напрямку вектора можна використовувати однаково напрямлений з ним вектор одиничної довжини. Значення таких векторів дуже велике як у самій геометрії, так і в її різних застосуваннях. Тому такі вектори одержали спеціальну назву і позначення. Вектор, який однонапрямлений даному векторові і має одиничну довжину, позначається , називається орт і визначається таким чином:

. (2.6)

Для нульових векторів, довжина яких дорівнює нулю, орти не визначені.

Відповідно до визначення, орти мають одиничну довжину , і за допомогою свого орта будь-який вектор може бути записаний у наступному вигляді:

. (2.7)

Задача на застосування поняття орта

Поняття орта є одним з основних понять в аналітичній геометрії і векторній алгебрі. При цьому введення ортів допомагає вирішувати велику кількість практичних задач. Розберемо тут один з таких прикладів.

Задача 2.1

Побудувати вектор , напрямлений по бісектрисі кута, утвореного двома заданими векторами і .

Для розв'язку цієї задачі досить використовувати правило паралелограма, згадавши при цьому, що діагональ у паралелограмі є бісектрисою, якщо паралелограм є ромбом, тобто всі його сторони виявляються рівними. Тому досить від векторів і перейти до векторів і , що напрямлені також як і , відповідно, але мають однакові довжини . Як вектори і можна взяти орти векторів і : і . Тоді шуканий вираз для вектора буде виглядати так:

.

Безумовно, можна запропонувати й інший розв'язок цієї задачі, наприклад:

, тощо.

Властивості лінійних операцій над векторами

Тепер ми можемо навести властивості векторів стосовно операції додавання векторів і множення вектора на число. Деякі з цих властивостей можна довести, користуючись наведеним вище визначенням векторів.

У той же час, при побудові більш загальної теорії (у векторній алгебрі) ці властивості можна розглядати як набір аксіом властивостей векторів, як деякої групи об'єктів, які можна складати між собою і множити на числа.

Властивості 1, 2, 5, 6, 7 можуть бути доведені після переходу до напрямлених відрізків і використанням теорем 1 і 2, властивості 3 і 4 обговорювалися для напрямлених відрізків (розділ 1) і для векторів можуть розглядатися як постулати.

Найбільш красивим, очевидно, є доведення асоціативності додавання векторів, тому ми його розглянемо.

Доведення асоціативності додавання векторів_____________________

Візьмемо три вектори , , і від заданої точки відкладемо по черзі напрямлені відрізки, відповідні цим векторам:

, і . (Ас.1)

Введемо напрямлені відрізки і . Очевидно, що

. (Ас.2)

Але , а . Оскільки напрямлені відрізки і рівні між собою, то рівні між собою і відповідні їм вектори:

. (Ас.3)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.3. Сполучна властивість додавання векторів

Размещено на http://www.allbest.ru/

3. Лінійна залежність векторів

Поняття лінійної залежності векторів

Однією з задач аналітичної геометрії є переклад геометричних понять на мову чисел. Іншими словами, різні геометричні співвідношення, які ми звикли сприймати візуально, наприклад, перетин прямих, можуть бути виражені за допомогою різних числових співвідношень. В ідеалі, аналітична геометрія дозволить розв'язувати геометричні задачі без жодної графічної побудови.

Одним із простих таких прикладів є приклад паралельності. Для того щоб описати паралельність алгебраїчною мовою, можна використовувати поняття добутку векторів на числа. Адже відповідно до визначення добутку при множенні вектора на число ми одержуємо вектор, паралельний вихідному. Таким чином, якщо нам дані два паралельні ненульові вектори , ми завжди зможемо підібрати таке число , що . З іншого боку, можна підібрати таке число , що . Щоб не виникало питання, яке з цих рівнянь краще, можна запропонувати такий симетричний запис:

. (3.1)

Якщо , то можна підібрати такі коефіцієнти і , що лінійна комбінація дорівнює нулю. Зокрема, можна використовувати вже знайдені коефіцієнти, наприклад, і або і , а також багато інших.

