Идентификация и моделирование технологических объектов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Украины Национальный технический университет «ХПИ»

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему: «Идентификация и моделирование технологических объектов»

Выполнив студент гр. МШ-36А

Радионов А.В.

Проверил проф.

Харьков 2009

ВВЕДЕНИЕ

Эффективное управление технологическим объектом возможно в случае, когда основные закономерности, присущие объекту, представлены в виде математического описания. Построение математического описания (идентификация) объекта является первым этапом синтеза системы автоматического управления.

Методы определения математических моделей по результатам экспериментальных исследований являются предметом теории идентификации. В зависимости от объема априорной информации об изучаемой системе различают задачи идентификации в широком и узком смысле. При решении задач идентификации информация о системе либо незначительна, либо вообще отсутствует. Априорная информация - это информация, полученная на основе статистических данных. Система представляется в виде "черного ящика", и для ее идентификации необходимо решение ряда дополнительных задач, связанных с выбором класса модели, оценкой стационарности, линейности и др. Следует отметить, что в настоящее время теория идентификации в широком смысле не получила еще достаточного развития и находится в стадии становления.

При решении задач идентификации в узком смысле считается, что известны структура системы и класс моделей, к которому она относится. Априорная информация о системе достаточно обширна. Такая постановка задачи идентификации наиболее соответствует реальным условиям проектирования и поэтому широко используется в инженерной практике.

В общем виде математическое описание представляет собой совокупность уравнений и ограничительных условий, которые в количественной форме описывают статические и динамические связи между технологическими переменными объекта. Статистический подход позволяет извлекать нужные результаты при неполной информации о механизме процесса. Статистический подход основан на обработке эмпирических данных, собранных непосредственно на действующем объекте. Для обработки данных используются методы теории вероятностей и математической статистики.

Целью данной курсовой работы является систематизация и закрепление теоретических знаний, получаемых в курсе лекций, и закрепление навыков решения типовых задач идентификации.

Работая над курсовой работой, необходимо выполнить следующий объем работ: решение задачи статистической идентификации системы с одним входом и одним выходом (задача 1); статистическая идентификация процесса обработки резанием (задача 2); идентификация системы с тремя входами и одним выходом (задача 3). По результатам идентификации нужно оформить пояснительную записку, в которой отражаются основные этапы алгоритмов идентификации, изложенных в данном методическом указании, и разработать графическую часть, включающую графики, изображенные на рисунках 1.1,2.1, 2.2,2.3.

1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ СИСТЕМЫ С ОДНИМ ВХОДОМ И ОДНИМ ВЫХОДОМ

1.1 Основные теоретические положения, используемые для решения поставленной задачи [1]

1.1.1 Общая характеристика метода наименьших квадратов

К так называемым "парным" зависимостям тина y=f(x) относится подавляющее большинство всех формул, используемых в естественнонаучных и технических дисциплинах. По результатам экспериментов такие формулы обычно строили, применяя метод наименьших квадратов, однако только в последнее время с появлением новейших ЭВМ, пригодных для выполнения расчетов очень большого объема, удается построить парные зависимости оптимальной формы.

Сама по себе процедура линейного парного регрессионного анализа (метода наименьших квадратов на плоскости) очень проста. Пусть имеется п пар наблюдений значений функции отклика у, полученных при фиксированных значениях независимой переменной х. Для графического изображения этих пар наблюдений в виде экспериментальных точек с координатами х, у на плоскости применяется система декартовых координат. Задача линейного регрессионного анализа состоит в том, чтобы, зная положение точек на плоскости, провести линию регрессии, а сумма квадратов отклонений вдоль оси ординат этих точек от проведенной прямой была минимальной.

Такие результаты наблюдений могут быть получены в любой экспериментальной работе. Собственно говоря, естествоиспытатели на протяжении столетий наблюдают, что произойдет с интересующим их явлением (функцией отклика), если изменить независимую переменную (фактор х).

Для проведения вычислений по классическому методу наименьших квадратов к форме уравнения регрессии предъявляется требование: это уравнение должно быть линейным по параметрам или допускать возможность линеаризации.

