Дифференциальное уравнение второго порядка

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дифференциальное уравнение второго порядка

Океанов Е.Н.

Исследованию подлежит линейное дифференциальное однородное уравнение второго порядка с произвольными коэффициентами. Целью исследования является изучение меры произвольности этих коэффициентов и методов безусловного решения таких уравнений.

Пусть задано дифференциальное однородное уравнение второго порядка:

, (1)

где и некоторые действительные функции переменной . Пусть понятие изменчивости искомой функции определяется соотношением:

, (2)

Тогда уравнение (1) можно выразить через эту изменчивость. Действительно, на основании очевидных равенств:

(3)

уравнение (1) легко преобразуется в уравнение Риккати относительно изменчивости :

(4)

Но изменчивость , будучи функцией, имеет свою изменчивость :

 (5)

На этом основании уравнение (4) преобразуется в алгебраическое квадратное уравнение изменчивости :

(6)

Легко заметить, что и уравнение (4) Риккати и квадратное уравнение (6) оказываются нелинейными формами уравнения (1). На этом основании уравнение (6) можно полагать общим характеристическим уравнением, обусловливающим решение уравнения (1).

Его корни равны:

(7)

Но, если уравнение (6) действительно является характеристическим, то общее решение уравнения (1) должно иметь вид:

, (8)

где и - произвольные константы интегрирования, векторные, коль скоро вектор определяет некое трехмерное прямоугольное пространство, а слагаемые и есть частные решения уравнения (1). Кстати, эти частные решения позволяют предположить, что уравнение (1) описывает некую физическую систему из двух объектов в отсутствие внешнего воздействия, причем каждый из этих объектов описывается соответствующим частным решением. А это означает, что адекватным математическим отображением этой физической системы является математическая система двух равенств:

(9)

Соответствующие первые производные имеют вид:

(10)

Отсюда вытекает система двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

(11)

В силу линейности упомянутой физической системы должна выполняться система равенств:

(12)

С учетом очевидных обозначений:

и

систему (12) удобно привести к виду:

(13)

Из ее первого уравнения определяется :

(14)

Результат дифференцирования обеих частей равенства (14) имеет вид:

(15)

Подстановка равенств (14) и (15) во второе уравнение системы (13) приводит к результату:

(16)

Из его сравнения с уравнением (1) следуют равенства:

и (17)

В соответствии с равенствами (7) были приняты обозначения:

 и

Это означает справедливость равенства:

Тогда второе из равенств (17) легко приводится к уравнению:

Отсюда следует:

,

где - безразмерная константа интегрирования. То есть, должно выполняться равенство:

(18)

Из этого равенства определяется неизвестная величина :

(19)

При этом уравнение (6) принимает вид:

(20)

Его решения равны:

(21)

Следовательно, система (9) частных решений уравнения (1) принимает вид:

(22)

Система их первых производных равна:

(23)

Ее удобнее переписать в виде:

(24)

Отсюда вытекает система двух уравнений:

С учетом принятых ранее обозначений эту систему удобно представить в виде:

(25)

Из первого уравнения этой системы определяется величина :

(26)

Далее определяется ее первая производная:

(27)

Подстановка выражений (26) и (27) во второе уравнение системы (25) приводит, после соответствующих алгебраических преобразований, к дифференциальному уравнению второго порядка:

(28)

Из сравнения уравнения (28) с уравнением (1) следуют равенства:

 и (29)

Второе их этих равенств очевидным образом сводится к равенству:

Отсюда следует единственно возможное значение константы :

При этом коэффициент принимает нормальное значение:

(30)

Кроме того, система (22) частных решений уравнения (1) принимает вид:

(31)

Соответственно, общее решение уравнения (1) равно:

(32)

Выводы

1. Произвол в выборе коэффициента ничем не ограничен.

2. Коэффициент является вполне определенной нелинейной функцией коэффициента и потому не может быть произвольным.

3. Разрешимость уравнения (1) вполне определяется сходимостью интеграла .

4. Всякое уравнение с произвольными коэффициентами вида:

на самом деле является неоднородным уравнением:

,

где - абсолютное отклонение значения коэффициента от нормального.

Размещено на Allbest.ru