Тепер представимо, що вектори і не колінеарні. Тоді після множення на будь-які ненульові числа і вектори, що утворюються - , - також будуть не колінеарними, і тому в сумі ніколи не зможуть дати нуль:

, і . (3.2)

Іншими словами, лінійна комбінація , у випадку, коли і не паралельні між собою, може дорівнювати нулю тільки при і .

Поняття паралельності векторів несе в собі ще одне значення. У випадку, якщо вектори паралельні, ми можемо виразити один вектор через інший (наприклад ). Іншими словами, можна сказати, що один вектор залежить від іншого. Але тією ж мірою можна сказати, що перший вектор залежить від другого. Тому про такі вектори говорять, що вони лінійно залежні. Два непаралельні вектори не можуть бути виражені один через одного, тому їх називають лінійно незалежними векторами.

Як ми тільки що показали, поняття лінійної залежності (паралельності для двох векторів) може бути описано алгебраїчним виразом . Необхідно тільки з'ясувати, чи дорівнює нулю ця комбінація тільки при і або існують ненульові значення коефіцієнтів і , з якими ця лінійна комбінація дорівнює нулю. У першому випадку вектори і є лінійно незалежними векторами, а в другому - лінійно залежними.

Використання алгебраїчних виразів типу (3.1) є зручним тому, що вони дозволяють узагальнити поняття, практично очевидні в простих випадках, на більш складні ситуації. Наприклад, поняття паралельності і лінійної залежності двох векторів інтуїтивно пов'язані з співвідношенням (3.1). У той же час, співвідношення типу (3.1) дозволяють узагальнити поняття лінійної залежності на випадок будь-якої кількості векторів, причому навіть на такі системи векторів, у яких поняття паралельності не може бути наочно уявлено.

Дамо загальне визначення лінійної незалежності векторів.

Размещено на http://www.allbest.ru/

З такого визначення випливає, що якщо вектори лінійно незалежні, то жоден з них не можна виразити через інші. Тобто ми не можемо підібрати такі коефіцієнти, щоб можна було, наприклад, перший з векторів виразити через інші:

. (3.3)

Якби такий запис був можливий, то така система векторів була би вже лінійно залежною, тому що хоча б один вектор залежить (лінійно) від інших. Дамо тепер визначення лінійної залежності системи векторів.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Чудова властивість є у нульового вектора . Його можна представити у вигляді лінійної комбінації будь-яких векторів. Для цього досить зробити всі коефіцієнти рівними нулю:

. (3.4)

Таке рівняння справедливе для будь-яких векторів і при будь-якій їхній кількості. Звідси можна робити висновок, що якщо система векторів містить нульовий вектор, то ці вектори - лінійно залежні, тому що один з них, а саме нульовий вектор, завжди можна виразити через інші за допомогою співвідношення (3.4). Представимо цей результат у вигляді такої теореми.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доведення____________________________________________________

Нехай один з векторів, наприклад, () дорівнює нулю: . Виберемо коефіцієнти в такий спосіб: коефіцієнт при нульовому векторі не дорівнює нулю , а інші коефіцієнти дорівнюють нулю (при ). При такому виборі коефіцієнтів лінійна комбінація . Оскільки нам удалося скласти лінійну комбінацію векторів , у якій хоча б один з коефіцієнтів не дорівнює нулю , то ця система векторів лінійно залежна.

Припустимо, що ми маємо систему лінійно залежних векторів, для якої нам удалося підібрати лінійну комбінацію, що дорівнює нулю. Тоді додавання до цієї системи будь-якого іншого вектора не “зіпсує” лінійної залежності цієї системи. Дійсно, ми завжди можемо новий вектор помножити на нуль і додати отриманий нульовий вектор до вихідної лінійної комбінації. Значення нової лінійної комбінації знову буде дорівнювати нулю, а виходить, нова система векторів також буде лінійно залежною. Цей результат може бути представлений за допомогою наступної теореми.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доведення____________________________________________________