Уравнение прямой (1.1) на плоскости в декартовых координатах

y = b₀ + b₁x

статистический идентификация вход резание алгоритм

где b₀ , b₁ - постоянные числа, геометрическая интерпритация которых дана ниже; x - данные, измеренные на входе системы; у - данные, измеренные на выходе системы. Учитывая это, задачу метода наименьших квадратов аналитически можно выразить следующим образом:

(1.2)

Эти формулы можно описать так: сумма квадратов отклонений вдоль оси Оу должна быть минимальной (принцип Лежандра). Построенная таким образом линия регрессии позволяет с некоторой вероятностью предсказать в интервале от x₁ до х_n любые значения функции у при отсутствующих в измерениях значениях фактора х. Поэтому метод наименьших квадратов является интерполяционным методом. Для решения задачи, поставленной в формуле (1.2), необходимо в каждом конкретном случае вычислить значения коэффициентов Ь₀ и Ь₁ минимизирующие сумму отклонений U. Для этого, как известно из математического анализа, необходимо вычислить частные производные функции U по коэффициентам Ь₀ и Ь₁ и приравнять их к нулю:

 (1.3)

Решая эту систему уравнений, находим искомые значения b₀ и b_1. Систему называют системой нормальных значений. В формулу (1.3) подставляют значение U из формулы (1.2), одновременно выполняют операцию дифференцирования:

(1.4)

Преобразуем полученную систему нормальных уравнений:

(1.5)

В формуле (1.5) и далее для кратности у знака суммы опущены индексы. Систему (1.5) решаем с помощью определителей

(1.6)

где и - главный определитель. Имеем:

 (1.7)

Откуда

(1.8)

Коэффициент b₀ (свободный член уравнения регрессии) геометрически представляет собой расстояние от начала координат до точки пересечения линии регрессии с ординатой или, другими словами, это отрезок, отсекаемый на ординате линией регрессии.

Коэффициент b_г представляет собой тангенс угла наклона линии регрессии к оси абсцисс. Если на плоскости изобразить «облако» точек с явно выраженной тенденцией (чем больше х, тем больше у), то линия регрессии должна проходить через «облако» точек, при этом должен быть соблюден принцип Лежандра. Положение линии в системе координат на плоскости полностью определяется коэффициентами b₀ и b₁.

Различают два вида связи: функциональную и стохастическую. Линейная функциональная связь имеет место, когда все точки «облака» располагаются на прямой регрессии. При наличии погрешностей измерения связь между у и х является стохастической (вероятностной).

1.1.2 Статистические оценки необходимые при решении задачи идентификации

Для функциональной связи понятие корреляции практически не имеет смысла (коэффициент парной корреляции .всегда равен 1). Для стохастической связи вычисление коэффициента парной корреляции r между у и х и его статистическая оценка - важная процедура, результаты проведения которой позволяют судить о тесноте связи. Коэффициент r может изменяться от 0 до ± 1. Чем ближе г к единице, тем ближе изучаемая зависимость к функциональной.

Границу значимости для оценки коэффициента корреляции устанавливают на основании распределения Стьюдента (см. приложение Б ). Оценку значимости коэффициента парной корреляции (проверку наличия корреляции) выполняют по формуле (1.9)

где - расчетная значимость, для проверки наличия корреляции; t -граница значимости по распределению Стьюдента, которое выбирается следующим образом: Р - уровень значимости от 1 % до 0,05%; v - количество степеней свободы, которое равно количеству измерений. Если это условие выполняется, то гипотезу о значимости коэффициента корреляции принимают.

Для проверки значимости уравнения регрессии в целом с использованием F- критерия Фишера общую дисперсию сравнивают с остаточной дисперсией

Вычисление имеет большое значение, в теории статистических методов построения эмпирических зависимостей. В литературе можно встретить различные наименования для (остаточная дисперсия, сумма квадратов остатков, остаточная сумма квадратов); представляет собой показатель ошибки предсказания уравнением регрессии результатов опытов. Качество предсказания определяют, сравнивая , другими словами, F-критерий Фишера показывает, во сколько раз уравнение регрессии предсказывает результаты опытов лучше, чем среднее у. Расчет , проводят по следующим формулам:

(1.10)

Уравнение полученной регрессии статистически значимо описывает результаты экспериментов, когда выполняется условие F > F^t, где F - рассчитывается по формуле F = S_y /S_yocT , F^t - выбирается по приложению В следующим образом: при заданном уровне значимости, устанавливаются степени свободы для , а затем выбирается F^t.

