Приведение матрицы к каноническому виду через ортогональные преобразования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

гаусс канонический вектор ортогональный

1.1 Метод Гаусса

Метод Гаусса-- классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

1.2 Квадратичная форма

Квадратичной формой называется функция B(x) = A(x,x) из линейного пространства L над произвольным полем F характеристики не 2 в поле F, которая получается из билинейной формы A(x,y) при x = y.

При фиксированном базисе в L квадратичная форма имеет вид

где , а a_ij = a_ji.

Матрицу (a_ij) называют матрицей квадратичной формы в данном базисе.

1.3 Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.

Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если (для комплексного ), такое, чтоЧисло называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору.

 Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор имеет координатный столбец X, то или

Собственные числа линейного оператора - корни характеристического уравнения , где - матрица оператора f, - символ Кронекера.

Для каждого собственного значения соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения или соответствующей ему системы линейных уравнений

Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

где - соответствующие собственные значения.

1.4 Нормирование вектора

Нормирование вектора -- это преобразование заданного вектора в вектор в том же направлении (то есть в коллинеарный, параллельный вектор), но с единичной длиной.

1.5 Ортогональное преобразование

Ортогональное преобразование -- линейное преобразование A евклидова пространства, сохраняющее длины или (что эквивалентно этому) скалярное произведение векторов.

Ш Ортогональные преобразования и только они переводят один ортонормированный базис в другой.

Ш Необходимым и достаточным условием ортогональности A является также равенство A ^* = A ^{? 1}, где A ^* -- сопряжённое, а A ^{? 1} -- обратное линейные преобразования.

Ш В ортонормированном базисе ортогональным преобразованиям (и только им) соответствуют ортогональные матрицы.

Ш Собственные значения ортогональных преобразований равны по модулю 1, а собственные векторы (вообще говоря, комплексные, то есть принадлежащие комплексному расширению вещественного евклидова пространства), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Ш Определитель ортогонального преобразования равен 1 (собственное ортогональное преобразование) или ? 1 (несобственное ортогональное преобразование).

Ш В произвольном n-мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числа отражений.

Ш Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композиции -- ортогональную группу данного евклидова пространства.

II. Практическая часть

2.1 Решение неоднородной системы линейных уравнений методом Гаусса

Система линейных уравнений:

Из системы линейных уравнений составляем матрицу и решаем её методом Гаусса (с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные):

Умножим первую строчку на -5 и сложим со второй;

Сложим первую строчку с третьей

Умножим первую строчку на -2 и сложим с четвертой:

Получили ступенчатый вид матрицы:

Из данной матрицы записываем систему уравнений:

Из полученной системы уравнений находим аргументы:

2.2 Квадратичная форма

Квадратичная форма:

Заменяем полученные аргументы на

Составляем матрицу квадратичной формы:

2.3 Собственные значения и собственные векторы линейных операторов

Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду:

Находим собственные значения:

-+

-+

, Данное уравнение имеет один корень.

=

,

Находим собственные векторы при подстановке собственных значений ():

1)

=

Умножим первую строчку на 5 и сложим со второй;

Умножим первую строчку на 2 и сложим с третьей:

Видим две кратные друг другу строки, сократим одну из них.

Составляем фундаментальную систему решений:

=, =

Находим собственные векторы при подстановке собственных значений ():

2)

=

Видим 2 кратные строчки, сократим одну из них

Приведём матрицу к ступенчатому виду:

Составляем фундаментальную систему решений:

=

--

+3

=

= ;

2.4 Нормирование векторов

Нормирование вектора -- это преобразование заданного вектора в вектор в том же направлении (то есть в коллинеарный, параллельный вектор), но с единичной длиной.

Находим длины векторов:

==

==

Для нормирования вектора нужно каждую компоненту поделить на длину вектора:

2.5 Ортогональные преобразования

Ортогональное преобразование -- линейное преобразование евклидова пространства, сохраняющее длины или скалярное произведение векторов.

Записываем каждый нормализованный вектор в столбик и получаем систему линейных уравнений:

2.6 Приведение квадратичной формы к сумме квадратов

Квадратичная форма:

Записываем квадратичную форму, подставляя в неё соответствующие числа и . Решаем полученное уравнение:

+

++++++

=0

Вывод

Приведя квадратичную форму к каноническому виду через ортогональное преобразование, мы получили:

1) Перекрёстные умножения -- обнулились

2) Квадратичная форма имеет вид : a

Размещено на Allbest.ru