Нехай перші векторів лінійно залежні. Це значить, що існує рівна нулю лінійна комбінація цих векторів, серед коефіцієнтів якої є такий, що не дорівнює нулю:

, . (Т4.1)

Коефіцієнти при інших векторах виберемо рівними нулю:

, при . (Т4.2)

Складемо з цими коефіцієнтами лінійну комбінацію усіх векторів:

. (Т4.3)

Використовуючи співвідношення (Т4.1) і (Т4.2) для , одержуємо:

. (Т4.4)

Оскільки нам удалося скласти лінійну комбінацію векторів , у якій хоча б один з коефіцієнтів не дорівнює нулю , то ця система векторів лінійно залежна.

Доведені тільки що теореми допоможуть нам при дослідженні властивостей будь-яких векторних просторів - векторів на прямій, на площині й у просторі. У нашому курсі ми будемо обмежуватися такими просторами, для яких теореми і визначення мають наочне уявлення у вигляді, наприклад, напрямлених відрізків або комбінацій кольорів на зображеннях, які є цифрованими. Це допоможе в подальших курсах математики, фізики або комп'ютерних наук узагальнити практично всі ці поняття і теореми на випадок просторів з більшою розмірністю і навіть на випадок нескінченно розмірних просторів.

Почнемо практично з найпростішого геометричного простору - прямої лінії. Як ми уже відзначали, будь-які два вектори, паралельні одній прямій, можуть бути виражені один через одного. Доведемо з цього приводу наступну теорему:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доведення____________________________________________________

Доведення проводимо в три етапи. Спочатку доведемо, що з лінійної залежності двох векторів випливає їхня паралельність, а потім - що паралельні вектори лінійно залежні. Окремий випадок, що залишився, - це випадок, коли один з векторів дорівнює нулю - доводиться тривіально за допомогою теореми 3.

1. Нехай два вектори і - лінійно залежні. Це значить, що існують такі числа і , що

, (Т5.1)

і при цьому, принаймні, одне з них не дорівнює нулю (нехай ). Тому що , то вектор можна представити в такий спосіб:

. (Т5.2)

Тоді з визначення добутку вектора на число одержуємо, що вектори і - паралельні.

Доведемо зворотне:

2. Нехай і жоден з векторів не дорівнює нулю. Тоді, використовуючи визначення добутку вектора на число, ми можемо записати вектор у наступному вигляді:

. (Т5.3)

Знак «+» у цьому виразі відповідає випадку, коли вектори і мають однаковий напрямок, а знак «-» - випадку протилежної направленості цих векторів.

Переписавши це співвідношення іншим чином:

, (Т5.4)

ми одержуємо лінійну комбінацію векторів і , яка дорівнює нулю і має хоча б один ненульовий коефіцієнт. Отже, відповідно до визначення 8 вектори і - лінійно залежні.

3. Якщо ж хоча б один з векторів дорівнює нулю, то вони лінійно залежні, принаймні в силу теореми 3.

Висновок: З цієї теореми випливає, що на прямій досить задати тільки один ненульовий вектор, і всі інші вектори можуть бути виражені через нього. Цей, основний, вектор буде задавати пряму, до якої паралельні усі вектори, а кожен вектор буде відрізнятися від інших тільки своєю довжиною і (або) напрямком, тобто відрізнятися один від одного тільки числом, на яке потрібно помножити основний вектор, щоб одержати даний вектор. Таким чином, якщо на прямій заданий деякий основний (іншими словами - базисний) вектор, то будь-які вектори на цій прямій можна однозначно задавати числами і, головне, працювати з ними як зі звичайними числами. При цьому навіть застосовують запис, у якому вектор представляється тільки числом, на яке треба помножити основний вектор, щоб одержати даний вектор.

Нехай, наприклад, задані пряма і базисний вектор (нагадаємо, що ). Тоді будь-які вектори і , і , і, наприклад, можуть бути записані в такому вигляді:

, , …, ... (3.5)

Коефіцієнти перед базисним вектором однозначно визначають заданий вектор і називаються координатою даного вектора. Наприклад, вектор може бути записаний у вигляді , і його координата дорівнює, природно, числу .