1.2 Исходные данные для идентификации системы

Формулировка задачи: Дана технологическая система с одним входом и одним выходом. На вход системы подается дискретный сигнал. Получив сигнал на выходе системы, провести ее идентификацию с помощью регрессионных методов, выбрав из 15 возможных аналитических зависимостей, связывающих I вход и выход системы, наиболее подходящую. Возможные зависимости:

Размещено на http://www.allbest.ru/

1.3 Преобразование нелинейных зависимостей к линейному виду

1.4 Решение задачи статистической идентификации в MathCAD

1.4.1 Формирование исходных данных

Количество измерений: N=10

xd:= yd:=

1.4.2 Линеаризация исходных данных

Размещено на http://www.allbest.ru/

N:= 10 i:= 1..N

1.4.3 Результаты линеаризации исходных данных:

1.4.4 Вычисление коэффициентов регрессионного анализа для прямой линии

1.4.5 Расчет коэффициента парной корреляции двумерного массива:

1.4.6 Оценка значимости коэффициента по критерию Стьюдента

1.4.6.1 Рассчитываем реальное значение критерия

1.4.6.2 Определяем граничное значение критерия

1.4.6.3 Производим проверку выполнения условия (1.9)

Условие показывает, что наличие корреляции наблюдается для 2, 3, 4, 8, 12, 14, 15 уравнений регрессии. Определяем наиболее подходящие регрессии по максимуму коэффициента корреляции: max(r) = 0,988. Этому условию удовлетворяет регрессия № 3.

1.4.7 Проводим проверку значимости уравнения регрессии в целом с использованием F-критерия Фишера

1.4.7.1 Рассчитываем значение функции у для х, приведенных в п. 1.4.1 по формуле:

(1.17)

1.4.7.2 Рассчитываем общую дисперсию по формуле 1.11

(1.18)

1.4.7.3 Рассчитываем остаточную дисперсию по формуле 1.10

(1.19)

1.4.7.4 Определяем расчетное значение критерия по формуле

(1.20)

1.4.7.5 Выбираем граничное значение критерия

Уровень значимости р:=0,01

Значение критерия при 1%-ном уровне значимости и указанных степенях свободы

1.4.7.6 Проводим проверку по условию



При 1%-ном уровне значимости F = 199.474 > Ftab = 5.911, следовательно уравнение № 3 адекватно описывает результаты экспериментов.

1.4.8 Восстановление коэффициентов зависимости

1.4.8.1 Рассчитываем для регрессии реальные коэффициенты a и b

1.4.8.2 Строим график функционирования системы по результатам расчетов:

Результаты замеров на входе х1 и выходе у1:

Регрессия :



Рис. 1.1 Результирующий график функционирования системы

2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПРОЦЕССА ОБРАБОТКИ РЕЗАНИЕМ

2.1 Общие положения

Статистический анализ следует производить после того, как станок проработает некоторое время, необходимое для стабилизации температуры системы СПИД, Это время колеблется в пределах одного-двух часов. В результате этого погрешности обработки, вызываемые температурными деформациями элементов системы СПИД, превратятся из функциональных в постоянные.

Статистический анализ посредством большой выборки заключается в следующем. Со станка берется большая (текущая) выборка, состоящая из деталей, изготовленных подряд одна за другой при неизменной настройке и других неизменных условиях. Объем выборки устанавливается в зависимости от желаемой точности и надежности определения меры рассеивания а суммарной погрешности обработки. Для практических целей можно принять точность вычисления оценки а по выборочному s, равную е = ±0,2s с вероятностью б = 0,95. Тогда объем выборки достаточно сделать равным n = 50. Однако с увеличением п точность е возрастает и поэтому часто принимают n > 100.

Все детали выборки должны быть измерены шкальным измерительным инструментом с ценой деления измерительной шкалы, равной (1/6-1/10)-2о, где 2 -допуск на измеряемый размер.

На основании результатов измерений деталей выборки составляется таблица распределения размеров выборки. При составлении таблицы все наблюденные размеры разбиваются на интервалы, число которых выбирается так, чтобы ширина интервала была больше не менее чем в 2 раза цены деления шкалы измерительного инструмента. Это делается для того, чтобы компенсировать погрешности измерения. Затем производится вычисление статистических характеристик выборки. После этого производится проверка гипотезы нормальности распределения по методу. Выборку необходимо проверить также на случайность и убедиться в стабильности центра рассеивания погрешностей в процессе отбора пробы.

При положительных результатах проверки гипотез нормальности и случайности распределения выборки процесс может быть отнесен к IV типу точности, для которого суммарная погрешность обработки определяется по формуле:

(2.1)

где - постоянные погрешности; - случайные погрешности.

Для определения суммарной величины случайных погрешностей во всей настроечной партии необходимо в качестве оценки уо принять у=sz₂, где s -среднее квадратичное отклонение выборки, a z₂ - коэффициент, определяемый в зависимости от объема выборки. Тогда :

(2.2)

Фактическая величина постоянных погрешностей ?_n или резерв допуска, приходящийся на долю постоянных погрешностей, определяется по следующим формулам:

а) для наружных поверхностей:

б) для внутренних поверхностей:

где ВО и НО - верхнее и нижнее предельные отклонения измеряемого размера с учетом их знаков;

X - среднее значение отклонений размеров от их номинала. Для оценки точности процесса необходимо сравнить полученную суммарную погрешность А с допуском 2д на размер детали. Точность процесса считается достаточной или избыточной, если удовлетворяется неравенство:

Однако на практике возможен брак даже и при избыточной точности процесса, если настройка станка была выполнена с погрешностью, величина которой превышала допустимое значение.

Для оценки устойчивости процесса по большой выборке достаточно подтверждений гипотез нормальности и случайности выборки. Если эти гипотезы подтверждаются, то процесс можно считать устойчивым во времени.

2.2 Постановка задачи

С одношпиндельного токарно-револьверного автомата взята выборка объемом 50 деталей. Результаты измерений деталей выборки приведены в приложений. Необходимо определить точность процесса, его устойчивость, точность настройки и возможный процент брака при данной настройке станка на размер.

2.3 Решение задачи идентификации

2.3.1 Ввод исходных данных: (приложение Г)

Объём выработки: n:= 50

Количество интервалов: инт := ceil(1+3.32log(n)) инт = 7

Уровень значимости: q:= 5

Номинальный размер: D_nom:= 27 es:= -65 ei:= 0.001·(-149)

Вспомогательное значение для расчета среднего квадратического: z₂ := 1.246 (см. приложение F)

2.3.2 Определение частот и интервалов

2.3.2.1 Определяем шаг изменения

2.3.2.2 Рассчитываем интервалы и частоты попадания

2.3.3 Решаем задачу идентификации

2.3.3.1 Расчет статических характеристик полученного эмпирического распределения

Среднее:

Среднее квадратическое:

2.3.3.2 Проверка гипотезы случайности выборки по методу последовательных разностей



Функция Лапласа:

Находим предельное значение, численно решая следующее уравнение:

Вычисляем действительные корни уравнения, используя стандартную функцию данного приложения:

- условие выполняется, следовательно гипотеза о случайности выборки подтверждается.

Вычисляем середины интервалов:

2.3.3.3 Проверка гипотезы нормальности распределения

В [1] изложены пять методик проверки гипотезы нормальности распределения: по среднему абсолютному отклонения (САО), по размаху варьирования R, по показателям асимметрии и эксцесса, по кси квадрат критерию и по критерию Колмогорова - Смирнова.

Методика проверки нормальности распределения по показателям асимметрии и эксцесса очень хорошо иллюстрирует использование моментов, а также очень удобна при проведении расчетов на ЭВМ. Проверку по критерию Колмогорова - Смирнова проводят только в редких случаях. Для практического применения (особенно при расчетах с использованием ПЭВМ) рекомендуется в основном две методики: по размаху варьирования и по х2 -- критерию, причем первая служит для быстрой «прикидочной» поверки, а вторая - для основательной проверки нормальности распределения.

1. Проведем проверку по х2 -- критерию согласно [2]: 1. Рассчитываем контрольную величину критерия на основании выборки

2. Определяем теоретические частоты, соответствующие серединам интервалов

Теоретические частоты:

Эмпирические частоты:

Строим полигон распределения для теоретических и эмпирических частот:

Полигон распределения

Рис. 2.1 Полигон распределения, построенный на данных выборки

3. Контрольная величина для распределения:

4. Допустимая величина критерия (2) определяется по формуле, поскольку объем выборки больше 30 деталей:

Уровень значимости: Количество классов:

Функция распределения нормированного и центрированного нормального распределения:

Допускаемое значение критерия:

Условие нормальности распределения: Условие выполняется, следовательно гипотеза о нормальном распределении принимается. Строим гистограмму распределения размеров:

Гистограмма распределения

Рис. 2.2 Гистограмма распределения, построенная по данным выборки

2.3.3.4 Определение точности технологического процесса

Характеристика нормального распределения:

Допуск размера:

Случайная погрешность:

Постоянная погрешность:

Суммарная погрешность:

условие не выполняется, поэтому точность процесса не нормальна.