Тепер ми можемо перейти до більш складного, ніж пряма, простору - до площини.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доведення____________________________________________________

Спочатку ми доведемо, що з лінійної залежності трьох векторів випливає їхня компланарність (тобто паралельність одній площині). Нехай три вектори , і - лінійно залежні. Це значить, що існують такі числа , і , що

, (Т6.1)

і при цьому, принаймні, одне з них не дорівнює нулю (нехай ). Оскільки , то вектор можна представити в такий спосіб:

. (Т6.2)

Тоді з визначення добутку вектора на число і суми векторів одержуємо, що вектори , і лежать в одній площині, і виходить, компланарні.

Тепер доведемо, що компланарності трьох векторів досить для їхньої лінійної залежності. Для цього розглянемо спочатку окремі випадки, а потім і загальний випадок.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3.1. Лінійна залежність трьох компланарних векторів

Якщо серед векторів є нульовий, то система векторів є лінійно залежною в силу теореми 3.

Якщо серед векторів є колінеарні вектори, то вони лінійно залежні в силу теореми 6, а всі три вектори лінійно залежні в силу теореми 4, відповідно до якої система векторів, що містить підсистему лінійно залежних векторів, сама є лінійно залежною.

Тепер ми маємо право розглянути систему з трьох векторів , і , серед яких немає ні нульових, ні попарно колінеарних векторів. Виберемо на площині точку і відкладемо від неї напрямлені відрізки, рівні вихідним векторам:

, і . (Т6.3)

Проведемо з точки прямі і , паралельні прямим і відповідно:

і . (Т6.4)

Оскільки прямі , і не паралельні між собою, то існують точки перетину прямої з і прямої з :

 і . (Т6.5)

З побудови очевидно, що напрямлений відрізок є сумою напрямлених відрізків і :

. (Т6.6)

У той же час відрізок є паралельний відрізкові , і, отже, відповідно до теореми 5 існує таке число , що . У такий же спосіб можна показати, що існує число , яке виражає відрізок через відрізок :

. Тепер ми можемо переписати співвідношення (Т6.6) у такий спосіб:

, (Т6.7)

безпосередньо виразивши відрізок через і . Це співвідношення однозначно переноситься на відповідні вектори:

. (Т6.8)

Тепер нам залишається перенести усі вектори в ліву частину співвідношення, для того щоб праворуч з'явився нуль:

. (Т6.9)

Таким чином, нам удалося підібрати рівну нулю лінійну комбінацію векторів , і , у якій один з коефіцієнтів, а саме одиниця перед вектором , не дорівнює нулю. Звідси випливає, що система векторів , і лінійно залежна.

Висновок: З цієї теореми випливає, що якщо на площині задані два ненульові та не колінеарні вектори і , то будь-який вектор , паралельний цій площині, може бути представлений у вигляді лінійної комбінації векторів і :

. (3.6)

Вектори і у цьому випадку можна, як і в одномірному випадку, назвати базисними векторами, числа і - координатами вектора . Ми це зробимо трохи пізніше, коли переконаємося в однозначності вибору самих координат. А зараз узагальнимо попередню теорему на вектори в нашому звичайному просторі.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доведення____________________________________________________

1. Розглянемо чотири вектори , , і , серед яких немає компланарних. Виберемо в просторі точку і відкладемо від неї напрямлені відрізки, рівні вихідним векторам:

, , і . (Т7.1)

Проведемо з точки пряму , паралельну прямій :

. (Т7.2)

Оскільки прямі , і не паралельні між собою, то існують точки перетину прямої із площиною :

. (Т7.3)

З побудови випливає, що напрямлений відрізок є сумою напрямлених відрізків і :

. (Т7.4)

У той же час відрізок є компланарний відрізкам і , і, отже, відповідно до теореми 6 існують такі числа і , що . Відповідно до теореми 5, існує число , що виражає відрізок через відрізок : . Тепер ми можемо переписати співвідношення (Т7.4) у такий спосіб:

, (Т7.5)

безпосередньо виразивши відрізок через , і . Це співвідношення однозначно переноситься на відповідні вектори:

. (Т7.6)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3.2. Лінійна залежність чотирьох векторів у просторі

Тепер нам залишається перенести усі вектори в ліву частину співвідношення, для того щоб праворуч з'явився нуль:

. (Т7.7)

Таким чином, нам удалося підібрати рівну нулю лінійну комбінацію векторів , , і , у якій один з коефіцієнтів, а саме одиниця перед вектором , не дорівнює нулю. Звідси випливає, що система векторів , , і лінійно залежна.

2. Якщо ж серед векторів , , і є компланарні, колінеарні або нульові, то з раніше доведених теорем 6, 5, 3 відповідно випливає їхня лінійна залежність.

Тут можна зробити висновок, аналогічний висновку після теореми 6. Як тепер ми бачимо, у просторі досить задати три не компланарні вектори , , (які будуть називатися основними), і потім будь-який вектор буде виражатися через лінійну комбінацію цих векторів . Коефіцієнти , і будуть називатися координатами вектора .

Тільки що доведені теореми є дуже важливими для нового сприйняття вже звичних нам геометричних об'єктів - прямих, площин і т.д. Тепер ми можемо відрізняти їх не по тому, як вони виглядають на рисунках, а алгебраїчно - по кількості векторів, яких достатньо, щоб задавати всі інші вектори цього простору.

4. Розмірність простору. Поняття базису

Розмірність простору

Дотримуючись принципу заміни графічних образів числовими, ми помічаємо, що пряма, площина і наш звичайний простір відрізняються один від одного кількістю векторів, яку потрібно задати, щоб інші вектори цих просторів описувалися цими обраними векторами. Більш того, ці теореми показують, що кількість таких векторів, у свою чергу, однозначно визначає вид простору, з яким ми маємо справу (із прямою, із площиною або з усім нашим простором). Однозначність зв'язку кількості таких векторів з видом простору привела до того, що для цього числа була введена спеціальна назва - розмірність простору.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Найпростіший простір має розмірність . До таких просторів відносяться прямі лінії. Площина являє собою приклад простору з розмірністю . Наш навколишній простір можна описувати як простір з розмірністю . У нашому курсі ми познайомимося і з іншими просторами певної розмірності.

Зокрема, буде розглянутий простір кольорів, у якому будь-який колір представляється у вигляді лінійної комбінації трьох основних кольорів (червоного, синього та зеленого). Така система використовується, наприклад, у телебаченні, у кольоровій фотографії і при збереженні цифрованих зображень.

Крім того, ми познайомимося з простором фарб, у якому будь-яка фарба може бути представлена у вигляді лінійної комбінації трьох основних фарб - жовтої, блакитної і пурпурної. Ця система використовується в поліграфії, зокрема на комп'ютерних принтерах.

Головним для нас буде розуміння того, що аналітична геометрія дозволяє, освоївши роботу з векторами на наочному прикладі напрямлених відрізків, перевести властивості векторів на мову чисел, а потім використовувати на зовсім інших об'єктах, у зовсім несподіваних галузях фізики, цифрової радіотехніки, комп'ютерних науках.

Базис простору

Попередні три теореми показали нам, що якщо ми знайшли для даного простору систему лінійно незалежних векторів, кількість яких дорівнює розмірності простору, то будь-який вектор цього простору можна виразити через ці вектори. Така система векторів, що є у деякому смислі «основними», одержала назву базису простору.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Як ми вже з'ясували, на прямій лінії базисом може бути будь-який ненульовий вектор. На площині в якості базису можна брати будь-які два не колінеарні вектори, а в об'ємі будь-які три не компланарні вектори можуть відігравати роль базису. Вектори, що утворюють базис, називаються базисними векторами, і якщо ці вектори позначити, наприклад, , і , то сам базис позначається в такий спосіб: { , , }. Кількість векторів у базисі, вочевидь, збігається з розмірністю простору, і це дозволяє нам дати ще одне, дуже лаконічне, визначення розмірності.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Надалі, для простоти, ми будемо розглядати тривимірний простір, у якому заданий деякий базис { , , }. Тоді будь-який вектор даного простору може бути представлений у вигляді лінійної комбінації цих векторів:

. (4.1)

Таке представлення вектора називається розкладанням вектора по базису { , , }, і, природно, виникає питання про одиничність такого розкладання, відповідь на яке дає наступна теорема.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доведення ____________________________________________________

Нехай у просторі заданий базис { , , } і довільний вектор . Припустимо, що цей вектор можна розкласти по цьому базису наступними двома різними способами:

(Т8.1)

і . (Т8.2)

Віднімаючи одну з цих рівностей з іншої, одержуємо:

. (Т8.3)

Ми одержали рівну нулю лінійну комбінацію лінійно незалежних векторів. Відповідно до визначення лінійної незалежності векторів, це можливо тільки у випадку, коли всі коефіцієнти в цій лінійній комбінації дорівнюють нулю:

. (Т8.3)

Звідси ми робимо висновок про рівність коефіцієнтів у розкладаннях (Т8.2) і (Т8.3)

, , (Т8.4)

і, отже, про одиничність розкладання вектора простору по базису цього простору.

Упорядкування базису

Прагнення до лаконічності, що властиве математиці, спонукує нас у випадку заданого базису представляти вектор у вигляді трьох чисел. Це можна зробити, наприклад, у такий спосіб:

.

Однак вектор , представлений у вигляді розкладання по базису, може бути, звичайно, записаний і іншими способами:

,

що відрізняються один від одного перестановкою доданків. Безумовно, це одне і те ж розкладання вектора по базису, що складається з векторів , і . Але в новому записі вектори і не дорівнюють один одному. Щоб розв'язати це протиріччя, що виникає при переході до координатного запису, ми повинні упорядкувати базис, тобто вибрати вектор базису, коефіцієнт перед яким буде записуватися на першому місці, і назвати його першим вектором базису, потім вибрати вектор базису, коефіцієнт перед яким буде записуватися на другому місці і т.д.

При цьому треба пам'ятати, що розкладання по базису від порядку векторів не залежить, а упорядкованість стає необхідною, якщо ми хочемо працювати в координатному записі. Однак, для простоти, можна задавати базис як набір упорядкованих векторів, тобто визначити поняття упорядкованого базису.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тепер ми можемо впевнено переходити до координатного запису векторів і вивчати властивості векторних координат.

Координати вектора

«Озброєні» теоремою про одиничність розкладання вектора по базису ми можемо стверджувати, що існує однозначна відповідність між векторами в тривимірному просторі і (упорядкованими) трійками реальних чисел. Ці числа називаються координатами вектора в заданому базисі. Одиничність цих координат при заданому базисі дозволяє при визначенні вектора задавати тільки його координати і навіть використовувати такий запис для вектора, у якого присутні тільки його координати:

. (4.2)

Це вже наступний рівень абстракції, що ми використовуємо в нашому курсі. Нагадаємо, що раніше ми перейшли від напрямлених відрізків до векторів як до множин рівних напрямлених відрізків. Тепер же ми можемо перейти від старого визначення векторів до векторів як певних наборів чисел. У двовимірному просторі - на площині - кожен вектор буде однозначно пов'язаний з парою реальних чисел. Вектори, паралельні одній прямій, однозначно пов'язані з одним певним числом.

Введення координат дозволяє цілком абстрагуватися від геометричного поняття вектора як «напрямку і відстані» і перейти до чисто алгебраїчного визначення вектора як певного набору чисел. Однак ми ще не знаємо, чи всякому наборові чисел можна поставити у відповідність який-небудь вектор. Такий перехід ми зробимо трохи пізніше, коли вивчимо перетворення координат при переході від однієї системи координат до іншої. У нашому курсі ми будемо обмежуватися одне-, двох- і тривимірними просторами, які можна наочно представити як прямі, площини і весь об'єм. Простори векторів з великими розмірностями і їхні властивості розглядаються в наступних курсах векторної алгебри та фізики.