Координата середины поля допуска:

Фактическое смещение центра рассеивания:

Допускаемое смещение центра рассеивания:

Процент брака равен:

Строим диаграмму распределения размеров:



3. ИДЕНТИФИКАЦИЯ СИСТЕМЫ С ТРЕМЯ ВХОДАМИ И ОДНИМ ВЫХОДОМ

3.1 Общие положения анализа линейного множественного регрессионного[1]

На практике при анализе результатов научных исследований часто имеет место ситуация, когда количественное изменение изучаемого явления (функции отклика) зависит не от одной, а от нескольких причин (факторов). При проведении экспериментов в такой множественной ситуации исследователь записывает показания приборов о состоянии функции отклика у и всех факторов, от которых она зависит х. Результатами наблюдений являются уже не два вектор-столбца (у и х). Как при проведении парного регрессионного анализа, а матрица результатов наблюдений (3.1):

где n - количество опытов; р - число факторов; x_tj -значение j-ro фактора для 1-го опыта; у_;- - значение функции отклика для i-ro опыта.

Задача множественного регрессионного анализа состоит в построении такого уравнения прямой в р - мерном пространстве, отклонения результатов наблюдений Xij - от которой были бы минимальными (3.2 - 3.3)

 (3.3)

где y_i вычисляемые, предсказываемые. Выровненные значения исследуемой I характеристики.

Для отыскания минимума выражения (3.3) необходимо найти частные производные но всем неизвестным bj и приравнять их нулю. Полученные уравнения образуют систему нормальных уравнений (3.4):

(X * Х)В -- X * Y, (3.4)

где В - вектор-столбец (3.5) искомых коэффициентов аппроксимирующего полинома (3.2):

(3.5)

Х - матрица (3.6) всех значений всех рассматриваемых факторов, полученных при проведении измерений или наблюдений:



У - вектор-столбец (3.7) опытных значений изучаемой характеристики:

(3.7)

Х*Х - матрица (3.8), транспонированная к матрице Х:

(3.8)

(3.9)

Для решения системы нормальных уравнений в матричной форме (3.4) следует умножить ее слева на матрицу, обратную матрице (3.8) системы нормальных уравнений:

(3.10)

(3.11)

где Е - единичная матрица.

Таким образом, решение системы нормальных уравнений в матричной форме (3.12):

(3.12)

В результате проведения всех этих операций получаем полином первой степени (3.2) с известными коэффициентами b. Этот полином является аппроксимацией функции у =f(x₁, x₂, x₃,…x_j,…х_р), вид которой неизвестен. Теоретически точность аппроксимации можно повысить, повышая степень полинома, однако практически для полиномов высоких степеней при проведении матричных операций на ЭВМ накапливаются столь значительные погрешности округления, что решение становится невозможным. На практике обычно ограничиваются построением полинома второго порядка и проведением шагового регрессионного анализа с включением или исключением переменных. Строят также множественные нелинейные модели, поддающиеся линеаризации.

Проверка значимости (качества предсказания) множественного уравнения регрессии в принципе мало отличается от соответствующей проверки парной зависимости. Вычисляют остаточную дисперсию по формуле (3.13):

 (3.13)

которую затем сравнивают с дисперсией среднего Sy (1.11) с помощью F-критерия Фишера с числом степеней свободы в числителе v₁=n-1 и в знаменателе v₂-n-p-1 (n - число опытов, р - число факторов). Считают, что уравнение (3.2) предсказывает результаты опытов лучше среднего, если F достигает или превышает границу значимости при выбранном уровне значимости (обычно принимают р = 5%).

3.2 Постановка задачи идентификации системы

Дана линейная статическая технологическая система, имеющая три входа xl,х2,хЗ и один выход у. На входы системы подаются сигналы, изменяющиеся по нелинейным законам. Используя серию измерений величин входных сигналов и соответствующего им выходного сигнала, определить параметры, а для уравнения, описывающего эту систему (3.14):

(3.14)

3.3 Алгоритм решения задачи в системе MathCAD

3.3.1 Исходные данные

Вход системы:

1. Количество входов - 3;

2. Вектор входов - х = (х₁,…,х_т) , элементы входа отдельные входы.

Выходы системы:

Выход скалярная величина у.

Совокупность измерений:

1. На вход системы подают сигнал, описываемый вектором входов.

2. На выходе системы измеряют сигнал выхода.

3.3.2 Определяем количество измерений

3.3.3 Определяем ранг матрицы

3.3.4 Вычисляем коэффициенты полинома по формуле (3.12)

3.3.5 Вычисляем остаточную дисперсию

Размещено на Allbest.ru