У координатному представленні можна виразити лінійні операції над векторами і використовувати ці співвідношення при розв'язку конкретних задач. Щоб знаходити координати суми векторів і добутку вектора на число, можна використовувати наступну теорему.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доведення____________________________________________________

Доведення цієї теореми, очевидно, є одним з найкрасивіших і важливих у початковому курсі векторної алгебри. Воно вимагає використання практично усіх дотепер доведених теорем і властивостей векторів. Ми розглянемо тільки додавання векторів, а множення вектора на число доводиться аналогічно.

Нехай у просторі заданий базис { , , } і довільні вектори і . Ці вектори можна розкласти по заданому базису такими способами:

(Т9.1)

і

. (Т9.2)

Складаючи ці рівності, одержуємо:

. (Т9.3)

З іншого боку сума векторів є новий вектор , що також може бути розкладений по базису: . Тоді з (Т8.3) одержуємо:

. (Т9.4)

Але, відповідно до теореми про одиничність розкладання по базису з (Т8.3) одержуємо:

, . (Т9.5)

Проекція вектора. Ортогональні проекції

Отже, ми довели, що при наявності в просторі базису { , , } будь-який вектор може бути розкладений по цьому базису, тобто представлений у вигляді наступної лінійної комбінації:

. (4.1)

З іншого боку, якщо задана, наприклад, трійка лінійно незалежних векторів { , , }, то складаючи з них усі можливі комбінації типу (4.1) ми переберемо усі вектори деякого простору, базисом якого і буде ця трійка векторів. Про такий простір говорять, що він утворений векторами { , , }, або натягнутий на вектори { , , }. Наприклад, будь-який ненульовий вектор задає одномірний простір, що складається з векторів, колінеарних заданому.

Числа , і , як ми вже говорили, називаються координатами вектора . Окремі ж доданки в розкладанні (4.1) також мають важливе математичне значення і називаються компонентами або складовими вектора . Крім того, помітимо, що, наприклад, вектор належить просторові, утвореному вектором , а вектор належить просторові, утвореному векторами і . Тобто ці вектори самі по собі є векторами в якихось інших просторах з меншою розмірністю.

Такі вектори одержали назву проекції. Зокрема, вектор є проекцією вектора на простір, утворений вектором , що позначається в такий спосіб:

. (4.3)

А вектор може бути позначений як

, (4.4)

тому що він є проекцією вектора на простір, утворений векторами і , або іншим словами, просто проекцією на вектори і .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 4.1. Приклади проекцій вектора на різні підпростори

На рис. 4.1 показані приклади проекцій вектора на базисні вектори. Основною і найбільш корисною з властивостей проекцій є те, що будь-який вектор може бути представлений у вигляді суми проекцій на різні підпростори заданого простору. Наприклад, вектор може бути записаний такими способами:

(4.5)

Інші дві властивості проекцій уже відносяться до лінійних операцій над векторами, що проектуються. Ці властивості представлені в наступній теоремі.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доведення____________________________________________________

Нехай дані два вектори і . Знайдемо їхні проекції , і проекцію їхньої суми на підпростір, утворений векторами і . За визначенням, ці проекції будуть складені з тих доданків у розкладаннях векторів по базису, що містять вектори і . Тобто

, а . (Т.10.1)

Сума цих векторів дорівнює

. (Т.10.2)

Тепер візьмемо вектор суми і побудуємо його проекцію на підпростір, утворений векторами :

. (Т.10.3)

Оскільки праві частини співвідношень (Т.10.2) і (Т.10.3) рівні одна одній, то і ліві також виявляються рівними, а отже, теорема доведена.

Однією з особливостей такого визначення проекцій є їх необов'язкова ортогональність. Однак далі в нашому курсі ми будемо мати справу лише з окремим видом проекцій, що називається ортогональною проекцією. Тобто, при геометричній побудові проекції вектора на інший вектор будемо опускати перпендикуляри від кінців вектора на пряму, задану вектором . Наприклад,

, а різниця .

Однак для використання поняття ортогональних проекцій нам необхідно ще ввести поняття кута між векторами, що ми зробимо у відповідному розділі.

5. Системи координат. Поняття орієнтації

Визначення системи координат. Радіус-вектор

Тільки що ми з вами запровадили поняття базису у векторному просторі і координат векторів у заданому базисі. Координатне представлення виявилося зручним алгебраїчним представленням векторів, що дозволило відмовитися від графічного зображення векторів як напрямлених відрізків і переклало операції над векторами на мову алгебри.

Тепер виберемо в звичайному просторі точку і відкладемо від неї напрямлені відрізки, що відповідають векторам векторного простору, наприклад, . Кінці цих відрізків є точками в звичайному просторі, причому різним векторам будуть відповідати різні точки. У свою чергу, якщо обрано точку , то будь-яка інша точка простору визначає вектор у векторному просторі, що має спеціальну назву радіус-вектор і позначення. Наприклад, радіус-вектор точки N позначається як

. (5.1)

Таким чином, можна говорити про взаємно однозначну відповідність векторів і точок у відповідних просторах, якщо задано деяку початкову точку (строге введення таких просторів дано у додатку 2 до підручника).

В цьому випадку кожній точці в просторі можна поставити у відповідність набір з координат вектора, що відповідає цій точці. І ці числа будуть однозначно визначати цю точку так само добре, як вони однозначно визначають цей вектор. Набір цих чисел будемо називати координатами точки. Позначати той факт, що точка має координати , і (для прикладу розглянемо тривимірний простір), будемо в такий спосіб: або за аналогією з векторами так: . Опис точок за допомогою координат - так званий координатний метод - дозволяє, з одного боку, цілком відмовитися від геометричних побудов при розв'язку геометричних задач. З іншого боку, при розв'язку задач у складних алгебраїчних просторах або складних фізичних системах цей метод дозволяє застосовувати інтуїтивно зрозумілі образи, такі як прямі, площини і т.п.

Введемо основні поняття координатного методу. Оскільки точка відповідає нульовому векторові , то всі її координати будуть нульовими , і тому її прийнято називати початком відліку.

Наявності початку відліку і базису достатньо, щоб кожній точці простору поставити у відповідність її координати, тому сукупність початку відліку і базису називається системою координат.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лінії, що складаються з точок, серед координат яких є тільки одна ненульова, наприклад, , називаються координатними осями. Ці осі спрямовані уздовж одного з базисних векторів.

Поверхні, що складаються з точок, серед координат яких є дві ненульові, наприклад, , називаються координатними поверхнями. Ці площини паралельні площинам, утвореним відповідними базисними векторами. Лінії (поверхні), уздовж яких одна з координат не змінюється, називаються лініями (поверхнями) рівня, відповідними цій координаті.

Наведемо приклад двовимірної системи координат.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.1. Приклад системи координат

На рис. 5.1 позначений початок відліку - точка , базисні вектори і , координатні осі і . На цих осях обов'язково вказується за допомогою стрілок напрямок, у якому зростає відповідна координата. Так, перша координата точки , яка дорівнює 3, більша першої координати точки , яка дорівнює 1. На рисунку для прикладу нанесені точки з певними координатами. Перша координата точки дорівнює 2, а друга - 1. Це позначається як . А, наприклад, точка має координати - 1 і 2, що позначається в такий спосіб: . На рисунку нанесені також радіуси-вектори цих точок - і , що, відповідно до їх визначення, мають такі ж координати, як точки, яким вони відповідають: і .

На рисунку проведені і лінії рівня. Наприклад, якщо рухатися уздовж прямої , то не буде змінюватися перша координата. Таким чином, ця пряма є лінією рівня для першої координати. Прикладом лінії рівня для другої координати є пряма .

У цих системах координат лініями рівня є прямі лінії, і тому такі системи називаються прямолінійними.

Декартові базиси. Прямокутні системи координат. Декартові системи координат